集安鸭绿江大桥收费吗:理解数学课堂教学的三要素

理解数学课堂教学的三要素

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理解数学

理解学生

理解教学

         说明：本文是我在参加了人教社组织的“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”

           初中课题组活动之后写的，已发表在《中学数学教学参考》2010年第7期（中旬）。

《中学数学教学参考》（中旬）连载了人教社中数室主任章建跃博士的文章《中学数学课改的十个论题》，读后感触很深，特别是他提出的“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”，笔者深有同感，深受启发．教师只有在“三个理解”上狠下功夫并取得进步，才能使数学课堂教学质量得到保证．“理解数学”、“理解学生”、“理解教学”共同构成了理解数学课堂教学、提高课堂教学有效性的基本要素．

本文拟结合人教版课标实验教科书八年级（下）第十七章“ 17.1.2 反比例函数的图象和性质”（第1课时），谈谈对数学课堂教学的“理解”．

1  理解数学

理解数学，是数学课堂教学“预设”的前提，也是数学课堂教学“生成”的关键．作为教师，只有清晰地知道“教什么”，理解所教内容“是什么”，深知数学知识所蕴含的思想方法和自身的科学价值，才有可能在课堂教学中予以表达．

1.1  理解内容本身

反比例函数是最基本的初等函数之一，“反比例函数的图象和性质”（第1课时），是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质．其内容的核心，是反比例函数图象的“特征”，反比例函数的“特性”，以及它们之间相互转化的关系．

要理解这部分内容，可分解为三个层次：

（1）知觉水平的理解，也可称为低级水平的理解，即首先要知道反比例函数的图象和性质“是什么”，可以采用列表、描点的方式，画出反比例函数的图象，再根据图象进行观察、分析、归纳得出反比例函数的性质；

（2）中级水平的理解，就是在可以辨认和识别“反比例函数的图象”、可以由图象知道“反比例函数的性质”的基础上，能够揭示反比例函数的“特性”与其图象的“特征”之间的内在联系，知道它是“怎么样”；

（3）高级水平的理解，是指可以将“反比例函数的图象和性质”融入原有的认知结构之中，懂得可以从函数的列表法、解析式法和图象法三种表示方法的角度，进行探究和概括，知道它是“为什么”，然后，再进行广泛的迁移．

1．2  理解思想方法

思想方法，是数学知识的精髓．反比例函数作为一种基本的初等函数类型，那么，凡是函数所具备的一般性质，以往研究函数时（主要是一次函数）所运用的思想方法，在这里也都是适用的．充分的揭示和利用这些思想方法，是“领会”本节课教学内容的关键．

反比例函数的图象和性质中蕴含着数形结合、对应、转化等重要的数学思想方法．反比例函数图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想、转化思想的具体应用．其次，将函数中变量、之间的对应关系，借助平面直角坐标系中点的坐标和双曲线，直观地予以呈现，可以充分体现变化与对应的函数思想．

1.3  理解科学价值

反比例函数图象和性质的学习，可以进一步体现函数学习的一般规律和方法．教材中呈现的通过“描点”画图，到“观察”图象，到分析图象“特征”，再到确定函数中变量 、 之间的“变化规律”，从而得出函数的“特性”，这一探究的过程和方法，是学习初等函数时不可或缺的．事实上，初中学段后续研究的二次函数，高中学段研究的指数函数、对数函数、幂函数等，体现的也都是这样一种研究的“模式”．使学生理解这种研究模式的科学价值，对于明确学习任务，建立完善的认知结构将是非常有意义的．

其次，用描点法画反比例函数的图象时，先由函数解析式考虑自变量的取值范围，赋予自变量 一些具体的数值，根据 、 的对应关系，得到相应的函数值 ，在坐标系中，描出这些以（ ， ）为坐标的点，再将这一系列的点依次“连接”起来，得到函数的图象，这一过程，反映了作函数图象的一般规律．

基于对“反比例函数图象和性质”的内容、思想方法、科学价值的理解，在考虑本节课的课堂教学设计与相关内容的展开时，就一定要考虑教学问题设置的“梯度”，以及设计的“针对性”和“可操作性”，其中，特别要关注学生的实际情况．

2  理解学生

学生是课堂教学的主体，“理解学生”就是要解决“教给谁”的问题．在课堂教学中，教师将已经“理解”的数学知识，要传授给学生，那么，就一定要知道学生在“这个问题”上“已经知道了什么”；在将要学习的内容中，可能遇到的思维障碍是什么；以及对于“这个问题”，是如何展开“思考”的．

2.1  理解学生的认知起点

认知起点，是一切知识结构得以发展的基础，课堂教学，就是要借助于学生已有的“知识储备”，帮助学生建立新知识与原有认知结构中相应知识之间的联系．

对于本节课，平面直角坐标系、一次函数的图象和性质、用描点法画出函数的图象，学生已经学过，学习反比例函数的切入点，就可以定位在这样的认知结构和学习经验的基础上，通过类比“一次函数”的学习方法和经历，从问题“我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？”开始，展开本节课的教学内容．

