贵阳到海口有多少公里:中日高中数学课程比较研究

中日高中数学课程比较研究点击数：646 次  录入时间：2008-1-14 11:20:00  编辑：金子明      中国和日本的数学教育都具有东亚文化传统。近二十年来，日本进行了大量的数学课程改革工作，逐步提出改善学生学习的基本方向是重点精选教学内容、培养学生的创造能力、思维能力、判断能力和表达能力。现在日本的算术、数学教育更强调、重视“基本性”、“个性化”，营造宽松的学习环境，提倡具有愉快感、充实感的数学学习活动；提倡培养学生对数学学习的丰富的感觉；编排了学生身边的、感兴趣的学习内容；注意了学生的不同层次个性和将来的出路，增加选修课时，使课程具有较大的弹性；提倡选择性学习，安排了课题探究和综合学习，进一步体现数学课程个性化、活动化和实践性方面的走向，这些都是引人注目的。我国的传统数学课程，注重了学科知识的系统性，加强学生双基的学习和训练，注意培养学生的逻辑思维能力，但我们的教材长期以来改变不多，内容偏难、偏深、偏窄，且与生活实际联系少，缺少数学的前沿知识。 本文通过对两国高中数学课程的教学大纲、教材等的比较研究和分析，提出我国的高中数学改革应发扬重视基础知识和基本技能的传统优势，学习和借鉴发达国家尊重个性、注重自主教育的先进经验；根据学生的兴趣、认知特点和数学学科的发展，精选与生活实际联系紧密的内容，适当设置选修课，以满足不同层次学生发展的需要，在高中教材中适当介绍前沿性的现代数学内容。 [ 关键词 ] ： 中国、日本、高中、数学课程、比较研究 引言 教育家们认为：“历史上具有重大影响的教育改革，大凡以科技的发展为背景，以课程的改革为核心。”因而，课程已成为教育科学领域中的一块“核心子域”。由于课程问题在任何一个教育体系中都居于中心地位和实力地位，因此，许多国家都把课程研究作为教育科学研究的一个中心问题，重视课程研究是当今世界各国教育科学研究的共同趋势。数学课程是一种有机地组织起来的教学计划，它阐明了学生需要懂得哪些数学、学生怎样达到这些被区分开来的目标，教师怎样帮助学生扩展他们的数学知识，它还包括教与学发生的前因后果。 中国与日本都具有东方文化的特点，在数学交流上有着比较长的历史。日本的数学曾经得到中国三次较大的输入，吸收了中国古代的数学成就，深受古代中国数学思想的影响，中国近代也有过向日本学习的经验。近二十年来，日本受世界教育形势的影响，对理科特别是数学科进行了多次颇有成效的改革，学习和借鉴了西方的改革思想和经验，发展并形成了自己的特色和优势，并以较高的质量受到了世界各国的重视；而我国的数学教育从五、六十年代受前苏联教育思想的影响以来，注重学科的知识体系，强调对学生的基础知识和基本技能的训练，我们的教学大纲、教科书编写、教师的教法长期均没有大的变化。为了落实教育部《面向 21 世纪教育振兴行动计划》，建立现代化的基础教育课程体系， 1999 年我国“数学课程标准研制小组”正式启动，自 2001 年秋季，我国有十多个省市开始执行高中数学新大纲，试用高中数学新教材， 2002 年国家教育部基础教育司课程标准研制小组公布我国《高中数学课程标准》意见稿， 2003 年 4 月公布了《高中数学课程标准》实验稿，新课程实验在全国各地展开。 任何一项改革都需要研究和借鉴别人的经验，寻求一条适合本国的道路。 20 世纪 90 年代是世界教育改革最频繁的年代，世界政治格局的变化，科学技术的进步，特别是信息时代的到来，都给教育提出了新的要求，各国教育改革也有许多新经验。我国教育改革与发展，必须了解世界教育改革的新动向和研究的新成果。日本的数学教育近年来取得了比较大的成绩，引起了世界各国的关注。我国学者对日本的新的学习指导要领、中学数学教育目的、内容、课程设置做了比较多的介绍和分析，提出了一些有益的见解。但这些研究往往零散而不系统，且大多集中在某些方面，如对教育思想、课程目的、课程设置、改革方针等的研究上，很少深入中学课堂和教材作具体的、细致的本质分析。 日本上世纪 90 年代的中学数学教育改革反响良好，得到了世界的肯定，正在进行的新一轮教育改革也将引起世人的关注。本文拟在前人研究的基础上，采用比较法和文献法，对现有资料进行分析、归纳和总结，并将深入分析上世纪 90 年代的高中数学教材，与我国长期使用的高中课本进行对比，以揭示日本数学课程的发展趋势，探索现代数学课程发展的特点、规律以及方向，提出我国的高中数学教育改革应发扬传统的重视基础知识和基本技能的优势，学习和借鉴别国的先进教育经验，结合数学学科的特点和学生的认知水平选编教材内容，适当介绍数学前沿课题，希望能对正在实施的《高中数学课程标准》和新教材的试用有所启示和借鉴。 1 、影响日本数学教育改革的有关理论 1.1 、培利 -- 克莱因教育思想 1901 年，培利发表了关于数学教育改革的重要演讲《数学的应用》，强调了数学的实用价值，提出数学教育的目的，要强调应用，主张让学生自己去思考、发现和解决数学问题，提倡引起学生兴趣，结合实际学习数学，对于当时保守的数学教育思想给予有力的一击。 1904 年德国著名数学家克莱因（ F.klein ）做了题为《关于数学和物理教学的问题》的报告。他提出：数学教育应该强调三点：（ 1 ）提倡数学理论应用于实际；（ 2 ）教材内容应以函数概念为中心；（ 3 ）应该运用教育学、心理学的观点来指导教学活动。他在自己的一些著作中提出以函数概念统一数学教育内容的思想，主张加强函数和微积分的教学，改革、充实代数内容，用几何变换的观点改革传统的几何内容，把解析几何纳入中学数学内容。这些数学教育改革的思想和观点，对于各国中学数学教育的影响是深刻的。 20 世纪初，在培利 -- 克来因数学改革运动的影响下，日本开始在个别学校进行改革实验。 1924 年，小仓金之助的《数学教育的根本问题》和左藤良一郎的《初等数学教育的根本的考察》两书，介绍了培利、克莱因数学教育改革的思想，强调“数学教育的意义，在于开发科学精神”，“数学教育的核心，在于养成函数观念”。 1.2 、杜威的教育理论 1951 年（昭和 26 年）文部省修改和补充了“学习指导要领（试行草案）”，以“学习指导要领（试行方案）”的名称颁布施行。这个“试行方案”将“学科课程”改名为“教育课程”。美国教育使节团报告书提出编制课程的要求，首先是“要依据现代教育理论”，主要是杜威的教育理论。杜威反对传统的教师向学生灌输知识的教育。他认为教育即生活、既生长、即经验的改造。他自称他的教育哲学是经验主义的教育哲学。他认为学校学科相互联系的真正中心，不是科学，不是文学、不是历史、不是地理，而是儿童本身的社会活动。他用“儿童中心”取代“教师中心”和“知识中心”，在教学上他主张“做中学”，他用设计教学法来实践他的理论。美国占领日本期间，杜威的教育理论被大量介绍给教育界。 1947 年学习指导要领（试行草案）颁布后的第二年，教育界成立了核心课程联盟，通过核心课程把有关的课程综合组织在一起。 1951 年颁布的学习指导要领（试行方案）即带有浓厚的经验主义色彩，强调各学科间的综合性，以儿童的生活经验为中心。 1.3 、教育投资论 20 世纪六十年代是日本实行“国民收入倍增计划”时期，是以高速发展经济为特征的。这一时期，日本在“教育投资论”的影响下，特别强调“人才开发论”。认为现代社会正处于技术革新时代，为了充分利用科学技术，以满足社会和产业的需要，进而使将来的社会经济持续地高速度发展下去，必须设法提高人的能力。开发人的能力，从长期效益来看，最重要的政策是“普及中等教育”；从短期效益来看，最重要的政策是对已就业者进行再教育和再培训。中小学教育方面，要加强科学技术教育，充实教学设备；普通理科教育和职业高中，要把重点放在让学生掌握基础的科学知识和基础的专门知识及提高应用能力。在这种形式下，制定了高中“多样化”政策，采取加强职业教育的措施；调整大学科系设置，增招理工科学生；通过法律把短期大学作为永久制度固定下来（ 1964 年）；创建高等专科学校（ 1962 年）的新学制。 1.4 、布鲁纳的教育思想 1957 年苏联人造卫星上天，给美国社会极大的震动。第二年即 1958 年美国国会参议院和众议院联合大会通过了《 1958 年国防教育法》，同时，美国自然科学、数学的课程改革蓬勃地开展起来。改革的指导思想是布鲁纳提出的学科结构论。他说：“不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构是以科学的基本概念为核心，设计一个新的学科结构。根据布鲁纳的理论，美国出版了多种中小学的自然科学和数学教材。美国的改革影响很多国家，也影响日本。 1959 年，布鲁纳发表了《教育过程》一文，提出四个新的思想： （ 1 ）学习任何学科，务必使学生理解该学科的基本结构，即所谓结构思想； （ 2 ）任何学科的知识都可以用某种方式教给任何年龄的学生，即所谓早期教育思想； （ 3 ）让学生象原来科学家那样去发现所要学习的结论，即所谓发现化； （ 4 ）激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣。 