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谈谈数学美

庞卡莱(J.H.poincom,1854—1912)说过: “感觉数学美，感觉数与形调和，感觉几何优雅……这是所有真正数学家都知道的真正美感。” 大数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”然而现代信息化的社会中，人素质的高低可以说是由数学素质的高低决定的；一个国家的是否兴旺发达，数学也是重要的标志之一，近30年来获诺贝尔经济学奖的专家的工作，绝大部分是因为他们在数学方面的重要成就而获奖。运用的广泛性对数学大众化提出必然的要求。可高度形式化、逻辑化、抽象化的数学材料，总给人单调乏味，莫测高深的感觉。由此可见，对数学美的研究，不仅仅是数学家的事，能够体验数学美感的也不仅仅是数学家。本文想就数学美的本质、形式和美育等方面谈一些观点、心得，供同行商榷。

一、数学美的本质 马克思“劳动创造了美”的观点明确提出了美源于实践。实践是沟通人与自然的桥梁，一方面改变了外部现实，消灭它的规定性，把握自然界使之为自己服务；另一方面又通过消灭外部世界某些规定性来获得具有外部现实性的实在性，于是自然变成人化的自然，人成为人化的人，都成为对象性的存在。这就是通过实践而构建世界的图画，美源于其中，存在于人所创造的客观图画中。数学美是客观世界中固有规律的反映，是现实世界中数量关系和空间形式的程序性、统一性、规律性的呈现。原来以过程、动态形式存在的自然美，通过人类的生产实践就抽象成为结果、静态的数学理性美、冷峻美。可见数学美是对数学必然的认识和对世界的改造，数学美是数学创造的自由形式。任何一个数学公式、定理、结构、体系等，要本质上都具有真理性，都是人对自然规律的认识，这就呈现了自由。而同时，必然的认识成果作为指导实践的工具使人能动地进行创造活动，使人从数学必然王国到达数学自由王国，从而再次获得自由。可见任何一次数学发明发现，任何一次数学学习实践都可以使人在实践中获得自由形式，这就是数学本质所在。

