轻沙走马路无尘──结合高中数学各个知识模块，适时培养学生的数形结合能力

减小字体 增大字体 作者：佚名  来源：本站整理  发布时间：2011-09-25 10:37:08【摘 要】 数学思想方法是数学思维能力的核心内容，是学生数学素质中的关键要素，“数形结合”是其中一种重要的数学思想方法，是贯穿人教B版教材的主线，本文结合人教B版几个模块的内容，具体谈一谈如何在高中数学各个知识模块中，培养学生的数形结合能力。【关键词】 数形结合；以形助数；以数解形；画图；识图；用图数学思想方法是数学思维能力的核心内容，是学生数学素质中的关键要素，数学思想方法与数学思维能力的培养相辅相成，相互促进。我们在教学中要加强认识数学思想方法对于学生数学学习的意义，有效组织渗透，让数学思想方法体现在数学教学的每一个环节。数学思想方法的教学通过渗透——积累——重复——内化——应用的过程来实现，这一过程以数学基础知识和基本技能的形成为依托，以数学思维能力和思维品质的培养为形式，三者紧密结合，水乳交融。在所有的数学思想方法中，“数形结合”是一种重要的数学思想方法，它不仅给解题带来方便，更重要的是让我们更深刻形象地体会到数学各分支间的内在联系和数学美，它是一种极富数学特点的信息转换，利用数形结合可将代数与几何相互迁移。下面结合人教B版几个模块的内容，具体谈一谈如何在高中数学各个知识模块中，培养学生的数形结合能力。一、众多的知识模块都蕴含着数形结合的思想，数形结合思想是贯穿高中课程的主线。（一）必修（1）第一章集合：1.2节中用维恩图表示抽象集合，用数轴表示数集，…，这些都是把抽象的问题具体化，以形助数。第二章函数，第三章基本初等函数（I）更能体现数形结合。通过学生早已熟悉的一次函数和二次函数的学习，进一步加强数形结合的思想。通过函数的图像，进一步明确方程的根即函数的零点就是函数图像与坐标轴的交点。先研究如何画指数函数、对数函数、幂函数的图像，接着这些函数的五大性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）呼之欲出。在第三章练习中出现了超越不等式，解超越方程式不等式时常用数形结合法，即把不等式，理解为一幅画，即函数的图像在上，函数的图像在下。例如课本P120第5题、P121第7题，题目均要求画出图形加以说明。（二）必修（2）及选修2-1必修（2）第一章立体几何初步，主要是通过常见几何体来直观确认空间位置关系，并落实到度量和计算，及用逻辑推理来进一步认识点、线、面之间的关系。由具体到抽象，符合人的认知规律，立体几何的研究对象是图形，因此在讲解概念、定理时，应该充分发挥图形的作用。可以让学生多观察实物或模型，不能观察的，先画出规范图形，从分析图形的特征去联想有关概念和定理，这样可使学生对概念或定理加深理解。在选修2-1第三章引入向量后，立体几何问题可以代数化，不再是纯几何问题了，可通过向量的运算去研究它们的性质，把数与形有机地结合起来，有利于提高学生的数形结合能力，转换能力，知识的迁移能力。即引入向量后，证明线面的垂直与平行，求距离，求角，都可以通过代数运算解决，可根据图形特征去寻求数量关系，也可由数量关系判断图形特征，对于培养学生的数形结合能力具有积极作用。必修（2）第二章平面解析几何初步，直线与圆更是数形结合的最佳结合点，因为在初中就系统研究过圆，它有良好的几何性质，既是中心对称图形又是轴对称图形，所以解决圆的问题常用数形结合。选修2-1第二章揭示了平面解析几何研究的主要问题是：(1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2) 通过方程，研究平面曲线的性质．即用坐标系研究图形性质的基本思路是，借助坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。（三）必修（3）第一章算法初步，用框图来表示算法，把文字语言用图形语言来表现，以形助数，直观简明，一图胜万言。在算法教学中，切忌将算法课变成程序设计课，应抓住用程序框图表示算法这个核心，突出该教学重点，突破程序框图的画法难点，实现数形结合的和谐统一。第二章统计，用茎叶图，频率分布直方图来表示数据的特征，用散点图、回归直线来表示两个变量的相关程度，都是数形结合的典范。第三章概率用维思图来说明互斥事件概率的加法公式简单明了，易于接受。古典概型中用坐标系来找基本事件部分，如3.2.1古典概型的例5。用树形图来找基本事件总数，如例6。几何概型主要是把概率问题与几何问题完美的结合，几何概型更是离不开图，无论是面积比、体积比还是长度比的几何概型都要借助图形来推理计算，本质是用数形结合的思路解决概率问题。