大便是白色的是咋回事:河图洛书 数学奥秘

来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/28 06:10:39
关于[河图洛书的数学奥秘（一）]的字幕:
  • 今天讲河图洛书的数学奥秘上河图洛书探秘之河图洛书的数学奥秘（一）
  • 古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯有一段著名的话，“庞大、万能和完美无缺，是数字的力量所在。它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱的和黑暗的。”——菲洛劳斯
  • 他说：“庞大、万能和完美无缺，是数字的力量所在。它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱的和黑暗的。”我非常喜欢这段话，因为这段话，它指出了数学的神奇与奥妙。人类有了数字的概念，这是人类最初从动物界分离出来，而成为人的重要标志之一。有了这一步，
  • 人类才意识到自己的聪明和智慧，并且为进一步开发智慧奠定了基础。中国古代的科学技术在数学方面有辉煌的成就，其中在河图洛书问题上的表现，是最早的也是最重要的成果之一。
  • 首先谈第一个问题，河图洛书的数字构成原理。
  • 河图洛书的表现形式是数字关系，它们必然反映着我国古代的数学水平。其中河图与洛书的数字构成原理，本身就是一个非常奇妙的问题。
  • 首先谈第一点，河图的数字构成原理。河图的数字排列状态，南宋朱熹《易学启蒙》中的一与六共宗而居乎北，二与七为朋而居乎南，三与八同道而居乎东，四与九为友而居乎西，五与十相守而居乎中。 ——南宋·朱熹《易学启蒙》（图1朱熹）
  • 表述是“一与六共宗而居乎北，二与七为朋而居乎南，三与八同道而居乎东，四与九为友而居乎西，五与十相守而居乎中。”这个就是这样的意思，这是这个河图图，河图这个图。个用数字来表示位置关系，就是把它写成数字就是这样子。这就是朱熹所说的
  • “一与六共宗而居乎北，二与七为朋而居乎南，”这是上是南方，“三与八同道而居乎东，四与九为友而居乎西，五与十相守而居乎中。”这就是河图的数字状态排列。
  • 河图这样的状态是怎样生成的呢？就是说它的排列过程，所依据的是什么规则呢？这个问题，清代李光地《周易折中》卷二十一“启蒙附论”部分，把这一排列过程表述为“阳动阴静”与“阴静阳动”——清·李光地 《周易折中》“阳动阴静”与“阴静阳动”的法则。
  • 意思是说，一到十这十个自然数当中奇数为阳 偶数为阴一到十这十个自然数当中，奇数为阳，偶数为阴，河图与洛书都是由奇数与偶数进行有规律的变化而形成的。那先看那个李光地所说的阳动阴静“阳动阴静”，就是这样一个意思，李光地认为这个河图的图这个数字排列构成
  • 它就是十个数字，五和十居中央，然后四个方向，从一开始从上，从上面开始排，一方两个数，从外向内。然后按顺时针，就是往右转，一二从外向内，然后三四从外向内，六七从外向内，八九从外向内。
  • 这八个数这样分布，分布于四方。所以阳动阴静，就是这样排好之后，一和七是阳数，阳动，就是单数动一和七交换位置，这个一本来在上面挪到下面，七本来是下面移到上面。左右三和九动，
  • 交换位置。这个三和九这样交换一下，这样交换的结果，下边是一六居乎北，二七居乎南，三八居乎东，四九居乎西。这就是成了河图的数字排列了。所谓“阳动阴静”就这个意思。就是单数动双数不动。“阳静阴动”“阳静阴动”，正好和这相反。
  • 排列的方法，是从下往起排，从下方开始排，是从内到外排。就是一二，这是三四，六七、八九。这个起点不一样，从下方开始也是顺时针排，这个排法。排好之后，阳静阴动就是阳不动了阴动，
  • 就是单数不动了双数动。双数动，二和六这么交换位置，对交换位置。这个四和八交换位置，这一交换之后，二和六交换位置，四和八交换位置。交换了之后，就成了河图的数字排列了。一六在下，二七在上，三八在左，四九在右。这就是李光地所总结的
  • “阳动阴静”和“阳静阴动”的这么一个规则。这就指出了河图的数字生成过程。下面看第二个问题，二 洛书的数字构成原理洛书的数字构成原理。这个首先看洛书的数字排列状态。“二九四，七五三，六一八”——《大戴礼记》
  • 《大戴礼记》的表述是“二九四，七五三，六一八”东汉徐岳他有一本数学著作叫《数术记遗》，论述了九宫的原理和特点。南北朝时期北周有一位甄鸾，叫甄鸾的为徐岳的《数术记遗》作注释，
  • 他解释徐岳所认为的九宫的原理。他这样描述：“九宫者，“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”—— 甄鸾即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”这个就是这样的图。这个洛书的数字排列就是二、九、四，七、五、三，六、一、八。
  • “二四为肩”就是二和四像一个人两个肩膀的位置。“六八为足”足就是脚，就是像两个人的脚的位置。“左三右七，戴九履一”，戴就是戴帽子，戴头上。履就是穿的鞋，在下面。他这是描述洛书数字排列的状态，有这样的几句话，
  • 很容易记忆，也非常形象，一下子就记住了。这个洛书这样的九个数字这样排列，排列成这样一个状态，每一横行，每一竖列，两条对角线，三个数字之和都等于十五。 （ 图10）它每一横行，每一竖列和两条对角线，每一组三个数字之和都等于十五。所以这样的图形，可以说是非常奇妙的。这样的方阵，数字方阵，
  • 纵与横每一行、每一列加上对角线，每一组数字之和都相等，这种数学现象就叫做“幻方”。幻方现在国际数学界早已公认，中国古代的洛书，是世界上最早出现的幻方。中国古代的洛书，是世界上最早出现的幻方。这是最简单的3阶幻方，3阶幻方
  • 洛书所表示的这样的3阶幻方，是怎样生成的呢？这就说洛书的数字排列它的过程是怎样形成的呢？南宋时期，我国有一位著名的数学家叫杨辉，杨辉 南宋数学家杨辉在中国数学史上是非常重要的一个人物。他对幻方的研究，取得了重要进展。
  • 在他所著的《续古摘奇算法》这本书中，讨论了河图和洛书的数学问题。其中对于洛书所表示的3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律。杨辉的表述是：九子斜排 上下对易左右相更 四维挺出——南宋·杨辉《续古摘奇算法》“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”
  • 这么四句话，我们看这个图。所谓“九子斜排”就是从一到九这九个数，从左上到右下斜着排下来，
  • 就是一二三、四五六、七八九这叫“九子斜排”。然后“上下对易”就是一和九对调位置，对调位置，这个“左右相更”左右两个数“更”，“更”也是易就是也对调位置，就是七和三对调位置，对调位置，然后“四维挺出”，
  • 四维就是四个角上这四个数。“挺出”往四个方向挺出去，挺一下。所以这就是这四句话的意思，这不一“挺出”之后就成了这个洛书的数字排列。二、九、四、七、五、三、六、一、八。所以杨辉所总结的
  • 洛书的数字生成过程非常奇妙，在古代的一些著作当中，都对他这种概括给予称赞，非常简捷而且非常容易记住。到了清代，李光地的《周易折中》这本书当中，就刚才提到的这本书当中，他也把杨辉所概括的
  • 这种排列方法也用“阳动阴静”和“阴静阳动”这样的词来表述，和李光地表述河图的生成那个过程是一样的，也用这样的一个词语来表述。杨辉所说的“上下对易、左右相更”表述为“阳动阴静”，因为上下左右这四个数
  • 都是单数，就都是阳数。“对易”和“相更”就是互相对调位置，是动。二四六八这四个数不动，这叫静。他把杨辉这样的表述方法概括为就是“阳动阴静”，这样的一个规则。在这个动静过程完成之后
  • 然后再“四维挺出”，就成了洛书的这种排列。但是同时，李光地还有一个提法，他就是在排列方法上面和杨辉的说法又有变化，略有变化，他这样排列，从下方排，
  • 从下往左上方这样排，正好和刚才那种排法相反。一二三、四五六、七八九，这样反着排，排列好之后，就是李光地所说的“阳静阴动”，四个单数不动，
  • 四个双数互相交换位置，就是这样交换位置。八和二交换，四和六交换。这样交换之后，然后再“四维挺出”，往四个方向挺出一些，就成了二、九、四、七、五、三、六、一、八。所以这是这个，李光地他总结的，
  • 他总结的方法。所用的词语“阳动阴静”或者“阳静阴动”和刚才他总结的河图的数字排列过程，基本上是一致的，只不过是由于河图和洛书它数字不同所以它在形成的过程上略有差别。
  • 所以从刚才所谈到的河图和洛书的数字构成原理来看，这样的一种构成是非常奇妙的，就是无论是从这个状态的这个形式，还是这个生成这个过程的这种情况，都是非常奇妙的，非常有趣的。
  • 下面谈第二个问题，用洛书原理构造所有的奇数阶幻方用洛书原理构造所有的奇数阶幻方。这也是我在讲这一讲当中我认为是重点的问题。如前所述，洛书是世界上最早出现的一种3阶幻方洛书是世界上最早出现的一种3阶幻方。这是中国古代文明的骄傲，
  • 并且已经得到了全世界的公认。当代西方数学家赖塞在1962年出版的一种权威性的数学著作，开头就写道：“中国的大禹，在公元前2200年在一只神龟的背上看到了如下幻方，他用阿拉伯数字表述那就是294，753，618”
