成都天府新区房源:直线与平面垂直判定定理教学的讨论

2008年4月1日上午，我室部分人员来到著名的北京市第五中学参加北京市教研部组织的全市高中数学新课程教学研究活动。我听了两节课，第一节是李翥老师上的“直线与平面垂直的判定”，第二节是赵宝伟老师上的“平面与平面垂直的性质”，毫无疑问，这两位老师都很好地贯彻落实了新高中教学课程和教材的理念，收到了比较好的教学效果，有许多教学环节设计得很精彩。

从去年开始，我到某些地区进行教材回访，曾经观摩了一些新课程教材实验的公开课，恰好有几节课也是“直线与平面垂直的判定”。由于反复听同一个内容的课，又在许多场合听到对这个内容教学的一些讨论，便逐渐有了一些思考。这里写出来与大家讨论，研究与此内容相关的一些教学问题。

一、关于直线与平面垂直定义的教学

对于直线与平面垂直定义的教学，普遍的做法是借助于计算机的演示，展示在现实世界中大量存在的直线与平面位置关系中的这种很特殊的情形，就是所谓的“垂直”的情形。由于学生已经有平面内两条直线互相垂直和空间两条直线相互垂直的知识基础，当老师展示直线与平面垂直的图片时，学生一般都会很自然地加以推广，猜想这种特殊位置关系应该称为“垂直”关系，关键是怎样合理定义直线与平面的垂直。教学中有的老师采取引导学生自己去给出准确的定义，本人认为是不妥的。定义是一种规定，而且是前人已经作出的一种规定，后人确实可以猜测前人可能会怎样来作出一种合理的规定，但后人显然很难通过猜测就去肯定前人对某一概念是怎样下定义的，怎样作出一种规定，尤其对某一概念的定义本来就可以有多种选择的情况下就更是如此了。

对于直线与平面垂直的定义就面临这样的问题。我们可以规定，如果一条直线与平面内的所有直线都垂直则称这条直线与平面垂直；也可以规定，如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则称这条线与平面垂直。大家都知道，由于这里的两种不同的条件实际上是等价的，可以互相推出，所以本来两种选择都可以，只不过前人作比较以后更合理地选择了前者。所以，本人认为，对于定义的教学，在通过一些途径展示了在“垂直”的这种位置下，这条与平面相交的直线实际与平面内所有直线都垂直以后，就告诉学生，数学中对于这个概念的定义是怎样规定的。当然，可以把定义的教学与判定定理的教学结合起来，可使后续定理的教学顺理成章的展开下去。

二、直线与平面垂直判定定理的引入

在一些课堂实际教学过程中，为了引入直线与平面垂直的判定定理，老师就指出，定义是判定垂直关系的根本依据，但直接用定义判定直线与平面垂直又很困难不方便，从而有必要去寻求比用定义判定更好的判定方法，从而引入判定定理的教学。这样的教学环节转换过度的设计基本上是合理的，但仍有可以探讨的问题。

强调用定义判定的困难导致学生在遇到有关直线与平面垂直的判定问题时不善于直接从定义去思考问题，而实际上后续有一些问题应用定义判定要快捷得多，例如教科书的例1，用定义去判定是更好的方法。所以，在教学中应该给学生指出的是，就当下，目前而言，我们只有直线与平面垂直的定义而没有其他任何条件，而借助于定义去判定，就要确定平面内所有直线都与这条与平面相交的直线垂直，由于平面内直线的无限性，判定很困难，实际上是无法操作的，因而在目前是不可能的。这就必须去寻找一种能够避免逐一确定无限条直线与此直线垂直的问题，从而引入到判定定理的教学中。这里我认为很重要的是既完成从定义到判定定理教学的过渡，又不能让学生形成一直都不能用定义去判定垂直关系的错误认识，这就要指出用定义判定垂直的困难是暂时的。许多问题实际上可以考虑“回到定义去”。在我所听的一些课中，对于例1的证明，学生们都没有从定义的角度去思考，说明教学中这个问题确实有待注意。

这里使我联想到初中数学中“平行线的判定”的教学，在初中，两条直线平行是用平面内两条直线不相交（或无公共点）来定义的，由直线的无限延伸性，不能从同一平面两条直线的任何有限部分无公共点来断定这两条直线不相交，对平面内貌似平行的两条线段，由于较难断定这两条线段延长后是否会相交，因而也就难以根据平行线的定义来断定它们所表示的直线是否平行，所以，就要寻找不直接用定义的其他判定平行的方法，这也是在刚刚学习了平行线的概念以后面临的问题，有着类似的困难。在两个问题中，类似地，根据平行线的定义，如果平面内的两条直线相交，则可以断定这两条直线不平行，根据直线与平面垂直的定义，如果平面内存在一条直线与平面的一条交线b不垂直，则可以断定此平面与直线b不垂直，这是可以在教学中给学生指出的。

