军乐团欢迎进行曲:江苏省2011届高考第二次模拟考试 数 学 试 题 （2011-3-4）

江苏省2011届高考第二次模拟考试

数 学 试 题 （2011-3-4）

参考公式：①、锥体的体积公式: V_锥体= Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。

②、方差公式： ，其中 为样本数据的平均数。

一、填空题（共计4道题，总分70分）

1、已知全集 ， ， ，那么 _______．

2、如果复数  （其中 为虚数单位， ）的实部和虚部互为相反数，那么

等于______．

3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是         

4、已知cos( + )= ,且 ,则sin =          ．

5．已知样本方差由 求得，则 _________________

6．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 ，则方程 有实

开始

根的概率为          ．

7、已知直线m、n，平面 、 ，且m⊥ ，n ，

给出下列命题：

①、若 ∥ ，则m⊥n；

②、若m⊥n，则 ∥ ；

③、若 ⊥ ，则m∥n；

④、若m∥n，则 ⊥ ．

其中正确的命题的序号是           

8．如图所示的流程图，输出的结果为            

9、函数 的单调递增区间是___________________

10、设双曲线C： （a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A（不同于O点），则△OAF的面积为                 

11、直线 与圆 相交于A、B两点，若 ，则实数t的范围         

12．已知实数a，b，c满足a≤b≤c，且 ，abc＝1，不等式 ≥

恒成立．则实数k的最大值为           

13、已知 是 边 延长线上一点，记 . 若关于 的方程

在 上恰有两解，则实数 的取值范围是        

14、已知等差数列 首项为 ，公差为 ，等比数列 首项为 ，公比为 ，其中 都是大于1的正整数，且 ，对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，则            

二、解答题（共6道题，总计90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15、已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（ ），且a⊥b．

      （1）、求tanα的值；

（2）、求cos( )的值．

16、如图所示，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为 、 的中点．  （1）求证：  （1）、 //平面 ；

（2）、求证： ；

（3）、求三棱锥 的体积．

17、为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位：cm）满足关系： ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）、求 的值及 的表达式；

（2）、隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．

18、给定椭圆C： ，称圆心在原点O、半径为 的圆是椭圆C的“伴椭圆” ，若椭圆C的一个焦点为 ,其短轴上的一个端点到 距离为 ；

（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；

（2）、若倾斜角为 的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。

（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线 ，使得 与椭圆C都只有一个公共点，求证： 。

19、已知数列 首项 ，公比为 的等比数列，又 ，常数 ，数列 满足 ，

（1）、求证 为等差数列；

（2）、若 是递减数列，求 的最小值；（参考数据： ）

（3）、是否存在正整数 ，使 重新排列后成等比数列，若存在，求 的值，若不存在，说明理由。

20、已知函数

（1）、若函数 在 处的切线方程为 ，求 的值；

（2）、若函数 在 为增函数，求 的取值范围；

（3）、讨论方程 解的个数，并说明理由。

江苏省宿豫中学2011届高考第二次模拟考试

数 学 试 题 附 加 题（2011-3-4）

1、已知a、b∈R，若M＝\o(\s\up7(－1b所对应的变换T_M把直线l：3x－2y＝1变换为自身，试求实数a、b的值．

2、已知曲线C的参数方程为(α∈R，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极轴在x轴的正半轴上时，曲线D的极坐标力程为ρsin(θ+)=a．

(I)、试将曲线C的方程化为普通方程，曲线D的方程化为直角坐标方程；

(II)、试确定实数a的取值范围，使曲线C与曲线D有公共点．

3.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的菱形， , 底面 , , 为 的中点.

D

（Ⅱ）、求平面 与平面 所成的二面角的余弦值.

4、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ．

（Ⅰ）求 的分布列；

（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；

（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

江苏省宿豫中学2011届高考第二次模拟考试

数学答案2011-3-4

一、填空题：

1、       2、 ，    3、 ，      4、  ，    5、50      6．     

7、①④，         8、0 ，      9、 ，（注：开区间也可）   10、  

11、 ，   12、4，  13、 或     14、 .