1.5 、国家主导型的教育 日本明治政府为了追赶欧美先进国家，于 1872 年（明治 5 年）颁布了《学制》，实行了第一次教育改革。这个学制是日本第一个综合性的现代教育制度的教育法，是以教育机会均等的思想为基础的。它说明了普及教育的重要性，要求做到“邑无不学之户，家无不学之人”。这个《学制》参考了西方各国（法、德、荷、英、俄）的学制，主要吸收了法国教育制度的特点，具有高度的划一性和强制性。 明治以来的教育改革，不是“自下而上”进行的，而是在国家主导下、“自上而下”进行的，同时通过法律和敕令等形式使整个教育制度发生变化并加以调整和完善。战前采取“敕令主义”，战后实行“法律主义”，一百多年来，公布的有关教育的法律、敕令、命令不胜枚举，而种类之广、数量之多、内容之详，是其他国家少有的。 1.6 、终生教育思潮和学习化社会的影响 日本是对终生学习和学习化社会关注的比较多的国家之一。日本对终生学习的关注具有两方面的特点，“即由终生教育转向终生学习，由学者的观点转变成政府的看法。” 1985 年日本在设计 20 世纪 80 年代教育改革的报告中把完善终生学习体制作为改革的主要任务之一。报告认为，建立具有尊重个性而又丰富多彩的生活方式的终生学习化社会，最主要的是在人生的各个需要学习的阶段，给人们提供多种多样的良好的学习机会：确保每一个人走向社会后，能够根据自己的能力、性格和愿望选择各种学习途径。终生学习化社会除了要使学习者本人体验到学习是一种乐趣外，它还是社会在任何时间、任何地点都能使学习者得以学习，并且对学习者所取得的资格、学历、专业技能等成果给以相应评价的系统。日本在 20 世纪 80 年代的终生学习思想到了 90 年代后，得到了进一步的发展。 1992 年，日本文部省在《我国的文教政策》的年度报告中对终生学习思想进行了更为深入和全面的探讨。报告指出：“今后的学习可以说是以个人的自发意愿为基础，个人根据需要选择与自己相适应的手段和方法，贯穿其整个一生去进行的。这种学习是作为除获得专门知识技术和提高实际能力外，还包括体育活动、文化活动、闲暇活动、社会服务活动等指向自我充实、在活动中发现乐趣的主题性活动在内的整体来构筑的。”报告对终生学习所做的理论探讨，从一个侧面反映出日本在终生学习或学习化社会方面的研究已经达到一个较高的水平，这也体现出日本对终生学习的关注。 2 、日本高中数学课程改革的主要思想及进程 日本的数学教育，经历了中算、西算的输入、消化、改革，逐步确定了日本自己的中小学数学体系。 1902 年颁布的日本第一个数学教学大纲，提出了对算术注重实用，对几何代数注重教育的双重目标，是与当时的社会结构及生产力发展的特点相协调的。由于当时的日本数学教育适应了提高国民素质与培养英才学生的双重目标，为国家近代化和经济建设培养了一批合格的生产者，有力地推动了社会经济的发展。 日本和中国同属东方文化体系，和其他一些领域一样，日本的数学教育方面与我国也有不少基本相似之处。总体上的差别可以说有两点：一是近 30 年来日本的数学教育改革比中国更多的学习和借鉴了西方的改革思想和经验；二是日本的数学教育发展形成了自己的特色和优势，并以较高的教学质量受到了世界各国的重视。 2.1 、数学教育的近代化 20 世纪初，在培利 -- 克莱因数学改革运动的影响下，日本开始在个别学校进行改革实验。由于日本产业尚未成熟，日本中小学数学近代化的工作经历了三四十年，期间菊池大麓、林鹤一、小仓金之助等，都发挥了重要作用。 1931 年，文部省颁布的数学教学大纲容许了数学各分科的综合处理，重视培养实践能力，增加函数概念的教学。 1940 年，日本作为重工业国家迈入先进国行列，要求数学教育为工业发展服务的主导思想也日趋明确。在这种形势下，文部省于 1942 年对数学教育做了彻底的改革。重视微积分等实用知识的传授，取消了形式训练的教学方法，提出了直观教学法。 2.2 、“生活单元”的数学教育 第二次世界大战后，日本在美国驻军的控制下，开始推行“生活单元”方式的数学教育。所谓“生活单元”方式，是建立在杜威实用主义基础上的以儿童为中心的学习方式，每节课都设置一个生活环境，让学生们在这些环境中自行解决有关的生活课题。 实行“生活单元”方式的结果，造成中学生成绩下降，学力低下，引起了社会上的不满，受到社会的批评。 2.3 、“系统学习”的数学教育 1956 年，高级中学针对“生活单元”方式的缺点按系统化原则修订了教学大纲，编写了教材，使日本数学教育进入了“系统学习”阶段。 设置高级中学课程的基本精神有：高级中学教育是培养一代青年的预备教育；规定职业教育与普通教育的共同的必修课；今后还要利用课程选修的优点；必须完成 85 学分，这是取得毕业资格的最低学分。 改革提出以下方针：使学生理解数学的基本概念、原理、法则，并养成应用它们的能力；建立数学体系，并使学生理解建立体系的想法及其意义；使学生理解数学的用语和符号的正确使用方法，并能据此简洁、明确地表现出数量关系，养成处理它们的能力；使学生理解逻辑思想的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯；使学生了解对事物的数学的观察方法和思考方法的意义，并据此养成其对事物的正确的处理能力和态度。 这次“系统学习”的主要精神，不仅使学生对既有的知识在形式上系统地理解，更重要的是使学生在心理的侧面进行系统地思考。所谓“系统地”意义，在于使学生在理解了已知事项的基础上，对下一事项进行发展的学习，使他们在提高其逻辑性的同时，能自己对学习内容作出逻辑的（系统地）体系来。 修订后的大纲，显著提高了程度，大致恢复到战前的水平，它为日本数学教育现代化打下了雄厚、坚实的基础。 2.4 、数学教育的现代化 受到世界数学教育现代化运动的影响，从 20 世纪 60 年代开始，日本逐步修改数学大纲和教科书，对数学教育现代化采取了渐进的办法，保留了大部分传统内容，适当精选了一些现代内容，重视培养学生的创新能力，提倡“自主的学习”方式。 高中数学的改革有下列几个方面：添设“数学一般”课；在数学 I 中添加分数方程，删去无理方程，添加向量、概率、集合、逻辑的内容；在数学 II 中删去复数平面、二次曲线，添加平面几何的公理结构、矩阵等。 现代化教材试行的结果，出现了意想不到的恶果：“新数学”不顾教学方法，过分重视教材内容的改革（繁、难、深），走过了头；它是只以少数优秀学生为对象编写的；只用演绎推理，忽视归纳、类比推理；新概念的引入未按发生的顺序；未考虑与其他学科的联系；造成大量的落后生，受到社会上各阶层人们的抵制。 有的数学家、数学教育家批评数学教育现代化是超现代化，只能适于培养少数天才学生，而不适于大多数学生。学生家长也有较强烈的反映。这种批评到 1975 年达到了高潮。主要是集中于认为教学大纲中罗列的内容过多，且内容较深，特别是集合部分，致使学生学习成绩下降。 2.5 、“留有余地”的数学教育 1977 、 1978 年，日本文部省在“建设有特色的学校，发展个性教育，留有余地（轻松愉快）的学校生活，重视劳动的体验”的教育总方针的指导下，分别修订了初、高中数学教学大纲，并分别于 1981 、 1982 年付诸实施。 由大纲所列内容可以看出：在“留有余地”的教育方针指导下，中学数学教学大纲从内容与学时上，都减少了很多，旨在减轻学生的负担，能轻松愉快地进行有效率的学习；中学数学中取消了集合与逻辑的内容；依然强调培养学生的思考方法这一现代化运动的目标，把培养基础知识和基本技能作为目标加以贯彻，以求达到数学的思考方法的培养与计算能力等基本技能的熟练掌握二者之间的协调发展。 2.6 、 20 世纪 80 年代的数学教育（问题解决） 为了更好地贯彻“留有余地”的精神， 20 世纪 80 年代提出了“问题解决”的教学法。“问题解决”既不同于“生活单元”式的问题解决，也不是指对一般数学问题的解决过程给予指导，而是针对现代数学问题的新的应用与发展，引导学生用数学理论去解决一类更广泛的事物现象，并在解决的过程中培养数学的观点、思考方法及运用知识的能力。 1989 年文部省公布了新修订的学习指导要领，到 1997 年全面实施。这次修订的着眼点主要的有三个方面：适应高度信息化的社会；适应社会和儿童的多样化；适应国际化的时代； 新的学习指导要领有三大特点： （ 1 ）指导对象的范围照顾到数学的素养（ Mathematical Literacy 缩写为 ML ）和数学的思维（ Mathematical Thinking 缩写为 MT ）。 （ 2 ）全部课程教学计划的构造是：基础核心部分和选择部分。 （ 3 ）为灵活运用电子计算机而准备配套教材。 高中阶段采用“必修课十选修课”的课程结构，必修数学 I ，选修数学 II 、 III 、数学 A 、 B 、 C ，以数学 I 、 II 、 III 为核心，数学 A 、 B 、 C 为自由选择，把微积分的学习摆在核心的地位，包含了利用电子计算机的教材。 20 世纪 80 年代以来，随着计算机辅助教学的逐步推广，大大提高了课堂教学效果。具有较高学习效率的计算机教学与有利于培养学生思维能力的“问题解决”教学法相互配合，相得益彰。