妒忌就是我的力量bd:准确把握概念核心、设计自然教学过程

“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第三次课题会议，于2008年11月13日～15日在辽宁省抚顺市和沈阳市召开。本次会议是初中第三次课题会议，也是各地课题组成员广泛参与、深入研究的第一次会议。此前高中课题组已经开展了七次会议，取得了丰硕的成果。本次课题会议之前，课题组成员对高中课题组的成果（包括历次会议纪要、中期研究报告、近两次会议的反思文章等）进行了认真的学习，进一步明确了课题开展的意义，对教学设计框架和教学反思的方法等也进行了认真的研究，这为保证本次活动的顺利进行打下了良好的基础。

本次会议以“变量与函数”和“正比例函数”为题，由抚顺十五中的刘敏老师、大连九中的张一颖老师、广州民航子弟学校的林俊伟老师各上了一堂现场研究课。会前，全体成员根据课题组的要求作了精心准备，每一位一线教师都提供了教学设计，承担研究课的地区都组织了多次专门的教研活动，经历了“教学设计——试教——讨论——再设计”的过程。因此，提供给大会的是各地区的集体研究成果。研究课后，课题组成员对这几堂课进行了实事求是的点评，全体成员畅所欲言，坦诚地发表自己的意见和建议，对教学设计和课堂教学的成败得失进行了客观的分析。这几节课和点评，特别是对教学内容的解析和教学处理的点评，对与会成员和现场观摩的教师都具有较大的启发和借鉴作用。会后，课题组绝大部分成员进行了深入的反思。现将本次会议会上讨论和会后反思的成果整理出来，以供研究和讨论。

1．对本课题研究意义的认识

当前，在数学教学中，由于教师对数学理解不够，对学生学习数学的认知规律了解不够，再加上“应试教育”的影响，教学中往往不能围绕数学核心概念进行教学，数学课堂缺乏数学思想的主线；教师经常是在学生没有对数学概念有基本了解的情况下进行大量解题训练。结果导致学生没有经历知识发生发展过程、缺乏自己独立思考而概括出概念和原理的机会，学生对数学概念的理解不到位，达不到对数学知识的实质性理解。因此，提高对中学数学的理解水平，提高把握中学数学教学规律的能力，是当前中学数学教师发展中的两个关键性问题。

本课题研究的核心理念是“凸现数学本质，强化概念教学，全面实现数学课程的育人价值”。课题的研究目的就是以中学数学核心概念结构体系研究、中学数学核心概念教学设计理论与实践研究为载体，探索提高中学数学教师专业化发展水平的途径。这个课题，紧紧围绕当前数学教学中的突出问题进行研究。构建中学数学核心概念、思想方法的结构体系，对提高教师素质、提高数学教学的质量和效益具有重要意义，对中学数学课程、教材改革也有积极的影响；针对它们的教学设计研究，对中学数学教学研究有示范作用，能有效地促进中学数学教师的专业化发展和教学能力的提高。而在以往这方面的研究中，从教学的角度对中学数学核心概念、思想方法进行梳理，构建适应于课堂教学需要的结构体系还没有得到重视；从教学设计的角度而言，也缺乏系统的、符合数学学科特点、能有效解决数学课堂中各种教学问题的理论和实践方法。因此，课题具有很强的指导意义，能直接帮助教师的数学教学。

另外，课题采用“自上而下”与“自下而上”相结合的方式运作。课题紧紧围绕一些典型案例，通过现场上课、评课研讨的方式“解剖麻雀”，结合具体问题研讨核心概念的教学。使得课题研究有内涵，使得参与老师能直接看到效益，得到帮助。课题要求每个参与的地市都成立自己的课题组，针对同一个选题，先在小范围内进行教学设计、试讲、修改教学设计，再拿到总课题组研讨，这样集思广益，能使问题的研究更加深入。同时，这个课题也为参与地市的教研活动创造了搭建了一个很好的平台，在参与课题研究的过程中，促进教师的专业化成长，锻炼出一个骨干教师队伍。

综上所述，与会者普遍认为，在当前课程改革的背景下，开展这个课题研究具有重要的意义。

2．对教学设计框架的认识

由于有了高中课题组的前期研究，初中课题组基本采用了高中课题组的成果。大家基本认可课题组提出的教学设计案例编写框架。即教学设计应包括（1）内容和内容解析；（2）目标和目标解析；（3）教学问题诊断分析；（4）教学支持条件分析；（5）教学过程设计；（6）目标检测设计。教学设计框架前面4部分内容是后面“教学过程设计”的指导，有了对内容的解析，才能明确核心概念、思想方法；才会有重点难点，才能确定目标；对目标进行了解析，对教学问题进行了诊断和分析，才能明确如何教这些内容，才能进行教学设计和目标检测设计。这个过程是从前到后的，而不是从后到前。尽管开始时会觉得前面部分很难写，但一定要经过这个过程。有了这个过程也才会有提高。