2.2  理解学生的思维障碍

对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但因当时处于函数学习的初始阶段，重点只是让学生掌握用描点法画函数图象的“三步曲（列表、描点、连线）”，所以，学生对每步要求的理解并不深刻．因此，在画反比例函数图象时，常会遇到如下问题：

（1）“列表”时，确定自变量 的取值，会出现缺乏代表性及忽略 等现象；

（2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；

（3）对双曲线与 轴、 轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解．

因此，课堂教学中，应注意从反比例函数解析式的分析入手，让学生先进行“数”（ ， ,）、“式”（解析式中 、 的反比例关系）的分析，再过渡到对“形”（图象）的认识．

此外，还可以借助信息技术工具，探究反比例函数 （ ）的图象和性质．例如，可以利用几何画板软件，对于一个确定的反比例函数（如 ），辅以“点跟踪”等手段，绘制图象，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律．然后，赋予不同的值（可以分解为或两类情况），重复上述操作，加强从图象“特征”归纳得出函数“特性”的“认同感”，使学生在直观“感知”的同时，经历由“特殊”到“一般”，由“具体”到“抽象”的过程．

2.3  理解学生的认知规律

学生的学习，应该始终是处于一种自然生成的状态，新知识的发生、形成、应用，也不是教师强加于学生的，要遵从于一般的认知规律．

对于反比例函数 （ ），要获得函数值 随自变量 变化而变化的规律，可以采用“抽象问题具体化、一般问题特殊化”的基本策略，先讨论 、 等，由“特殊”到“一般”，归纳出 时， 随 的增大而减小；同理，再类似地得出 时， 随 的增大而增大，符合学生“思考”问题的习惯．

当教师可以站在每一个学生的角度，理解学生的“所思”、“所想”、“所得”的时候，这样的理解，才能有助于教师对课堂教学“预设”与“生成”的把握．

3  理解教学

教学过程，应该是以数学知识发生发展过程为载体的学生的认知过程．基于教师对课堂教学中的载体“数学知识”的理解，对教学对象“学生认知”的理解，接下来，就是要解决“途径”的问题，即讨论“怎样教”，才能使学生获得最大的学习效益．

按照杜威的教学思想，教学过程不外乎五个步骤：设计问题情境；产生一个真实的问题；从事必要的观察；展开解决问题可能的途径和方法；检验或验证解决问题的方法是否有效．

为此，对于本节课的教学，依据问题引导的原则，可以进行如下的设计：

问题1：我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？

问题2：反比例函数的图象是什么样的？

问题3：请观察反比例函数 的图象，有哪些特征？

问题4：是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？

问题5：反比例函数 与 的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？

问题6：当 取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？

问题7：总结反比例函数 （ ）图象的特征和性质．

问题8：通过本节课的学习，你有哪些收获？

这样的设计，层层递进，自然顺畅，可以使课堂真正回归数学知识生成、学生思维发生的“原生态”．其基本脉络是：由问题1复习正比例函数的内容以及研究方法，引出问题2，以反比例函数 的图象为例，让学生经历“列表、描点、连线”的过程，为“反比例函数的图象是什么样的”积累资料；提出问题3，思考反比例函数的图象“特征”；进一步提出假设，呈现问题4，是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的“特征”，将问题拓广，以讨论反比例函数 为例；得到问题5，关注反比例系数“ ”的作用，获得“特殊的”反比例函数的“特性”；推广至一般情况，设置问题6，当 取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数，引导学生归纳“变化中的规律性”，分析结论的合理因素；进而有问题7，使学生获得反比例函数 （ ）图象的特征和性质；最后，设置问题8，让学生自己梳理学习的收获，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面的认识，从而养成良好的学习习惯．

总之，“理解是拂过心灵的一缕春风，阵阵暖意随风而至；理解是淌入心田的一条溪流，滴滴润泽顺水而下；理解是洒进心房的一抹星辉，层层剪影由光而落．”对数学课堂教学的理解，也正是如此，教师将自己对数学课堂教学的理解，化作“春风”、“溪流”和“星辉”，以“数学”为载体，以“课堂”为途径，“拂过”学生的心灵、“淌入”学生的心田和“洒进”学生的心房．我们的目标，就是要通过课堂，使学生真正可以获得良好的数学教育．

备注：最后一段，在本期杂志上发表时，编辑给删掉了，可是我自己很是喜欢的，就留在自己的博客里吧～

另外，文中的数学符号，在这里却显示不出来，我试了几次都不行，只好先这样了，如果有朋友知道，能告之为盼，谢谢！