重庆大渡口旅游学校:引力势能质疑解惑

引力势能质疑解惑   别世富

1、别扭的引力势能

物理认为：在地球引力场和氢核库伦场有心引力系统中，航天器与电子皆具有负引力势能；且物理学中通常把无穷远处定为势能零点，因为势能是相对的——

航天器m与地球M是一个机械能守恒系统，且无穷远处（记为r_∞）为引力势能的零势能点，航天器的势能为E_p=－GMm/r，由GMm/r²=mv_r²/r（v_r为轨道半径为r时公转速率），其动能E_k＝GMm/2r，则轨道机械能E_r=E_p+E_k＝－E_k；玻尔认为：对有限n值，电子束缚在氢原子中的一系列能量皆为负值，因为能量零点在n→∞处，轨道能E_n为动能T_n和势能V_n=－ke²/r_n之和，由ke²/r_n²=m_ev_n²/r_n，→T_n= ke²/2r_n，则 E_n =－ke²/2r_n＝－T_n 。

依符合机械能守恒定义的势能本意，应在保守力的正方向上有释放趋势，比如被举高的物体，其势能总是相对于地面而言；势能的大小由保守力可作的功来量度。m或m_e由轨道r移动到r_∞，势能之差为0－E_p=GMm/r，势能增加，引力做负功，显然GMm/r反映的是r_∞相对r轨道的势能增量——其实是以r轨道为势能零点，而负号为逻辑运算——好比一人站在山腰h/3处说，我相对于山底有mgh/3的重力势能，而相对于山顶有－2mgh/3的引力势能，其实是说他到山顶后将具有相对现在位置的势能为2mgh/3。

总而言之，轨道r上的物质m具有的非数学逻辑意义上的势能——本应是r轨道相对于力心至r之间某一指定零势面r_n，可转化为动能的正势能，书上所谓的引力势能公式表达的并非机械能守恒的势能量。波尔理论由相对的轨道势能与绝对的动能相加，从而得到绝对的轨道定态能肯定会引起认识上的混乱。

2、引力势能及轨道能本质

在r轨道以速度 v_r 圆周运转的航天器m，由ma=GMm/r²，v_r²·r守恒于GM（对于氢原子， v_n²·r_n≡ke²/m_e）——v_r² 与r一一对应，显然 v_r² 是场的固有特性——位势的体现，位势∝1/r。其轨道引力加速度a_r=v_r²/r=GM/r²，与点电荷库伦场电场强度E=kQ/r²相类，a反映重力场强度，显然无穷远处的场强（a\E）为零；变换一下有a·r=GM/r及E·r=kQ/r成立，实质上反映的是r轨道处的位势及电势（电场中的位势φ），相应于r_∞处的场强为零：无穷远处是位势为零，而非位能（势能）为零，r轨道位势为a_r·r= v_r² =GM/r（由ke²/r_n²=m_ev_n²/r_n，氢原子核电场中r_n处的电势 φ_n = ke/r_n= v_n²·m_e/e）

则m由r等势面脱离地球引力时引力所做负功，可由位势差GM(1/r_∞-1/r)乘m得到：（与W=qU相类）

 W= m·(0－GM/r）=m·(0- v_r² ）=－mv_r²＝－GMm/r，或

W= m·(0－a_r·r) =－ma_r·r =－m·GM/r²·r =－GMm/r，

物理所谓引力势能E_p=－GMm/r（V_n=－ke²/r_n类似），等于由等势面r脱离引力场，引力所作负功W＝－|△Ep|，大小相当于把轨道上动能为0的物质，加速而逃逸引力场所需补偿的能量|E_p|=GMm/r（若由地面R发射逃逸，由能量守恒有：mV_Ⅱ²/2＝GMm/R，由此即可求得第二宇宙速度V_Ⅱ）；引力势能的绝对值实际表示的是r→r_∞的位能增量