（四）必修（4）第一章基本初等函数（II），1.2节从数与形两个角度，分别给出了三角函数的对应法则：从形的角度：三角函数线1.3.1节的第3部分研究正弦型函数y=Asin（ωx+ψ）图像，涉及A、ω、ψ三个参数对于函数图像的影响、A、ω、ψ的实际意义、根据图像求A、ω、ψ。首先通过对参数赋值，从具体函数的讨论开始，把从函数y=sinx的图像到函数y=Asin（ωx+ψ）的图像过程，分解为先分别考察参数A、ω、ψ对函数图像的影响，然后整合为对y=Asin（ωx+ψ）的整体考察，这样有利于培养学生从具体到抽象、从简单到复杂的思维方法，有利于培养学生的逻辑思维能力，提高将一个复杂问题分解为若干简单问题的意识。根据图像求A、ω、ψ,有利于培养学生数形结合的能力。第二章平面向量1．向量是数形结合的天然桥向量具有代数和几何的双重身份。向量的几何表示、向量加法的平行四边形法则、向量加法的三角形法则、向量减法的三角形法则等等都是从形的角度研究运算，是运用几何性质解决向量问题的基础。而向量的坐标表示、坐标运算法则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，因此数形结合是学好向量的重要思想方法。在解决向量的夹角、向量的共线与垂直等问题时常常借助图形的几何性质，可以给抽象运算以直观的解释，显得简捷方便。2．向量是沟通代数、几何、三角函数的重要工具平面向量既有一套良好的代数运算法则,又具有直观形象的图形特征，因而向量成为高中数学知识的一个交汇点。在必修（4）中，将“平面向量”放在前一章“基本初等函数”和后一章“三角恒等变换”之间学习，目的就是可以尝试运用向量的知识来推导余弦的差角公式。（五）必修（5）第一章解三角形 通过对正余弦定理的研究，从数的角度精细计算三角形边长与角度。第二章数列是一类特殊的函数，等差数列的通项公式是一次函数，它表示一次函数图像上的孤立点，前项和公式是二次函数，它表示二次函数图像上的孤立点，等比数列的通项公式是一个非零常数与一个指数函数的积，其图像是一条指数函数型的曲线。第三章不等式：教材编写的特色就是加强和突出“数形结合”，分别从代数与几何的角度，给出了均值不等式的两种证法。目的在于揭示不等式不仅属于代数范畴，亦有深刻的几何背景。线性规划更是加强数形结合的好素材，应用时画图要准确，找对可行域，这样才能用好图形。（六）选修2-2中，导数有很强的几何意义，即函数的图像在处的切线的斜率。选修2-3第三章中的回归直线、回归曲线都是数形结合的范例。总之人教B版必修教材的五个模块及选修系列的教材中，几乎每一章均渗透了数形结合思想，这就要求我们对这种思想方法进一步总结，找到规律和注意点，在教学中潜移默化的培养学生数形结合的能力。 二、结合教学，有意识的培养学生数形结合的能力（一）夯实画图、识图的能力，是培养学生数形结合能力的基础。会用图的前提是画图和识图，因此我们首先要夯实学生画图、识图这个基础。必修一40页有这样一段话：画函数的图像是学习数学必须掌握的一个重要技能。同学们在学习中要养成画图的习惯，并利用函数的图像来理解函数的性质。1．学会画图是“巧用图像”的前提，教学中教师要从作图的方法和技巧上指导学生作图。作函数图像有三种常用方法：（1）. 描点法在进行必修一第三章指、对、幂函数图像教学时，要带领学生体验列表、描点、连线得到函数图像的整个过程，把描点法画图像的过程呈现给学生，让学生体会这是画函数图像的通法。（2）. 函数图像的变换和学生共同研究完如何由y=sinx的图像变换得到y=Asin（ωx+ψ）+Ｂ的图像后，接着探究一般化的问题：如何由的图像变换得到的图像？（3）. 借助函数的基本性质（单调性、周期性、奇偶性、对称性）根据函数的基本性质，如单调性、周期性、奇偶性、对称性，可以帮助我们勾勒出函数的大致图像。2．充分提取图像的“有效信息”，即识图，是“巧用图像”的关键，要注重利用函数的图像来理解函数的性质，提高识图能力。（二）强化数形结合的应用，是培养学生数形结合能力的关键。1．要让学生认识到心中有数不如心中有图图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是能否学好数学的关键。无论是几何还是代数，拿到题的第一件事都应该是画图，心中有数不如心中有图。有的时候，一些简单题只要把图画出来，答案就一目了然。遇到难题时就更应该画图，图可以清楚地呈现出已知条件。而且解难题时至少一问画一个图，这样看起来清晰，做题的时候也好理顺思路。即首先我们要在脑中有画图的意识，形成条件反射，拿到一道数学题就先画图。不是要求把图画的多漂亮，而是清晰、干净、准确，这样才会对做题有帮助。而且要有用图的意识，画了图而不用，等于没画。案例1：讲完《函数》、《不等式》、《平面向量》单元测验题后，为了强化学生数形结合的意识和能力，我布置作业，请给每一道题目配上一幅图。    2．