  • 可见这个西方的著名数学家他谈到这个问题时候，都承认中国古代这个洛书的出现是最早的幻方。根据有关资料记载，中国之外最早研究幻方的学者塔比伊本库拉（约826—901）阿拉伯数学家 天文学家 物理学家医学家 哲学家是阿拉伯的塔比·伊本，他生活于公元9世纪，就相当于中国的唐代后期。
  • 后来到了15世纪，就是相当于中国的明代中期，印度有一个人叫穆晓普鲁斯，他才把这个幻方的知识介绍到欧洲。可见欧洲人了解幻方这种形式，是比中国要晚得太多了。幻方在当代数学中称为组合数学，
  • 是数论的一个分支，是研究“安排”的一门学科。幻方在数学领域属于数论的组合学部分。其定义可以这样表述：幻方：在n×n的方阵中，放入从1到n2个数，在一定的布局下，其各行、各列及两条对角线上的每一组数字之和都相等。这个和数叫“幻方常数”或者称“幻和”。所谓幻方就是在n×n的方阵中，放入从1到n2个数，
  • 在一定的布局下，其各行、各列及两条对角线上的每一组数字之和都相等。这个和数叫“幻方常数”或者称“幻和”。洛书所表示的3阶幻方，其幻方常数等于15。当代对幻方的研究
  • 已经达到了非常高的水平，有很多专著，很多这方面专著。最新的结论是，阶数大于2的幻方都是可以做出来的。就是任意数，不管这个数多大，如果排成这个n×n的方阵，从1到n2这个数把它填满，就都可以构成这样的幻方。
  • 当然幻方的排列方法也是非常多的，高阶次幻方，3阶以上幻方种类也是非常多的。据有关书籍介绍4阶幻方的基本形式有八百八十种5阶幻方的基本形式有两亿多种6阶以上的幻方种数数目非常大4阶幻方的基本形式有八百八十种，5阶幻方的基本形式就有两亿多种，6阶以上的幻方种数，数字是非常大的。
  • 幻方的研究有许多专门的著作。我们这里要讨论的问题是什么呢？用洛书的基本构图规则可以破解各种高阶次的幻方就是用洛书的基本构图规则，可以破解各种高阶次的幻方。就是我们谈的是与我们的洛书有关的问题。我这里要讲的有两种方法，方法一：用杨辉所概括的洛书的构图规则破解奇数阶幻方。第一种方法
  • 就是用杨辉所概括的洛书的构图规则破解奇数阶幻方。因为这个洛书的这种简单的幻方形式是3阶，3是奇数，所以根据洛书的规律，所有的奇数阶幻方都可以利用洛书的构图规则来构成。刚才说的这个洛书的
  • 构图基本规则，就是杨辉所概括的那几句话，九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”就是刚才所谈到那种情况。现在如果我们把这样一种规则加以推广，为了解决所有的奇数阶幻方的问题，就是这个规律，洛书所反应的这个规律能不能具有普遍性，
  • 能不能适合于其它各种奇数阶幻方呢？我们就来探讨这样的问题。为了探讨这个问题，我们不如把刚才杨辉所概括的那种方法稍加变化。怎样变化呢？我们用阿拉伯数字来表示，“九子斜排”就是1、2、3、4、5、6、7、8、9，
  • 然后“上下对易，左右相更”这就是“对易”、“相更”之后，换了位置，杨辉说“四维挺出”就是把这个2、4、6、8这4个数向四个方向“挺出”。我们把这句话加以变化。怎么变化呢？在这个“九子斜排”之后，我们可以看见中间可以形成一个方阵。
  • 如果不把它2、4、6、84个数四维挺出。我们把这个方阵之外的四边，边上的4个数推进去，推入，压到里面去，实际上是一样的。把2、4、6、8往四个方向挺出，构成294，753，618。我们把中间去掉方阵之后，把四边边上那个数，
  • 往里面推进去，推进去，推到这个两个数之间的空格中间。这样一推进去之后，也同样是294，753，618。为什么要进行这样一个变化呢？这就是为了让这种规律适应3阶以上的所有的情况。
  • 我在开始看到这个问题的时候，我感到是非常奇妙的，非常奇妙的。所以我们把刚才这一点稍加变化之后，我们就对杨辉的这个几句话，我们可以做这样的改动。九子斜排，上下对易 ，左右相更，四维挺出。→九子斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。就是“九子斜排，中间取方，
  • 上下对易，左右相更，四边嵌入。”这个嵌就是镶嵌的嵌。如果用这样的方法，这样方法如果成立的话，对待3阶以上的幻方，我们把这一句话形成一个口诀，实际上就是一个规律，这样表述叫做“NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。”对易嵌入法口诀：NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。
  • 这就是我所认为的根据洛书的基本原理，这样改建之后，它就成为一种普通的规律，适用于各个阶次的奇数阶幻方，就是各个高阶次的奇数阶幻方。
  • 为了说明这个问题，我们首先看比3阶，在高一点的奇数阶就是5阶，这个5阶幻方，怎么用这样几句话来做出来。来做出来，所谓NN斜排就是五五斜排了。因为对3来说它是三三斜排，对这个5阶幻方来（说）
  • 就是五五斜排。就是这样一个图形，1、2、3、4、5，一组数是5个，6、7、8、9、10，然后15、20、25，这样排成五行了，排成五行。所谓“中间取方”，就在中间取一个五，边为五的这样一个方阵，
  • 从这“中间取方”就这样一个意思。“上下对易，左右相更”，怎么体现呢？就是我们把所取的这个方阵每边之外的这一块，整体的看作一个板块，看作一个板块，所谓“上下对易”，就把这个上下两个板块来交换位置。左手相更也是，把左右这两个
  • 每一个方阵以外的这几个数，看成一个板块，交换位置，交换位置之后四边嵌入，就是把这个四个板块，在交换位置之后，嵌到这个里面去。这个我们做一下，就可以看出来这个情况。所谓“上下对易”，
  • 就是把上边这个板块拿下来，和下边这个板块拿到上边去对易，嵌入就是这样，整体这个板块，整体推入，这叫嵌入，嵌到这个空里头去。下面一样，整体推入，然后是左右同样，
  • 这一交换位置之后，整体推入，这叫“上下对易、左右相更、四边嵌入。”这样做了之后，就形成了一个这么一个方阵，
  • 这个方阵就是5阶幻方。这个可以验证一下，它的每一横行，每一竖列，和每一条对角线上的这一组五个数之和都相等，具有幻方的基本性质。好，这一节就讲到这里。
    • 关于[河图洛书的数学奥秘（二）]的字幕:
  • 今天讲的是河图洛书探秘之河图洛书的数学奥秘（二）河图洛书的数学奥秘。刚才讲到这个河图洛书的数字构成原理，又讲到第二个问题就是用洛书原理构造所有的奇数阶幻方用洛书原理，构造所有的奇数阶幻方。因为洛书是三阶幻方，
  • 洛书的这个数字构成过程有规律。把这个规律加以普遍化，可以构成所有的奇数阶幻方。刚才所介绍的这种方法对易嵌入法九子NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。就是“九子NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。”这种方法就叫做
  • “对易嵌入法”。通过这个对5阶幻方的演示，我们看到这个每边为5的这个正方形方阵。它这形成过程当中，用这种方法形成的过程当中，关键的问题，我们是把这个
  • 中间取得那个方阵之外的一组数看成一个板块，这一点非常重要。上下对易——两个板块，上下两个板块，整体对易，左右相更——左右两个板块整体相更。四边嵌入——四边四个板块整体嵌入。所谓“上下对易”，是两个板块，上下两个板块，整体对易，“左右相更”，是左右两个板块整体相更。“四边嵌入”，是四边四个板块整体嵌入。
  • 那就是把这个中间取定的正方形方阵之外的每一个三角形的板块，作为一个整体看待，一同移动，整体推进，这一点是非常重要的。这就是我所介绍的这种方法，这是关键的一点。刚才构成的那个5阶幻方，幻方常数等于65。
  • 这只是这个许许多多的5阶幻方的一种，因为5阶幻方有很多很多种形式。这里顺便说一下，就是这个幻方常数怎么样计算的？是怎样计算出来的？这里面有一个公式幻方常数用Pn表示 Pn=n（1+n2）如果幻方常数用Pn表示，
  • 那就是Pn=n（1+n2）。这个5阶幻方，具体到5阶幻方，那就是：5阶幻方：P5=×5×（1﹢52）1﹢52=26 26×5=130130×1/2=65P5=×5×（1﹢52），1﹢52就是26。乘5呢（等于）130，然后再1/2就是65，所以这是一个基本公式，就是计算幻方常数的基本公式。
  • 为了验证一下我所说的这个对易嵌入法的这个五句口诀，我们再来做一下7阶幻方。再来做一下7阶幻方，如果是7阶幻方的话，七七斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。那就是：“七七斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入”。
  • 大家看就是这样一个图，所谓“七七斜排”那就是以7个数为一组，1、2、3、4、5、6、7，然后8到14，然后9到21。然后43到49。就是七七这个，这一共是7条向下排。
  • 下排之后，中间取方就是，我们在中间取了一个七七的方阵，和刚才我们演示5阶幻方的情况是一样的。也就是和洛书那3阶幻方的情况也是一样的，中间取了一个七七的方阵。取了这个方阵之后，我们就把这个方阵之外的，这个边框以外的，这一个方向在这一组数，