教学设计框架的具体内容详见附录。

3．准确把握“核心概念”与“概念的核心”

“核心概念”是本课题研究的重点内容，本次会议的研究课的内容是很有代表性的。对于函数概念的核心地位，函数、正比例函数概念的核心的讨论也是本次会议期间和老师们会后反思的一个主要内容。

对于函数概念，人教社田载今老师从数学本身和数学教育角度阐释了它的核心地位。从数学学科本身来看，函数概念的产生是数学历史发展上的里程碑，它使数学的研究对象从常量到了变量。从数学教育的角度来看，研究函数所提供的动态的方法，数学结合的思想拓展了学生的思维，解析几何、微积分、概率等也都与函数息息相关……因此，函数概念作为中学数学的核心概念，是勿容质疑的。

从函数概念本身来看，函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。对此，田载今老师、北京二中分校马岳老师从函数的历史形成过程，天津市教研室刘金英老师、山西原平实验中学苏保中老师从学生发展不同阶段对函数定义的理解的角度都进行了深入的分析。大家的基本一致意见：初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。这是关于函数的最基本、最朴素的刻画。这就是函数概念的核心。

正比例函数是一种特殊的函数，是函数值与自变量成正比例的特殊函数，从正比例函数概念本身来讲，这就是它的核心。同时，“正比例函数”是学生学习具体函数的第一节课，这节课很典型，它给我们提供了一个研究特殊函数的一般方法，具有辐射作用。从结合生活中的实例“举三反一”地建立正比例函数概念（同时巩固函数概念），到画正比例函数的图象（从一般的描点法到特殊的两点法），再结合图象研究函数的性质（三步曲：观察图象反映的变化规律，用文字语言描述变化规律，到高中还可以用数学符号语言描述变化规律）。这种研究函数的一般方法，需要在这节课向学生渗透。苏保中老师也提出要注意这节课中所包含的其他思想方法，包括函数模型思想，数形结合思想等等，也要注意向学生渗透。

4．重视数学概念的教学

理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。对于概念教学的重要性老师们也有充分的认识，对核心概念的教学要舍得花时间、花力气。

结合函数概念，很多老师对于概念教学的过程和要素进行了讨论。如刘金英老师指出概念教学要经过概念的引入、概念的形成、概念的深化、概念的反思等几个过程；湖北襄樊七中的曾庆丰老师提出要通过“提出问题→寻找其中的量→对量进行分类→归纳概念”的探究式过程教授“变量”概念；广州第117中学陈建桥老师提出概念教学三要“要抓住概念的核心，要注重概念的形成过程，要注意巩固与加深”；广州花都区教研室陈颂伟老师指出概念教学中的三个重要环节“引入的直观性，形成的时效性，深化的准确性”：等等。这些提法和做法反映了一线教师和教研员结合在长期的教学实践中积累的经验，是“不谋而合”的。实际上，概念教学的核心是概括，要以典型具体事例为载体，引导学生分析其属性，抽象概括出共同的本质属性获得概念，再通过概念的应用，达到对概念的理解。由此，可归纳出概念教的几个基本环节：概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）——概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）——概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）——概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）——概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。

学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程，概念形成和概念同化反映了学生掌握概念的两种不同心理过程。同类事物的本质属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念获得的方式叫做概念形成；也可以利用学生认知结构中的已有概念，以定义的方式直接揭示概念的本质属性，这种概念获得的方式叫概念同化。由于学生（特别是低年级学生）的认知结构简单，知识经验具体而贫乏，采用概念同化的方式掌握概念的难度很大。因此，中学生掌握概念的方式，应更多的采用概念形成，即从典型、丰富的具体例子出发，学生经过自己的实践活动，从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征，从而理解和掌握概念．作为函数内容的起始课，“变量与函数”也是能够体现概念的形成过程的一个很好的载体。为了帮助学生形成函数概念，教学中要注意“举三反一”。通过给学生大量客观世界中反映这种变化规律的实例（解析式的、图象的、表格的），让学生经历“发生发展过程”，为学生提供独立概括概念的机会，归纳出函数概念“单值对应”的内涵。在此基础上，再“举一反三”，用学生得到的函数概念再去看其他的对应问题，是不是符合函数概念的“单值对应”。在这一过程中，要注意恰当地使用反例，巩固学生对于函数概念的理解。这节课，对于概念的教学，特别是概念形成的教学，能够起到很好的示范作用。

5．设计自然的教学过程

自然的教学过程．是一种数学知识发生发展的原过程与学生数学认知过程的融合。一个自然的教学过程，能够“春风化雨，润物无声”（刘金英老师的文章标题），让学生经历从具体到抽象的归纳、概括过程而理解概念的本质，并建立相关概念的联系。关于教学过程设计，在前面“教学设计框架”中已有详细分析，这里不再赘述。下面仅就一些教师讨论比较多的问题进行说明。