二、数学美的形式 人们在对客观事物观念的认识过程中所具有的美感及在科学认识中具有审美价值的超感性对象称为科学美。数学美显然是一种科学美，它失去了美感的“具象性”，是一种抽象美，是超感觉的理性美、冷峻美。数学创造往往表现出简单性、对称性、统一性、谐调性、奇异性，因而，统一、谐调、对称、简洁、奇异及应用是呈现数学美的主要形式。
  【统一美】统一美是指呈现于基础上的统一、结构上的统一、方法上的统一。
数量关系与空间形式是多种多样的，因而反映在数学科学上就是各种不同的数学门类。每门数学都有自己的概念、符号、命题体系，概念、命题和方法相互交叉形成十分庞杂的数学体系，但它们却有共同的基础——集合论。比如几何学，欧氏几何已经有二千多年的历史，人们没有怀疑它的真理性。而后来出现的罗氏几何、黎曼几何却与欧氏几何有明显的矛盾.譬如关于三角形内角和，欧氏几何说是“等于π”,黎曼几何却说是“大于π”,罗氏几何又说是“小于π”。再如关于平行公理，欧氏几何说“平面上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”,罗氏几何却说“平面上过直线外一点至少能引两条直线与已知直线不相交”,黎曼几何却说是“平面上过直线外一点作已知直线的平行线一条都没有”。而后来凯莱(Cayleg)的射影测度出现后就解释了非欧几何学，实现了三大几何学的统一。保证无穷远直线不变的射影几何学称仿射几何学；保证圆点不变（或伪球面上高斯曲率K=0）的仿射几何学称为欧氏几何学；保证一条虚二次曲线不变（K> 0）的射影几何学称为黎曼几何学；保证一条实二次曲线不变（K< 0）的射影几何学称为罗氏几何学。十九世纪，斯坦纳、冯斯滔已经完全确定了由综合法入手的射影几何学，而后来，综合法在应用上受到一定的限制，于是人们又引入新的研究方法——代数公理法，亦通过公理体系规定代数运算,利用运算来处理几何问题,一方面,人们想把通常的空间的射影几何学，与代数结合在一起;另一方面,把射影几何学，与格论结合在一起发展成为无穷维射影几何学即连续几何学.此外还能把射影空间与测度空间结合在一起,把微分、张量分析与射影几何学联结在一起.但无论哪一种联结方式;哪一种统一方法,其基础都是集合观念.
   17世纪出现各种各样的几何学,1872年克来因才明确指出它们共同的基础 ——变换群.他指出:几何学就是关于变换群下的不变式理论.拓朴学是关于射影变换群(一一映射且双方连续)的不变式理论;射影几何学是关于射影变换群下不变式理论;仿射几何学是仿射变换群下不变式理论,由于仿射变换群是射影变换群的子群,因而它保持射影性质如交比、平行性不变;欧氏几何学是正交变换群下不变式理论, 正交变换群是仿射变换群的子群,因此它保持仿射性质,而同时又有自己的不变性质:长度、角度、面积等.在正交变换群下有且只有三种几何-----欧氏、罗氏、黎氏,这样,克莱因用群的观念把各种几何学统一了起来.就“数”和“形”来说，直到16世纪，人们一直奉几何学为正统，代数学从属于几何学。16世纪后代数研究才活跃起来，1637年笛卡尔创立了解析几何，才把几何学同代数学统一起来。
   除了统一基础外，数学美还表现在结构上的统一。数学中的一个集合的元素间的关系通常是用运算或变换联系着，这样集合就形成了结构。比如整数集其元素通过加法构成整数群，形成整数群结构；其元素通过乘法又形成整数环结构。不同的代数有不同运算群结构，1935年布尔巴基学派提出用数学结构统一数学的观点，他们将数学结构分为三类：代数结构、序结构和拓朴结构。
另外，数学方法也是统一的，数学发展总是在机械化法与公理化法相结合的基础上发展起来的。
   在大统一中的各个子系统、各个分层分支存在统一，枚不胜举。如圆锥曲线统一于极坐标方程—— ；立体几何的体积公式统一于辛卜生公式；各种函数展开式统一于泰勒展开式等等。
   数学的统一美，给人以理性的超感觉的整体美、稳定美、秩序美……使人自然而然形成审美趣味、审美理想，激发人们去进行数学审美创造。
   【谐调、对称美】谐调对称美本意是指部分与部分之间、整体与部分之间、整体与整体之间可以引起直观快感的比例关系。纯数学与实际应用之间通过应用数学构成关系呈现一种谐调美，同构、同态映射构建、RMI模型构建呈现一种谐调美,最突出当一个整体的几个部分或几个整体在构成上的比例为1时，即为对称，它是谐调美的特例，给人以平衡感，从而作为审美对象给人以对称的感觉。几何的轴对称、中心对称、位似变换、相似变换,代数中的矩阵、二次型,空间中的向量及其运算等等无不体现了对称美。圆是毕达哥拉斯学派最推崇的最美的图形，从各个方面看都是对称的，让人感到十分舒适，具有完美的对称性，其内涵的意蕴更加动人心扉：她是太阳、是清晨的露珠、是爱人的眼睛……难怪有的学者称之为“宇宙间第一等好诗”。对称因易于适应主体追求心理平衡及逆向思维的要求，因而它不仅能激发主体的美感，而且往往成为数学创造的一种契因。如射影几何学的创立是数学家对欧氏几何中对称美因的审知过程中追求对称美的直接结果；相对论从某种意义上说就是运用数学对称的结果。
   【简洁美】事物的简洁性给人以简捷、明快、准确精炼的美感，数学的简洁美首先表现在语言的简洁性上，特别是符号语言。数学基本概念、命题、公式、运算所呈现的简洁性就是一种实在的数学美。二次函数形式十分简单，它既可以描述自由落体运动规律，又可表达质能转化规律，还可以计算圆的面积……其图像可描述小石子的抛体运动，也可刻画行星的运行轨道……它是一首包容万物的小诗！阿拉伯数字的简洁性习惯得让人遗忘，我国辛亥革命前的记数符号是一、二、三、四……，常数则用甲、乙、丙、丁……表示，使用起来极不方便，几乎毫无操作性可言,真是太遗撼!在记数方面，中国人没有像用纸代替竹简、用毛笔代替羽毛笔那样的简洁实用的发明。从某种意义上可以说：正是由于这种记数法，才阻碍了中国数学的进一步发展，而让西方人在数学领域中取得了重大突破而诱发了工业革命。的例子是黄金分割。美学家柴辛将其导入美学，认为事物具有这个关系时最美，这是“上帝赐给的比例”。珠算的发明将数学的简洁美推向高潮，珠算的进行过程是声情并茂的艺术呈现过程。欧拉公式中当θ=π时，有 ,这个十分简洁的等式中却含五个十分重要的常数：0、1来自算术；1是实数单位；i是虚数单位。1来自代数，π来自几何，e来自分析……这五个常数渗透数学各个领域，至今尚未被人类参悟透彻。它们如此奇妙、简洁地汇聚在一起，表现出如此神秘、自然、和谐,使人获得一种强烈的美感！数学中各种各样的符号——逻辑的、集合的、代数的、几何的、函数的、拓朴的、分析的……无一不是简洁、准确地表述了数学概念，呈现出数学的简洁美。欧氏几何仅使用了几个公理就构建出如此