这是 20 世纪 80 年代日本中小学数学教育的一个较好的经验。 2.7 、面向 21 世纪的数学教育 中央教育审议会（ 1997 年 11 月）确定了数学课程改革的如下基本方针：（ 1 ）通过小学、初中以及高中的教育，使学生掌握关于数量和图形的基础知识和基本技能，在此基础上，培养学生多方面的观察能力、逻辑思维能力等创造性的基础，使学生认识到数学地考察和处理事物现象的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识，数学思想和方法的态度；（ 2 ）重视数学知识和现实生活中各种事物、现象的联系，使学生能够在宽松的环境中通过自己发现问题、积极主动地解决问题的活动，一边体验学习的愉快和充实感，一边进行学习。 日本最新数学学习指导要领是根据下面四个指导方针拟订的：（ 1 ）培养学生富于人性和社会性，提高参与国际事物的意识；（ 2 ）提高学生独立思考和自学的能力；（ 3 ）提供宽松的教育环境，使学生掌握基本的知识和技能，同时发展学生个性品质；（ 4 ）鼓励每个学生寻求特色，把学校建设成具有特色教育的场所。 在新学习要领指导中，所有的科目都强调“对生活的热情”，在教学中尤其强调“主动解决问题”；在各个层次的数学课程标准中第一次把“数学活动”纳入到教学目的中，在高中注重培养学生的创造力。 2.8 、日本高中数学课程改革的特点 （ 1 ）重视提高学生对数学学习的兴趣和关心。通过数学史上概念、定理产生和发展的过程、数学对人类文化和社会生活的作用，现实生活中的数学问题等课题，来提高学生对数学学习的兴趣和关心，使学生对自然界和社会生活中的数学现象具有好奇心和探索心。给学生以学习数学的动力。 （ 2 ）重视数学与现实生活的联系。新学习指导要领将数学知识、方法与实际生活密切联系，体现了数学在现实生活中的重要性，并让学生能够从数学的角度考察和解决身边的事物现象，培养学生运用数学知识和方法的态度，提高问题解决能力。 （ 3 ）重视通过数学活动培养创造性。新学习指导要领强调了通过发现问题、解决问题的数学活动等，来培养学生的数学能力和创造性。例如，通过将身边的事物现象转化为数学课题，并在解决课题的过程中发现定理、法则、培养学生的思考能力和探索能力。这次改革，虽然总的静态的知识量有所减少，但对学生通过学习活动，理解掌握和发现数学知识和方法、培养学生多方面观察事物的能力、逻辑思维能力等创造性的基础的要求大大增加。 （ 4 ）重视个性品质的培养和学生内心学习的体验。日本的数学教育注重学生的个体差异，允许在学习基本的数学知识后，根据自己的兴趣爱好和未来就业的需要进行选修；注重学习中的观察、操作、发现过程，以体验探索、获得数学知识规律的乐趣。 3 、我国高中数学课程改革历程 建国以来，我国的中小学数学教育大纲几经变动。这个演变过程，记载着我国数学教育事业的发展，表现了我国数学教育工作者的理论思考和改革实践，也反映了世界数学教育思潮对我国的影响。 3.1 、吸收苏联成果，选编教材内容 建国初期的中学数学课程，全国各地差别很大， 1950 年 7 月，教育部颁发了普通中学《数学教材精简纲要（草案）》，数学课程规定高中为三角、平面及立体几何、高中代数、解析几何。 1952 年，公布了新中国第一份《中学数学教学大纲（草案）》，决定了我国 50 年代中等数学教育基本面貌。这份大纲的历史作用在于把苏联教育中的一些成就吸收到了中国。在科学研究方面，“苏联具有优良的数学传统”；在数学教育方面，苏联自从 20 世纪初以来，也一直比较好地“体现了克莱因所概括的代表着世界数学教育改革潮流的教育思想”，重视概念教学，注重科学上的严密性，强调理论联系实际，以及注意思想教育等做法，对我们都有好的影响，但大纲缺乏对中国数学教育原有的基础的分析，过分强调科学严密性，对运算技能要求有所削弱，大纲中没有明确提出计算能力的培养任务。 1956--1957 学年度颁布的《中学数学教学大纲（修订草案）》中主要增加了有关基本生产技术教育的内容。 3.2 、摆脱机械模仿，独立研究数学课程 上世纪 50 年代末期，国际上恰值数学教育现代化的潮流兴起，中国教育界也进行了各种数学教育改革试验，大力批判旧数学教育的弊端。在全国大规模的数学课程研究讨论中，破除了对苏联大纲的迷信，但也出现了对学习苏联的全面否定。 1963 年 5 月，教育部制订了《全日制中学数学教学大纲（草案）》，这是一个比较成功的大纲，对中学数学的教学目的和要求内容作出了如下规定：在数学课的设置目的中，明确提出了“基础知识”和“三大能力”的培养；在高中阶段要求学生学好高中的代数、三角、立体几何和平面解析几何，掌握学科的基础知识，具有正确而迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，以适应参加生产劳动和升入高等学校的需要；提出一套“确定教学内容的原则”（基础性原则、应用性原则、衔接性原则、弘扬民族文化原则），并按这些原则调整了教学内容；安排中学数学教学的内容，一方面应注意数与数，形与形各自的内在联系以及数与形相互之间的联系和区别；另一方面，又应该符合学生的认知过程和接受能力。 1963 年大纲的产生，宣告了中国数学教育史上机械模仿外国模式的终结，中国数学课程独立研究的成功。它是我国数学课程研究中立足本国博采众长的结果。 3.3 、建立现代化的数学教育内容 经过大约两年的酝酿， 1978 年中华人民共和国教育部制订了《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》。这一大纲根据数学教育现代化的要求，提出了新的教学目的，在教学内容上首次提出“精简、增加、渗透”的三原则，实现数学教学内容的现代化，把高中数学提高到微积分的程度。大纲还规定中学数学为混合教学，学科名称就是一门“数学”。 在数学课程目的表述中，对于知识目标，提出“使学生切实学好参加社会主义革命和建设，以及学习现代科学技术所必需的数学基础知识”。 提出了确定教学内容的三条新的原则（后被称为“精简、增加、渗透”的六字方针），精选参加工农业生产和学习现代科学技术所必需的基础知识；增加微积分以及概率统计、逻辑代数（有关电子计算机的数学知识）等初步知识；把集合、对应等思想渗透到教材中去。 教材内容的安排，要有利于精简课程门类，有利于教学内容的现代化，有利于学生学好基础知识和掌握基本技能，有利于数学知识的综合运用。 在课程内部结构上，采用了混合式结构。把精选出的代数、几何、三角等内容和新增的微积分等内容综合成一门数学课；注意由浅入深，由易到难，循序渐进，符合学生的认识过程和接受能力；要加强教材的系统性，此外，还要照顾到初中、高中的分段和同物理、化学等学科的相互配合。 对于“实现设课目的”与“具体内容的教学要求”之间的关系，给予充分的重视。把各种知识能力的要求，分成若干认识层次，在高中阶段，提出“了解”或“懂得”、“理解”、“能够”或“会”、“掌握”四个层次。这一点，是本次大纲的一大进步。它反映了课程研究中，对于宏观目标与微观目标之间联系的认识，也反映了对于中学生数学知识结构和能力结构各构成要素的深入分析。 3.4 、数学课程研究逐渐走向成熟 随着国内的各项社会改革深入发展，数学教育工作者对于中国的具体国情和百年前景有了清醒而现实的“再认识”。国际数学教育改革经验的交流引入，使我们开阔了视野，把握了世界趋势。 1986 年 11 月国家教育委员会按“适当降低难度，减轻学生负担，教学要求尽量明确、具体”的原则，制定了新的《全日制中学数学教学大纲》（即 1987 年大纲），它是我国数学课程研究走向成熟阶段的开始，是总结自己经验与借鉴外域成果相结合的产物。同时，又因为这份大纲的构思，承认了我国必须实行统一与多样相结合的原则，彻底摆脱了“全国统一”的僵化模式。 关于高中阶段的教育改革，是使高中教育从过去片面应付升学考试的运行轨迹转向提高全民族素质的轨道。具体做法主要有两点：一是调整教学计划；二是改革考试制度。 1990 年 3 月颁发的《全日制中学数学教学大纲（修改稿）》主要突出了“转轨”的指导思想，把提高全民族素质的任务摆在更加明确的位置，对数学内容相应地做了安排。 就高中数学课程来说，规定为代数、立体几何、平面解析几何，经过 1986 年后十余年的发展，取得了许多成绩。例如在重视基础知识教学，重视基本技能训练和能力培养方面达到较高水平，因而使中国高中学生数学基本功扎实，整体水平较高。但是，高中数学课程也存在一些问题，那就是：数学内容陈旧、学习知识面过窄、课程结构单一，不能满足中国社会、科学技术以及学生个人发展的需要。 针对这些问题，国家教育委员会于 1996 年颁布了《全日制普通高级中学课程计划（试验）》及相关的《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验）》，教学内容具有新的特点： 1 ）知识体系有所创新 大纲的知识体系有了新的改变。这首先就表现在，它是作为统一的“数学”学科设定的，不是传统的以代数、几何、解析几何分科设定的。