小班小兔乖乖主题说明:2010全国中考数学试题汇编:压轴题(二)及答案
2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(二)
请解答下列问题:
(1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ;
(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合;
(3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?
② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)
(3)①当点
∵
∴△
又∵
由
当点P在线段
当点P在线段
过P作
∵
∴
在Rt△
即
∵
将△
△
∵
C点坐标为(
过
则△
由
根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点
24.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:
(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的
直线为
① 若
(1, 2),求点N的横坐标;
② 若
坐标的取值范围.
解:(1)∵ 点A
∴ 抛物线C1的解析式为
设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) .
(2)①如图1,
∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=
设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,
由△MEG∽△MHN,得
∴
∴ 点N的横坐标为
直线
过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,
设N(x,0),
∵ A (2, 4), ∴ G (
∴ NQ=
∵ △NGQ∽△NMF,
∴
∴
当点D移到与点B重合时,如图3,
直线
此时点N的横坐标最小.
∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),
设N(x,0),
∵ △BHN∽△MFN, ∴
∴
∴ 点N横坐标的范围为
24. (丽水市卷)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=
(2) 如果抛物线
① 当
在这条抛物线上?并说明理由;
② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不
可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;
若不存在,请说明理由.
解:
由此,可求得点C的坐标为(
点A的坐标为(
∵ A,B两点关于原点对称,
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得
∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上. ……2分
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(
点A的坐标为(
经计算,A,B两点都不在这条抛物线上. ……1分
(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在.m的值是1或-1. ……2分
(
20.(益阳市)如图9,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(-2,0),B(6,0),C(0,3).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)过C点作CD平行于
(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由.
解:⑴ 由于抛物线经过点
解得
∴抛物线的解析式为
⑵
直线
直线
由
求得交点
⑶ 连结
又∵
∴
∴四边形
26.(丹东市)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4).
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B, 点H的对应点为C);
(2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;
解:(1) 利用中心对称性质,画出梯形OABC. 1分
∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,
∴A(0,4),B(6,4),C(8,0) 3分
(写错一个点的坐标扣1分)
(2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为
∵抛物线过点A(0,4),
∴
将B(6,4), C(8,0)两点坐标代入关系式,得
解得
所求抛物线关系式为:
(3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8-m. 8分
∴
∵
又∵0<m<4,∴不存在m值,使S的取得最小值. 12分
(4)当
25.(威海市12分)
(1)探究新知:
①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点.
②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由.
(2)结论应用:
如图③,抛物线
﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚
解:﹙1﹚①证明:分别过点M,N作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F.
∴ 四边形ABCD为平行四边形.
∴ AB∥CD.
∴ ME= NF.
∵
∴ S△ABM= S△ABN. ……………………………………………………………………1分
②相等.理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.
∵ AD∥BE,
∴ ∠DAH=∠EBK.
∵ AD=BE,
∴ △DAH≌△EBK.
∴ DH=EK. ……………………………2分
∵ CD∥AB∥EF,
∴
∴ S△ABM= S△ABG. …………………………………………………………………3分
﹙2﹚答:存在. …………………………………………………………………………4分
解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为
又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得
∴ 该抛物线的表达式为
∴ D点坐标为(0,3).
设直线AD的表达式为
∴ 直线AD的表达式为
过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为
∴ CH=CG-HG=4-2=2. …………………………………………………………6分
设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为
过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为
①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚,
则PF=
∴ EP=EF-PF=
∴
解得
当
∴ E点坐标为(2,3).
同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. ………………………………8分
②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚,
则
∴
当
当
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);
﹙其他解法可酌情处理﹚
24.(荆门市本题满分12分)已知:如图一次函数y=
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
解:(1)将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=
(2)设C(x0,y0),则有
由图可知:S=S△ACE-S△ABD.又由对称轴为x=
∴S=
当P为直角顶点时,如图:过C作CF⊥x轴于F.
∵Rt△BOP∽Rt△PFC,∴
整理得a2-4a+3=0.解得a=1或a=3
∴所求的点P的坐标为(1,0)或(3,0)
综上所述:满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分
(3)设符合条件的点P存在,令P(a,0):
23.(济宁市10分)
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点
解:(1)设抛物线为
∵抛物线经过点
∴抛物线为
(2) 答:
证明:当
∴
设⊙
∵
又∵
∴
∵抛物线的对称轴
∴抛物线的对称轴
(3) 解:如图,过点
可求出
设
∴
∵
∴当
此时,
22.(中山市)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.
24.(青岛市本小题满分12分)已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.
解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°,
∴∠EQC = 45°.
∴CE = CQ.
由题意知:CE = t,BP =2 t,
∴CQ = t.
∴AQ = 8-t.
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB = 10 cm .
则AP = 10-2 t.
∴10-2 t = 8-t.
解得:t = 2.
答:当t = 2 s时,点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
(2)过P作
∴
在Rt△ABC和Rt△BPM中,
∴
∵BC = 6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t.
