地铁外包没意思:数学和艺术都恰到好处近似地描绘世界

数学和艺术都恰到好处近似地描绘世界 发布单位:湖北三峡职业技术学院本站原创 提交日期:2007-2-4 21:04:39 阅读次数:1340 摘要： 论述了数学和艺术的比较和联系、数学的艺术性质、数学美的存在及其特征：数学在很大程度上是一门艺术，数学美表现为对称、和谐、简洁和奇异，是一种理性的美。数学理论和艺术形象的形成都是选择、提炼、集中、概括、典型化、理想化的过程，指出了数学和艺术都在恰到好处近似地描绘世界。
关键词： 数学；艺术；数学美；数学建模
中图分类号： N0文献标识码： A文章编号： 2027/YC-（2006）02-0001-04
一、数学在很大程度上是一门艺术
科学和艺术殊途同归，是人类认识自然和自身的两种强有力的手段。它们的共同目标是追求真、善、美。史前刚刚萌芽的数学与艺术就有不解之缘。各国出土的原始彩陶纹样，早期偏重于写实，后来逐渐发展成连续、对称、均衡的几何图形。从我国上世纪60年代发现的西安半坡村人面鱼纹彩陶便可看出，原始“先民已经具备了利用圆的两条直径相互垂直等分圆的进步的几何学与数学知识”［1］。古希腊毕达哥拉斯（pythagoras）学派，十分推崇“黄金分割”，将它广泛用于建筑和雕塑艺术。文艺复兴时期的伟大画家达·芬奇（Da Vinci）兼通数学，他以精确的透视和“神圣的比例关系”创造了许多举世名作。达·芬奇认为，世界上一切美的事物，都应服从黄金比。而且确信，只有把画家的气质与数学结合在一起，才能创造出真正的艺术。当代艺术大师毕加索（Picasso）把立体几何溶入绘画，进行了艺术生涯中又一次划时代的变革，为西方现代艺术树立了二十世纪的里程碑。最有趣的是，今天，数学和艺术又在电子计算机绘画上接轨，由解析函数迭代产生的分形图案变化万端，美丽神奇。数学为艺术和艺术家的成功开辟了新的天地。数学是科学，这是毋庸置疑的，数学的研究对象是现实世界（包括客观世界和主观世界）的“数量关系和结构关系”，“数学是关于模式和秩序的科学”［2］。艺术的对象是人生，是人类生活的总体。这个总体，不仅是生活的外部形态，也包括人的精神世界。数学创造，同别的科学一样，是一个理论体系；而艺术创造得到的是艺术形象。然而，数学和艺术都从不同角度描绘世界。数学家从中发现本质，艺术家从中获取素材，追求一种适宜的美的构成，把自己的审美意识“物化”于被改造的对象中，将对象升华为具有普遍意义的典型。这里“物化”过程中承担主体意识的载体，对艺术而言，是一定的物质材料，比如，雕塑所用的石头。对数学来讲，可以认为是“逻辑材料”。借鉴艺术，我们可以说，数学也是“在精神与物质材料，心灵和审美对象相互作用，相互结合的情况下，充满激情与活力的创造性劳动”［3］的结晶。雕塑家加工顽石，数学家加工逻辑材料，诺伯特·维纳（N·Wiener）把两者作一比较，提出：“数学家的工作同艺术家的工作倒是十分相似的。”
数学与艺术相似，还在于它的自由创造。艺术家可以在精神王国里“自由地寻找”，发现美，提取结合意象，自由地创造意境，选择艺术语言和方法。当然，这种自由是对必然的认识，不是为所欲为。艺术家们可继承欧洲“摹仿”自然和强调形式美的写实传统，可追求中国绘画“神似”的意境，亦可探索康定斯基（Kandinsky）和蒙得里安（Mondrian）式的抽象构图。数学与其它科学一样，研究自然和社会，但从19世纪末以来，人们越来越注意到它的“人为性”（artificility），数学家们感到有一种创造任意结构的自由。这种结构似乎与实际毫不相干，大大超出了科学技术发展的需要，对于潜在的应用也相当遥远。以至于人们认为有必要重新认识数学，康托（G·Cantor）称“数学的本质在于自由”；［4］M·克莱因（Kline）认为：“数学应当包含那些并不是直接或间接地由于研究自然界的需要产生出来的任意结构。”［5］群，非欧几何，巴拿赫（Banach）与希尔伯特（Hirbert）空间等都是数学家自由创造的结果，这些“思维创造物”自身是完美、和谐的，至少具有审美价值。它们还能有效地解决数学上的重大问题和应用于实际。比如，抽象群论揭示了代数方程的奥秘，对几何学的不同分支作了科学的分类，并成功地应用于基本粒子物理学。这种“自由”同于艺术，而其它科学是无法比拟的。
数学创造的思维形式主要是逻辑思维，而艺术则是形象思维，数学也需要幻想，“没有它就不能发现微积分。”艺术也需要推理和判断，有一种唯理的冷抽象艺术往往体现出数学式理性思维的意味。
直觉是数学也是艺术认识的起点，对事物本质的把握都要经过感性认识到理性认识的过程，其中灵感引起人们特别的关注。数学和艺术创造都需要灵感，灵感出现时创作主体的心态，恰如康·巴乌托夫斯基（К·Г·Паустовский）所描述：“象一种魅人的乐器般微妙、精确，对一切，甚至生活最隐秘最细微的声音都能共鸣。”［6］1843年10月16日哈米尔顿（Hamilton）散步时思维电路突然接通，灿烂的火花瞬时迸发，导致他发明了“四元数”，这同列夫·托尔斯泰（Л·Н·Тоистой）看到一朵断了的牛蒡花，突然来了一道思维闪电，产生了哈泽·穆拉特的中篇小说的构思多么相似！米·贝京（M·Пенкин）在《艺术与科学》一书中指出：“艺术是有激情的，艺术离不开幻想。”“甚至象数学这种严密的科学也离不开幻想与激情。”［7］正因为如此，有人认为，要成为完美的数学家，首先要成为心灵的诗人。