伟岸的体系,算术公理系统只用了三个基本概念便刻画整个算术系统结构。简洁是数学的生命，是数学呈现美的一种主要形式。

【奇异美】奇异既是超常规和预料。数学中的奇异性常常是打破已有的数学统一性而出现的一种认识上的飞跃，这种新的认识又意味着在更高层次上的统一与和谐。古希腊时期，正方形边长与对角线的不可公度性发现是何等奇异？它直接导致了毕达哥拉斯学派“万物皆数”大厦的倾覆，引起了人们对无理数的研究和公理几何学的诞生。而“伽利略悖论”的离奇出现，激励了康托尔毕生研究超无穷集合并建立了超穷数理论。希尔伯特曾称赞康托尔的超穷数理论是“数学思想最惊人的产物，在纯理性范畴中人类活动最美的表现之一”。而神奇的“罗素悖论”所掀起的第三次数学危机，至今仍让人们如痴如醉地探求！数学的奇异性在数学各个层面、各个角度都有体现；同样也体现在自然界、社会、经济等领域中。阿基米德依力矩原理居然“称出”球的体积公式；中国的七巧板可奇妙地拼出千变万化的图案，其中许多数学问题至今未被人揭开。蜂房是由许许多多正六棱柱一个挨一个紧密地排列着，每一个棱柱底面是由三个全等菱形拼成的，每个菱形的钝角为109028’,而这种结构使得蜂房体积最大且建筑材料最节省；而钻石的结构中也选择了109028，这种选择使钻石最硬。自然界中的这些数学选择是多么奇妙！而一个简单的π几乎是数学的灵魂。奇妙的河图洛书也许会引发新一轮的数学革命。“海岸线问题”、“科和雪花”、“孟格尔海绵”、“塞尔斯基片”反映一个共同的问题：在有限空间中有无穷长的线！这种奇妙结果出现，导致人们对混沌无序的认识上突破，出现了年轻的几何学——分形几何学，许多好莱坞大片的宏大壮丽的场面就是其直接应用的结果。而单、双叶曲面居然可由一簇直线构成，这简直是上帝的手笔！数学奇妙，奇妙得让人叫绝！
【应用美】数学是原级科学，数学发展总是为了解决实际问题的。数学应用美实际上是数学奇异美的一种。数学运用枚不胜举，没有数学就没有科学的进步、没有社会的发展。数学在物理、化学、医学、地理学、天文学、生物学、工程学等学科领域中都起着举足轻重的作用。在物理学发展史上，一般困难在于数学方法的不足。牛顿为了解决物理问题而创立了微积分。而相对论的困难在于物理思想，欧氏几何被爱因期坦引入而创立了狭义相对论；高斯-黎曼几何、张量分析被爱因斯坦离奇导入从而创立了广义相对论。奇就奇在这些数学工具竟解决了物理思想问题。拉登变换公式在CT理论中神奇应用，引发了20世纪的医学革命！另外诸如圆锥曲线在天体中的运用,拓朴学在经济中的运用,运筹学在工程学中的应用等等无不充满神奇、充满魅力！数学统一、谐调、对称、奇异及应用美，说明了数学在客体中存在数学美基础，经主体审美创造活动过程呈现出来，极大地激励着人类征服、改造自然。然而，对数学美的判断不仅要着眼于数学对象本身的品性，还要考虑到主体的思想文化修养、美感品性及审美能力，因为数学美毕竟是理性美、科学美，下面我就谈谈数学美育。