  • 看作是一个板块，四边都是一样。所谓“上下对易”，就是上下两个板块整体对易，“左右相更”，就是左右两个板块整体相更。所谓“四边嵌入”，就是对应相更之后，这四个板块整体的推进。所以这就是根据我所说的，就是关键问题就是
  • 我们得把这个边框之外的这四个板块看成一个整体。这样来做，然后我们来演示一下。“上下对易”，就是把上下这两个板块一下拿过来，对易。“四边嵌入”，再往两边推入。
  • 这一下推入。左右两边也是一样，这边这个板块一下拿过来，整体嵌入。这边这一个板块，也整体拿过来，也对易嘛，这个交换之后，整体嵌入。
  • 这样根据这五句口诀，做完之后，对易嵌入之后，这个7阶幻方就形成了，就形成了。这个7阶幻方当然它是具有这个幻方的基本性质。就是每一横行，每一竖列，加上两条对角线，
  • 这任意7个数字之和都相等，都为幻方常数。当然这个幻方常数根据刚才介绍那个公式，Pn=n（1+n2）= ×7×（1﹢72）这个1﹢72，49（+1）是5050×7呢（等于）350350再乘个1/2那就是175就是：×7×（1﹢72）。这个1﹢72，49（+1）是50，50×7呢（等于）350，350再乘个1/2，那就是175。所以我们根据这样的公式，一下就可以把这个幻方常数就计算出来了。那就是说
  • 在这个我们所做出来的这个7阶幻方当中每一横行，每一竖列，每一条对角线7个数字之和都等于175。所以我认为这个，从我对5阶幻方和7阶幻方这种用对易嵌入法来做的这个过程，
  • 就可以很明确地知道，所有的奇数阶幻方都可以用这种方法，一下子就做出来。当然这种幻方，只是这种，这个比如说7阶幻方，只是这个许许多多的7阶幻方的一种形式。7阶幻方也可能有各种其它的形式。所以我们用这种方法来构造奇数阶幻方的时候，感觉这个非常容易。
  • 而且也非常有趣，这样一对易一推，新的幻方就做出来了，就具有这种性质，非常奇妙。为了更进一步明确这个问题，我们再看看9阶幻方。对9阶幻方我们就不一定再演示那个过程了，我们是主要是看一下那个结果。这个结果我这里有一个图，这就是用“对易嵌入法”
  • 所做出来的9阶幻方图，我为了表示所谓四个板块，“上下对易，左右相更”是怎么形成的。我把这个板块的这个数字，用不同的颜色来表示。下边这个红色就是本来在上面，是在这个方阵外面的，我们把它整体地移到下面推入，嵌入。这个黄的颜色本来是下边这个板块，
  • 移到上面之后整体嵌入。左右同样道理，所以我们从这个不同的颜色，可以看出这是四个边之外的四个板块整体嵌入的情形。所以这里只是说一下9阶用对易嵌入法所做的9阶幻方的这么一个结果。
  • 刚才说这个办法如果加以推广，我们可以尝试11、13、15、17、19、21等等等等。凡是边数为奇数的，不管这个数有多大，都可以用这样的“对易嵌入法”，做出这样的幻方。当然这做出的这个幻方，也都是这些高阶次幻方的一种形式。
  • 这就是我刚才介绍的第一种方法。用“对易嵌入法”来构造幻方。所有奇数阶幻方都可以用对易嵌入法得到下面我谈第二个方法用洛书的数字运行规则构造奇数阶幻方就是用洛书的数字运行规则，来构造奇数阶幻方。刚才说那种方法是从这个方位上来讲的。这个第二种方法
  • 是从次序上来讲的，次序。洛书中从一到九的排列次序，有一个什么规律呢？这就是汉代的许多谶纬书当中所讲的，有一种情况。有一种书叫做《周易乾凿度》，
  • 其中议论九宫问题时说：“太一取其数以行其九宫，四正四维，皆合于十五。”——《周易乾凿度》“太一取其数以行其九宫，四正四维，皆合于十五。”就是指洛书那个方阵。九宫的排列就是洛书。东汉末年，郑玄为《周易乾凿度》这本书作注释，在这段话之后他有一段解释，
  • 郑玄说：“太一者，北辰之神名也。”就是“太一”是一个神名，实际上就是玉皇大帝就是天神，就是太一神就是天神。他居（住）这个地方，就是那个紫微垣，紫微垣大概就在北极星那个位置，北极星附近那个位置。所以郑玄这句话就是说：
  • “太一者，北辰之神名也。居其所曰太一，常行于八卦日辰之间，曰天一，或曰太一。出入所游息于紫宫之内外，其星因以为名焉。天一下行，
  • 犹天子出巡狩省方岳之事，每率则复太一。下行八卦之宫，每四乃还于中央。中央者，北辰之所居，故因谓之九宫。天数大分，以阳出，以阴入，阳起于子，阴起于午。是以太一下九宫，从坎宫始。”——东汉·郑玄《周易乾凿度》注释“太一者，北辰之神名也。居其所曰太一，常行于八卦日辰之间，曰天一，或曰太一。出入所游息于紫宫之内外，其星因以为名焉。天一下行，犹天子出巡狩省方岳之事，每率则复太一。下行八卦之宫，每四乃还于中央。中央者，北辰之所居，故因谓之九宫。天数大分，以阳出，以阴入，阳起于子，阴起于午。是以太一下九宫，从坎宫始。”
  • 当然这一段是文言文了，它的意思就是说，太一之神在那个天上九宫，各个区域巡视，就是巡查。《史记·天官书》当中说：“中宫天极星，其一明者，太一常居之。”张守节《史记正义》注解说，
  • “泰一，天帝之别名也。”郑玄的解释说，天帝与众星之神的关系，就像是一个大家庭，大家族，居所的分布就是九宫，天帝居于中央之宫，天帝经常在这个家族成员之间巡行，其巡行的顺序是按照后天八卦的次序图，
  • 从坎起，至离止，这八卦中间有坎、有乾、坤、离、坎、震、巽、艮、兑。那个他巡行的顺序是从坎起，具体的位置就是在一那个位置，在北方那个位置。具体路线是从坎，
  • 从坎起，坎就在一这个位置。坎（中男）→坤（母）→震（长男）→巽（长女）→中央→乾（父）→兑（少女）→艮（少男）→离（中女）然后第二步到坤，到母这个位置，第三步到震，就是到长男这个位子，第四步到巽，到长女这个位置，这个走了四宫以后，到中央休息。到中央就是这个北辰之神，就是太一之神他自己所居的宫，
  • 然后再从中央出发到这个西北，就是到这个乾这个宫这就是父所在之宫，然后再到这个兑，就是少女所居之宫，然后到艮这个位置，少男之宫，然后再到离，中女之宫。他这个路线实际上简单地来说，
  • 就是按照这个洛书从一到九这个路线，就这样一个路线，就是洛书的一到九的这个次序。这样一个次序如果把它表述为太一神巡行的顺序呢，那好像就是更生动了，
  • 就好像是他到四方去巡行，就按照这么一个路线来走，明朝有人把太一巡行的路线，画成一个图叫“洛书符”。就是我拿着这样一个图。这个图叫“洛书符”，它就是一个一笔画的图，一笔画的图，
  • 从一开始，就是从这个一开始顺着这个线往前走，第二步到二这个位置，然后第三步是到三那个位置，然后到四，到五，中央。然后到六这个位置然后到七、八、九。到九这个地方正好从这出来，这实际上就是个一笔画的画。这个图它就非常形象地
  • 表示出这个太一之神巡行路线，这么一个图，所以叫做“洛书符”。这个洛书符在明代出现之后，后来很多这个其它书也就用这个图。我所见到的，这个清初画家萧云从画的“问天图”，日月三合九重八柱十二分图 清·萧云从这个画也非常著名了，就是他画那个《离骚》中间的
  • 屈原的《天问》，那一篇著名的《楚辞》，《楚辞》中间著名的一篇《天问》。萧云从根据《天问》的意境，绘出来一个问天图。这个问天图中间这一块，这么一个像迷宫一样的这个图形，就是洛书符。就是刚才说那个一笔画的那样一个图，表示太一之神巡行路线的
  • 那么一个图。刚才这样一个路线就从一到九这样一个路线。这样一个次序，是什么样一个规律呢？我们把这个规律找出来，是非常重要的。找出来的目的是为了把这个规律加以推广。我们可以这样来理解，
  • 可以这样来理解，这个从一出发到二是什么样的规律？什么样的规律？实际上我们可以这样来理解，就是它整个这个太一之神巡行的时候，是一种从左上到右下，这么一个向下斜行，这么一个方向。你看四五六就是很明显的，
  • 从四到五到六就这么一个从左上到右下斜行的这么一个方向。从一开始就这样行的，往右下斜行应该到这个位置，可是这个位置是在这个圈、框，这个九宫以外了，九宫以外，我们为表述这个问题，是在九宫内来表述，这个到外边怎么办呢？
  • 我们把这一个位置看成是，是这个九宫的一个延伸，这个九宫是一个三向的方阵，如果我们想象一下，这样一个方阵是周而复始的往四面八方延伸的，打个比方来讲，就相当于，比如说我穿这个衣服，这个方格这个衣服，这是很多这个方阵连续成，
  • 无限延伸，就这延伸，一个方阵接着一个方阵往四面八方延伸，它从一这个位置往右下走，走到这个位置，是下一个方阵的上面的这么一个位置。但是表述的时候，我们还是在一个方阵里表述。所以就把这个位置移到这个上面来。我们发现这个规律，我们才这样来一步步来理解。
  • 所以这个二，除掉方阵之外，我们就把它移到这个方阵之内，和相应的位置，到这。从而再往右下斜行，斜到这个，走到这个位置，又跑到这个方阵以外了。怎么办呢？我们可以理解为这是右边又一个方阵。虽说到这个方阵了，但是我们表述的时候，还要在这一个方阵来表述，
  • 所以这个位置，应该移到这个位置，是这个位置，所以我们就把这样一个巡行的这样一个路线，就表述为这样几句话。一居下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格。
  • “一居下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格”。我刚才所说的就是对这样几句话的解释。“一居下中”，就是从这个下行之中这个一的位置开始，这是起始点。“右下斜行”，到了这个边框以外这个位置。因为出外嘛，出外了，