在各学科的融合上做了大量的工作，如引入平面向量课题，原属解析几何的定比分点和两点间的距离放在此课题中处理，为后来的应用打下基础，同时为复数和曲线方程两课题做准备；再如“极限的应用”这一 1986 年大纲的选修内容改为用导数统一处理；不单列“参数方程”课题，在直线和圆的方程和圆锥曲线方程两课题中随时遇到就随时定义；旋转体的体积放在定积分课题中一并解决，而在简单几何体中的课题中就不列入了，这些工作使得整个知识体系中有了新的因素：属于不同学科的内容开始融合起来。 2 ）知识内容适当更新 大纲删掉了 1986 年大纲列入的 21.3% 的知识点，凡属于过于繁杂而又用处不大的知识都属精简之列，如对数换底公式、指数方程、对数方程、半角的三角函数、三角函数的和差化积和积化和差、反三角函数、圆的渐开线等。增加了 4 个方面内容，即简单逻辑、平面向量、概率统计和微积分。大纲把后两方面列入“限定选修课”即文科和理科的学生必选的课程中，实际上每个学生都要学，不过学的程度有所不同。简单逻辑和平面向量则是必修课内容。大纲在渗透现代化数学思想方面也做了较多的工作，把渗透落实在具体的知识点和教学要求中，例如平面向量的引入和对立体几何内容做出向量处理等。 3 ）考虑到不同层次的需要 1996 年大纲设定了必修课内容，限定选修内容和任意选修内容。必修内容是所有高中学生都应学习的知识，从理论上，它们应能满足高中学生一般发展的需要以及社会发展、科学发展对高中学生的需要。限定选修内容分为理科、文科和实科三种，用以满足不同需要的学生选择。对每一个选定科别的学生，则按有关科目展开需要（体现社会需要和科学发展的需要）确定内容，对每一个选定某科的学生来说，有关的限定选修内容则是供所有学生依自己发展的需要而任意选择的，可灵活地满足不同层次学生的需要。因此， 1996 年大纲更具有对社会需要、科学发展和学生个人发展需要的适应性。 4 、中日高中数学课程比较 4.1 、中日高中数学教学目的比较分析 日本高中数学教学目的在基础知识、基本技能、能力、创造性等方面的提法与我国基本相似，都比较重视知识、技能的培养和能力的发展，主张通过数学活动培养学生的创造性。但侧重点各有不同。 4.1.1 、对培养未来公民素质的着眼点不同 我国数学课程以促进学生的全面发展为指导思想和首要目标，即促进全体学生在知识、技能、能力等发展的前提下，使学生在情感、态度、个性、人格等方面也得到一致与和谐的发展，同时在教学过程中注重价值观和道德观的养成。 日本在确定数学教育目的时，首先关注的是社会的需要和学生未来的需要。在国际化的大背景中，日本需要拥有“以丰富的想象力、预见力为基础的，创造新思想、新想法的有能力的人”。今后的数学教育重点是培养学生“创造性的基础”。他们认为当今信息社会对数学教育提出的要求首先是培养有数学素养的工作者（社会的政治文化的变革、信息的变化对全民素质要求的提高，都对数学教育提出新的要求），其次才是学生一般素养的发展（指学生科学文化素养的提高，思维能力和科学方法的获得，思想品德和心理素质的培养等等）。 4.1.2 、对数学态度提法上的不同 现代数学教育不仅注重学生知识的获得、能力的发展，更注重学生数学态度的形成。我国数学教育目标中学生数学态度主要是指学生对数学的兴趣，对数学全面的认识，同时了解数学与实践的辩证统一，数学中的运动变化、相互联系、相互转化等观点，并将这些纳于学生的个性品质当中，强调通过数学的学习形成正确的数学态度、实事求是的科学态度。 日本的教育目的更注重形成学生运用数学知识、数学思想和方法的态度，强调对数学思想、方法的认识、理解和创造性的应用，作为创造性的基础，包括了观察事物现象的能力、逻辑思维能力、对数学思想、方法的认识和理解；欣赏数学表现和处理美；领会数学思想、方法的益处等丰富的情感。其宗旨是学生对数学学习的兴趣和关心，使学生能够积极主动地进行探索，发现问题、解决问题，创造出新的数学知识，将学生的数学学习从被动学习转到主动的探究学习上来。创造性地学习数学的知识、思想和方法；创造性地运用数学的知识、思想和方法成为日本学生数学态度中最主要的内容。 4.2 、中日高中数学课程内容比较分析 我国高中数学课程内容的选取考虑到了以下几方面的因素：各部分知识之间的系统性；与其他学科的相互配合；学生的认识规律和与初中数学内容的衔接。内容上则要求具有广泛的应用性，进一步学习的必要性，思想、方法的基本性及学生的接受性。同时，为适应不同学生的不同需求，增加了一部分选修内容。 “日本高中数学教学内容着重研究整体优化问题”，“考虑到小学、初中、高中的相互联系以及学生的发展阶段，并按照内容的程度、份量和处理方法更适当地精选基本的项目”，为了使高中数学课程实现多样化，使学生根据自己的实际情况做出选择，还采取了核心（ core ）课程和选择（ option ）课程相结合的方式。 4.2.1 、数学学科内容的选取 从下页的表格可以看出，两国高中阶段在函数、三角、数列、平面解析几何、复数等内容的选择上是一致的，但也体现出较大的差别。日本的数学体现了较强的基础性、层次性和阶段性。如二次函数及其图像作为最基础的知识放在数学 I 中进行学习，将整式与有理数、平面几何知识放在补充性选修课数学 A 中，我国则将这部分内容放在初中各年级。在数学 I 中，选择的是函数、计数的基本原理、概率等与实际生活联系比较紧密的最基础的知识，且函数、概率、图形等内容混合编排，每一内容在以后不同阶段、不同选修课中均有不同层次的加强，有的内容反复出现。而我国的教材编排上系统性较强，各分支学科分开编排，某一内容学完以后不再循环出现，只是在某些题型中有所运用，如函数的知识在代数上册学习以后，在后继的课本教材中很少出现。日本教材增加一些新的内容，如导数、微积分、概率、图形变换、矢量、计算机等，这些内容在我国的教材中，不是见不到，就是因为是选修课高考不考，而被人为砍掉了。我国的数学是大家都学一样的内容，虽然有选修要求，却形同虚设，就连一些丰富生动的、学生感兴趣的内容也遭到同样的命运。 日本则不同，根据学生的个性、未来不同的需要作了不同的编排，以满足不同层次的学生的需求。 中日高中数学主要内容表 对于选修课，日本在高中阶段采用“必修课十选修课”的课程结构，选择部分有三个功能：补充选择、傍侧选择、高一级选择，这三种选择可以根据各种学校、各学生不同的情况（能力、能力倾向、个性发展）自由地进行选择。 学生对数学课程有多样选择的可能。对于将来从事的职业几乎不需要用到数学的学生，只学习数学 I ；对于要升入大学文科系的学生，则学习数学 I ，数学 II 和选修其它数学课程；对于要升入大学理科系的学生则学习数学 I 、 II 、 III 和选修其他数学。 4.2.2 、关于数学史的处理 数学是一个历史悠久的学科，是人类文明的重要组成部分。中华民族在世界数学上曾经出现过刘徽、祖冲之、秦九韶、杨辉等许多著名数学家。然而在我们的教科书中几乎看不到数学史的内容，忽视了人文知识教育、爱国主义教育等积极因素。数学教师也缺乏数学史的有关知识和进行数学史教育的意识。日本则不同，在数学教科书中适当安排了一些数学史知识，专门设置《数学基础》，可以更有效地了解数学的起源和发展过程、数学问题如何被发现和最终如何被解决、数学和社会的发展如何相互影响等问题。通过这样的教育，更好地激起学生对数学的兴趣和关心，更好地领会数学的思想方法和精神，也更好地树立人文精神。 更值得一提的是，日本的中小学数学教师不放过大数学家的生卒纪念日和重大数学事件，给学生介绍数学家的辉煌业绩和对数学发展的重要意义，以便激发学生的学习兴趣，启发学生的思维，开阔学生的视野。 4.2.3 、适当运用信息技术上的差异 计算机、信息通讯网络技术的应用方面，在我们的教学大纲中没有具体要求，与数学教育和已经来临的信息化社会极不相称。虽在一些学校已经开设了计算机课，但教材缺乏通俗性，内容过于专业化，使学生失去信心或不感兴趣，同时很少涉及利用计算机去指导一些数学教学活动。日本则不同，它不过于强调计算机的理论，而注重实际操作能力，尽可能地让学生使用计算机重新探究已经学过的内容以及某些新的内容，解决实际问题。日本新的《要领》把计算机数学指定为必修课，数学课程也提高了对计算机的要求，《基础数学》、《数学 B 》、《数学 C 》都提到了应用计算机，其中有统计资料的计算机处理，有简单的程序设计和算法，还有用计算机画图的要求。这些都说明，日本正在加大改革教学手段的步伐。在计算机、网络技术日益普及的今天，中国高中的数学课程（至少在选修课上）应该反映时代发展的趋势。例如，用网络沟通信息，用软件作图、处理统计数据、探索规律等可作为教学内容，发挥现代教育技术的优势，让学生能更容易地发现数学的本质，更简单迅速地处理数据、信息。 4.2.4 、对传统数学内容和教学方法的态度 对于传统数学，中国和日本都比较重视。如日本在咨询报告中提出“日本为了今后世界的和平和发展做出贡献，必须与各国协力和协调。为此对本国的文化和传统应加深理解，同时也要尊重其他国家的文化，以求培养出具有独立自主的活动能力的日本人。”以及“加深对国际社会的理解，重视培养尊重日本文化和传统的态度。” 我们的数学教育的成绩，主要是学生获得了较好的数学基本训练，特别是计算的熟练和逻辑的严密性比较好。