∴y = S△ABC-S△BPE =
=
∵
∴当t = 3时,y最小=
答:当t = 3s时,四边形APEC的面积最小,最小面积为
(3)假设存在某一时刻t,使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作
∵
∴
∴
∴
∵NQ = AQ-AN,
∴NQ = 8-t-(
∵∠ACB = 90°,B、C(E)、F在同一条直线上,
∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN,
∴△QCF∽△QNP .
∴
∵
解得:t = 1.
答:当t = 1s,点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
22、(南充市)已知抛物线
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,抛物线
(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F.
解:(1)抛物线
∵ 抛物线上不同两个点E
∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称,则
∴ 抛物线的解析式为
(2)抛物线
∴ AB=
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°,
在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°,
在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°.
∴ ∠BCM=∠AMD.
故 △BCM∽△AMD. ……..(4分)
∴
故n和m之间的函数关系式为
(3)∵ F
∴
化简得,
即F1(-2,0)或F2(-4,-8). ……..(6分)
①MF过M(2,2)和F1(-2,0),设MF为
则
直线MF与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1).
若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=
若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=
②MF过M(2,2)和F1(-4,-8),设MF为
则
直线MF与x轴交点为(
若MP过点F(-4,-8),则n=4-(
若MQ过点F(-4,-8),则m=4-
故当
24. ((衢州卷)本题12分)
(1) 当点B在第一象限,纵坐标是
(2) 如果抛物线
① 当
② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
由此,可求得点C的坐标为(
点A的坐标为(
∵ A,B两点关于原点对称,
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得
∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上. ……2分
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(
解:(1) ∵ 点O是AB的中点, ∴
设点B的横坐标是x(x>0),则
解得
∴ 点B的横坐标是
(2) ① 当
以下分两种情况讨论.
情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为
点A的坐标为(
经计算,A,B两点都不在这条抛物线上. ……1分
(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在.m的值是1或-1. ……2分
(
24.(莱芜市本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线
(1)求此抛物线的解析式;
(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于
解:(1)∵抛物线
∴
∴抛物线的解析式为:
(2)易知抛物线的对称轴是
∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8. …………………………4分
连结DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M.
在Rt△MFD中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=
∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. …………………………6分
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点
∴
设点
则点N坐标为
即
解得:m1=-3, m2=2(舍去).
当m=-3时,
∴此时点P的坐标为
②若PN︰GN=2︰1,则PG︰GN=3︰1, PG=3GN.
即
解得:
∴此时点P的坐标为
综上所述,当点P坐标为
24. (舟山卷 本题12分)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=
(1) 当点B在第一象限,纵坐标是
(2) 如果抛物线
① 当
② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
解:(1) ∵ 点O是AB的中点, ∴
设点B的横坐标是x(x>0),则
解得
∴ 点B的横坐标是
(2) ① 当
以下分两种情况讨论.
情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为360docimg_501_,
360docimg_502_360docimg_503_. ……1分
由此,可求得点C的坐标为(360docimg_504_,360docimg_505_), ……1分
点A的坐标为(360docimg_506_,360docimg_507_),
∵ A,B两点关于原点对称,
360docimg_508_∴ 点B的坐标为(360docimg_509_,360docimg_510_).
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得360docimg_511_,即等于点A的纵坐标;
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得360docimg_512_,即等于点B的纵坐标.
∴ 在这种情况下,A,B两点都在抛物线上. ……2分
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(360docimg_513_,-360docimg_514_),
点A的坐标为(360docimg_515_,360docimg_516_),点B的坐标为(360docimg_517_,360docimg_518_).
经计算,A,B两点都不在这条抛物线上. ……1分
(情况2另解:经判断,如果A,B两点都在这条抛物线上,那么抛物线将开口向下,而已知的抛物线开口向上.所以A,B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在.m的值是1或-1. ……2分
(360docimg_519_,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点C在x轴上,此时A,B两点都在y轴上.因此当m=±1时,A,B两点不可能同时在这条抛物线上)
25.(2010.十堰)(本小题满分10分)已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0
(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.
(2)若关于x的二次函数y= mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.
(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围.
解:(1)分两种情况讨论:
①当m=0 时,方程为x-2=0,∴x=2 方程有实数根
②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式
△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0
不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根
综合①②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.
(2)设x1,x2为抛物线y= mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2=360docimg_520_,x1·x2=360docimg_521_
由| x1-x2|=360docimg_522_=360docimg_523_=360docimg_524_=360docimg_525_,
360docimg_526_由| x1-x2|=2得360docimg_527_=2,∴360docimg_528_=2或360docimg_529_=-2
∴m=1或m=360docimg_530_
∴所求抛物线的解析式为:y1=x2-2x或y2=360docimg_531_x2+2x-3
即y1= x(x-2)或y2=360docimg_532_(x-2)(x-4)其图象如右图所示.
(3)在(2)的条件下,直线y=x+b与抛物线y1,y2组成的图象只有两个交点,结合图象,求b的取值范围.
360docimg_533_,当y1=y时,得x2-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-4;
同理360docimg_534_,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-12.
观察函数图象可知当b<-4或b>-12时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.
由360docimg_535_360docimg_536_
当y1=y2时,有x=2或x=1
当x=1时,y=-1
所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线y=x-2,
综上所述可知:当b<-4或b>-12或b=-2时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.