濮阳市交警宋彦军:2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.第Ⅰ卷共l2小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
(1)复数
(A)
【答案】B
【命题意图】本题主要考查复数的运算.
【解析】
(2)函数
(A)
(C)
【答案】B
【命题意图】本题主要考查反函数的求法.
【解析】由原函数反解得
(3)下面四个条件中,使
(A)
【答案】A
【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
【解析】即寻找命题
(4)设
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
【答案】D
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【解析】解法一
解法二:
(5)设函数
(A)
【答案】C
【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.
【解析】由题意得
(6)已知直二面角
足.若
(A)
【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法.
【解析】如图,过
∴
(7)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本,则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
【答案】B
【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力.
【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有
二是取出2本画册,2本集邮册,此时赠送方法有
(8)曲线
(A)
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.
【解析】
(9)设
(A) -
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.
【解析】由
(10)已知抛物线C:
(A)
【答案】D
【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.
【解析】联立
(11)已知平面α截一球面得圆
(A)7
【答案】D
【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.
(12)设向量
(A)2 (B)
【答案】A
【解析】如图,设
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第Ⅱ卷
注意事项:
1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字
2第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。
3第Ⅱ卷共l0小题,共90分。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作答无效)
(13)
【答案】0
【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
【解析】由
(14)已知
【答案】
【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式.
【解析】由
∴
(15)已知
【答案】6
【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质.
【解析】
又点
(16)己知点
【答案】
【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.
【解析】延长
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效)
【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【解析】由
又由
=
=
因为
所以
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
(18)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;
(Ⅱ)
【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望,考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】记
(I)
(Ⅱ)
所以期望
【点评】概率与统计是每年的必考题,一般安排在解答题的前3题.本题属于已知概率求概率类型. 考查保险背景下的概率问题,要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.
(19)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)求
【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算,注重与平面几何的综合.
解法一:(Ⅰ)取
又
由
所以
另解:由已知易求得
(Ⅱ)由
作
作
连结
又
作
由于
解法二:以
设
又设
(Ⅰ)
由
故
由
又由
即
于是
故
所以
(Ⅱ)设平面
则
又
故
取
故
【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系,基本上可以处理立体几何绝大多数的问题;为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大,问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这样的问题,很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好.
(20)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
设数列
求
(Ⅱ)设
【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明,考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】(Ⅰ)由题设
即
又
所以
【点评】2011年高考数学全国卷将数列题由去年的第18题后移,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.
(21)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
(I)证明:点
(II)设点
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
【解析】(I)
设
则
由题意得
所以点
经验证点
(II)由
设
由①、②得
故
又
所以
由此知
【点评】本题涉及到平面微向量,有一定的综合性和计算量,完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化,都保持全卷倒数第二道题的位置,这点考生非常适应的。相对来讲比较容易,是因为这道题最好特点没有任何的未知参数,我们看这道题椭圆完全给出,直线过了椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率不给出,需要通过一定条件求出来,或者根本求不出来,这道题都给了,反而同学不知道怎么下手,让我求什么不知道,给出马上给向量条件,出了两道证明题,这个跟平时做的不太一样,证明题结论给大家,需要大家严谨推导出来,可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙,非常涉及解析几何本质的内容,一个证明点在椭圆上的问题,还有一个疑问既然出现四点共圆,这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题,让学生掌握解析几何的本质,而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题,最后方法用代数方法研究几何的问题,什么是四点共圆?首先在同一个圆上,首先找到圆心,四个点找圆形不好找,最简单的两个点怎么找?这是平时的知识,怎么找距离相等的点,一定在中垂线,两个中垂线交点必然是圆心,找到圆心再距离四个点距离相等,这就是简单的计算问题。方法确定以后计算量其实比往年少.
(22)(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
(I)设函数
(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式360docimg_503_连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为360docimg_504_.证360docimg_505_明:360docimg_506_
【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【解析】(I) 360docimg_507_ …………………………2分
当360docimg_508_时, 360docimg_509_,所以360docimg_510_为增函数,又360docimg_511_,因此当360docimg_512_时,
360docimg_513_. …………………………5分
(II) 360docimg_514_.
又360docimg_515_
所以360docimg_516_.
由(I)知: 当360docimg_517_时, 360docimg_518_
因此 360docimg_519_.
在上式中,令360docimg_520_,则 19360docimg_521_,即360docimg_522_.
所以360docimg_523_ …………………………12分
【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力360docimg_524_.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,有时还伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.