嗜血狂袭图片男主角:第十一讲 不定方程（一）

　　先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。他对小王说，我左、右两个手心里各写一个整数，它们的和是10，你能猜出我左、右手心各写的是什么整数吗？我允许你猜三次呢！小王满有信心地说：能行。于是小王连猜了三次。

　　第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对。

　　第二次猜：左手心写的是5，右手心写的也是5，老师又说不对。

　　第三次猜：左手心写的是8，右手心写的是2，老师还是说不对。

　　同学们请想一想，如果换一位同学去猜猜一定能猜出吗？

　　细心的同学可能已经想到，两个整数的和为10，这样的

　　整数有好多对，除了小王猜过的（9，1）（5，5）（8，2）之外，还有（7，3）（6，4）（10，0）以及左、右手互换后的（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（0，10）等共有11对，满足条件，不要说请三次，就是猜了十次，还有一组没猜到，老师可以说在左、右手心里写的恰好是没猜到的那一组。

　　如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程x+y=10

　　由于未知数的个数多于一个，而且是要求这个方程的整数解，这种方程称为不定方程。

　　让我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段？

　　由于总长度为158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩余的长度是否恰好是8米的整数倍。

　　这个办法是将17米长的水管可取的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种办法称为穷举法。当可取的情况很多时，这种办法当然不能令人满意，但当情况较少时，还是可行的。

　　如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可列出方程

　　17x+8y=158 （1）

　　本题要求这个方程的正整数解。

　　我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为：

　　8y=158-17x （2）

　　8y=152+6-16x-x （3）

　　由于152和16x均为8的倍数，因此6-x也应是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代x从（2）中可算出y=7。

　　故17米水管用了6根，8米水管用了7根。

　　也可由方程（2）两端同除以8得

这种解法叫做整数离析法或整数分离法。

　　象上面讲到的17x+8y=158，这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

　　一般地，形如ax+by=c的方程，其中a、b、c为整数，且a、b均不为零，称为未知数x、y的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数或正整数解。

　　对于上述方程，通常要考虑下面几个问题：

　　1.a、b、c是什么样的整数时，方程有整数解或无整数解？

　　2.如果有解，将有多少解？是否有解的统一表示办法？

　　3.如何求出所有解？

　　我们曾用整数离析法求出17x+8y=158的一组正整数解x=6，y=7。是否还有其它的正整数解呢？

　　以上三个问题已全部解决，下面将通过例题把主要结论介绍给同学们。

　　如求二元一次不定方程。

　　3x+9y=23

　　的整数解。

　　容易看到等号左端当x、y为整数时，为3的倍数。但23却不是3的倍数，故左、右两端不可能相等，故方程无整数解。

　　一般的，当（a，b）|c时，ax+by=c无整数解，理由是当x、y为整数时，左端为（a，b）的倍数，但右端却不是（a，b）的倍数，所以原方程无整数解。

　　再看二元一次方程

　　6x+9y=21

　　由于（6，9）=3，而3|21，这种条件下，方程有无整数解呢？

　　在方程两端同除以（6，9）=3，得

　　2x+3y=7

　　容易看出，x=2，y=1就是这个方程的一个解，由于知识的限制，现在所学的整数只有零和自然数。在此范围内，方程可能只有一个或几个解，甚至可能没有解，但如果数的范围加入了负整数，那么只要（a，b）|c，就一定有解。

　　例如21x+18y=3这个方程中，（a，b）=（21，18）=3，（a，b）|c即（21，18）=3|3。

　　方程可变为7x+6y=1，这个方程在零和自然数范围内无整数解，在中学学习了负数概念后，还可找到方程的整数解，在本讲中我们只讨论用小学知识可求解的题目，但给出的公式却具有一般性。