数学和艺术是按照美的规律进行创造的实践活动，根据科学技术是生产力，文学艺术是“精神生产”的观点，它们又都是人类能动的，创造性的实践力生产出来的产品。数学和艺术是相通的，相似的，尽管数学既是科学，又是艺术；数学家既是科学家，又是艺术家的讨论还有待于进一步深入，但可以肯定数学至少具有一定的艺术性质，正如波莱尔（Borel）所说：“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学原则，受其指导，据以评价的。”［8］
二、数学美的存在及其特征
既然数学在很大程度上是艺术，数学美也应是一种艺术美，符合艺术美的一般规律。但是传统美学没有包含科学美、数学美，历史上有的人不承认数学美，数学美究竟存不存在？
远在公元前，哲学家、数学家普洛克拉斯（Proclus）就断言：“哪里有数，哪里就有美。”近代天文学家开普勒（Kepler）深信，自然界的设计不仅基于数学原理，而且还基于和谐原理。［９］科学家狭拉克（Dirac）称“描述自然界基本规律的方程都必定有显著的数学美”。冯·诺伊曼（Von Neumann）认为，“数学家无论是选择题材还是判断成功的标准都是美学的。”庞加莱（Poincare）揭示了数学美的内涵，它是“各部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡。”即“井然有序，统一协调”，这与笛卡儿（Descartes）关于“美在各部分的恰到好处的协调和适中”的论述完全一致［10］。数学美是存在的，数学美感--人对数学的鉴赏力，审美能力也是存在的，可以与艺术欣赏力相提并论。因为“数学的内容展示能给人们带来种种喜悦，恰如绘画和音乐能够陶冶人们的心情一样。”数学家“在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣有相同的性质，是同样伟大的东西。”数学美的特色在于它的“幽美性”（dry beauty），它是“一种隐蔽的，深邃的美，是一种理性美。”［11］不易为一般的人所感觉，“只有少数人能真正进入这种境界并享受到这种喜悦和愉快，而这也正好与只有少数人才能去鉴赏最珍贵的艺术并享受其中的乐趣一样。”数学美表现为和谐、对称、简洁和奇异，就奇异美而论，不胜枚举，“因为独创不仅是艺术，也是科学的生命，而数学正处于两者的交汇处。”n元齐次线性方程组Ax=0（R(A)随着近代科技美学的兴起，数学的应用日益广泛并迅速向社会科学各学科渗透，以及对数学的本质、数学与艺术的联系，数学美与艺术美之比较的深入研究，数学美必为世人所公认，在美学中取得应有的地位。数学美学专著可见［8］、［14］。
三、数学和艺术都恰到好处近似地描绘世界
艺术作品，有通过描述客观世界，展示主观世界，也有通过主观世界折射客观世界，或者两者的综合。数学理论可以是现实世界的抽象，也可以是纯粹主观世界的思维创造物。
绘画和雕塑作品，一般都同时包含再现和表现两种因素，存在写实主义和抽象主义两种基本倾向。以再现为主的艺术创造也不是“原物刻板准确的复本”，而是“加工到恰到好处的夸张以产生情感上正确的逼真。”［15］拉菲尔（Raphel）、提香（Titian）、伦勃朗（Rembrant）的肖像画即如此。拉菲尔画圣母像并不照抄模特儿，而是根据头脑中形成和正在努力搜索的理想美的形象来构思。伦勃朗作《夜巡》，对人物的形象作了恰如其分的有节奏的处理，完全符合现实主义的艺术原则。科林伍德（Collingwood）评论说，这时画家“故意忽略所见到的某些东西，引入了某些他在模特儿身上根本没有见到的东西。”艺术源于生活，高于生活。“现实生活转化为艺术作品的内容时要经过艺术家的选择、提炼、概括、集中，因而具有更典型、更理想、更有普遍性的特征。”［16］毕加索早期的作品也偏重于写实，接近古典风格，“现代艺术之父”塞尚（Cezanne）使西方艺术由古典转向现代，由“再现”转为“表现”，毕加索受他的启示，于1907年创立体主义画派，抛弃再现与写实，对事物的本质进行了高度的抽象和概括，他一再强调，艺术不是自然，艺术不是真实，“我所描绘的不是我看到的世界，而是我推断的世界”。［17］他的作品似乎远离现实，但又好象更接近现实，具有特殊的艺术价值。