三、数学美育 美育即是审美教育,数学美育是把数学作为审美对象，通过数学教学形成美感，经过审美体验形成审美意识、审美理想、审美意志，从而自觉地进行相应的审美活动。数学美育主要反映在数学教学中，数学教学过程是数学美因呈现过程和数学审美创造过程。而学生不是数学家，很难体会数学这种理性美，因此教师在讲授数学知识时要善于表现数学美，尽可能展现最好又是感性展现数学美的各种形式，将数学美与学生已经具有的美感进行类比，从而让学生形成美感。没有表现出数学美，审美情感和审美意识就失去了基础。教师也只有充分显示出数学美才能启迪学生将数学作为审美对象；才能将数学技能技巧作为审美价值表现；才能提高学生的数学能力。教师除了要善于呈现数学美之外，还要把教学这种活动作为科学活动的同时作为审美对象，这就是数学的教学美。通过教师带有审美价值的技能技巧；通过教师审美创造活动，使学生获得知识形成能力的同时得到美的享受。因而教学也是艺术。对于教学的艺术美，我认为有如下几种实现方式：
1.模仿方式   古希腊对艺术的主要做法就是模仿，而数学教学艺术中模仿无疑很重要。绘声绘色模仿给人以直观、给人以轻松，这不仅仅是对形象思维占主导的学生实用，对抽象、辨证思维占主导的学生照样有较强的实用性，特别是模仿第一发现者的思辨过程，会激发学生的学习兴趣。

2.移情方式  移情即是感情移入，把自己“感”到审美对象中去。移情的关健在于教师能运用恰当方式与学生既定的美感进行类比。“直线给人刚毅”、“曲线使人温柔”、“圆让人完满”、“极限让生命永恒” ……数学符号是音符，数学语言是旋律。流畅的证明是欢快的小溪，解难之后是“山到绝顶我为峰”的伟岸！一名优秀的教师无疑是移情手法大师。
3.现实主义方式与批判现实主义方式   数学学习毕竟是对“真”的追求，在教学中直观现实地呈现细节、环境、过程等本来就是数学教学的基本要求。但现实主义方式不是呆板枯燥呈现，也有其高超的艺术手法，是在呈现一幅幅淡雅的山水画——“一去二三里/烟村四五家/楼台六七座/八九十枝花”。而数学学习同时要有批判精神，不能人云亦云，总要问一问为什么。为什么要这样下定义？为什么要这样表达？为什么要如此证明？批判的过程往往会揭示出概念的必要性和合理性，从另一个侧面再现数学美，“横看成岭侧成峰”，往往使学生把握了数学知识的形成过程，提高自身的数学能力，“只缘身在此山中”。
   数学是一门同人民大众贴得很近的学科，它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了四维、五维乃至n维空间，并且，集合论的超限数的空间，远远超过了通常无穷大的空间，它们都远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄伟美。数学是一座远远地超越了我们想象的华丽宫殿，站在这个无比庄严、宏伟的宇宙中的数学家们，以崇敬赞叹的目光远眺着它的壮观、美妙。那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人，是被爱因斯坦称的“有宇宙宗教性的人”。数学既有丰富深刻的思想内涵,又有和谐、简洁、奇异的美的形式和包容宇宙万物的气势——这是诗的意境、音乐的韵律、绘画雕刻凝固的永恒！这是所有不同艺术共同归宿。数学符号、公式、法则、定理都给人极大享受的数学诗、数学画、数学音乐……它以简洁和谐形式反映了宇宙中的深邃美，造成了庄严、永恒的意境，给人留下无边无垠的遐想……这是一种崇高的思辩美。数学符号、命题及体系只不过是其载体，体验它为能靠感官而要靠心智，它是合规律合目的的统一，借助于自由形式表现出来来.

(作者:湖北恩施清江外国语学校  天成)