  • 所以转到这个九宫之内来表述，这个对应的是这个位置。转到这个转内。所谓“出外转内”，就是转到对应的这个位置，为啥要转这个位置呢？就因为在它下一个方阵的上方，所以还转到这个上方来。从而到这个位置，出外了，出到这个方框以外，转内，转到那边，转到相对应的左边这个第一格中间这个位置。所以从二到三是这么一个规律。
  • 从三再斜行，这个前面这个位置被一占据了，我们可以表述为就是“遇阻”，就这个意思，有阻挡了，就是前面那一格被占据了，所以就怎么办呢？升一格，或者退一格或者让一格。总而言之，怎么让就是往上。从三这个位置一被占据往上退一步，我们从这个图来看，也可以说是升一步。
  • 然后再右下斜行，到五，到六，到六怎么办呢？继续斜行到这个位置。这个位置对应位置，是这个位置。这个位置又被数占据，在六这个位置，我也可以理解为“遇阻”。就是到这个地方，前面被，有数占据就升一格到七，七这个位置。
  • 然后七再斜行到这个位置，出外了，转内，转到这。八宫右下斜行到这个位置，出外转内到这。所以它实际上虽说只有九个数，实际上我们这样来分析，它是这样一个规律。所以我们把这个规律，就概括为这个四句口诀叫做，
  • “一居下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格”。这样一种方法我们就把它太一巡行法称之为“太一巡行法”。刚才说那一种办法叫做“对易嵌入法”，
  • 是从这个方位的这个角度，来推演洛书的规律，这个“太一巡行法”是从数字次序的这个思路来推演洛书的规律。好，这一节暂时讲到这里。

    •    关于[河图洛书的数学奥秘（二）]的字幕:
  • 今天讲的是河图洛书探秘之河图洛书的数学奥秘（二）河图洛书的数学奥秘。刚才讲到这个河图洛书的数字构成原理，又讲到第二个问题就是用洛书原理构造所有的奇数阶幻方用洛书原理，构造所有的奇数阶幻方。因为洛书是三阶幻方，
  • 洛书的这个数字构成过程有规律。把这个规律加以普遍化，可以构成所有的奇数阶幻方。刚才所介绍的这种方法对易嵌入法九子NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。就是“九子NN斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。”这种方法就叫做
  • “对易嵌入法”。通过这个对5阶幻方的演示，我们看到这个每边为5的这个正方形方阵。它这形成过程当中，用这种方法形成的过程当中，关键的问题，我们是把这个
  • 中间取得那个方阵之外的一组数看成一个板块，这一点非常重要。上下对易——两个板块，上下两个板块，整体对易，左右相更——左右两个板块整体相更。四边嵌入——四边四个板块整体嵌入。所谓“上下对易”，是两个板块，上下两个板块，整体对易，“左右相更”，是左右两个板块整体相更。“四边嵌入”，是四边四个板块整体嵌入。
  • 那就是把这个中间取定的正方形方阵之外的每一个三角形的板块，作为一个整体看待，一同移动，整体推进，这一点是非常重要的。这就是我所介绍的这种方法，这是关键的一点。刚才构成的那个5阶幻方，幻方常数等于65。
  • 这只是这个许许多多的5阶幻方的一种，因为5阶幻方有很多很多种形式。这里顺便说一下，就是这个幻方常数怎么样计算的？是怎样计算出来的？这里面有一个公式幻方常数用Pn表示 Pn=n（1+n2）如果幻方常数用Pn表示，
  • 那就是Pn=n（1+n2）。这个5阶幻方，具体到5阶幻方，那就是：5阶幻方：P5=×5×（1﹢52）1﹢52=26 26×5=130130×1/2=65P5=×5×（1﹢52），1﹢52就是26。乘5呢（等于）130，然后再1/2就是65，所以这是一个基本公式，就是计算幻方常数的基本公式。
  • 为了验证一下我所说的这个对易嵌入法的这个五句口诀，我们再来做一下7阶幻方。再来做一下7阶幻方，如果是7阶幻方的话，七七斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入。那就是：“七七斜排，中间取方，上下对易，左右相更，四边嵌入”。
  • 大家看就是这样一个图，所谓“七七斜排”那就是以7个数为一组，1、2、3、4、5、6、7，然后8到14，然后9到21。然后43到49。就是七七这个，这一共是7条向下排。
  • 下排之后，中间取方就是，我们在中间取了一个七七的方阵，和刚才我们演示5阶幻方的情况是一样的。也就是和洛书那3阶幻方的情况也是一样的，中间取了一个七七的方阵。取了这个方阵之后，我们就把这个方阵之外的，这个边框以外的，这一个方向在这一组数，
  • 看作是一个板块，四边都是一样。所谓“上下对易”，就是上下两个板块整体对易，“左右相更”，就是左右两个板块整体相更。所谓“四边嵌入”，就是对应相更之后，这四个板块整体的推进。所以这就是根据我所说的，就是关键问题就是
  • 我们得把这个边框之外的这四个板块看成一个整体。这样来做，然后我们来演示一下。“上下对易”，就是把上下这两个板块一下拿过来，对易。“四边嵌入”，再往两边推入。
  • 这一下推入。左右两边也是一样，这边这个板块一下拿过来，整体嵌入。这边这一个板块，也整体拿过来，也对易嘛，这个交换之后，整体嵌入。
  • 这样根据这五句口诀，做完之后，对易嵌入之后，这个7阶幻方就形成了，就形成了。这个7阶幻方当然它是具有这个幻方的基本性质。就是每一横行，每一竖列，加上两条对角线，
  • 这任意7个数字之和都相等，都为幻方常数。当然这个幻方常数根据刚才介绍那个公式，Pn=n（1+n2）= ×7×（1﹢72）这个1﹢72，49（+1）是5050×7呢（等于）350350再乘个1/2那就是175就是：×7×（1﹢72）。这个1﹢72，49（+1）是50，50×7呢（等于）350，350再乘个1/2，那就是175。所以我们根据这样的公式，一下就可以把这个幻方常数就计算出来了。那就是说
  • 在这个我们所做出来的这个7阶幻方当中每一横行，每一竖列，每一条对角线7个数字之和都等于175。所以我认为这个，从我对5阶幻方和7阶幻方这种用对易嵌入法来做的这个过程，
  • 就可以很明确地知道，所有的奇数阶幻方都可以用这种方法，一下子就做出来。当然这种幻方，只是这种，这个比如说7阶幻方，只是这个许许多多的7阶幻方的一种形式。7阶幻方也可能有各种其它的形式。所以我们用这种方法来构造奇数阶幻方的时候，感觉这个非常容易。
  • 而且也非常有趣，这样一对易一推，新的幻方就做出来了，就具有这种性质，非常奇妙。为了更进一步明确这个问题，我们再看看9阶幻方。对9阶幻方我们就不一定再演示那个过程了，我们是主要是看一下那个结果。这个结果我这里有一个图，这就是用“对易嵌入法”
  • 所做出来的9阶幻方图，我为了表示所谓四个板块，“上下对易，左右相更”是怎么形成的。我把这个板块的这个数字，用不同的颜色来表示。下边这个红色就是本来在上面，是在这个方阵外面的，我们把它整体地移到下面推入，嵌入。这个黄的颜色本来是下边这个板块，
  • 移到上面之后整体嵌入。左右同样道理，所以我们从这个不同的颜色，可以看出这是四个边之外的四个板块整体嵌入的情形。所以这里只是说一下9阶用对易嵌入法所做的9阶幻方的这么一个结果。
  • 刚才说这个办法如果加以推广，我们可以尝试11、13、15、17、19、21等等等等。凡是边数为奇数的，不管这个数有多大，都可以用这样的“对易嵌入法”，做出这样的幻方。当然这做出的这个幻方，也都是这些高阶次幻方的一种形式。
  • 这就是我刚才介绍的第一种方法。用“对易嵌入法”来构造幻方。所有奇数阶幻方都可以用对易嵌入法得到下面我谈第二个方法用洛书的数字运行规则构造奇数阶幻方就是用洛书的数字运行规则，来构造奇数阶幻方。刚才说那种方法是从这个方位上来讲的。这个第二种方法
  • 是从次序上来讲的，次序。洛书中从一到九的排列次序，有一个什么规律呢？这就是汉代的许多谶纬书当中所讲的，有一种情况。有一种书叫做《周易乾凿度》，
  • 其中议论九宫问题时说：“太一取其数以行其九宫，四正四维，皆合于十五。”——《周易乾凿度》“太一取其数以行其九宫，四正四维，皆合于十五。”就是指洛书那个方阵。九宫的排列就是洛书。东汉末年，郑玄为《周易乾凿度》这本书作注释，在这段话之后他有一段解释，
  • 郑玄说：“太一者，北辰之神名也。”就是“太一”是一个神名，实际上就是玉皇大帝就是天神，就是太一神就是天神。他居（住）这个地方，就是那个紫微垣，紫微垣大概就在北极星那个位置，北极星附近那个位置。所以郑玄这句话就是说：
  • “太一者，北辰之神名也。居其所曰太一，常行于八卦日辰之间，曰天一，或曰太一。出入所游息于紫宫之内外，其星因以为名焉。天一下行，
  • 犹天子出巡狩省方岳之事，每率则复太一。下行八卦之宫，每四乃还于中央。中央者，北辰之所居，故因谓之九宫。天数大分，以阳出，以阴入，阳起于子，阴起于午。是以太一下九宫，从坎宫始。”——东汉·郑玄《周易乾凿度》注释“太一者，北辰之神名也。居其所曰太一，常行于八卦日辰之间，曰天一，或曰太一。出入所游息于紫宫之内外，其星因以为名焉。天一下行，犹天子出巡狩省方岳之事，每率则复太一。下行八卦之宫，每四乃还于中央。中央者，北辰之所居，故因谓之九宫。天数大分，以阳出，以阴入，阳起于子，阴起于午。是以太一下九宫，从坎宫始。”