从现实世界抽象和概括出来的数学概念，反映了诸多客观事物数量关系和空间形式方面的本质和共性。一个物体当它的厚度和宽度比它的长度小得多时，用确切的概念描述这种现实存在的普遍性质，就是“曲线”，——没有宽度和厚度，或者没有粗细的线。这里我们舍弃了物体的重量、颜色、分子构造等不相干的东西，对宽度和厚度也作了忽略不计的近似处理。同样我们可以讨论量的近似，因为任何具体的量都不可能精确地测量出来，得到的往往是一个近似值，所以我们考虑这个近似值是某一确定的精确值的逼近，经过从帕拉图（Plato）到19世纪末二千多年来的努力，数学家创造了“实数”的概念，实数解决了毕达奇拉斯发现不可公约线段以来的数学上的种种矛盾，成为数学和一切自然科学的基础。
上述抽象的形和精确的数的概念以及各种数学理论回到实际问题时，我们可以反过来把它看作是对大千世界诸多事物的恰当近似，这种近似与提出概念和理论时从具体对象身上略去一些东西所取的近似大不相同，是一种高层次的近似。因为得到的数学理论已反映现实的本质特征。而“科学和艺术里的现实比现实本身更象现实。”［18］所以具有更普遍的意义。
自古希腊以来许多数学家，包括笛卡儿、伽利略（Galileo）、牛顿（Newton）等都相信天地万物是按照数学来设计的。在科学数学化的进程中，伽利略是最伟大的先驱者。他研究物体在有阻力的介质中降落，首先去掉空气阻力和摩擦力等次要的因素，发现了真空中自由落体运动的基本定律，他认为“在无阻力的情形下发明并证明这定理以后，再按照实际经验所给予的限制来应用这些定理，”伽利略杰出的思想使他成为科学方法论的奠基人。M·克莱因评伦伽利略的近似方法时说，这“离开了现实，但是说也奇怪，当回到现实时，它却比所有因素都考虑进去更有力。”［19］自由落体定律是数学近似地描绘世界的典范。
与艺术相似，源自现实世界的数学理论的形成是一个选择、提炼、集中、概括、典型化、理想化的过程，要经过“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里”的加工制作，即使有“夸张”，也是“恰到好处”的。理论本身是具有数学的精确性--逻辑的严密性和结构的确定性，能够精确地描述现象的本质，然而这种精确描述还是相对的，有条件的。伽利略的落体定律是真空下导出的，整个牛顿力学的数学表达当物体运动速度ν<数学家庞加莱和艺术理论家科林伍德的有关论述都提到了“恰到好处”，如果不是偶然巧合的话，正反映了数学家和艺术家认识世界的共同见解。
数学，即使是直接反映自然界数学规律的数学，也不是对自然界的“刻板摹拟”，而是“恰到好处”的近似描述。纯数学回到现实时，也遵循同样的原则。
我们构造数学模型描述物质过程，近似是不可避免的，如何把数学模型构造得“恰到好处”，是应用数学的重要任务，也最能表现数学的艺术性质。
数学在发展过程中，始终存在着准确和近似的矛盾，数学家研究准确值、准确解、准确表达式的同时，也在探讨各种各样的近似。某一前提下的“最佳近似”可能是数学上一个永恒的议题。如果我们把数学上追求准确的对象也归于现实世界，则无论从何种意义上来说，数学都和艺术一样，选择最适当的方式——恰当好处地描绘所面临的世界。
参考文献：
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［19］ M·克莱因，古今数学思想，中译本，第二册，上海科学技术出版社，1980.
［责任编辑：杨子红］
Both Mathematics and Art Describe the World Appropriately
CHENG Cheng-yun
(Three Gorges University ,Yichang 443002 ,Hubei ,China)
Abstract: This paper is devoted to the comparison and connection of mathematics and art. The artistic nature of mathematics and the existence of aesthetic features of mathematics are discussed in this paper . They are reflected in the presence of symmetry, harmony conciseness and oddness which are consider rational beauties. The creation of mathematical theories and artistic images lies in the process of selection, refinement, centralization, generalization, typicalness and idealization. It is concluded that both mathematics and art approximate the world appropriately.
Key Words: Mathematics;art;mathematics aesthetics;mathematics modeling