林浩故事的真与假:从含义入手，提高简算能力

张懿菁
所谓简便运算，就是正确、合理、灵活地运用各种定义、定律、性质、法则等等，改变原有的运算顺序进行计算，使复杂的计算变得简单。如果学生没有理解运算定律和运算性质的本质，简便运算就是无本之木、无源之水，只能照葫芦画瓢，还可能成为学习的“负担”。在教学中，首先要提高学生学习简便计算的意识和积极性。其次，要让学生更好地理解运算定律和运算性质的本质，为简便计算打下扎实的基础。
一、用乘法的含义解读运算律中的乘法
在小学阶段（四年级）主要学习的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。学生对乘法分配律的理解和运用普遍感到困难。时而把乘法分配律的式题看成连乘，错误地运用乘法结合律来做，时而找不到正确的乘和加的数。再加上乘法分配律丰富多样的变换形式，使一些同学看到这类题就如临大敌、不知所措。出现这些情况与多方面因素有关：有的学生对仅通过几道算式发现的共同规律无法进行抽象化、实现真正理解；有的学生只会基本模式的运用，无法进行变通等。以下介绍我在教学“运用乘法分配律进行简算”时帮助学生理解的几种方法：
1．（a±b）×c型。如，（5＋8）×125，根据正常的运算顺序，可以先算出括号中的结果是13，最终要算的是13×125，即13个125（相加）（注：以下简略为“几个几”），而为了追求计算的简便，我们可以把13个125拆成是5个125和8个125分别计算后再加起来。对难以理解这一叙述的学生，还可以以这样的一串算式说明它的算理和前后内在联系：
（5＋8）×125=13×125=125＋125＋125＋125＋125＋125＋125＋125＋125＋125＋125＋125＋125=（125＋125＋125＋125＋125）＋（125＋125＋125＋125＋125＋125＋125＋125）=5×125＋8×125
有了这样透彻了理解，就避免了学生不知乘谁、不知怎么乘、不知乘几遍的苦恼了。
在换成其他数据时，括号中的结果可暂且称为“若干个”，就可以把原题思考为：“若干个c”可以分成“a个c”加（减）“b个c”，即a×c±b×c。
2．a×c±b×c型。有的老师认为这一种题型只是在上一种的基础上前后交换一下，不必再多作赘述。表面上看的确如此，但这必须建立在学生已经能正确地找到前后两个乘法算式中相同因数的基础上，也就是谁是“（a±b）×c”中的谁是“c”的问题。如，32×7＋68×7这道算式中，最好是能理解为32个7加上68个7，前后乘式中都出现的“公共因数”7就是要确定下来的“c”。而不是理解为7个32和7个68等其他情况。
有时a×c±b×c会变换为a×c±c，这时必须让学生理解后面的“c”就是“1个c”的意思。如，99×49＋99，先找到前后乘式中的公共因数99，然后把该式理解为49个99再加上1个99。又如，99×101－ 99和101＋99×101，这两题看似相同，实际思考和计算时有着很大的区别。前者公共因数是99，101个99减去1个99，即100个99；后者公共因数是101，99个101再加上1个101，即100个101。要想仔细辨别清它们之间的异同。有时a×c±b×c还会变换为a×c±c×c。如：75×25＋25×25，这时要把后面一个乘式看成25个25，切不可混淆两者扮演的不同角色。
3．两数相乘，其中一个乘数接近整百数（或整十数、整千数）型。
如199×71，有的同学在写下原题等于“（200－1）×71”后，经常不知接下来该写什么，往往又会回到原题上，产生许多前后反复的错乱。如果能跳过这一步，直接把原题理解为199个71就是200个71减去1个71，即200×71－71，这样就不太容易出错了。又如，102×56可以直接分成100×56＋2×56。
在初学乘法的时候，我们都知道：求几个相同加数的和是可以用乘法来计算的。乘法是加法的一种特殊形式，是加法的简便运算。久而久之，熟练了乘法计算的同学们就把这乘法的基本含义和最初的加法形式淡忘了。
可以看出：在以上这几类运用乘法分配律进行简算的解答过程中，都紧紧地抓住了乘法的含义，让乘法再次以“几个几（相加）”的模式解读算式中的乘法。这样的思考方法时间用久了，学生看到这样的算式，在心里读的时候就把算式中的“几乘几”读成“几个几”，虽然是一字之差，却让学生距离距离正确地解题更进了一步。如果学生有了这样的理解，就不难应付以下这些“伪装”得更巧妙的变形了。如：乘法分配律与乘法结合律的辨析：（125＋6）×8与（125×6）×8；找不到公因数的乘法分配律：32×18＋64×41；多项乘式相加减的乘法分配律：39×51＋42×39－39＋39×8；乘法分配律在除法中的推广拓展：（a±b）÷c和a÷c±b÷c（此式亦可用除法的基本含义平均分中的包含分来解读）。
二、用加减法的含义来解读“凑整”中的调整
在简算中，学生常常会碰到一些需要凑整的情况。如，576＋298。学生往往在把298看成300之后，不知该继续－2还是＋2，甚至有的同学出现576＋298＋2这样的错误。出现这些错误，归根结底是没有对凑整中进行调整的加减法含义理解透彻。有些同学对总结的“多加则减，多减则加；少加再加，少减再减”方法并不能灵活运用，原因也不外乎是对“多加、多减、少加、少减”的概念不清晰。因此，掌握这类简算的关键还是在于对变化规则的理解。
对于这样的加法题，学生较易接受的做法是在不改变总和的情况下，进行内部调整。如：思考576＋298时，就从576中送一个2给298（注意：不是借，说“借”这个词语比较容易让学生想到“还”），变成574＋300，这样清晰形象的内部调整颇受学生的欢迎。加法的含义是把几部分合并起来，“内部调整”的方法是把调整过的两个部分合起来，而“多加则减、少加再加”的方法则分成了三部分来处理，思维自然变复杂了。
减法的含义是从总数中去掉一部分，为了使减法含义更形象，可假设情景深入理解。如，在思考500－297时，可先假设一个购物付款时的情景。口袋中有500元钱，先要付款297元，该怎样付呢？学生都能立刻想到先付300元给营业员，然后营业员再找回3元放入口袋。这时，口袋中有原来剩下的200元和后来找入的3元，共203元。在假设完情景后，最重要的是把情景再现，并边再现情景，边把情景中的实际操作转化为数学符号来表示。付出300元即－300；找回3元即＋3，这样原题就写成了500－300＋3。
三、用运算的含义理解减法和除法的性质
深入理解运算的含义，还可以用来理解和灵活运用一些平时不常见的特殊的简算方法。如减法的性质a－b－c=a－（b＋c）；除法的性质a÷b÷c=a÷（b×c）；同级运算中运算顺序的合理调整a＋b－c=a－c＋b，a×b÷c=a÷c×b；以及以上所有运算律、运算性质的推广情况等。
追本溯源，从运算的基本含义入手，帮助学生弄清算法的来龙去脉，在理解算理的基础上思考简算的方法，是追求思维深刻性的一种体现。也只有掌握了这些根本性的道理，学生才可以做到以不变应万变，灵活使用简便计算的方法