三、判定定理操作确认的教学

根据课程标准，应通过直观感知、操作确认，归纳得直线与平面垂直的判定定理及另外的几个平行、垂直的判定定理。在实际教学中，老师们一致地采用了教科书的教学设计，利用折纸方法让学生从直觉上得到并确认判定直线与平面垂直的定理。我们看到，操作确认的教学过程老师们是精心安排的。

比如，五中李老师精心安排了如下几个问题：

（1）折痕AD一定与桌面垂直吗？为什么？（不一定，对于不垂直的情况，要求学生指出不符合线面垂直定义，以加深对定义的理解）；

（2）如何折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？（折痕AD必须垂直于BC边）；

（3）如何验证此时折痕与平面垂直？（不能用平面内一条直线与已知直线垂直来判定此直线与平面垂直，而两条可行，说明最简单的操作是验证直线与平面内两条直线垂直!）；

（4）如果一条直线和平面内的两条直线都垂直，就能判定此直线和平面垂直吗？（一般的两条直线不行，必须是两条相交直线）。

接着指出“通过实验及分析，可归纳出直线与平面垂直的判定定理”，并给出文字、图形、符号的表示。但是，与平面与平面垂直的性质定理的热烈的课堂教学气氛相比，判定定理的课堂教学中在某些教学环节学生普遍表现出迷茫、思索，犹豫不决的状态，当老师归纳出定理时，几乎可以感觉到，即使像五中这样的示范性学校的学生，也似乎是无奈地接受和承认判定定理。不知他们课后是否回问，这个定理为什么不能现在就给出证明呢？老师提出的如何验证折痕与平面垂直，老师带领大家真正“验证”了吗？能验证吗？

实际上听课的老师们都清楚，这里无法验证，因为要验证现在唯一的办法就是回到定义去，就无法回避平面内直线的无限性，而只能观察到“看上去折痕AD与桌面所在平面垂直”，实际上这里仍停留在感性认识的阶段，而没有进入用定义来进行判断的理性认识阶段。真正优秀的学生也肯定能意识到这一点。当然，对于定理，老师也忘不了加以申明，这个定理这里不作证明，以后要加以证明，但是据我所了解的情况，许多老师认为，现在教科书这样安排很不理想。我究其原因，问题有以下几个方面：第一，数学和物理、化学、生物等实验学科有着本质的区别，实验科学依靠反复的试验、实验来确认结论，而数学科学则从基本公理出发依靠严密的推理论证来获得后续结论，数学定理不能依靠操作加以确认，数学不是一门实验科学；第二，数学中的定理必须通过证明得到，未加证明的就不能算作一个定理，不完全的归纳只能得到猜想而不能确认得到定理；第三，虽然对于某些定理有时安排到后续教学内容中作证明，对于一个命题的证明也通常有多种不同的证明，就如一题多解，但是，对于一个定理的不同证明有优劣之分，一题多解中有些解法繁琐复杂，有些方法直截了当，简捷明快，更好地指出数学对象之间的相互关系，在数学教学中大家以简捷直接为美，以繁琐复杂、绕大圈、通过冗长过程的证明为不美，在这里，直线与平面垂直的判定定理的证明条件已经完全具备了，可以很直截了当地加以证明。但是现在的教学安排，放弃定理的证明，又承认定理并在需要时随处加以应用，而定理的证明则安排到了选修2-1模块的“空间向量与立体几何”部分借助空间向量的方法来证明，相隔时间很久，学生们对定理证明的必要性也许不以为然了。

另外，中间已经有很多内容，自然会有疑问，用向量的证明方法是否会产生循环论证之类的错误呢？第四，判定定理的探索和证明是培养学生的科学探究态度和精神的良好时机，对于怎样从直线与平面内两条相交直线的垂直的条件推证出此直线与平面垂直，即与平面内任何一条直线都垂直的问题，学生们一般都会有浓厚的兴趣，而保护和培养这种探究精神和态度对于高中学生尤其重要，让学生证明这个定理，认识到这个定理的真理性，这比对一个结论不求甚解，知其然而不知其所以然而盲目加以应用要好得多。通过对于定理的证明而达到对于定理的理解，这是数学教育的独特价值所在。

最后，笔者认为，数学课堂教学中老师应该多一些独立思考，认真思考数学教学。认真思考教学，也认真思考数学。

本文也发表在初等教育、中等教育类核心期刊《中学数学教学参考》，2008年第6期.