这种成绩的获得主要由于我国数学教学有注重数学的严格性、逻辑推理以及注意解题技巧的传统。在这个传统的影响下，教师让学生做相当数量的习题，引导学生总结思考过程，让学生更好地理解和掌握数学。此外，一些教师让学习较好的或者对数学有兴趣的学生，做一些需要费力思索和发挥想象力的难题，培养学生的创新能力、毅力和习惯。 在培养学生的创新能力的同时，应该通过数学教育帮助学生树立创新意识。这种意识的形成是一种重要的素质教育。我国传统数学教育的重大弱点之一，就是只注意数学的解题，不注意数学与自然科学、技术科学、社会科学以及人文科学的关系。由于社会上对升学的普遍重视，特别是升大学的激烈竞争，社会和学校都十分重视升学率。于是教师让学生大量做题，甚至将题目归纳成各种各样的题型，让学生进行大量的模仿和重复。这种灌输式的办法即“应试教育”虽然使学生在计算和推理方面提高了熟练的程度，但却带来学生负担加重的副作用：学习优秀的学生对数学感到厌倦，学习吃力的学生对数学产生了恐惧的心理，以至学生在课程学完以后远离数学，社会对数学也越来越不理解，数学的作用剩下的只是学生们升学和取得学分的需要。 我国有优秀的文化传统，无疑应该继承和发扬。但是我国古代的社会和文化传统对于数学甚至科学技术并不重视，只是作为一种计算方法，在文化传统中不占主流地位。近代的数学主要是向西方逐步学习的，但是数学在思维方面的作用并没有显著的影响，数学仍然没有融入我国的文化传统。因此我们讲授数学应该不只是讲授数学本身及其应用，而是要让人们知道，如果不从数学在思维方面所起的作用来了解她，不学习运用数学思维方法，我们就不可能完全理解人文科学和自然科学，从而为人类做出更大的贡献！ 4.3 、中日高中数学课程设置结构比较分析 我国的数学课程是按代数、解析几何、立体几何分科编排，这种课程组织的优点是能较好地反映了各门学科的逻辑体系，能够避免课程内容的不必要的重复，其缺陷不能恰当体现学生认识发展的特点，也不利于将学科发展的前沿成果尽可能早地反映在教学中。日本数学课程是按学生的意愿和将来不同的就业或升学需要设置几种类别，在不同学习阶段重复呈现特定的学科内容，同时利用学生日益增长的心理成熟性，使学科内容不断拓展与加深 ---- “螺旋式上升”，将学科逻辑与学生的心理逻辑较好地结合起来，其缺点是容易造成学科内容的臃肿和不必要的重复。 为了实现“较为均衡地掌握较为广阔的领域里的基础知识和基本能力”的目标，日本的高中数学设置了可供不同层次学生选择的两门必修课：《数学基础》和《数学 I 》，其中《数学基础》特意设置了一些基于初中所学的数学史、日常生活中现象的统计分析以及与日常生活有关的数学探索等问题，目的是减少不擅长数学的学生的挫折感，进而培养他们对数学的兴趣，态度和自信心；《数学 I 》所设置的是关于高中的基础知识和基本能力的内容，旨在提供高中数学需要的基础知识，并发展学生的应用能力。日本高中数学课程必修课程基础化、选修化的设置模式，充分体现了日本重视学生的感受和体验、坚持基础、预见毕业去向的教育特色。日本的这种灵活而富有弹性的数学课程设置模式，充分体现了日本以人为本，重视个体差异、适应能倾、强调个性发展的教育特色。 4.4 、两国对教材内容的处理方式比较分析 日本的教材图文并茂，每一章都提出一个相关的问题情境，说明本章的主要内容，处理方式比较灵活，考虑学生的认知特点和接受能力，处处营造一种宽松、愉快的学习氛围，易激发学生的学习兴趣；而我国的教材系统性、说理性强，注重知识的逻辑结构，让人感到需要艰苦探究的精神，需要有顽强的学习毅力。 4.4.1 、相同内容的处理方式不同 日本的教材，往往通过图像形象直观地、动态地展示知识过程，而我国的教材理论性、系统性强，较多地注重结果，对思考过程则有所忽视。 如对自然数列 1 、 3 、 5 、 7 、…前十项求和的教学，日本教材采用了如下过程： 先用○表示各奇数，即：  再把各图形叠合，利用作图的方式表示 10 个连续奇数的和：  从而根据直观观察可得： S ＝ 10 2 ＝ 100 我国的处理方式是：先给出一个式子， 1 ＋ 3 ＋ 5+ …＋（ 2n － 1 ）＝ n 2 ，要求用数学归纳法进行证明，最后用一个正方形进行说明。 这样的处理方式体现了数形结合的思想，中间有推理证明的过程，但结论性强。 4.4.2 、对同一内容的不同处理方式 日本的教材对同一内容从不同角度用不同的方法加以说明，引导学生从各个方向，各侧面理解所学的知识。如在数列的学习中，有图示、有表格、还有定义证明，有推导。我们的教材一般倾向于文字说明，用函数的思想加以解释，例题讲解时，缺乏分析过程。日本的安排比较基础，可帮助学生进行自学，体现可接受性原则。 对等差数列通项公式的推导，日本的教材用了等距离的树木排列图形，说明 a n 与 a 1 相差 (n-1)d, 从而有 a n =a 1 +(n － 1)d 成立；继而又分别用定义 a k+1 － a k =d 及下图证明或说明其正确性。 a 1 a n a 1+d a n-d a 1+2d a n-2d ...... a n-d a 1+d a n a 1   其例题与练习分为帮助理解主要知识的“例”和具有典型性、代表性的“例题”，每一“例”或“例题”之后配以对应的问题，形式灵活，帮助学生理解、巩固所学的知识。 对等差数列前几项和公式的推导，用倒序相加法和图表法进行说明，学生学起来觉得直接易懂。 公式的表达形式有两种：  后一公式不象我们的教材化成了 S n =na 1 + ，省略了一些中间思维过程，降低了难度。 又如，等比数列求和公式的推导，我们往往采用错位相减法，而学生对如何错位感到迷惑不解，细心的学生会进行运算，好问的学生追问老师，其结果往往仍是一知半解。日本的教材作了这样的处理： S n =a+ar+ar 2 + …… ar n-2 +ar n-1 ① rS n =ar+ar 2 +ar 3 + …… +ar n-1 +ar n ② 将②式右边的项右移了一个位置。这一小小的变化，使学生的观察更顺利，降低了难度，缩短了思维的过程，可帮助学生很快找到求 S n 的方法，且让学生在轻松愉快中感受探索、发现的价值和乐趣。 4.4.3 知识的拓广与加深 日本的教材把同一知识安排在同一章节，几乎包括该内容由浅到深的基于学生接受能力的所有基本内容，并进行拓广，层层递进，从而自成系列，具有一定的整体性。又以数列为例，我国的教材首先介绍数列的概念，进一步介绍等差、等比数列的通项公式和求和公式，在练习当中渗透摆动数列和递推数列，而日本的教材除了专门安排这些基本内容以外，还另辟章节专门介绍特殊数列、递推数列及其求和、少数复杂数列的求和等内容，把这一部分知识进行拓展，增加学生视野，也使这一部分内容更完整。 又如，解三角形这一部分，从锐角的三角函数切入，由直角三角形边的比值逐步推进到用直角坐标系中角的终边上的点的坐标比，进一步推广到用单位圆上的点的坐标表示三角函数，经历了一个从特殊化到一般化，再从一般化到特殊化的过程；其中三角函数间的关系以及正弦定理、余弦定理，面积公式的推导，都从直角三角形勾股定理和三角函数定义推得。在三角形的应用方面，除了解平面三角以外，还进行了空间图形三角形的计量。这些内容的选取反映了一个逐渐加深的过程，也使解三角形的知识成为一个整体，让学生集中学习，体会其中的联系，同时也进行了空间观念的培养，将平面图形与空间图形有机地结合，使学生体会、发展空间感。 解析几何定比分点公式这一节，则有一个由简单到复杂，由线到面再到空间的一个逐步递进、层层深入的过程，在教与学的过程中，则是对学生学习毅力的考验，我们用以下过程来进行说明： 1 ）回忆复习，为进一步学习开辟道路，清除障碍。 直线上的点的坐标→平面内点的坐标，认识象限，找已知点的对称点→平面上两点的距离公式 2 ）由浅入深、步步深化。 直线上的内分点，外分点坐标：  点 P 内分线段 AB 成比例 m:n 点 P 外分线段 AB 成比例 m:n AP:PB=m:n (x-a):(b-x)=m:n m(b-x)=n(x-a) AP:BP=m:n (x-a):(x-b)=m:n m(x-b)=n(x-a)  平面上的内分点、外分点坐标公式的推导： 如图，设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 P 内分线段 AB 成 m:n 的比时， P 的坐标为 ( ) 进一步可知，点 P 外分线段 AB 成 m:n 的比时，坐标为（ ）从而，当 P 为中点时，推出中点坐标公式为（ ）当 P 为三角形重心时，其坐标公式为（ ）  我们的教材则省略了前面两步的过渡准备，代之以有向线段的方向、数量与长度来推导，由于概念多而相似，学生往往容易混淆，辨识不清而影响进一步的学习（在推导公式时，我们还多了定比λ的概念，因此又多了λ与内分、外分的关系）。 4.4.4 、各分支学科相互融合的比较 我们的教材是分科编排的，代数、立体几何，平面解析几何各自分开，各门学科很少发生联系（至少在教科书上表现如此），即使用到，也是将以前学的知识作为基础，很少将各学科综合在一起；高考复习时，老师会讲一些综合题。