  • 当然这一段是文言文了，它的意思就是说，太一之神在那个天上九宫，各个区域巡视，就是巡查。《史记·天官书》当中说：“中宫天极星，其一明者，太一常居之。”张守节《史记正义》注解说，
  • “泰一，天帝之别名也。”郑玄的解释说，天帝与众星之神的关系，就像是一个大家庭，大家族，居所的分布就是九宫，天帝居于中央之宫，天帝经常在这个家族成员之间巡行，其巡行的顺序是按照后天八卦的次序图，
  • 从坎起，至离止，这八卦中间有坎、有乾、坤、离、坎、震、巽、艮、兑。那个他巡行的顺序是从坎起，具体的位置就是在一那个位置，在北方那个位置。具体路线是从坎，
  • 从坎起，坎就在一这个位置。坎（中男）→坤（母）→震（长男）→巽（长女）→中央→乾（父）→兑（少女）→艮（少男）→离（中女）然后第二步到坤，到母这个位置，第三步到震，就是到长男这个位子，第四步到巽，到长女这个位置，这个走了四宫以后，到中央休息。到中央就是这个北辰之神，就是太一之神他自己所居的宫，
  • 然后再从中央出发到这个西北，就是到这个乾这个宫这就是父所在之宫，然后再到这个兑，就是少女所居之宫，然后到艮这个位置，少男之宫，然后再到离，中女之宫。他这个路线实际上简单地来说，
  • 就是按照这个洛书从一到九这个路线，就这样一个路线，就是洛书的一到九的这个次序。这样一个次序如果把它表述为太一神巡行的顺序呢，那好像就是更生动了，
  • 就好像是他到四方去巡行，就按照这么一个路线来走，明朝有人把太一巡行的路线，画成一个图叫“洛书符”。就是我拿着这样一个图。这个图叫“洛书符”，它就是一个一笔画的图，一笔画的图，
  • 从一开始，就是从这个一开始顺着这个线往前走，第二步到二这个位置，然后第三步是到三那个位置，然后到四，到五，中央。然后到六这个位置然后到七、八、九。到九这个地方正好从这出来，这实际上就是个一笔画的画。这个图它就非常形象地
  • 表示出这个太一之神巡行路线，这么一个图，所以叫做“洛书符”。这个洛书符在明代出现之后，后来很多这个其它书也就用这个图。我所见到的，这个清初画家萧云从画的“问天图”，日月三合九重八柱十二分图 清·萧云从这个画也非常著名了，就是他画那个《离骚》中间的
  • 屈原的《天问》，那一篇著名的《楚辞》，《楚辞》中间著名的一篇《天问》。萧云从根据《天问》的意境，绘出来一个问天图。这个问天图中间这一块，这么一个像迷宫一样的这个图形，就是洛书符。就是刚才说那个一笔画的那样一个图，表示太一之神巡行路线的
  • 那么一个图。刚才这样一个路线就从一到九这样一个路线。这样一个次序，是什么样一个规律呢？我们把这个规律找出来，是非常重要的。找出来的目的是为了把这个规律加以推广。我们可以这样来理解，
  • 可以这样来理解，这个从一出发到二是什么样的规律？什么样的规律？实际上我们可以这样来理解，就是它整个这个太一之神巡行的时候，是一种从左上到右下，这么一个向下斜行，这么一个方向。你看四五六就是很明显的，
  • 从四到五到六就这么一个从左上到右下斜行的这么一个方向。从一开始就这样行的，往右下斜行应该到这个位置，可是这个位置是在这个圈、框，这个九宫以外了，九宫以外，我们为表述这个问题，是在九宫内来表述，这个到外边怎么办呢？
  • 我们把这一个位置看成是，是这个九宫的一个延伸，这个九宫是一个三向的方阵，如果我们想象一下，这样一个方阵是周而复始的往四面八方延伸的，打个比方来讲，就相当于，比如说我穿这个衣服，这个方格这个衣服，这是很多这个方阵连续成，
  • 无限延伸，就这延伸，一个方阵接着一个方阵往四面八方延伸，它从一这个位置往右下走，走到这个位置，是下一个方阵的上面的这么一个位置。但是表述的时候，我们还是在一个方阵里表述。所以就把这个位置移到这个上面来。我们发现这个规律，我们才这样来一步步来理解。
  • 所以这个二，除掉方阵之外，我们就把它移到这个方阵之内，和相应的位置，到这。从而再往右下斜行，斜到这个，走到这个位置，又跑到这个方阵以外了。怎么办呢？我们可以理解为这是右边又一个方阵。虽说到这个方阵了，但是我们表述的时候，还要在这一个方阵来表述，
  • 所以这个位置，应该移到这个位置，是这个位置，所以我们就把这样一个巡行的这样一个路线，就表述为这样几句话。一居下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格。
  • “一居下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格”。我刚才所说的就是对这样几句话的解释。“一居下中”，就是从这个下行之中这个一的位置开始，这是起始点。“右下斜行”，到了这个边框以外这个位置。因为出外嘛，出外了，
  • 所以转到这个九宫之内来表述，这个对应的是这个位置。转到这个转内。所谓“出外转内”，就是转到对应的这个位置，为啥要转这个位置呢？就因为在它下一个方阵的上方，所以还转到这个上方来。从而到这个位置，出外了，出到这个方框以外，转内，转到那边，转到相对应的左边这个第一格中间这个位置。所以从二到三是这么一个规律。
  • 从三再斜行，这个前面这个位置被一占据了，我们可以表述为就是“遇阻”，就这个意思，有阻挡了，就是前面那一格被占据了，所以就怎么办呢？升一格，或者退一格或者让一格。总而言之，怎么让就是往上。从三这个位置一被占据往上退一步，我们从这个图来看，也可以说是升一步。
  • 然后再右下斜行，到五，到六，到六怎么办呢？继续斜行到这个位置。这个位置对应位置，是这个位置。这个位置又被数占据，在六这个位置，我也可以理解为“遇阻”。就是到这个地方，前面被，有数占据就升一格到七，七这个位置。
  • 然后七再斜行到这个位置，出外了，转内，转到这。八宫右下斜行到这个位置，出外转内到这。所以它实际上虽说只有九个数，实际上我们这样来分析，它是这样一个规律。所以我们把这个规律，就概括为这个四句口诀叫做，
  • “一居下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格”。这样一种方法我们就把它太一巡行法称之为“太一巡行法”。刚才说那一种办法叫做“对易嵌入法”，
  • 是从这个方位的这个角度，来推演洛书的规律，这个“太一巡行法”是从数字次序的这个思路来推演洛书的规律。好，这一节暂时讲到这里。

    •  关于[河图洛书的数学奥秘（三）]的字幕:
  • 今天讲的是河图洛书探秘之河图洛书的数学奥秘（三）河图洛书的数学奥秘。刚才讲到用洛书原理，构造所有的奇数阶幻方。我要讲的是两种方法。一种方法是以杨辉概括的洛书构图规则，破解奇数阶幻方。
  • 以杨辉概括的洛书构图规则，破解奇数阶幻方。这就是这个我所说的“对易嵌入法”。对易嵌入法，第二个方法是以洛书的数字运行规则，来构造奇数阶幻方——太一巡行法。以洛书的数字运行规则，
  • 来构造奇数阶幻方，这叫作“太一巡行法”。对于嵌入法，是从数字的方位来分析的，数字分布的方位来分析的。所谓“太一巡行法”，是从数字运行的次序来分析的。这就是从洛书的构图规则我们总结出来的，
  • 洛书中从一到九这个次序，就是郑玄所说的太一之神，巡视九宫所经过的路线。实际上就是从洛书的一的位置，最后到九的位置，按照从一到九那个次序，完成了这样一个路线。
  • 如果把太一巡行的路线，用这种方法来进行构造幻方，总结可以概括为这样几句口诀，始于下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格。就是“始于下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格。”刚才我们通过对
  • 这个洛书构图规则的分析，已经解释了这几句话是什么样个意思。怎样始于下中，怎样右下倾行，怎样出外转内，怎样遇阻升格，什么情况下叫作遇阻升格。所以我们刚才看到，这个在洛书它从一到九那样一个次序，就是体现了刚才说，说的这几句话的意思。
  • 实际上这几句话也就是从洛书那样一种数字运行规则，来概括总结出来的。所以现在我们为了来说明这个问题，就是说明一下刚才说洛书这个数字构成这个次序，就是太一巡行这样一个次序，适用不适用于
  • 所有的奇数阶幻方呢？我们来实验一下。我们就从这个比3略高的一点的5，5阶幻方来实验一下，来体会一下，这样的几句口诀应该怎样运用。我们再温习一下这几句口诀，
  • 就是“一居下中，右下斜行，出外转内，遇阻升格。”这句话很简单，我们看怎么在这个5阶幻方这样的一个构成的过程当中来体现，体现出来。就是换句话说就是我们怎样运用这样的四句口诀，来构造5阶幻方。
  • 这就是用这样的太一巡行法，来构造的5阶幻方的图。我们看它是怎样构成的？一居下中“一居下中”，就是一的起始位置，5阶幻方它就是每边为5了，五五二十五的方阵。“一居下中”，就是从下一行的中间开始，从这个位置开始，所以1起始位置必在这里。
  • 必在这里，就像洛书所表现的3阶幻方当中，1也是从这个位置开始的。右下斜行这个口诀第二句“右下斜行”，就是往这个方向走，往这个方向走，斜行。斜行就跑到这个方阵外面了，这叫“出外转内”，“出外转内”，就是根据刚才的分析，