首先，教学设计中的“问题串”应该是教学过程的主线索，要使教学过程“自然”，必须有好的问题。大连长海教师进修学校王传豪老师提出在设计问题时，要“明确问题的作用，注意问题的合理性，问题要有层次性”。北京东城教研中心雷晓莉老师和北京宏志中学的王芝平老师的教学设计中，设计了一个寄信的问题，讲述“函”字的古意，讲述李善兰借用“函”字古意翻译“function”为“函数”的故事，结合函数概念的历史发展，帮助学生理解函数概念，成为众多教学设计中的一个“亮点”。

在问题设计时，特别要注意两点：问题首先要有意义，所提问题要反映当前学习内容的本质；问题还要在学生思维最近发展区内，要“跳一跳够得到”。同时，课堂教学要注意挖掘学生课堂中出现的一些“即时问题”，采取“追问”的方式，暴露学生思维过程。这也正如北京166中学张韬老师所说的“要抓触点，生发课堂语言”。这样才能提高学生的参与度，也是培养学生发现、提出和解决问题的好机会。

其次，教学中支撑概念的例子（包括正例和反例）的选择和顺序编排也是大家讨论和反思的热门话题。田载今老师和刘金英老师都提到，函数是一个抽象概括程度很高的概念，学习它需要一个逐步深入的理解过程。由于初步学习函数概念时强调的是变化中的单值对应，应该多使用诸如y=2x，y=3x+1，y＝x²等正例，让学生体会变量间的“单值对应”关系。对于常值函数（f(x)＝C）不必过早涉及，因为学生刚接触常量与变量的概念，往往不易理解常值函数y是特殊的变量，更不可能在映射的高度上认识函数概念中的“对应”可以是“多对一”的形式；对于“一对多”的反例的使用，要出在正例之后，要少量而典型，起到辨析概念的“反衬”作用。

再有，对于练习的安排，要注意循序渐进。曾庆丰老师就大连九中张一颍老师教学设计中的练习提出了自己的看法。他认为巩固知识、反馈教学效果是练习的两个主要目的，因此，练习题一定要能反应出本节课的重点和难点。这节课的重点是变量和函数的概念，难点是函数概念中的对应关系，而在安排的三个练习中，不仅没有出现变量问题（变量只字未提），而且关于“通过对应辨别函数”（难点）的题目（题3）太少并且很难（学生并未学习函数的图像），这样会致使巩固的实效不仅未达到，反馈的结果也不一定真实。实际上，当前教学中存在一些普遍现象：解题教学热衷于一步到位，过早给综合题、难题，题目数量很多。这样的教学功利性太强，训练效果会适得其反。因此，在概念教学中，如何循序渐进地对学生进行应用概念的训练，使他们掌握用概念作判断的基本方法，培养“回到概念去”的思维习惯，是需要我们下力气研究的问题。

6．关于课堂容量与课时划分

关于课堂容量与课时划分，也是这次会议的一个热门议题。山西阳泉教研室王建军还在会后对这两部分内容的课时安排进行了走访。对于“变量与函数”，有些老师（如王传豪老师）建议第一课时只上“变量”，第二课时再上“函数”。在讲“变量”时突出变化对应，并可举不同的变化对应的实例（一对一、多对一、一对多），为下一课时“函数”内容做准备。同样，对于“正比例函数”，也有一些教师建议第一课时只到正比例函数的概念，图象和性质安排在第二课时。认为把正比例函数概念、图象、性质放在一起进行时，教师和学生更会重视图象和性质，而忽视正比例函数概念的形成过程。也有老师认为把正比例函数的概念单独作为一个课时，还可以让学生对概念作更多的辨析，单独讲图象和性质时还可以讲一些k的几何意义。

同时，更多的老师认为，课时划分不存在谁对谁错的主要问题，不同的课时划分可能有不同的考虑，更多地要把这一课时的设计放在这一节或这一部分的整体设计中来看。有些内容和要求可以一步到位，也可以螺旋上升。有些问题这一课时没有涉及到，但可能是下一个课时的重点内容。另外，每一课时的容量到底多大，更多地要看学生的实际情况，看学生的掌握程度。从这次课题会提供的三节课的学生表现来看，学生还是基本掌握了相关内容，因此三节课的容量还是基本适当的。