日本的教科书是将各知识块混合编排（保持各部分的相对集中，但在各年级，各层次能够重复出现，依次上升）。学完一定的内容后，会安排一些知识进行综合运用。如在讲完三角函数及其和角公式后，安排了两直线的夹角例题，围绕夹角、直线的倾斜角安排有不同的题型进行练习。在学习解析几何的圆与直线之后，进行了不等式表示范围的探讨，我们看以下三个例子。  图 1 表示的是不等式 2x-y+1 ＞ 0 的范围； 图 2 表示的是不等式组 x 2 +y 2 ＞ 4 与 y ＜ x+1 的范围； 下图表示的是不等式组 3x+y 9,x+2y 8,x 0 ， y 0 所表示范围，还可表示点（ x,y ）在该范围内运动时， 3x+2y 的最大值和最小值。由图可知，不等式所表示的范围是以四点 O(0,0),A(3,0),B(2,3),C(0,4) 为顶点的四边的内部及其边界构成。  若设 3x+4y=k, 则有  由图可知，当直线过点 O 时， k 的值最小，当直线通过点 B 时， k 的值最大，即 x=2,y=3 时， 3x+4y 取最大值 12 ； x=0,y=0 时， 3x+4y 取最小值 0 。 而我国的教材采用直线式课程编排，每一内容讲完以后，有相应的本章节的主要内容和典型例题，至于各科的融合，一般在进行总复习或中、高考复习时，由老师进行归纳，讲解一些综合题，要求教师吃透教材，精选典型高考题进行综合讲解。 4.4.5 、对内容的简化处理 日本教材对于一些难理解的定理、性质作了简化处理，有一些内容则放到下一学年段，让学生具备一定的接受能力时再进行讲解，体现了按学生认知能力安排学习内容的可接受性原则。如函数的单调性和奇偶性，我们是在学习函数性质时，作为重要的内容单独列出，根据定义进行讲解，并从图像和定义（用不等式）两个方面对单调性进行证明和说明。这样的处理具备一定的系统性和严谨性，但学生理解起来对用不等式进行证明感到有困难，觉得难以理解，而对用函数图像讲解则比较容易接受。日本的教材则安排在数学 II ，在学习完正弦函数、余弦函数、正切函数图像，让学生了解了图像的特征之后，由图像的对称性，对偶函数和奇函数的概念进行介绍，而单调性则仅仅根据图像的上升和下降趋势作简单说明，且只要求能够比较函数值的大小。 又如对平面几何内容的处理，在初中只介绍图形的识别和基本图形的性质、面积、体积计算，也就是介绍各种几何体的有关概念的初步认识，而平面图形有关的基本定理，由条件决定图形，平面的变换等则安排在选修的数学 A 中，（如三角形的内外角平分线定理，圆的切割定理、并加深到梅内劳斯定理及图形变换，这部分内容往往在我国的初三，学生和老师都觉得这部分内容编深、偏难而又处不大，也是造成大量差生的原因之一）。我觉得日本的教材内容安排符合学生认识的发展水平，也使部分喜爱数学的学生能接触到一些较前沿的知识。其他如微积分、概率、计算机等的进一步深化，在此不再一一赘述。 5 、课程实施案例调查与分析 课程改革的核心环节是课程实施，课程实施是课程论和教学论研究的重要课题。从课程角度，可以将课程实施视为课程开发过程中的一个重要环节，而在教学论意义上的课程实施，至少包括教学设计和教学过程。无论从何种角度理解，课程实施都是实现预期课程理想的手段。课程实施内在地包含着教学，教学是课程实施的主要途径，教学改革是课程改革的重头戏。只有教师把教学建立在已有的课程计划的基础上，把课程计划作为自己选择教学策略的依据，并寻求能促使学生吸收课程内容的有效的教学方法时，课程才可能得以实施。 5.1 案例比较 为了具体了解中日两种不同数学课程观在中国师生中的不同反响，笔者用相同内容的两种课案进行了教学，借此考察其中的不同和可借鉴的地方。 时间： 2004 年 3 月 23 日 对象：首师大桂林附属中学高 03 （ 2 ）班、 03 （ 6 ）班 内容：同角三角函数的基本关系式 5.1.1 我国的教学案例 一、教学设计思路： 引入新课 ---- 推导基本关系式 ---- 例题讲解 ---- 练习 ---- 小结 二、教学过程 1 、新课引入 复习提问：叙述三角函数的定义。 2 、新课： (1) 紧接着提问的内容，由学生证明 8 个同角三角函数的基本关系式：  指出：倒数关系、商数关系与平方关系这八个公式统称为同角公式。公式中角 有一定的取值范围，只有当 取使关系式的两边都有意义的任意值时，关系式两边的值才相等。  在推导过程中，基本上由老师提问、学生集体回答、老师板书进行，课堂气氛比较活跃，学生能够了解八个公式的来由，但也有学生在琢磨，想记住公式，有学生提出了这么多公式如何记的问题。老师简单介绍了同角公式的“正六边形图示法”，要求学生课后去思考。 (2) 例题讲解： 教师引导说明利用这些基本关系式，可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值，还可以化简三角恒等式，证明其它一些恒等式。  (4) 小结： 同角公式是由三角函数的定义导出的，在运用时要注意适用范围，灵活解题。 三、课后述评： 整节课显得非常紧凑，教师按照教案讲解、引导，学生根据老师的提问思考、回答，在认真地听、写、做练习；讲解求三角函数值的两个例题时，体现了不同题型的解法，然后学生仿照例题进行练习，掌握解题方法，小结解题技巧。学生学习了较多的数学内容，教师完成了教学任务。但练习时，发现有不少学生在翻书找公式，有的学生迟迟不能下笔，决定不了用哪个公式好。课后，学生反映内容太多，理解的时间少，所学知识需要反复练习，多做练习，才能真正掌握。 5.1.2 、日本的教学案例 一、教学设计思路：引导学生观察思考，在做数学中掌握基础知识。 二、教学过程 1 、观察单位圆，找出基本关系式。 如图，角 的终边与单位圆相交于点 P(x,y), 则 x=cos ,y=sin , 根据 tan 的定义有 又因为 P 在圆周上，不论 x 、 y 的符号如何，总有 x2+y2=1 成立，所以 总成立。    3 、让学生归纳小结解题方法 这节课学习了同角三角函数的两个基本关系式，在求三角函数时，如果已知的正弦或余弦，就先用平方关系，再用商的关系；如果已知的是正切，可利用问 1 的结论来解题，也可利用两个关系组成方程组解题。 三、课后述评 日本的课本从单位圆入手，先定义了角的正切（正弦与余弦的商），再根据单位圆及勾股定理推出一个平方关系、一个商数关系，只有两个等式，涉及同角的三个函数，接着以“问”（小练习）的形式让学生应用关系式，推出另外两个式子；再讲解两个求函数值的例题，辅以单位圆解释，帮助学生理解。这样的安排内容少（只有我们的一半），教学中数形结合，比较直观，易于学生接受，学生能很快解题；学生练习的机会多，留给学生思考的余地很大，学生能够对其它问题进行思考，能够与其他同学讨论，充分理解，达到真正掌握知识的目的。 5.1.3 、学生对两种课的不同反应 学生普遍认为我国的教材内容多，课堂上也讲得比较全面，基础知识比较系统，注意了公式的来龙去脉，一环扣一环，适合成绩好、基础好的同学学习，但稍有不慎，就会出错，一节课下来显得非常紧张；课堂上听得多，记得多，没有多少时间思考，似乎就是在记公式、套公式，觉得很累，效率也不高；相比较日本的课堂是由对单位圆进行观察得到两个基本关系式，比较形象、直观，一看就懂；每个例题后配备了相应的练习，使学生学了马上就用，能及时发现问题，掌握知识；内容比较少，有时间思考、检查，还可以参与讨论，感觉较轻松。 事实上，在日本学校的课堂中，教师非常注重激发学生的学习兴趣，能从学生实际出发，创设问题情境，调动学生学习的积极性；并给学生充分思考的时间，让学生从不同的角度、不同的方面思考问题。学生回答时，不但说结果，还要说明是怎样思考的，说明自己思考的过程和方法；教师重视教会学生解决问题的方法，使学生在解决问题的过程中，学会从少到多、从特殊到一般的思考方法，使学生体会到用数学思想方法处理问题的益处，达到培养学生发展性的运用数学知识、数学思想方法等的态度。 5.2 、课程实施调查与分析 5.2.1 、问卷调查 为了了解学生对数学学习的兴趣、数学学习的方式及对教材中的概率、计算机、数学史等内容的看法，我们设计了一份调查问卷。问卷共 15 个问题，首师大高一年级共 125 名学生参加了问卷调查。 从对待数学的态度来看，喜欢数学的学生有 49 人，占 39.2% ，有一点喜欢的有 35 人，占 28% ，只有 4 人 3.2% 的学生厌烦数学；对于目前的数学内容，认为能激发起学习兴趣的有 24 人，占 19.2% ，认为有时能激发起学习兴趣的有 76 人，占 60.8% ，还有 20 人（ 16% ）认为不能激起学习兴趣；从问卷看，大部分学生认为所学数学内容与生活实际联系少，这一比例占到 72% ，仅有 23.2% 的学生认为与实际联系紧密；对教材内容能否培养创新精神的调查显示，仅有 19 人 15.2% 的学生认为能够培养，有 30.4% 的学生认为不能培养或者根本体会不到创新精神，有 62 人 49.6% 的学生认为有一些内容能够培养创新精神。对于目前教师的上课方式，有 88.8% 的学生认为用的是讲练结合、启发诱导的方式，说明我们的教师已经摈弃了满堂灌、一言堂，已经开始采用新的教学方法，但引导学生自主学习还不多。 