  • 这一格可以看成是下一个方阵的最上面，所以它转内，应该转到这个位置，2，转到这个位置。然后右下斜行就是3，3再斜行，4应该在这个位置，出了这个方阵之外了，转内。转内，转到这个位置。转到这个位置，再右下倾行，5在这个位置。再斜行，
  • 前面由1占据这个位置，我们就理解为叫做“遇阻”。怎么办呢？升一格。所以这个5以后6就在这个位置。然后再按照口诀右下斜行，6、7、8这都很容易理解。8之后9，又在这个位置。出外了怎么办呢？
  • 转内，就转这个位置。9再右下斜行，应该在这里，这又出外了怎么办呢？转内，就转这儿了。再右下斜行，前面有数占据我们就是所说的“遇阻”那种情况，就退一步或者升一格，就到这个位置。所以10以后的11在这里。然后右下倾行，
  • 11、12、13、14、15。到下一步，16应该在这个位置，这个位置应该是对应的，是这样一个位置，这个位置被，有数占据，这就是我们所说的，这也是遇阻情况之一，也可以理解为就是“遇阻”，怎么办呢？升一格到这个位置。再右下斜行，就到这个位置。
  • 出外了转内，所以17在这里。再右下斜行，在这个位置，出外了，转内，所以18在这个位置。然后右下斜行，不变，18、19、20。好，再往前走，有数占据，理解为“遇阻”。就升一格，21在这个位置。右下斜行，22在这，
  • 这23呢又出外了，转内，右下斜行，24在这里，再往前走，出外了转内25也结束了，25就是这个最末一个数，这样的话，按照这样一个所谓“太一巡行”的规律，1从这里开始，最末一个数，必在最上面这个位置结束。
  • 就是这是始，这就是终。我们从这样的一个演示。就是从这个5阶幻方，用“太一巡行法”来构造。和刚才所说那个洛书那个构造规律，就是那四句话，走了一遍，正好把这个方阵填满。而且1从下面，中央这个位置开始，
  • 最后一个数25，就在最上面这个中央这个位置结束。这样构成的这个5阶幻方呢，是许许多多5阶幻方的一种，和刚才我们用“对易嵌入法”所构造的那个5阶幻方是不一样的。如果一比较是不一样的，显然不一样。
  • 但是它也同样是5阶幻方，它具有幻方的基本性质。就是每一横行，每一竖列五个数，加上两个对角线，五个数的和都相等，都等于幻方常数就是65。从这个演示我们就可以进一步体会一下，就是刚才那个四句口诀，怎么样应用的，
  • 如果我们为了更进一步地熟练地运用这个四句口诀，来构造所有的这个奇数阶幻方，我们再来体验一下，7阶幻方怎么构成。方法是完全一样的，我们看一下就行了。这就是用“太一巡行法”
  • 构造的7阶幻方的图。根据口诀“一居下中”，就是在这个七七的方阵当中，移了7次位置，在下一行的正中。就是从这个地方开始。“右下斜行”，还是按照刚才这个规律，实际上我们就重复这样的一个路线。到这个位置，出外了转内这个2在这里，
  • 3、4，5在这，出外了转内，5在这里。6、7到这遇阻了，升格在这里，8在这里。9、10，11出外了，转内，11。12、13出外了，转内，13。14遇阻了升格，15、16、17、18、19、20出外了，转内，21出外了，转内，21，
  • 22，这个22到前面，有数占据了，就升一格22。22、23、24、25、26、27、28，一路右下斜行，到这个地方又理解为“遇阻”。就是前面被一个数占据，占据，升一格，29在这个位置。
  • 29往下走30，出外转内30。31出外转内31，32、33、34、35，前面遇阻升格，36在这位置。37、38出外转内，38在这，39、40出外在这，41、42、43遇阻升格，44、45、46，46出外，转内，46在这。47、48、49，就在这里。
  • 所以根据刚才这样一个演示，同样证明了我们所说的“太一巡行法”，它的这个规律普遍性。对于7阶幻方来说，1它的起始位置，从下行正中间开始，49最后一个数，必在上一行的中间位置这个地方结束。这和刚才我们所看到的
  • 洛书的这个构图，1在这里开始9在这里结束，5阶幻方当中，1从这里开始，25在这个地方结束。7阶幻方也是一样，1从这里开始，49在这个地方结束。对7阶幻方的演示尽管听起来和5阶幻方的
  • 这个运行过程有很多重复的，这个重复本身正说明，刚才我们所概括的那个“太一巡行法”，那几句口诀的它的普遍适用性。所以我们就是通过这样的，演示了5阶和7阶幻方，
  • 我们就可以看出这个刚才说的那个“太一巡行法”几句口诀，对于所有的奇数阶幻方都是适用的，我们可以试验一下。当然这里面呢这个我所带的这个图，这个是就是9阶幻方，这个用“太一巡行法”构造的，其9阶幻方，1在最下行这个地方开始，中间那个过程就不说了。
  • 81在最上面这个中间这个位置结束，中间那个过程正好是就是“右下斜行，出外转内，遇阻升格，”就这么一个规律。非常奇妙而且是很有趣味的。当熟悉了这个几句口诀的应用，
  • 熟悉了“太一巡行”的这个规则之后，我们就可以非常容易地构造出任何一个高阶次的奇数阶幻方。你把这个幻方表格做成之后，比如说是11、19或者21或者1001，知道只要是奇数，你把这个表格绘好之后,先做出来一个表格，这个表格就是幻方的方阵。
  • 然后你从1开始填这个数，一直填到N的平方，这个时候为结束。就用那几句口诀往前走。1从下方开始,下一行的中间开始，到最后一个数，就是N的平方那个数,必在上面第一行的中间结束。有兴趣的话，大家可以试验这么一个方法。
  • 所以这就是我讲的这个刚才讲的是第二个问题，第二个问题关于用洛书原理构造其奇数阶幻方的两个方法。下面谈第三个问题，洛书原理和4阶幻方的构成洛书原理和4阶幻方的构成。刚才说的都是奇数阶幻方，
  • 洛书是3阶，然后用所谓“对易嵌入法”，“太一巡行法构”可以造出来的幻方，都是奇数阶幻方，可是偶数阶幻方怎么办呢？最简单的偶数阶幻方，就是4阶幻方。4阶幻方：边数为4的，4×4的方阵。所谓4阶幻方就是边数为4的，
  • 4×4的方阵，偶数阶幻方，同样是可以做出来的，不管这个偶数多大。所有的偶数阶幻方都是可以做出的，我们就从偶数阶幻方的最简单的形式4阶幻方开始。开始这个李光地那个《周易折中》这个书
  • 卷二十一“启蒙附论”记述了4阶幻方的构图原理，李光地认为4阶幻方的构成呢，也同样可以利用洛书的4阶幻方构图原理上下对易，左右相更“上下对易，左右相更”的换位法。我们看这个李光地是怎么来概括这个问题的。
  • 具体做法就是这样的，李光地是把这个4的平方数，就是16了，就是从1到16，这16个数有两种排列方法，第一种排列方法，“以十六数自左而右、自上而下列之”就是从左而右，自上而下列之。这就是李光地他的原话，
  • 就这样表述的。“以十六数自左而右、自上而下列之”。就是这样，这样排列。1到16自左而右，自上而下列之。就是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16这样排列。
  • 这样排列之后，就是用那个洛书里面“对易”或“换位相更”那种方法换位，怎么换位呢？李光地认为有两个换位方法。第一种换位法，他说：“其居中与居四隅者不易，而居四方者交易，则成纵横皆三十四之数矣。”——清·李光地《周易折中》“其居中与居四隅者不易，而居四方者交易，
  • 则成纵横皆三十四之数矣”。什么意思呢？“居中与居四隅者”，“居中”就中间这四个数6、7、10、11，这四个数叫“居中”。“居四隅者”，“四隅”就是四角，四角就是1、4、13、16这四个数，
  • 这“居中居四隅”这八个数“不易”就是不动。而“居四方者交易”。“居四方者”就是四个边的，这边上的八个数。上面就是2、3，这边就是8和12，这边就是5和9，这边就是14、15，这叫“居四方者”。“交易”就是交换位置。
  • 怎么换位呢？实际上就是这样一个图，这个居四方的中间这四个数和居四角这四个数不动。中间这四边这四个数对称换位，这个数和这个数换位，这个数跟这个数换位，这个数跟这个数换位，这个数和这个数换位，
  • 这都表示的，这样换位的这两个数的交换的位置。这个示意图所表示的就是李光地所说的第一种换位法。至于换位之后，就成什么样子了呢？就成了这个图了。
  • 中间四个数不动，这6、7、10、11不动，四角数不动，1、4、13、16不动。然后换位那就是这个2和15换位，14和3换位，8和9换位，5和12换位，这样换，一换就成这样了。换位之后这个4阶幻方就形成了，这就成了4阶幻方了，
  • 它就具有这种幻方的基本性质，幻方的基本性质每一横行，每一竖列和两条对角线，每一组四个数之和都相等。每一横行，每一竖列和两条对角线，每一组四个数之和都相等。都相等，这四个数之和等于多少呢？就是我们可以用刚才我所介绍的那个幻方常数的计算公式：×4×（1﹢42），1+16=17，17× 4×1/2 = 34。×4×（1﹢42），1+16等于17，
  • 17乘4再乘1/2就是17乘2，34。所以这个李光地说则成纵横皆三十四之数矣“则成纵横皆三十四之数矣”，这个“三十四”就是幻方常数。当然这样构成这个4阶幻方只是这个刚才说的几百种这个4阶幻方的一种。所以这是这个李光地所说的第一个换位法。
  • 第二种换位法是什么呢？“若居于四方者不易，而居中与四隅者交易，亦成纵横皆三十四之图矣”。——清·李光地《周易折中》就是“若居于四方者不易，而居中与四隅者交易，亦成纵横皆三十四之图矣”。就是和刚才这种换位法正好不一样。就是这样一个换位法，四边的这四个数不动，