由于m在r轨道本身具有公转动能为E_k＝|E_p|/2，设刚脱离时动能为0，由r轨道脱离所需补偿脱离能为|E_r’|，则由能量守恒有E_k+|E_r’|=0+|△E_p|=|E_p|，易得|E_r’|=GMm/2r＝mv_r²/2 ＝E_k，

若把需补偿理解为负，则补偿的脱离能为－|E_r’|＝E_k－|E_p|＝－E_k ，与波尔理论相对照，所谓轨道定态能及能级的实质，反映的是轨道脱离能/电离能的高低——对于轨道物质从r脱离（电子电离）而言，由于轨道物质（电子）本身具有|E_p|/2的公转动能，故只需补偿|E_r’|＝|E_p|/2的脱离能/电离能，其大小等于r轨道公转动能；轨道越低，所需补偿的能量越大。（负值仅为数学意义，表示补偿，物理意义上的能量只能为正）

宏观与微观不约而同取无穷远处为零势能面，从而得到合乎客观的结论，只因如此处理，所谓负轨道(机械\定态)能绝对值恰等于轨道动能，若把零势面取在任意轨道，将不能自圆其说——课本其实只能限定无穷远处为引力势能零点。电子在电离过程中，电场力做负功，若电子永远处于电场力之中，电荷的电势能就一定不断积累，真正衰减的其实是电场强度/电势，无穷远处是电势（位势）为零，而非势能（位能），我们不能偷梁换柱，据此限定无穷远处为引力势能的零势能点。

3、轨道跃迁其实不适用机械能守恒

把航天器m由近地初始（基态）正圆轨道R，从第一宇宙速度V_Ⅰ加速至V，由一椭圆（转移）轨道转移到另一较大正圆（同步）轨道r，且它刚能到达r轨道时速率为v（V\v分别为近地点\远地点速率），维持r正圆轨道的公转速率为 v_r ，

椭圆轨道可定义为R\r势箱，箱内适用ωr²守恒→VR = vr，及机械能守恒→mV²/2=mv²/2+△E_p，是一个振荡量变过程，势箱几何平均场强 ā=GM/Rr，于是，

△E_p= m ā(r-R)= GMm(r-R)/Rr＝GMm(1/R-1/r)= mV²/2- mv²/2

而不同轨道可视为不同势箱，势箱之间意味产生质变，箱间适用Rv²守恒→ v_r²r＝GM，初始轨道位势为aR=GM/R=V_Ⅰ²，r轨道位势为a_r·r =GM/r= v_r² ，与W=qU相类

 W =m·GM(1/r-1/R)= m(v_r²－V_Ⅰ²) =－ 2(E_Ⅰ－E_r)，

故位能增量|△E_p| = 2(E_Ⅰ－E_r)——等于俩正圆轨道公转动能差两倍，即若由基态R跃迁至r轨道，R轨道相对于r轨道的动能富余只能补充一半的势能增量，必须外力补偿另一半的势能增量——1倍的轨道动能差——才能越轨，由于在只有保守力作用在物体上的情况下可以定义势能，越轨无所谓势能，故不能简单说航天器m与地球M是一个机械能守恒系统，只有在一个势箱之内（椭圆轨道或无所谓轨道——比如小于第一宇宙速度或大于第二宇宙速度发射，所谓引力势能亦可由位势差或平均场强直观得到），才能说机械能守恒。若F_r→0，即脱离引力场，或者此时引力已不能视为保守力，有如弹性势能突破弹簧的弹性限度了，

所谓轨道机械能的本质就是公转动能，对于电子而言，所谓负的轨道定态能的本质是相应轨道的电离补偿能——大小等于轨道公转动能。谈势能往往意味机械能守恒，负引力势能更是令人费解，或反称逃逸位能为佳——建议将势能专用于势箱轨道内，而将位能专用于能级轨道之间；对于电子而言，负的轨道定态能解读为电离能更合理——并非轨道绝对动能与相对势能之和。