二、解答题：（以下提供答案可参考，可结合学生解答参照给分）

15、解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，

故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……………………………………2分

由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－ ，或tanα＝ ．6分

∵α∈（ ），tanα＜0，故tanα＝ （舍去）．∴tanα＝－ ．…………7分

（2）∵α∈（ ），∴ ．由tanα＝－ ，求得 ， ＝2（舍去）．

∴ ，…………………………………………………………12分

cos( )＝ ＝ ＝ ．……14分

16、证明：（1）连结 ，在 中， 、 分别为 ， 的中点，则

        。。。4分

（2）

。。。。。。。。4分

（3） ，      且 

，

，∴    即     

= = 。。。。。。6分

17、解：（1）当 时， ， ，

，    。

（2） ，

设 ， .       10分

当且仅当 这时 ，因此 ….     12分

所以，隔热层修建 厚时，总费用 达到最小，最小值为70万元．….     14分

18、解：（1）因为 ，所以 ……………………………………………2分

所以椭圆的方程为 ，伴随圆的方程为 .……………………………4分

（2）设直线 的方程 ，由 得  

由 得 …………………………6分

圆心到直线 的距离为  ，所以 ………………………………8分

（3）①、当 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，

因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ，

当 方程为 时，此时 与伴随圆交于点

此时经过点 （或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或 ，即 为 (或 ，显然直线 垂直；

同理可证 方程为 时，直线 垂直.…………………………………………………10分

②、当 都有斜率时，设点 其中 ，

设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ，

由 ，消去 得到 ，

即 ，………………………………………12分

，

经过化简得到： ，

因为 ，所以有 ，………………………………14分

设 的斜率分别为 ，因为 与椭圆都只有一个公共点，

所以 满足方程 ，

因而 ，即 垂直.………………………………………………………………16分

19解：（1）由题意知， ，……………………………………………………1分

因为 ，  

∴数列 是首项为 ，公差 的等差数列．……………………………4分

 （2）由（1）知， ， ，

恒成立，即 恒成立，……………6分

因为 是递减函数，

所以，当n=1时取最大值， ，……（ ）

因而 ，因为 ，所以 ．………………………………………………………8分

（3）记 ， ，

， ．9分

①、若 是等比中项，则由 得

化简得 ，解得 或 （舍），

所以 ，因而    及   ．………11分

②、若 是等比中项，则由 得 化简得

，显然不成立．………………13分

③、若 是等比中项，则由

得

化简得 ，因为 不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．……15分

综上：存在 适合题意。………16分

20、解：（1）因为：   ，又 在 处的切线方程为

        所以    解得：      ………3分

 （2）若函数 在 上恒成立。则 在 上恒成立，

       即： 在 上恒成立。所以有             ……3分

 （3）当 时， 在定义域 上恒大于 ，此时方程无解；……7分

当 时， 在 上恒成立，所以 在定义域 上为增函数。

， ，所以方程有惟一解。……8分

当 时，

因为当 时， ， 在 内为减函数；

当 时， 在 内为增函数。

所以当 时，有极小值即为最小值 。……10分

当 时， ，此方程无解；

当 时， 此方程有惟一解 。

当 时，

因为 且 ，所以方程 在区间 上有惟一解，……12分

因为当 时， ，所以  

所以  

因为  ，所以

所以  方程 在区间 上有惟一解。

所以方程 在区间 上有惟两解。  ……14分            

综上所述：当 时，方程无解；

当 时，方程有惟一解；

          当 时方程有两解。                 ……14分

附 加 题

1、解：在直线l上任取一点P(x，y)，设点P在T_M的变换下变为点P′(x′，y′)，

则\o(\s\up7(－1b \o(\s\up7(xy＝\o(\s\up7(x′y′，所以点P′(－x＋ay，bx＋3y)，

∵点P′在直线l上，∴3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1，

∵方程(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1即为直线l的方程3x－2y＝1，

∴解得

2、(I)x²＋y²＝1；x＋y＝2a．(II)－≤a≤．

3、解: 作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO

所在直线为 轴建立坐标系，

则 ,

…………………2分

（Ⅰ）设 与 所成的角为 , ，

 , 与 所成角的大小为 …5分

（Ⅱ） ， 设平面OCD的法向量为 ,

则 ，即 ，取 ,解得  … 6分

易知 平面OAB的一个法向量为  ………7分

……………………………………………………9分

由图形知，平面 与平面 所成的二面角的余弦值为 …………………10分

4、 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，

， ，故 的分布列为：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润为

依题意， ，即 ，解得  所以三等品率最多为 ．