  • 四个角这个四个数和中间的这个四的数对称换位，按箭头表示这样的一个意思，这个对角这两个数，这对角这两个数，中间这个四个数也对角换位。这就是李光地所说的这个“居四方者不易，而居中与居四隅者交易，
  • 亦成纵横皆三十四之图矣”。这样一换位，实际上就成了这个，它就成这个图了，四边的数不动，像5、9、8、12这不动，2、3这不动，14、15不动。中间四个数7和10互相换位，11和6互相换位。这个1和16互相换位，13跟这个4互相换位。这一换位之后就是这个图了，
  • 这个图就成了4阶幻方图了。然后我们看，刚才这个形成两个这个图。刚才形成这两个图，这实际上是一个图，实际上是一个图。这个换位的结果，看出刚才这个不一样。实际上这个图，第二次形成这个图，实际上是第一个图的倒立图。
  • 就是把这个第二个图倒过来，如果我们把这个字，这个数字尽管同一样，我们可以理解为一个数字，这里一模一样了。1、15、14、4、12、6、7、这9。这倒过来是个9，这是8、10、11、15、13、3、2、16这一模一样的。
  • 李光地他说这个，刚才是按照这样一个排列方法排列后，用两种换位法来进行换位。换位之后得到是两个4阶幻方图。这个他认为是两个图了，实际上我们可以看作是一个图，只是另外一个图的倒立。
  • 这是李光地介绍的用第一种排列法然后进行换位，所产生的4阶幻方，这是他所推衍出来的4阶幻方的构图方法。李光地认为，构造4阶幻方所用的“对换位置”的方法，是根据洛书“上下对易、左右相更”的规律得到的。这种构图方法，用这个对换位置的方法，他认为这实际上是根据洛书的那种“上下对易、左右相更”那样一种规律。当然具体来讲他有区别，
  • 但是基本的思路是一样的。所以他认为，用这样这个基本的思路，这个洛书构图的那种思路，来构造这个4阶幻方图是可以做出来的。好，这一节就讲到这里。

    •   关于[河图洛书的数学奥秘（四）]的字幕:
  • 今天讲的是河图洛书探秘之河图洛书的数学奥秘（四）河图洛书的数学奥秘前面介绍了，李光地《周易折中》一书当中，卷二十一“启蒙附论”所记述的4阶幻方的构成方法，李光地认为利用洛书，“上下对易、左右相更”的
  • 换位法，可以来构成4阶幻方。就是每边为4的方阵。从1到16这16个数组成的方阵。李光地提出了两种换位法，刚才我们看到第一种换位法。就是这16个数，自左而右，自上而下列之。“至左而右，自上而下列之。”就是这样一种排列方法。
  • “自左而右，自上而下列之”，就是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16这么一个排列方法。按照这样一种排列法，
  • 然后就按照他所说的两组换位法来进行换位，就构成了两个4阶幻方图。现在我们看他所说的第二种排列法，第二种排列法，这个第二个排列法是什么呢？以十六数自右而左，自下而上列之以十六数自右而左，自下而上列之。李光地说“以十六数自右而左、自下而上列之”
  • 这就正好和刚才所说的那个第一种排列法相反。那就是“自右而左自下而上”。从这个位置开始排，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16。
  • 用这样的这个排列法，排出之后，同样的按刚才所说的那两种换位法来交换，一种就是，就是这一种，
  • 刚才说“居中与居四隅者不易，居四方者交易。”就换对称者换位。另外一种方法就是“居四方者不易， 居四隅与居中者交易。”——清·李光地《周易折中》（图1 李光地）这个“居四方者不易，居四隅与居中者交易，”就要求对称换位，来构成幻方图。这就是他用这种排列法，同样也是按照刚才所说的那样两种换位法来交换位置。
  • 这样也构成两种4阶幻方图。然后这样构成两种4阶幻方图，构成之后我们一比较实际上也就是原来那两种图，没有新的。所以这个具体换的过程，这个就不再仔细地来罗嗦了。但是换的结果，
  • 就是和刚才这两个图是一样的。这实际上就是，4阶幻方的基本图形之一，基本图形，就是1、4、13、16这四个数居于四角，不管它是怎么颠倒，居于四角。6、7、10、11这四个数居于中间，大概就这么一个分布。所以李光地
  • 尽管介绍了两种排列方法，和每一种排列方法所产生的一种4阶幻方图。我们仔细加以比较可以看出来，它实际上是同一个基本图，同一个基本图，李光地在介绍了这样的方法之后，他有一段总结，
  • 我认为他这段总结是非常深刻地。李光地说，“自洛书以三三积数为数之原，而自四以下皆以为法焉，何则？”——清·李光地“自洛书以三三积数为数之原，而自四以下皆以为法焉，何则？”他的意思就是，
  • 洛书是三三这样组成的方阵，是数之源，它是最原始的，最本源的一种图形。但是自四以下，四以后的这种各种方阵，都可以以为法焉。就可以取法与它，以它为依据。为什么呢？那就下面这一段话：“三者，天数也，故其象圆，如前图，居四方与居四隅者或动或静，居中者一定不易，而各成纵横皆十五之数矣。四者，地数也，故其象方，如后图，居中居四隅与居四方者或动或静，亦各成纵横皆三十四之数矣。自五五以下皆以三三图为根，自六六以下皆以四四图为根，而四四图又实以三三图为根，故洛书为数之原，不易之论也。”—— 清·李光地“三者，天数也，故其象圆，如前图，
  • 居四方与居四隅者或动或静居中者一定不易，而各成纵横皆十五之数矣。四者，地数也，故其象方，如后图，居中居四隅与居四方者或动或静，亦各成纵横皆三十四之数矣。自五五以下皆以三三图为根，
  • 自六六以下皆以四四图为根，而四四图又实以三三图为根，故洛书为数之原，不易之论也。”这就是李光地带有总结性和结论性的一段话。他认为三是最基本的一种图，因为三是奇数，是天数。
  • 这个四，是偶数阶幻方的最基本的图，因为2阶幻方不构成幻方图，边为二的不构成幻方图，所以边为四的是偶数幻方的最基本的图形。所以他认为以三为边构成的这个幻方就是三阶幻方，就是洛书，是天数，以四构成的这个最简单的幻方是地数，
  • 是幻方当中最基本的两种图形。然后这个5阶幻方，就是五五以下。都是以洛书图为根。就是所有的奇数阶幻方，是以洛书那种3阶幻方为根。自六六以下就是所有的偶数阶幻方，都是以四四图为根，都是以4阶幻方为根。
  • 而这个4阶幻方也是以三三图，以3阶幻方为根，也是以洛书为根。所以他认为“故洛书为数之原，不易之论也。”李光地认为说来说去，洛书是整个幻方构成的最基础的基础。所以我认为这段论述，明确指出了
  • 洛书在幻方中的本原地位，洛书是构造各种复杂幻方的基础即洛书是构造各种复杂幻方的基础。前图——洛书所表示的3阶幻方后图——依据洛书换位法所构成的4阶幻方所谓“前图”，指洛书所表示的3阶幻方，所谓“后图”，指依据洛书换位法所构成的4阶幻方。由此推断，他认为5阶以上的各种奇数阶幻方，
  • 都是以3阶幻方为根的，6阶以上的各种偶数阶幻方都是以4阶幻方为根的，而4阶幻方又是以3阶幻方为根的。因此他得出洛书为数之原“洛书为数之原”的重要论断。这一观点，在幻方研究史上，已经受到了高度的重视。
  • 下面谈第四个问题，河图和8阶幻方河图和8阶幻方。8阶幻方的构成比较复杂，当代数学家已经做出圆满地回答，这里不多讲，只介绍一种与河图有关系的8阶幻方。《易经》中的八卦，互相配合成六十四卦，
  • 这就是八八六十四。伏羲那个卦，在邵雍那个推演之后，就成了八八六十四卦，而且每一注卦都有名字。《易经》的整个内容，也就是这个八卦加以推演，八八六十四卦，所以《易经》里面是六十四节。
  • 这个卦数64是8的平方数，河图洛书又都和八卦密切相连。因此八卦、河图和8阶幻方有密切的关系。前面说到南宋那个数学家杨辉，《续古摘奇算法》这本书当中，他就制作了两种8阶幻方图，他称为“易数图”。
  • 他为啥把8阶幻方图称为易数图呢？实际上就是这个8阶幻方他就跟那个八八六十四卦是关系非常密切的，所以称为“易数图”。他的意思就是这种8阶幻方反映着《易经》的数理。杨辉的这个“易数图”有两个，两个。称为“阴图”和“阳图”，
  • 阴、阳两式图。我们这里只看一看，他这个图什么样子。杨辉这个构图过程这里就不细讲了，因为和我们要讲的内容关系不是很大。这个图我们看作是一个8阶幻方，这就是杨辉所构成的
  • 易数图的阳图。第一个图，阳图。每边为8个数，八八六十四这个方阵，填进去的数是从1开始，一直到64结束，填满这个方阵，这样填满之后，它就成为一个幻方，就具有幻方的基本性质。每个横行，每一数列加上两条对角线，每一组8个数的和都相等。
  • 这一个8阶幻方图是杨辉所构成的这个易数图的阴图。这两个图填法是不一样的，但是在做出来之后呢，同样具有幻方的基本性质。不管是哪一种8阶幻方图，这个幻方常数我们仍然可以用我们刚才介绍的那个公式来计算一下，8阶幻方常数×8×（1﹢82），1+64=65 65×8×1/2=260
  • 这个8阶幻方的幻方常数就是×8×（1﹢82），1+64，这个1+64是65。65乘8，再乘1/2，那就是乘4（得）260。就是8阶幻方的幻方常数是260。杨辉创造的这两个8阶幻方固然非常巧妙，
  • 但是和我们要讨论的河图洛书问题关系不是太直接，因此在这里不作过多地分析。这里介绍的一个幻方图是元代李简制作的一个8阶幻方。李简他有一本著作叫《学易记》，《学易记》卷首“图说”
  • 这一部分当中有一幅“先天衍河图万物数图”，这就是李简的这个图。就是刚才说在《学易记》这本书当中的卷首，有这么一个图。这个图它是用汉字表示的数字。
