安庆大观区海口镇面积:2010全国中考数学试题汇编:压轴题(六)及答案
2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(六)
(1)求
(2)如果动点E、F同时分别从点A、点B出发,分别沿A→B、B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E、F随之停止运动.设运动时间为
①试求出S与
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3分)
解:(1)由已知A(0,6)、B(6,6)在抛物线上,
得方程组: ······1分 解得: ·············3分
(2)①运动开始
S=
因为
所以当
②当S取得最大值时,由①知
若存在某点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形,
则
或者
再将所求得的三个点代入
25、(茂名市本题满分8分)已知⊙O1的半径为R,周长为C.
(2)如图,在直角坐标系
①当直线
②当反比例函数
求
解:
(1)证明:
因此,
∴点N的坐标为N(R,
把点N坐标代入
②如图,设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D,则由已知,直线OO1:
过点A作AB⊥
因此点A的坐标是A
将点D的坐标代入
所以当反比例函数
(1)求出抛物线的解析式;
(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标;
(3)点P(m,m) 与点Q均在抛物线上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴 对称,求m的值及点Q的坐标;
(4)在满足(3)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得△QMA的周长最小.
解:(1)依题意有
即
∴抛物线的解析式为:
(2)把
∴对称轴方程为
顶点坐标
(3)由点
有
即
∴
∴
∵点
∴
(4)连接
由于
设直线
∴有
∴直线
设点
则有
此时点
26.(湘潭市 本题满分10分)
如图,直线
(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式;
(2) 过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA·OD,求证:DB是⊙C的切线;
(3) 抛物线上是否存在一点P, 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1)A(6,0),B(0,6) ……………………1分
连结OC,由于∠AOB=90o,C为AB的中点,则
所以点O在⊙C上(没有说明不扣分).
过C点作CE⊥OA,垂足为E,则E为OA中点,故点C的横坐标为3.
又点C在直线y=-x+6上,故C(3,3) ……………………2分
抛物线过点O,所以c=0,
又抛物线过点A、C,所以
所以抛物线解析式为
(2)OA=OB=6代入OB2=OA·OD,得OD=6 ……………………4分
所以OD=OB=OA,∠DBA=90o. ……………………5分
又点B在圆上,故DB为⊙C的切线 ……………………6分
(通过证相似三角形得出亦可)
(3)假设存在点P满足题意.因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,
则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ……………………7分
若∠CAP=90o,则OC∥AP,因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b.
又AP过点A(6,0),则b=-6, ……………………8分
方程y=x-6与
故点P1坐标为(-3,-9) ……………………9分
若∠COP=90o,则OP∥AC,同理可求得点P2(9,-9)
(用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点P1坐标为(-3,-9)和P2(9,-9)满足题意.…………10分
28.(甘肃省 本小题满分12分)如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
解:(1)设该抛物线的解析式为
由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知
即抛物线的解析式为
把A(-1,0)、B(3,0)代入, 得
解得
∴ 抛物线的解析式为y = x2-2x-3. ……………………………………………3分
∴ 顶点D的坐标为
说明:只要学生求对
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分
理由如下:
过点D分别作
在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴
∴
(3)连接AC,可知Rt△COA∽ Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0). ………10分
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD,
求得符合条件的点为
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD,
求得符合条件的点为P2(9,0). …………………………………………12分
∴符合条件的点有三个:O(0,0),
26.(桂林市 本题满分12分)如图,过A(8,0)、B(0,
(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)设直线
解(1)C(4,
(2)∵D点的坐标是(
∴DE=
∴等边△DEF的DE边上的高为:
∴当点F在BO边上时:
当0≤
=
=
当3≤
S=
=
(3)存在,P(
说明:∵FO≥
∴以P,O,F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP,
若FO=FP时,
30. (江西省南昌市)
课题:两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题.
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α(α<∠A1A0B1),θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示.
