浅谈如何使数学解题方法更灵活

孙 珍  安康学院
【摘  要】数学是集科学性、思想性、方法性和知识性于一体的基础性科学，数学思想是对数学知识内容和所使用方法的本质认识，是数学知识在更高层次的抽象概括和提炼，数学思想支配着数学的实践活动。本文结合具体的例子，从四个方面阐述了利用数学思想，使解题思路更开阔、更灵活的方法。
【关键词】方法  数学思想  解题  灵活
【中图分类号】G642        【文献标识码】A        【文章编号】1674－4810（2011）10－0004－02 
        数学是集科学性、思想性、方法性和知识性于一体的基础性科学，数学的学习使学生获得适应未来社会生活必需的数学知识和基本数学思想方法及必要的应用技能。北京师范大学钱佩玲教授指出：“数学思想方法是以数学内容为载体，基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性知识，是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。”.数学思想是对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括出来的，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识，数学思想直接支配着数学的实践活动。
        一 利用数学思想做指导，使解题方法更灵活
        数学思想能把知识的学习和培养能力、发展智力有机地联系起来。数学思想方法作为数学知识的本质，它为分析、处理、解决数学问题提供了指导方法和解题策略，为灵活解题提供了指导性的观点。在数学学习中，常用的数学思想方法大致有以下几类：一般与特殊思想、转化思想、函数思想、数形结合思想等。只要我们善于分析归纳，灵活利用数学思想解题，定会起到事半功倍的效果。下面结合几个具体的例子，谈谈如何利用数学思想做指导，使我们的解题思路更开阔，解题方法更灵活。
        1．函数思想
        函数是刻画变量间关系的常用模型，函数的思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题转化问题，从而使问题获得解决。函数知识揭示了在运动与变化过程中，量与量存在的一般性规律，研究函数的性质和图像，即探寻用运动、变化的观点来观察、分析问题。尤其是对于一些常见的实际问题的处理，我们更需要转化为数学问题，分析变量之间的联系，构造函数，利用相关函数的思想借助导数等相关定理解决问题。
        例1：设AD、BE、CF为锐角三角形ABC的三条高线，则三角形DEF称为三角形ABC的垂足三角形。证明：这些高线平分垂足三角形的内角。
        解析：根据问题的条件及所给出数量关系，构造函数关系式，使原问题在函数关系中实现转化，再借助函数图像与性质，就能化难为易，从而解决问题。该题可转化为一次函数问题，从而能利用解析几何的有关知识来处理，从而使问题的解决思路更开阔灵活。
        证明：以AD、BC分别为y轴和x轴建立直角坐标系，D为坐标系原点。设三角形的顶点和垂心坐标为A（0、α），B（β，0），C（γ，0），P（0，λ），用截距式写出BD，AC的方程 ， 联立解得交点M的坐标，所以直线DM的斜率为 。在此，写出直线DN的斜率 。可见直线DM与DN对称于x轴和y轴。
        所以AD为角MDN的角平分线。同理，可证的另外两线为角平分线。
        2．转化与化归的思想
        数学方法论中所论及的转化是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法，该方法在解题中被广泛用到。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，数与形的转化，多元向一元转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现，同时也包含了由复杂向简单的转化、由未知向已知的转化、由抽象向直观的转化、由函数向方程的转化等多种转化与化归思想解决问题的方法。
        
        3．特殊化思想
        特殊化思想的意义在于当研究的对象比较复杂时，通过对其特殊情况的研究，将会使我们对研究的对象有一个初步了解，并且帮助我们熟悉所面临问题的类型，这对于进一步处理以至最终解决这个问题有很大好处。另外，事物的共性存在于个性之中。对个别的特殊情况的讨论，常常可以凸现问题的关键，从而揭示问题的本质。只要我们寻找到题目蕴涵的特殊和一般之间的联系，运用特殊化思想能起到事半功倍的效果。
        例3，已知：在椭圆中，AB为椭圆的直径（即AB过椭圆的中心），从椭圆上一点C作切线EF与过点A、点B的切线交于E、F，过点C作CD∥AE∥BF交AB于D，连接BE交CD于M。求证：BE平分CD。
        解析：该题直接证明复杂，而欧氏几何是仿射几何的子几何，可以用仿射观点研究一些欧氏几何命题。仿射变换保留点线的结合性，很多一般形状的图形都可以由特殊图形仿射变换得到，所以对于只涉及点线的有关数学问题，我们可以利用从特殊到一般的思想，只就特殊问题证明，一般问题的结论自然就成立。因为椭圆可以由圆径仿射变换而得，因此只就圆证明即可，对圆来说结论显然。
        4．数形结合的思想
        数形结合的思想就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的性质，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
        例4，求方程lgx－sinx＝0的解的个数。
        解析：对于这道题，用我们常用的解方程的知识难以判断出其解的个数的，但是，如果用数形结合的思想分析一下此题就会知道：此方程解的个数为y＝lgx的图像与y＝sinx的图像的交点个数。因为sinx≤1，lgx≤1，所以0≤x≤10。平面直角坐标系中作出两个函数的图像，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。
        二 结论
        数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识中，经过思维活动而产生的结果，要提高我们分析和解决问题的能力，形成用数学的意识解决问题，这些都离不开数学思想。除了上述讨论的几种数学思想以外，如分类讨论思想、类比思想、方程思想等都是数学解题中常用的思想，只要我们善于分析归纳，将数学思想灵活运用，定能开阔解题思路，更好地掌握这门课程的知识。
参考文献
［1］莫里斯?克莱因.古今数学思想［M］.上海：上海科学技术出版社，2007
［2］张顺燕.数学的思想、方法和应用［M］.北京：北京大学出版社，2009
［3］同济大学数学系编.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2007
［4］朱德祥.初等几何研究［M］.北京：高等教育出版社，2008