终极三国2017周瑜剧照:2.1.1指数与指数幂的运算

课题：§2.1.1指数

教学目的：（1）掌握根式的概念；

（2）规定分数指数幂的意义；

（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；

（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；

（5）了解无理数指数幂的意义

教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质

教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 

教学过程：

一、 引入课题

1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性

2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；

3． 复习初中整数指数幂的运算性质；

4． 初中根式的概念；

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；

二、 新课教学

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且∈*．

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．

式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）．

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．

思考：（课本P58探究问题）=一定成立吗？．（学生活动）

结论：当是奇数时，

当是偶数时，

例1．（教材P58例1）．

解：（略）

巩固练习：（教材P58例1）

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义

规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．有理指数幂的运算性质

（1）· ；

（2） ；

（3） ．

引导学生解决本课开头实例问题

例2．（教材P60例2、例3、例4、例5）

说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．

巩固练习：（教材P63练习1-3）

4． 无理指数幂

结合教材P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．

指出：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

思考：（教材P63练习4）

巩固练习思考：：（教材P62思考题）

例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

解：（略）

点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．

三、 归纳小结，强化思想

本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

四、 作业布置

1． 必做题：教材P69习题2．1（A组） 第1－4题．

2． 选做题：教材P70习题2．1（B组） 第2题．

课题：2.1.1指数与指数幂的运算3

一、学习目标： 1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；

3.培养学生的数学应用意识。

二、学法指导：复习已经学习的知识，要强加练习

三、知识要点：掌握根式与分数指数幂的互化，化简、求值.

四、教学过程：

（一）复习：（提问）

1．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，()=a.

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：，（a0）.

2．分数指数幂的运算性质：  

（二）新课讲解：例题分析：

例1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1)      （２）         （３）  

（４）  （５）       （6）

解：（１）

(2) 

(3)       （４）

（５）      （６）

例2计算下列各式（式中字母都是正数）：

⑴ ；⑵ .

解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；

⑵原式=

说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.

例3计算下列各式：

⑴ ；⑵ (a>0).

解：⑴原式=

=；

⑵原式=.

说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数

例4化简：

解：   

评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决

例5．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.

解：（1）

，

∴，

又由得，∴，

所以.

（2）（法一）

，

（法二）

而

∴，

      又由得，∴，所以.

评述：（1）第（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意；

（2）第（2）题解法一注意了第（1）小题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用。

五、课堂小练

1. 练习求下列各式的值：

(1)             （２）        （３） 

（4）      （5）     （6）

六、课堂小结：

1.进一步熟悉有理指数幂运算性质在化简求值中的应用，并掌握一定的解题技巧，提高数学解题的能力。

2.要善于把所求的结论与已知条件联系起来，对学的公式如立方和公式、平方和公式的等要灵活运用。

七、学习感悟                                                                                                                       

八、作业：    课本第78页  练习：4；

高考资源网

1．若(a－3)4(1)有意义，则a的取值范围是(　　)

A．a≥3          B．a≤3

C．a＝3          D．a∈R且a≠3

【解析】　要使(a－3)4(1)有意义，∴a－3≥0，∴a≥3.故选A.

【答案】　A

2．下列各式运算错误的是(　　)高考资源网

A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8

B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3

C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6

D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18

【解析】　对于C，∵原式左边＝(－1)2·(a3)2·(－1)3·(b2)3＝a6·(－1)·b6＝－a6b6，∴C不正确．

【答案】　C

3．计算[(－)2]－2(1)的结果是________．

【解析】　[(－)2]－2(1)＝2－2(1)＝2(1)＝2(2).

【答案】　2(2)

4．已知x2(1)＋x－2(1)＝3，求x2＋x－2－2(x＋x－1－3).

【解析】　∵x2(1)＋x－2(1)＝3，

∴(x2(1)＋x－2(1))2＝9，即x＋x－1＋2＝9.

∴x＋x－1＝7.

∴(x＋x－1)2＝49

∴x2＋x－2＝47.

∴原式＝47－2(7－3)＝45(4).

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.2(1)0－(1－0.5－2)÷8(27)3(2)的值为(　　)

A．－3(1)  B.3(1)

C.3(4)  D.3(7)

【解析】　原式＝1－(1－22)÷2(3)2＝1－(－3)×9(4)＝3(7).故选D.

【答案】　D

2.(a>0)计算正确的是(　　)

A．a·a2(1)a2(1)＝a2  B．(a·a2(1)·a4(1))2(1)＝a8(7)

C．a2(1)a2(1)a2(1)＝a2(3)  D．a4(1)a4(1)a8(1)＝a8(5)

【答案】　B

3．化简a(－a3)的结果是(　　)

A.  B.

C．－  D．－

【解析】　由题意知a<0

∴a(－a3)＝－a2(－a3)＝－.故选C.

【答案】　C

4．若|x|－2(4)有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x≥2或x≤－2  B．x≥2

C．x≤－2  D．x∈R

【解析】　要|x|－2(4)有意义，只须使|x|－2≥0，即x≥2或x≤－2.故选A.

【答案】　A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．计算(0.064)－3(1)－8(7)0＋[(－2)3]－3(4)＋16－0.75＋|－0.01|2(1)＝________.

【解析】　原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1

＝4(10)－1＋16(1)＋8(1)＋10(1)＝80(143).

【答案】　80(143)

6．若x>0，则(2x4(1)＋32(3))(2x4(1)－32(3))－4x－2(1)(x－x2(1))＝________.

【解析】　根据题目特点发现(2x4(1)＋32(3))(2x4(1)－32(3))是一个平方差的形式，依据公式化简，然后进行分数指数幂的运算．

因为x>0，所以原式＝4(1)2－2(3)2－4x－2(1)·x＋4x－2(1)·x2(1)＝4x4(1)×2－32(3)×2－4x－2(1)＋1＋4x－2(1)＋2(1)＝4x2(1)－33－4x2(1)＋4x0＝4x2(1)－33－4x2(1)＋4＝4－27＝－23.

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．化简：2(1)－2(1).

【解析】　原式＝2(1)－2(1)＝a2(1)－b2(1)－(a2(1)－b2(1))＝0.

8．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，求ab－a－b的值．

【解析】　方法一：因为ab＋a－b＝(a2(b)＋a－2(b))2－2，

所以2(b)2＝ab＋a－b＋2＝2(＋1)，

又a2(b)＋a－2(b)>0，所以a2(b)＋a－2(b)＝　①；

由于a>1，b>0，则a2(b)>a－2(b)，即a2(b)－a－2(b)>0，

同理可得a2(b)－a－2(b)＝　②，①×②得ab－a－b＝2.

方法二：由a>1，b>0，知ab>a－b，即ab－a－b>0，因为(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4，所以ab－a－b＝2.

说明：两种方法都体现了活用乘法公式和整体处理的方法，这两种方法是求解这类问题的常用方法．

9．(10分)已知x>0，y>0，且(＋)＝3(＋5)，求－y(xy＋3y)的值．

【解析】　由(＋)＝3(＋5)，得x－2－15y＝0，

即(＋3)(－5)＝0，因为＋3>0，

所以－5＝0，于是有x＝25y.

所以原式＝25y＋5y－y(50y＋5y＋3y)＝29y(58y)＝2.

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