(1)用含α的式子表示:θ3=_________,θ4=_________,θ5=_________;
(2)图1-图4中,连接A0H时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请选择期中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由;
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合(其中,A1与B1重合),现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α(
(3)设θn与上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn的度数;
(4)试猜想在正n边形且不添加其他辅助线的情形下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由.
解:(1)
说明:每写对一个给1分.
(2)存在.下面就所选图形的不同分别给出证明:
选图1.图1中有直线
图1
方法一:
证明:∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴直线
方法二:
证明:∵
∴
∴
又
∴
∴
在
∵
∴
∴
∴直线
选图2.图2中有直线
图2
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴直线
说明:(ⅰ)在图2中选用方法二证明的,参照上面的方法二给分;
(ⅱ)选择图3或图4给予证明的,参照上述证明过程评分.
(3)当
当
(4)存在.当
当
26.(山东省泰安市 本小题满分10分)
如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F。
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,BE=1,求cosA的值.
解:(1)证明:连结AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC (2分)
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD//AB (4分)
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线 (6分)
(2)由(1)知OD//AE
∴
∴
∴
解得FC=2
∴AF=6
∴cosA=
23.(深圳市本题9分)如图10,以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=- 3x- 3与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.
(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;(3分)
(2)如图11,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求cos∠QHC的值;(3分)
(3)如图12,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.(3分)
解:
(1)、如图4,OE=5,
(2)、如图5,连接QC、QD,则
(3)、如图6,连接AK,AM,延长AM,
与圆交于点G,连接TG,则
由于
而
在
故
即:
故存在常数
常数
25、(天津市 本小题10分)
在平面直角坐标系中,矩形
(Ⅱ)若
解:(Ⅰ)如图,作点D关于
若在边
可知△
∵ 在矩形
∴
∵ OE∥BC,
∴ Rt△
∴
∴ 点
(Ⅱ)如图,作点
∵ GC∥EF,
又
∴ 此时得到的点
∵ OE∥BC,
∴ Rt△
∴
∴
∴ 点
26、(天津市 本小题10分)
在平面直角坐标系中,已知抛物线
(Ⅰ)若
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC,求此时直线
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC,且顶点
解:(Ⅰ)当
∴ 抛物线顶点
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点
∴ 抛物线的解析式为
∴ 此时,抛物线与
∵ 方程
∴ 此时,抛物线与
如图,过点
∵ S△BCE = S△ABC,
∴ S△BCF = S△ABC.
设对称轴
则
由EF∥CB,得
∴ Rt△EDF∽Rt△COB.有
∴
∴ 点
26.( 大连市)如图17,抛物线F:
(1)当
(2)若△ABC为直角三角形,求t的值(用含a的式子表示);
(3)在(2)的条件下,若点A关于
解:(1)结论:
令
解得
设
(2)由题意,
设
即
(3)依题意,点
在
设直线
∴ 直线
(Ⅲ)根据题意,设抛物线的顶点为
则抛物线的解析式为360docimg_502_,
此时,抛物线与360docimg_503_轴的交点为360docimg_504_,
与360docimg_505_轴的交点为360docimg_506_,360docimg_507_.(360docimg_508_)360docimg_509_
过点360docimg_510_作EF∥CB与360docimg_511_轴交于点360docimg_512_,连接360docimg_513_,
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC,
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得360docimg_514_.
设该抛物线的对称轴与360docimg_515_轴交于点360docimg_516_.
则 360docimg_517_.
于是,由Rt△EDF∽Rt△COB,有360docimg_518_.
∴ 360docimg_519_,即360docimg_520_.
结合题意,解得 360docimg_521_. ①
∵ 点360docimg_522_在直线360docimg_523_上,有360docimg_524_. ②
∴ 由①②,结合题意,解得360docimg_525_.
有360docimg_526_,360docimg_527_.
∴ 抛物线的解析式为360docimg_528_. .........................10分
28.(徐州市 本题10分)如图,已知二次函数y=360docimg_529_的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为_______ ,点C的坐标为_______ ;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?
360docimg_530_