问卷中对新教材中的概率统计知识、计算器与计算机的初步进行了调查。结果显示，认为概率统计知识很实用、很有趣的共 57 人，占 45.6% ，但仍有 41 人 32.8% 的学生认为与生活实际联系少，有 22 人认为只是一些数据而已；学生对数学史知识了解的不多，仅有 2 人表示了解的较多，有 38.4% 的学生知道一点数学史知识，有 43 人 34.4% 的学生想了解数学史，另有 25 人对数学史不感兴趣；关于计算器与计算机的初步引入中学数学课堂，有 102 人 68.6% 的学生表示赞成，仅有 3 人表示反对，还有 25 人 15.2% 的学生无所谓；对有些国家和地区实行的“必修 + 选修”的修课方式，有 29 人 23.2% 的学生非常感兴趣，有 75 人 60% 的学生表示有机会想试试选修制，但也有 6 人对此不感兴趣。 结果显示，目前的数学教学内容基本上能得到学生的认同，但还不能激发起大多数学生的学习兴趣，还有相当多的学生认为数学内容不能与现实生活相联系；而对于计算器与计算机初步等内容以及选修课制度，学生则表示出极大的兴趣。 5.2.2 、访谈 为了了解数学内容的选取、编排方式对学生接受数学知识的影响，笔者分别向部分学生和教师讲解了日本数学的教材编写和选修课制度，并让他们详细地阅读日本的高中数学教科书，然后让他们谈谈感受，对他们进行了访谈。 1 、对学生的访谈 问：今天我们用日本的教材上了一节课，跟我们的教材相比，有什么感受？ 生 1 ：日本的那节课显得容易接受，那个单位圆画出来后，很容易就能看出商数关系和平方关系。 生 2 ：内容少，我们有时间进行消化，做练习时可以充分思考，讨论；还能发现练习当中的错误，想想那些题是怎么做出来的，总结解题思路。 生 3 ：我看过我们的课本，我们的内容含量大，题目也多，可接触较多的内容；但我觉得难，要费劲思考。 生 4 ：日本的教材只推出两个基本关系式，简化了内容；我们课本上有八个公式，其实后面的那些都可以由前两个推出来的。我还是希望少记一些公式。 问：你们怎么看日本的必修课？ 生 1 ：必修课内容浅显，数学差的同学不必害怕，数学强的同学可以去征服更高深的数学知识。 生 2 ：总的感觉是不怕，挺容易的。 生 3 ：我觉得这部分内容基础性很强，每一章前面都有一个很现实的问题，能激发学生的学习兴趣。 生 4 ：日本的内容浅，容易接受，适合学生的年龄特征。 问：那么你们怎么看待选修课形式？ 生 4 ：这有点象我们的分层教学，大家分别学习不同的知识，适合不同层次的同学。 生 1 ：必修课内容比较基础，人人都能学会，就会多一些自信；而选修课当中那些难的内容可以不学，少了很多挫败感。在我们的数学课中，我很少体会到学习的成功喜悦，数学成绩总是不理想。 生 3 ：选修课给了学生很大的学习自主权，可以根据自己的学习能力、兴趣爱好进行选择。如数学史知识能够扩大知识面，里面有感兴趣的东西，还有一些数学家克服数学难题的毅力描述，数学家的发现数学规律的过程，这些能够吸引人，能够提高学生对数学学习的兴趣。 生 5 ：过早分层不好，有些学生会少学很多数学知识。 问：日本选修课中有很多计算机方面的内容，你们想不想在我们的数学课中也安排计算机内容？ 生 5 ：计算机课我们都比较喜欢，因为这是新的东西。但目前我们用计算机上数学课也仅仅是老师演示一些课件给我们看，我们并没有自己亲自动手操作处理数学问题。如果能够根据数学问题编制程序，解决一些数学难题，那就好了。 生 2 ：几何课能用计算机作图，一定会很形象，容量也大，便于我们观察，找出图形的特征及图形间的关系，还节省时间，那一定很棒。 问：微积分在我们原来的课本中是没有的，而日本早就有这方面的内容，对此你们怎么认为？ 生 1 ：这要看高考，高考不考，就可以不学了。 老师提醒，人家的学生比我们早接触新的、前沿的数学…… 生 2 ：微积分的内容可降低难度，介绍一些基础知识，让我们有一定了解，接触数学前沿知识，发展思维。这样差距就不会太大。 生 3 ：数学 C 、数学 III 的内容可让学生选学，扩大见识面，接触一些大学的内容。 问：对数学内容编排有什么看法？ 生 2 ：我注意到整式、平面几何是我们初中的内容，而他们放在高中学，比较容易接受，因为这时我们的抽象思维能力已经提高了，能够理解这些内容了。 生 5 ：排列组合知识与生活联系紧密，所举的例子形象易懂；在选修课里安排的数列内容觉得太早、太难；上学期的数列内容至今我还觉得仍然没有弄懂。 生 3 ：他们的内容比较散，几乎每本书里都有式、图形、函数等内容，好像在逐步加深，不象我们的书每种内容编成一章，函数、数列、三角各自一章，内容显得多，了解起来有困难。另外方式灵活，同一内容的处理方法有不同。 评述：学生们对选修制度、计算机教学表现出极大的兴趣，也关注学习能力、心理接受能力、教学方法对数学学习的影响。 2 、对教师的访谈 彭荣华，男， 28 岁，有 5 年的数学教学经验，现为首都师范大学附属桂林中学教师，任高三（ 1 ）班、高一（ 5 ）班数学教学。 彭老师很认真地看了日本的六本教科书，边看边进行评议；当看到微积分的有关内容时，感慨地说“我们上大学之前有一些微积分内容就好了，就不会感到大学的数学那么难了。”认为高中有了微积分内容，从高中到大学就不那么突然，过渡得好，不会感到困难，就好比从一个台阶走上另一个台阶，逐步提高、逐步上升。 谈到数学内容选取，觉得日本的必修课太浅，而我们的又太深，认为内容上还是要考虑学生的接受能力及心理特征；他很赞成选修课制度，认为这样的话，人人都能学到必须的数学知识，而有能力的学生可以进一步学习喜欢的内容，也可满足有数学特长的学生探索数学专业课题的欲望。他还提到，日本的很多数学问题与生活实际联系紧密，书本图文并茂，形象直观，便于学生理解，有些内容学生可以通过自学获取知识。 关于我国的教材，他认为，长期以来课本的系统性、逻辑性太强，只适合少数成绩好的学生学习，而随着人们生活水平提高、教育意识增强，越来越多的人进入高中课堂，原来的数学内容、教学方法已不适合现在的高中生；现行的教材增加了现代数学内容，比以前丰富多了，但章节之间的联系明显减弱，教师对教材内容不容易处理，学生也很难把所学的知识系统化。对日本教材中各领域内容齐头并进，相互融合的方式表示有兴趣，要好好研究。 初中数学老师罗义华认为，两国所选的基本内容差不多，在图形认识上日本的课程是逐渐加深的，到高中日本仍然有平面几何问题，但程度上比我国初中的几何要深，有很多题型是值得我们借鉴的；还有一些定理，比如关于三角形，他们比我们研究得更深、更透，把三角形的重心、垂心、内心、外心等上升到了一定的理论高度，有的定理则用一个规律统一起来。这点值得我们学习，我们不能把学生的思维限定在较低的层次上，我们应该发展学生的思维，开阔他们的眼界。 而骆安强老师则认为，用计算机处理数学问题是可取的，但要求我们的设备、师资力量能够跟得上发展水平，学生也应具备一定的素质。 6 、借鉴与启示 社会的发展是教育改革的一个主要原因。我国社会主义现代化建设事业的迅猛发展，政治、经济、科技、文化的进步以及人们生活水平的提高，对数学教育不断提出新的要求，数学教育改革是一个永恒的主题。我国的经济发展水平和具体情况的不同，决定了我国在文化教育的水准上客观存在着城乡之间、沿海与内陆之间以及重点学校与职业学校之间的较大差别。由于人们的教育意识提高，高中教育的需求扩大，学生的数学水平客观上存在着不同的层次。因此，我们需探索和建立新的高中数学课程体系，以适应不同程度和发展方向的学生的需求，适应不同地区和类型的学校及各人能力发展的需要。 借鉴日本高中数学改革的做法，结合我国的实际，认为高中数学课程改革可采取以下做法： 1 、数学课程的改革应当适应社会、经济发展的需要。现代数学已渗透到科学技术、经济生活和现实世界中与人类生存息息相关的各个领域。因而，对数学的认识：首先，数学是关于客观世界模式的科学。数、形、关系、可能性、数据处理是人类对客观世界进行数学把握的最基本的反映，其次，数学是一种普遍适用的技术，可以帮助人们解决问题、作出判断，是人们进行信息交流的一种有效、简便的手段。三是数学是在人们对客观世界定性把握和定量刻划的基础上，逐步抽象、概括、形成模型、方法和理论的过程。因而，在内容上，强调统计、概率和离散数学这一适应技术和信息社会所需要的知识的学习，着重考虑了社会未来公民的数学要求，即数学读写能力、文化素养、工作的需要，数学家、科学家、工程师等高层次人才的需要，只有适应社会经济发展的课程改革，才有旺盛的生命力。 2 、数学课程改革的目的，应体现大众数学的思想，使每一个学生拥有平等的接受教育的权利，使每一个人都掌握人人能够获得的而且对每一个人的终身发展有价值的数学知识，使每一个人都能学习适合他们自己的数学。因而数学课程应使学生体会数学与自然以及人类社会的密切联系，体会数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心；学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；获得适应未来社会生活和进一步发展所需要的重要数学事实以及基本的思想方法和必要的应用技能。 