同时，很多老师也提到，教学设计一定要围绕核心概念和概念的核心来进行，要围绕核心内容进行教学。不要在一些细枝末节，特别是一些超出本阶段要求，超出学生接受能力的内容上面做文章。例如，对于正比例函数，对于概念的辨析要适度，多用正面例子，不要更多的在k的形式甚至是x的指数上做文章；研究性质时，只要求学生掌握基本性质（增减性），不要在k的几何意义上做文章。另外，不管是对于一般函数概念还是正比例函数，也不要在函数的定义域，甚至是函数的“三要素”上做更多的讨论，本阶段对定义域的要求更多的是考虑其实际意义。总之，在概念的起始课，要把重点放在让学生掌握概念的核心、渗透一些基本思想方法上，教材要处理得容易，教学要处理得简单，学生学会才会有发展。

7．对教学设计框架中“目标检测设计”的使用

在课题组的教学设计框架中，有一个栏目是目标检测设计，主要是通过设计一些练习、习题来检测目标达成的情况。但这一部分内容在历次课题活动中往往得不到重视，经常是老师把它作为作业发给学生课下完成。完成后也没有收上来看看情况。因此，课题活动研究课的目标达成效果也只能是通过任课教师和听课教师在授课现场的主观判断。

经过讨论，大家觉得应当把这部分内容的作用发挥出来，并提出了建设性意见。下次课题活动时，由执教教师针对执教内容的教学目标设计10～15分钟的目标检测试题（如遇相同课题，不同执教教师共同设计同一份测试题），课题活动时，由承办课题活动的学校在执教当天下午放学前针对受教学生进行测试，并及时将试卷返给执教教师，执教教师统计结果后在第二天的课题会上展示，给大家反馈教学的实际效果。

以上综述概括了本次课题组活动的一些主要成果。本课题的研究刚刚起步，由于我们的研究水平有限，希望得到广大教师、广大数学教育工作者的批评指正。同时，欢迎对我们课题有兴趣的老师参加到课题研究行列，为我国数学课程教材建设，为数学课堂教学改革做出贡献。

附录：       中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构

（课题组2007年1月试行稿）

中学数学核心概念、思想方法教学设计由如下栏目组成：

（1）内容和内容解析；（2）目标和目标解析；（3）教学问题诊断分析；（4）教学支持条件分析；（5）教学过程设计；（6）目标检测设计。各条目的具体含义如下。

1．内容和内容解析

（1）内容：对当前“核心概念”的内涵和外延作简要说明；

（2）内容解析：重点是在揭示内涵的基础上，说明概念的核心之所在，并要对概念在中学数学中的地位进行分析，其中隐含的思想方法要作出明确表述。在此基础上阐明教学重点。

这里要在整体框架结构的指导下，围绕当前内容，从数学上进行微观分析。

2．目标和目标解析

（1）目标：用“了解”“理解”“掌握”以及相应的行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标；

（2）目标解析：对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析，一般的，核心概念的教学目标都应进行适当分解。

要强调把能力、态度等“隐性目标”融合到知识、技能等“显性目标”中，以避免空洞阐述“隐性目标”，使目标对教学具有有效的定向作用。

3．教学问题诊断分析

设计者应当根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。具体的，可以从认知分析入手，即分析学生已经具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础），对照教学目标还需要具备哪些条件，通过已有基础和目标之间的差异比较，分析教学中可能出现的障碍。本栏目的内容应当做到言之有物，以具体数学内容为载体进行说明。例如，在“向量的坐标表示”中，可以包含如下诊断：“学生在理解始点不在坐标原点的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是……”。另外，不同的学生会出现不同的教学问题，这也是在分析过程中要加以注意的。

4．教学支持条件分析（根据需要设置）

为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境。

5．教学过程设计

教学过程的设计一定要建立在前面诸项分析的基础上，做到前后呼应。

要强调教学过程的内在逻辑线索，这一线索的构建可以从数学概念和思想方法的发生发展过程（基于内容解析）、学生数学思维过程两个方面的融合来完成。学生数学思维过程应当以学习行为分析为依据，即要对学生应该做什么、能够做什么和怎样做才能实现教学目标进行分析的基础上得出思维过程的描述。可以利用问题诊断分析中得出的结论，基于自己以往教学中观察到的学生学习状况，通过分析学生学习本内容的思维活动过程，给出本内容的学习中学生应该怎样思考和操作的具体描述。其中，应突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析。

教学过程设计以“问题串”方式呈现为主。所提出的问题应当注意适切性，对学生理解数学概念和领悟思想方法有真正的启发作用，达到“跳一跳摘果子”的效果。在每一个问题后，要写出问题设计意图（基于教学问题诊断分析、学生学习行为分析等）、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等。这里，要特别注意对如何渗透、概括和应用数学思想方法作出明确表述。

教学过程应当注意根据教学内容的特点进行设计，例如，基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。

6．目标检测设计

通过课堂教学，目标是否达成，需要以一定的习题、练习进行检测。值得强调的是对于每一个（组）习题或练习都要写明设计目的，以加强检测的针对性、有效性。