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惠更斯与概率论以及《论赌博中的计算》
作者：侯淇方 | 原创 | 2008-12-04 17:27 | 投票 投票人 标签： 惠更斯 概率论惠更斯与概率论以及《论赌博中的计算》 发布日期:2008-12-3 8:42:55 浏览:39次
克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens，1629年04月14日—1695年07月08日)荷兰物理学家、天文学家、数学家、他是介于伽利略与牛顿之间一位重要的物理学先驱,是历史上最著名的物理学家之一，他对力学的发展和光学的研究都有杰出的贡献，在数学和天文学方面也有卓越的成就，是近代自然科学的一位重要开拓者.他不迷信权威，敢于权威向提出挑战,他建立向心力定律，提出动量守恒原理，改进了计时器。
当时梅勒问帕斯卡的另一个问题是:据经验知,一颗骰子连掷4 次“至少出现一个6 点”的概率大于1P2 ;两颗骰子掷一次的结果6 倍于一颗骰子掷一次的结果,那么,两颗骰子掷24 次“至少出现一对6 点”的概率也应大于1P2 ,但赌场的经验并非如此,应如何解释?! 梅勒愤怒地谴责数学,粗暴地断言,算术是自相矛盾的。惠更斯对此也进行了深刻讨论,并将其分解成如下三个命题。
命题10 一颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一个6 点”?
命题11 两颗骰子连掷多少次有利于“至少出现一对6 点”?
命题12 一次掷多少颗骰子有利于“至少出现一对6 点”?
惠更斯利用命题3 及递推法圆满解决了上述问题。
命题13 甲、乙二人赌博,将两颗骰子掷一次,若其点子和为7 则甲赢,为10 则乙胜,为其它点则平分赌注。试求二人分配赌注的比例。
命题14 A ,B 二人轮流掷两颗均匀的骰子,若A 先掷出7 点,则A 胜;若B 先掷出6 点,则B 胜。B 先掷,求A 获胜的概率。
对命题14 ,惠更斯的解法为:设全部赌注为t ,A 的期望为x ,则B 的期望为t - x ,则当B 掷时,A 的期望为x ;当A 掷时,A 的期望为y 。因每次投掷时,A 的获胜概率为6P36 ,B 的获胜概率为5/36 ,由命题3 得5/36 ×0 +31/36 y = x 6/36 t +30/36 x = y 。
解得x = 31 t/36 即A 获胜的概率为31/36 。
这个问题的求解与前面的
惠更斯的最后5 个问题,虽也都是在形形色色的赌博机制中,计算一方取胜的概率,但在概率论诞生初期,这无疑是向同
问题1 两人玩掷双骰子游戏。若A 掷出6 点则赢,而B 掷出7 点胜。A 先掷一次后, B 掷二次,A 再掷二次,如此下去直至一方获胜。A 与B 的胜负比是多少? (答案:10355 比12276)
该问题是费马在1656 年6 月向惠更斯提出的,显然它是命题14 的推广。在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提到问题解决方案。
问题2 一袋中装有4 个白球8 个黑球,3 人蒙住眼睛轮流摸球。先得白球者获胜,求三人获胜的机会比。
惠更斯在其1665 年的笔记中给出问题答案为9∶6∶4 。
问题3 有40 张牌,每种花色10 张。甲同乙打赌他能抽出花色不同的4 张牌,每人投的赌注应是多少?(答案:1000∶8139)
这个问题由费马在1656 年6 月向惠更斯提出,在1656 年7 月6 日惠更斯写给卡卡维的信中提出问题解决方案。
问题4 一袋中装有4 个白球8 个黑球,甲同乙打赌他能在摸出的7 个球中含有3 个白球。求二人获胜的机会比。
惠更斯在其1665 年的笔记中记录着这个问题的答案为35∶99 。
问题5 二人玩掷三颗骰子游戏,甲乙各有12 个筹码,若掷出11 点,甲给乙一个筹码,而掷出14 点,则乙给甲一个筹码,直至两人中有一人输光。求甲乙获胜的机会比。(答案:244140625∶282429536481)
这个问题就是著名的赌徒输光问题,也叫具有两个吸收壁的随机游动问题。它由帕斯卡向费马提出,后卡卡维于1656 年9 月28 日的信中告知惠更斯,其中含有帕斯卡和费马的解答。惠更斯在1656 年10 月12日给卡卡维的回信中提出自己的解法,其证明过程可在其1676 年的读书笔记中发现。
到17 世纪时,不少学者已对赌博中的某些问题进行了讨论,并挖掘了其中的数学原理。但对当时的大多数学家来说,概率论是庸俗的赌博游戏,难登大雅之堂。正是
不少学者错误地认为,帕斯卡、费马和惠更斯三人一起讨论了概率问题,而后者仅是将前二者的结果著书立说。从该书的撰写过程来看,惠更斯几乎全是自己独立解决的这些概率问题,虽帕斯卡、费马间接给他提供了一些问题,但均无解答过程。概率史界认为,帕斯卡与费马的通信标志着概率论的诞生。然而他们的通信直至1679 年才完全公布于世,故惠更斯的《论赌博中的计算》标志着概率论的诞生。因此,不少学者宣称惠更斯为概率论的正式创始人。惠更斯的《论赌博中的计算》不仅是第一部概率论著作,而且是第一个把该学科建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的
1657 年9 月《论赌博中的计算》出版后立即得到学术界的认可和重视。该书在欧洲多次再版,作为概率论的标准教材长达50 年之久。直至1713 年雅可布的《猜度术》出版才遏制住该书的再版,然而该书的
尽管惠更斯的《论赌博中的计算》已出版300 余年了,但其科学的思想方法已跨越时空在数学教育尤其是概率论的学习中散发着无穷的力量。了解其内容有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉普拉斯所说“一门开始于研究赌博机会的科学,居然成了人类知识中最重要的学科,这无疑是令人惊讶的事情。”
在《论赌博中的计算》的最后两个命题中,惠更斯创立了著名的“惠更斯分析法”来解决概率问题。