挖掘教材中数形结合的内容，案例2：《函数的零点》是普通高中课程标准实验B版教科书必修1第二章第四节“函数与方程”第一小节，主要内容是函数零点的概念以及函数零点个数的判定，其中蕴含着丰富的数形结合思想。我是这样设计这节课的：先抛出两个小问题问题1：如何理解？问题2：如果令，可以求得，那么对，我们又如何从多个角度理解它呢？数的角度：是方程0的根形的角度：是函数的图像与轴交点的横坐标小结：0.5既具有数的意义，又有形的意义，因此我们有必要深入研究它．取一个名字，抓两个关键字“0，点”，我们把它叫函数的零点.这就是我们这节课所要研究的问题，很自然的给出函数零点的定义。    设计意图：对教材进行二次处理，从学生的“最熟悉区域”提问，引发学生的好胜心和求知欲，从数形结合的角度很自然的点明课题。案例3：《由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质》是普通高中课程标准实验B版教科书选修2-1第二章第一节“曲线与方程”的第2小节    平面解析几何，是以数解形的一块阵地，坐标法的基本思路是用坐标系研究图形性质，借助于坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。在讲第一节“曲线与方程”的第2小节时，我自编了一道题：问题1：探究方程对应的曲线有什么性质？（1）范围，（2）对称性，（3）顶点，（4）第一象限内的增减性问题:2：方程对应的曲线和对应的曲线有什么位置关系？ （三）借助数形结合的思想进行原创题的创作，是拔高优秀学生数形结合能力的有效途径和学生共同分享借助数形结合的思想进行原创题的创作的经历，以期达到“数形结合的炉火纯青、登峰造极、轻沙走马路无尘”的最高境界。案例4：借助数形结合的思想进行原创题的创作编题经历1 ：在讲授函数图像的变换时，我配备的一道练习题是，请在同一坐标系内画出下列函数的图像：（1），由于自己的粗心，错误的抄成了：请在同一坐标系内画出下列函数的图像：（1），学生在黑板上画出的图像如图1．     看着学生画出的漂亮图像引起了我的思考：我追问学生这个图像用代数式怎么描述呢？答案是．经过一个晚上的思考，第二天上课时我向学生展示了如下的原创题1，正所谓“无心插柳柳成荫！”．原创题1．已知实数满足：关于的不等式对一切均成立．求出所有满足题意的实数，说明理由．解：在中取得  显然不等式对一切均成立．因此满足题意的实数只能是． 编题经历2：在讲完导数，研究高考题时，如下的三道题引起了我和学生的极大兴趣：1．（2006全国II-20）设函数，若对所有的≥0，都有≥成立，求实数a的取值范围． 2．(2007全国Ⅰ-20) 设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．3．（2008全国II-22）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．仔细看就会发现，题面上题目1、题目2的（Ⅱ）问及题目3的（Ⅱ）问非常相似，解法也很类似，这引起了我们的思考．一筹莫展时，我想到了数形结合．和中等号成立的条件都是，和的图像分别是曲线与直线，它们有公共点，和的几何背景都是曲线和直线的位置关系问题(如题1中的不等式≥对应的图像就是图2)，它们的实质是 “化曲为直”，利用切线来估计函数的情况.的取值范围就是小于等于或大于等于在原点处的切线的斜率.基于以上的思考，我给学生展示了原创题2-1和2-2：原创题2-1．设函数，若对任意的均成立，则常数的值为___________提示：函数与的图像有公共点，本题中的本质就是在点处的切线斜率，故．原创题2-2．设函数，若对所有的≥0，都有成立，求实数a的取值范围．答案：．提示：解法和上面的高考题1，2，3的解法类似． 编题经历3：在编写了原创题目2-1和2-2后，我又提出新问题：除了切线以外，还有割线，能否围绕曲线与割线编拟题目呢？如是我想到了课本上的线性回归直线，对于一个曲线，能否找到一个最佳的直线来刻画（即直线与曲线上的对应点的差距尽可能的小）呢？原创题3．已知函数，关于的不等式对任意的都成立，猜出常数的值，并证明之．分析：如图3，观察函数和函数的图像， 的几何意义就是两个函数值的差的绝对值不超过3．我们把直线运动一下看看，哪一条直线才能符合呢？只有轴才能满足．怎么证明呢，观察图，发现只需在中取即可．  解： 即分别取，得         ①       ②       ③①+③- ②×2得这意味着①，②，③中全取等号，解得有的同行说，多次给学生进行数形结合思想的教学，但总不见成效，学生的数形结合能力还是很弱。我想说“贵在坚持！纵然岁月将你抛弃，而你在岁月中行而不止，终让岁月将你铭记！” 常年的坚持，您的学生一定会达到数形结合的炉火纯青、登峰造极、轻沙走马路无尘的最高境界。