　　在ax+by=c中，如（a，b）|c，那么在方程两端同除以（a，b）后得

　　其中t可取任意整数（包括负整数）

　　如求方程4x+3y=17的所有整数解。

　　由于（4，3）=1，1|17。故这个方程肯定有整数解。

　　容易看到x=2，y=3，是方程的一个解，那么4x+3y=17的所有解为

　　t为任意整数。

　　当t=0时的解即为x=2，y=3，但当t为正整数时，x为正整数，y却不是正整数了。

例1 大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。

分析：设需大车x辆，小车y辆，可得方程

　　54x+36y=378

　　由（54，36）=18，18|378，原方程可化为

　　3x+2y=21

　　且一定有整数解。

　　容易看到x=1，y=9就是3x+2y=21的整数解，那么，3x+2y=21的所有整数解为

　　t为任意整数。

　　3x+2y=21除t=0时，有整数解x=1，y=9之外，

　　当t=1时，有整数解x=3，y=6。

　　当t=2时，有整数解x=5，y=3。

　　当t=3时，有整数解x=7，y=0。

　　因此，可要大车1辆，小车9辆；或大车3辆，小车6辆；或大车5辆，小车3辆；也可只要7辆大车，不要小车，都能使378名乘客都上车且车都坐满。

　　当t≤4时，由于y不再是0和正整数，从而使解失去实际意义。

例2 解不定方程

　　31x+47y=265

　　由于（31，47）=1，1|265，故方程肯定有整数解，但要想看出一组整数解，却并不容易，又不愿意让x依次取0，1，2，3，……设法求y的一个个对应值。

　　让我们还是用整数分离法求方程的整数解。

　　将原方程变形为：

　　31x=265-47y

　　将 k=16t-1代入（2）中，得

　　 y=1-2（16t-1）+t

　　=1-32t+2+t

　　=3-31t

　　将k=16t-1，y=3-31t代入（1），得

　　x=8-（3-31t）+16t-1

　　x=47t+4

　　即原方程解为

　　其中t为任意整数。

　　从上式可看出x=4，y=3为原方程的一组正整数解。

　　y将得不到0或正整数，故x=4，y=3为唯一的一组正整数解。

例3解不定方程

　　5x+7y=978（1）

　　并求正整数解的个数。

解：由（5，7）=1，1|978，原方程有整数解。

　　由（1）5x=978-7y

　　2t=1-k

　　k=1-2t

　　将k=l-2t代入（3）得

　　y=1-2（1-2t）+t

　　y=5t-1

　　将k=1-2代入（2）得

　　x=195-（5t-1）+k

　　x=195-（5t-1）+（1-2t）

　　x=197-7t

　　即（1）的解为

　　t为任意整数。

　　要求得正整数解，需要

　　满足这个条件的整数t有1，2，3，……28，故原方程应有28组正整数解。

　　如t=1时，x=190，y=4；

　　t=2时，x=183，y=9

　　…………………………

　　t=28时，x=1，y=139

　　从以上几例可知；二元一次不定方程的正整数解的组数多少并不固定。

　　先从一个古代问题谈起

　　“一百马，一百瓦，大马驮三，中马驮两，两个小马驮一片瓦，最后不剩马和瓦，问有多少大马、中马和小马？”

解：设大马、中马、小马分别有x匹、y匹、z匹。

　　由题意可列出方程，由马有100匹

　　x+y+z=100 （1）

　　由瓦有100片

　　由（1）（2）组成的三元一次方程组，比起二元一次方程多了一个方程，多了一个未知数，设法消去一个未知数化为二元一次方程，求解后再求出消去的第三个未知数的值

　　由（2）得

　　6x+4y+z=200 （3）

　　（3）-（1）得

　　5x+3y=100 （4）

　　由（5，3）=1，1|100，（4）有整数解。

　　由3y=100-5x

　　y为整数，故3|20-x。

　　当x依次取2，5，8，11，14，17，20时，y依次得30，25，20，15，10，5，0。

　　代入（1）得，z=68，70，72，74，76，78，80。

　　即有七组解

　　不过y=0说明不用中马，作为求正整数解可不考虑。

例4 如果一只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅，某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只，问其中鸡、鸭、鹅各多少只？

解：设鸡、鸭、鹅的数目分别为x、y、z。

　　由一只兔可换2只鸡，那么一只鸡可换1/2只兔，二只兔可换3只鸭，那么一只鸭可换2/3只兔，5只兔可换7只鹅，那么一只鹅可换5/7只兔。

　　按题意可知

　　（其中方程（2）表示x只鸡、y只鸭、z只鹅共可换得20只兔）

　　（2）可化为 21x+28y+30z=840 （3）

　　将（1）化为 21x+21y+21z=630 （4）

　　（3）─（4）得 7y+9z=210 （5）

　　k=2t

　　将k=2t代入（7）得

　　z=3（2t）+t=7t

　　将k=2t，z=7t代入（6）得

　　y=30-7t-k

　　y=30-7t-2t=30-9t

　　将y=30-9t，z=7t代入（1）得

　　x=30-y-z

　　x=30-（30-9t）-7t

　　x=2t

　　若要求正整数解，需要

　　t可取1，2，3。

　　当t=1，2，3时，有解

　　如对原题细心研究，就会发现如下关系：如鸡增加2只，鹅增加7只，鸭减少9只。

　　即并不影响兔仍为20只，这说明如能求出问题的一个解（x、y、z的一组值），将鸡增加2只，鹅增加7只，鸭减少9只后仍是一组解，即x+2，y-9，z+7也是解。

　　由于2只兔可换3只鸭，20只兔可换30只鸭，即x=0，y=30，z=0是原方程的一个解。

　　那么，x=2，y=21，z=7（鸡增2，鸭减9，鹅增7）

　　x=4，y=12，z=14

　　x=6，y=3，z=21

　　都是原方程组的正整数解，且正整数解只有上面这三组解。

　　1.将118写成两个整数的和，使一个整数为11的倍数，另一个整数为17的倍数。

　　2.求不定方程

　　5x-14y=11

　　的最小正整数解。

　　3.解不定方程

　　7x+11y=1288

　　并求正整数解的组数。

　　4.大小两种盒，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，问要大、小盒各几个才能将巧克力全部装入盒内，且每盒都装满。

　　5.求三元一次方程组

　　6.在1500年前的“张立建算经”里，曾提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”

　　7.用整数离析法求不定方程

　　5x-3y=-7

　　的一组正整数解并写出全部解的表示式，这个方程有多少组正整数解？

　　8.由一个同学把他出生的月份乘以31，再把出生的日期乘以12，然后加起来，把总数告诉你，你能准确推算出他的生日吗？

　　如果小李告诉你的是170，小李的生日是哪一天？

　　9.甲说：“我和乙、丙共有100元”，乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的1/3，丙的钱不变，我们三人仍有钱100元”，丙说：“我的钱连30元都不到”，问三人原来各有多少钱？

　　10.小赵买胶卷要付19元，但小赵身上的钱全是两元一张的，商店的钱全是五元一张的，问小赵怎样付钱，商店如何找钱？