宫廷画的特点有哪些:“直线的倾斜角和斜率”教学设计（浙江）

一、内容和内容解析

内容：直线倾斜角与斜率的概念，直线的斜率公式。

内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念：当直线与x轴相交时，取x轴作基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角，当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零，这样，直线倾斜角α的范围是0°≤α＜180°。

直线的斜率是表示直线倾斜程度的代数表示，课本借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”引出直线斜率的概念：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。定义本身给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。

直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式，它沟通了直线斜率与点的代数表示的关系。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

教学重点：抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。

二．目标和目标解析

目标：理解直线的倾斜角和斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：

1.在平面直角坐标系中，观察具体图形并结合动画演示，在探索描述直线的倾斜程度的几何要素中，抽象出直线倾斜角的概念，明确倾斜角的取值范围。

2.借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出描述直线倾斜程度的直线斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角和斜率之间的关系。

3.在探究直线的斜率与直线上两点坐标关系的过程中，掌握过两点的直线的斜率公式的特点，能根据斜率的两个计算公式，求直线的斜率。

4.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法，进一步体会“数形结合”的思想方法。

三．教学问题诊断分析

1．两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念。

2．对斜率概念的理解是本节的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难，教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。

教学难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解。

四．教学条件支持

为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。

五．教学过程设计

（一）开篇语

引导性语言：在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。课后请同学们阅读课本P₁₁₁《笛卡儿与解析几何》，进一步了解关于解析几何的介绍。

那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形？如与x平行或垂直的直线，开口向右或左的抛物线，圆等等。

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。

（二）课题引入

引导性语言：我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线。为此，我们先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。

设计意图：使学生明确本课学习的内容。

（三）探究新知

1．倾斜角概念

问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？

设计意图：明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。 

问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P₁的不同直线的区别在哪里？

设计意图：引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

问题4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。

2．斜率概念

引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，教师适时给出游乐场里的水滑梯，大桥的引桥等教学情景。

问题7：（1）观察图5，6，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？（2）观察图7，坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念。

问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

设计意图：沟通数形关系，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

3．斜率公式

问题10：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P₁(x₁,y₁), P₂(x₂, y₂)（其中x₁≠x₂）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

设计意图：让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。

问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?

设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x₁≠x₂），检验得到公式与P₁，P₂两点的顺序无关。

师生活动：总结两点式斜率计算公式：k=（x₁≠x₂）。

（四）应用举例

例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

变式1.直线的斜率为k，倾斜角为α，若＜α＜，则k的范围是（    ）

A.（-1，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1] D. （-∞，-1]∪[1，+∞）

变式2.设直线的斜率为k，倾斜角为α，若-1<k<1，则α的取值范围是         （    ）

A．（-,）   B.    C.（0，）∪（，）D.

设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。          

设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。

（五）课堂小结

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。

师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

六、目标检测设计

1．已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。

2．已知直线y=xsinθ-1，求该直线倾斜角范围。

3．在x轴上有一点P与Q（2，）倾斜角为150^o,求点P坐标。

4．求证：点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一条直线上。

设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。