3 、数学课程应突破传统的单一化的设置结构，根据学生的数学能力、个性差异、兴趣爱好和志愿等不同，建立适合我国国情的课程设置结构。 在我国，课程改革客观上最大的问题在于高考竞争的激烈，高考的局面与日本相似。我们可借鉴日本的经验，采用“必修 + 选修课”的形式，建立适当的“多轨制”的数学课程设置结构，增强课程结构的层次性和选择的多样性。可以在高中一年级设置统一的必修课，课程中体现数学的基础性，学习人人必须的数学；高中二年级开始按学生就业、升学的需要和志愿（不是按学生能力水平）选修课程；可由国家来确定统一的教学大纲、课程内容的基本范围及课程评价的基本方式，至于在课程内容的基本范围之内，采取什么样的课程结构应由各校按各自的实际情况来确定。利用选修课，增加一些理论联系实际的教学内容，让学生在解决实际问题的过程中，增加对数学知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力。 4 、根据社会需求和数学发展的趋向，借鉴国外的经验，应删减和淘汰传统数学中单纯追求技巧、陈旧过时，理论繁琐等教学意义不大，无实用价值的内容，选取实际中最有用、最基础的并且能为学生所接受的内容作为中学数学课程的主要内容，使数学走向人们的生活，有亲近感，促使数学学习更加贴近社会生活的实际，符合时代的要求，走向大众；大力引进并学生将来走向社会和终身学习发展有密切联系的近、现代数学内容，适当介绍前沿性的数学学科知识。 (1) 统计与概率知识。随着信息时代的到来和我国市场经济的发展，人们无论是在日常生活中还是工作中，每天都会遇到大量的如信息收集、数据处理，信贷利率、市场预测、规划设计、资源环境、资本投资等数学应用问题，都将面对各种各样的风险和机会，这就迫使人们必须具备一定的分析、处理信息与数据的能力，并做出判断和决策。因此，明确和增强概率统计基础知识的学习，用随机数学的思想武装未来公民的头脑便成为数学素质教育的迫切需要。由于概率统计的知识内容和研究对象本身有着非常丰富的实际背景，来源于学生们所熟悉的现实社会和生活，这为学生认识和了解数学的来源与背景，感受数学价值和作用，培养学生探索应用和解决实际问题的能力提供了一条有效的途径。 (2) 计算器与计算机的应用。随着一个更加开放的新世纪和信息时代的到来，计算机技术的发展与应用为数学教育的现代化提供了条件，使数学教学的多样化、个别化成为可能与现实。因此，在中小学阶段合理、适当地学习和使用计算机、计算器，既是高度信息化社会发展必然、客观的需要，也是激发学生的兴趣和学习热情、培养学生的探索应用能力、寓教于乐的一种有效方法。教育实验与研究也说明，将计算机引入基础教育，不仅给数学教育的内容，也给数学教育的教法、学法以及人们的思想与观念都注入了新的生命活力，而对计算机的学习和掌握无论是为学生将来走向社会，还是今后的学习深造打基础都将是终身受用和必需的。高中数学课程不但要增加信息技术的内容，而且要将数学内容、计算方法和计算机有机结合起来，使学生能够积极主动地应用计算机和信息通讯网络等技术解决问题，以适应时代地变化。 (3) 加强函数的学习，适当引入经济数学内容。函数既体现了常量数学到变量数学的转折，也是探讨事物发展规律和预测事物发展方向的重要方法，还是简明有效地处理、表达、交流及传递信息的有力工具。因此，应适当加强函数的学习，使学生逐步熟悉变量，学会观察变量并善于思考变化过程。 （ 4 ）注重内容的有机融合，学科之间的相互渗透以及数学与自然、社会的广泛联系，欣赏数学广泛的应用价值，并通过参与各种数学活动（包括观察、操作、实验、类推、归纳、演绎等）培养学生多方面的观察操作能力，逻辑思维能力等创造性的基础。 5 、改变传统的教学模式，以丰富的数学活动激发学生的创造意识，培养学生的创新精神。 ****同志提出，全面推进素质教育必须以培养学生的创新精神和实践能力为重点。日本的改革特别强调“通过数学活动培养学生创造性的基础”，是值得我们借鉴的。在数学活动中，学生经过观察、分析、比较、综合、抽象、概括等步骤，提出科学的猜想和假设，得到新的命题；然后再应用已掌握的数学理论与方法，对新的命题加以论证，从而获得新的理论和方法；最后再运用所得的理论和方法去解决一些问题。 数学教育从“教师为中心”、“课堂为中心”、“教材为中心”的传统模式已经转移到了“以激发学生学习为特征的，以学生为中心”的实践、活动模式。即学生不是被动地接受知识，而是通过数学的活动，主动地构建自己的数学认知结构。由学生被动听讲的课堂变成学生积极参与的活动过程，从而构建一种学习环境：鼓励学生去探索；帮助学生表达自己的数学思想；让学生看到许多数学问题不只是一个正确答案；提供证据，证明数学是生动的，激动人心的；使学生体验到深入理解和严格推理的重要性；使所有学生都建立起能够学好数学的自信心。 在教学中可以利用研究性课题，将创新意识的培养贯穿于知识教学、能力培养的全过程，对某些数学问题进行深入探讨，或者从数学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究，在研究过程中以学生的自主性、探索性学习为基础，倡导从学生生活实际、生产实际自拟研究性课题。在研究性学习中，教师要注意培养学生的科学精神和科学态度，激发学生学习数学的好奇心、求知欲，启发学生能发现和提出问题，善于独立思考和钻研问题，鼓励学生创造性地解决问题。教师在教学活动中要引导学生通过观察、分析、比较、类比、抽象、概括、总结与归纳活动，把有关的知识纳入一定的知识体系中，把知识点连结成面，形成知识网络，这样学生在掌握了科学性和规律性的知识之后，智力就会得到相应发展，创新能力也会提高。 教师应从教材中挖掘创新教育的素材，因为概念的引入、规律的发展、公式的推导，解题方法的设计与改进，无不包含着“创新”这一思维过程。各种规律的发现、公式的推导均是创新的结果；对数学例题、习题的分析与解答是学生最佳的也是最主要的创新实践。在课堂教学中，教师要注意构建和谐、民主的课堂教学气氛，使师生交往的状态达到最佳水平，使各种智力和非智力的创新因子都处于最佳活动状态，并且尽可能的增加学生自己探索知识的活动量，给学生一定的自由，充分展示他们特有的好动性、表现欲，从而有效地发现学生的个性和发展学生的创新能力。同时要培养学生善于发问、思考，勇于探索、创新的学习习惯，学生自己能看到、能做到的，鼓励学生自己去看、去做、去创新，长期坚持，学生良好的习惯就会形成，创新能力就会得到发展。 6 、注重培养学生用数学思想方法考察和处理问题的能力。要提高学生的数学素养，不仅要使学生掌握数学知识，而且要培养学生运用数学知识和数学的思想方法考察和处理问题的能力，使他们能用数学知识和方法去解决实际问题。这一目标要求在日本的数学课程目标中的体现是十分明确的，在教材的编写时也非常重视培养学生对日常事物进行有条理的思考能力，使之明白用数学思想方法处理问题的好处，并培养学生自觉地把数学和数学思想方法用于日常生活的态度。 我们以往的数学教材注重知识和结论，忽视对知识发现、产生过程以及这一过程的思维方法的再现，使得学生拿起书本头就痛，从而对数学学习没兴趣，失去信心。教材的改编要用适当篇幅，介绍数学史的相关知识，展示数学家们发现、创造知识的思维过程，处理解决问题的思想方法，以增加数学教材的可读性，培养学生的阅读理解、自学能力，培养学生的探索、创新精神。如在函数的应用举例中，可通过典型的例题，展示“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，再经推理演算得出数学模型的解，最后还原说明实际问题的解”的“数学建模”的数学方法；在数列的教学中，可采取“观察 ---- 归纳 ---- 猜想 ---- 证明”的数学思想方法来解决，以培养学生的创造性思维能力；又如，球的体积与表面积的计算公式，运用了“分割 ---- 求近似和 ---- 化成准确值”的推导方法，其中包含了“化整为零，又积零为整”的“无限细分，化曲为平，逼近精确值”的数学思想。在数理统计中，蕴涵着统计推断、假设检验的思想；初等微积分体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辨证思想；代数中有集合思想、数形结合、化归思想；平面几何中的公理化思想、几何变换思想；解析几何中的运动与变化、数形结合、参数思想；概率中的必然性与偶然性的关系等，这些思想都应让学生通过学习数学知识的活动，逐步使学生理解和掌握，通过解决数学问题或实际问题的活动，提高运用数学思想和方法的能力。 7 、改革数学教材内容呈现方式。教材内容的呈现应以丰富的内容、灵活的方式引导学生观察、探索数学以及学习中的规律，使学生体会到数学的乐趣，学会学习的方法；内容的编写应尽量符合学生的认知特点，各部分知识适当划分阶段，由易到难分散安排，明确给出知识发生、发展的过程，特别是思考问题的顺序和重点，便于教师教学和学生学习；应体现自主学习和终生学习的思想，具有启发性，让学生从教材中感受到数学的魅力。