  • 在这个八八六十四这么一个方阵当中，填入从1到64这64个数。这个做出来之后，它具有这个8阶幻方的具有幻方的基本性质。但是他这个填法，和刚才我们看到的杨辉做出来的易数图的阳图和阴图都不一样。
  • 李简做出来的这个幻方更奇妙，他和八卦这个形式更接近，这个图产生过程这个是怎么样做出来的，我曾经做了很长时间思考，我了解了他的做的这个方法。它产生这个过程，
  • 在我的《河图洛书探秘》这本书当中，有比较详细地分析。在这里由于时间关系，就不再介绍这个图产生的过程。我们只是从欣赏的角度，我们来看一看，李简所做的这个幻方，它是怎么样的一个情况。怎么样的一个情况，我们在李简这个图当中我们可以看出来，
  • 他这前面的这个8个数，前面的这8个数。就是1、2、3、4、5、6、7、8，他在这个图当中把它涂黑了，这8个数正好构成了一个环形。而且这个环形，正好和这个八卦，就是和伏羲先天八卦那个八卦图一致。1、2、3、4、5、6、7、8
  • 构成一圈，是很奇妙的。所以这个图它就叫作“先天衍河图万物数图”。他认为这样既然与八卦图形有点接近，所以也就和河图非常接近，所以他叫了这么一个名称。这个图因为是古代这个书籍是黑白的印刷，
  • 除了这8个数涂黑之外，其它的数我们还看不太很明确。现在我们就可以把这个图，换一下，用阿拉伯数字表示，我把它改造一下，实际上和这个图是一模一样的。而且我把中间的相关的数，用彩色来表示。这样一看我们就觉得
  • 这个图是非常有趣了。刚才在李简那个图当中涂黑的部分就是1、2、3、4、5、6、7、8这个前8个数，构成了一个循环。好像是八卦的分布。除了这8个数之外，我们再看，接着的8个数，就是从9到16怎么分布的？
  • 我在这个图当中用绿色表示，9、10、11、12、13、14、15、16，又一圈。正好在1到8这个一圈的外面，又构成一圈。看最后的8个数，就是从57到64。57、58、59、60、
  • 61、62、63、64又一圈，在这一圈的倒数第二圈那个数就是从这个49到56我们看。49、50、51、52、53、54、55、56就是倒数的第二圈，和倒数的第一圈，正数的第一圈，和正数的第二圈，就是这一共有四圈，都构成这种像类似八卦的
  • 这么一个图形。所以这个图，所以说这个是非常奇妙的，非常奇妙的。就是像刚才所介绍的，如果把1到64按8个数一组，分为8组，每一组数的排列都很有规则，很有规则。
  • 1到8这8个数构成环形，这个分别表示乾、坤、艮、坎、巽、震、离、兑，正是八卦的位置，只是这个八卦，它的方位和先天八卦、后天八卦都不太一样。9到16这8个数的位置，正处于1至8这8个数的外圈对角位置，就刚才我们看到的对角位置，
  • 非常有规律地分布着。49到56这一圈，紧贴着这个1至8的外侧，也构成一个环形，57到64也贴着这个1到8的外侧，又构成一个环形，所以这四个环形呈对称互补的这么一个规律。除了这四圈之外，如果我们再来考察其它的这个4组数，
  • 就还有4组嘛一共还有这个四八三十二个数，就是17到24、25到32、33到40、41到48，这在里面也很有规律，我们就不再仔细地再来看它了，如果有兴趣的话，大家可以看看这里面的几组数也很有规律。很有规律，
  • 所以这个图，不知道当时李简他是怎样研究出来的，就是动多少脑筋，研究这么一个非常奇怪而奇妙的一个图，所以我认为这个图呀是妙不可言的，它是这个8阶幻方的一个非常典型的情况，而且是和我们所说的河图关系非常密切的一个8阶幻方图。
  • 现在讲第五个问题，洛书数字排列原理的推论和应用。如前面所讲的，洛书的数字排列原理是构成所有奇数阶次幻方的基础。现在，我们还可以在洛书数字排列的基础上
  • 进行推论，构造出各种形式的幻方。洛书表示的3阶幻方就是原来说过的就是这么一个图。在这个基础上，可以做出的推论很多，这里主要介绍四种类型。类型一在自然数的序列中任意截取9个连续的数，按洛书的数字规则排列，都可以形成幻方。
  • 第一种类型，在自然数的序列中任意截取9个连续的数，按洛书的数字规则排列，都可以形成幻方。意思就是这个洛书的9个数就是1到9，分别加上一个相同的数，仍然是幻方。
  • 比如说从1到9这9个数各加100，就是从101到109，这么9个数，如果按照这个洛书的原理，排列起来也是幻方。就是这样一个图，这个图很显然，这个101在这个洛书中间1的位置，
  • 然后102、103、104、105、106、107、108、109，这就是和这个洛书的从1到9的那个数字排列顺序完全一样。就是在这个原来9个数各加100，从101到109，它同样可以构成幻方。
  • 那这个幻方的幻方常数是315。这个幻方常数的计算就和前面所说的那个公式不太一样。前面那个公式就是n（1+n2）那只能计算于，计算那个从1开始的连续的自然数用那个公式。所以这是一种类型。类型二洛书的9个数分别乘以一个相同的数，仍然是幻方。第二种类型洛书的9个数
  • 分别乘以一个相同的数，仍然是幻方。比如说我们把洛书的从1到9各乘以100，就是从100到900这样9个数。按照洛书的数字排列规则，排列起来它仍然是幻方。就是这样一个图，这就从100开始，就是在那个洛书中间的
  • 1的位置。然后这个200、300、400、500一直排到900。900就是在这个洛书的9的位置了。这个次序，就是和洛书的从1到9的次序是完全一样的。它也同样构成幻方。这个幻方的幻方常数那就是1500。同样在这个洛书的幻方常数也乘以100，100倍。
  • 这是第二种类型。类型三用洛书原理可以构造非常规幻方第三种类型用洛书原理可以构造非常规幻方。这个非常规幻方可以有各种各样的形式，其中在这介绍两种。在1900年西方有个数学家叫杜德尼
  • 他构造出一种素数幻方。所谓素数就是质数，在数论当中，素数，就是质数，是只能被1和自身整除而不能被其他任何数整除的数。就是这样的数叫质数，只能被1和自身整除，不能被任何其它数整除的这样的数叫质数。杜德尼他就是用全部质数，来组成一个幻方。他做这个幻方是这样子的。
  • 从1，选9个数，1、7、13、31、37、43、61、67、73这么9个数。它的排列顺序从小到大，仍然是按照洛书从1到9的次序。这个最小的数1在洛书中间的1的位置，最大的数，还在洛书中间的9的位置。
  • 所以这个幻方杜氏素数幻方叫做“杜氏素数幻方”。它就是一个非常规幻方。在二十世纪初的数学界，1是被作为素数看待的。后来呢这个国际数学界谈到质数问题，谈到素数问题认为1不是素数，素数从2开始。再后来又一个数学家鲁道尔夫
  • 这个数学家就是叫鲁道尔夫他又重新做出来一个由素数构成的3阶幻方，就是这样一个幻方，他选择的质数最小的是5，最大的是113。从5到113这9个质数，它排列的顺序，仍然是按照洛书从1到9的顺序。
  • 5、17、在2的位置。29在3的位置依次类推。到最大的数113在9的位置。这个幻方叫鲁氏幻方“鲁氏幻方”。举这两个例子说明了，这样的非常规幻方，它在构成的基本的规则，和洛书的数字排列原理是完全一致的。类型四用洛书原理构造组合幻方。
  • 第四种类型，用洛书原理构造组合幻方。在洛书原理的基础上，凡是阶数为3的倍数的幻方，都可以用组合的方法进行构造。在能够做出4阶幻方的基础上，凡是4的倍数的幻方，也可以用组合法进行构造。
  • 这里我们以12阶幻方为例来演示一下。12是3与4的乘积，12的平方等于3的平方和4的平方之和，就是：122=（3×4）2=9×16=144122=（3×4）2=9×16=144这个我们做的办法就是把从1到144分成9组，
  • 每组16个数，各做成一个4阶幻方，然后把这9个4阶幻方按照洛书的数字排列规则摆放起来，就成为一个12阶的幻方。我们看就是这样一个图。这个最小的一组从1到16，组成一个4阶幻方，
  • 在洛书中间的1的位置。然后这个9个4阶幻方按照这个洛书的次序，1、2、3、4、5、6、7、8、9。最大的这一组数是从129到144。这个最大的这个幻方在洛书中间的9的位置。就是说我们把这个12阶幻方
  • 由9个4阶幻方组成，按照洛书的数字次序排列，它就构成一个12阶幻方。这个12阶幻方，它也具有幻方的基本性质，就是每一横行，每一竖列，和两条对角线的12个数，和都相等。这个12阶幻方的P12=×12×（1﹢122）=870幻方常数是870。同样道理，
  • 我们把这个从1到144，分成16组，每组9个数，这每一组9个数，按照洛书的数字排列规则，可以做成一个3阶幻方。然后把这个16个3阶幻方，按照4阶幻方的规则摆放起来也构成12阶幻方。这就是这个图，从这个图上可以看出
  • 这是16块，每一个小块它是一个3阶幻方，就是说从这个1到144，我们把它分成16组，最小的一组是从1到9，构成一个3阶幻方。然后每9个数，组成一个3阶幻方，这一共做成16个，这16个摆放的规则按照4阶幻方的规则
  • 把它摆起来，这就组成了一个12阶幻方，这个12阶幻方和刚才那个12阶幻方不同，但是同样它具有幻方的基本性质，就是说每横行，每竖列和两条对角线的和，都等于870。当然我们还可以，根据洛书的基本原理，构造其它形式的组合幻方，总之是幻方的形式千变万化，
  • 总是离不开洛书的原理。这一节就讲到这里，谢谢大家。
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