（1）公理化思想

在数学学习与数学研究中，总要做两件事：一是为了明确概念，必须对概念加以正确的定义；二是为了揭示命题的真实性，需要进一步推理。

一般来说，对一个新概念下定义，需要有旧概念作为基础，而这个旧概念又必须有自己的定义，这样就构成了一个概念系列。但这个过程不可能无止境地继续下去，必须先有一些从具体事物抽象出来的、被认为是最简单的、无需解释的概念，通常叫做原始概念或基本概念，然后所有其余的概念均由这些原始概念引导出来。同样，判断一个数学命题的真实性，在推理过程中必须寻求命题成立的根据和前提，而这些根据和前提也是数学命题，其真实性也得依靠另一些依据和前提，这样往上追溯就构成了一个命题系列。这个过程也不可能无止境地继续下去，因此就有必要采用一组公认正确而不须证明的基本命题作为一切命题的基础，这样一组不加证明的基本命题通常叫做公理或原始命题。

公理化方法就是选择尽可能少的原始概念和一组公理作为出发点，采用逻辑推理的法则，将一门科学建立成演绎系统的一种方法。现代公理系统不仅要求有上述原始概念和原始命题，而且要求这些原始命题具有独立性、相容性、完备性。一般地，数学教材中内容的组织注意到了这些要求，而实际上，只是渗透，将其作为工具，并没有严格地按照这些要求去做，至少是没有证明。我们现在所谈论的公理化思想也大致如此。公理化思想在数学、自然科学乃至社会科学中有着广泛的运用，它对于学习数学、理解数学的本质具有重要的作用。

教学中应通过教师介绍欧几里得《几何原本》、牛顿力学体系的结构杰弗逊《独立宣言》等体系的展开形式，帮助学生了解、体会公理化思想的作用。此外，还可以引导学生通过阅读、查阅资料等方式，选择一些体现公理化思想的内容（包括数学上的）进行探索和交流。例1．牛顿力学体系的公理化展开方式。

牛顿力学体系是一个公理化的演绎系统，这在牛顿的《自然哲学之数学原理》（以下简称《原理》）一书中有清晰的表述。《原理》是一部划时代的科学巨著，是按照公理化方法写成的一本力学著作。

《原理》在一开始的“说明”与“附说”中，阐明了关于“物质”、“运动”、“外力”、“向心力”、“绝对空间”、“绝对时间”的概念与定义，直接提出了力学三定律（牛顿三定律）作为公理。在三定律之后，推出了6条运动基本定理。在6条运动基本定理之后，分卷讨论“物体运动”及“宇宙系统”。《原理》的公理化展开模式简述如下。

基本概念：

在第一卷之前先给出了8个定义，它们是：物质的量，运动的量，物体固有的力，外力，向心力，向心力的绝对度量，问心力的加速度，问心力的运动度量。

公理（3条）：

1°牛顿第一定律：每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使改变那个状态。

2°牛顿第二定律：运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。

3°牛顿第三定律：每一种作用都有一个相等的反作用，或者两个物体间的相互作用总是相等的而且指向相反。

运动基本定理（6条）：

l．力的平行四边形法则：二力共同作用于一物体时，此物体沿二力组成的平行四边形的对角线运动；运动所需的时间与它分别受到这两个力作用时沿平行四边形两边运动的时间相同。

2．力的三角形法则：沿AD的力可由沿AB的力与沿BD的力合成；同样沿AD的力也可分解为两个任意的沿AB的力与沿BD的力。

3．运动（动量）守恒，即在物体互相碰撞时，各方向运动（动量）的总和不变。

4．二物体或多物体体系的公共重心，在无外力作用时，保持静止或匀速直线运动，而不以体系内的物体的作用而改变其状态。

5．当某空间静止或匀速直线运动时，该空间内所有物体的运动不受影响。

6．不管物体之间以任何方式运动，如果有相等的加速力以平行的方向对之发生作用，则物体之间仍继续以相同的方式运动着，就像没有受到这个力的作用一样。

这6条运动的基本定理是建立在公理基础之上的，即是通过力学三定律严格证明的。《原理》在推演出运动的6条基本定理之后，就进一步讨论“物体之运动”以及“宇宙系统”。在讨论中，牛顿仍然采用相同的研究方法，即所有的定理都是从三定律以及被三定律证明了的6条运动基本定理推演出来的。

综上所述，牛顿是通过综合的方法总结出一组公理，再由公理推演得到一系列定理。这些定理散见于各卷中。其中，第一卷总共6章，定理30个；第二卷总共9章，定理38个，第三卷总共4章，定理20个。

例2．《独立宣言》的公理化展开方式。

《独立宣言》是英属北美殖民地人民宣布独立的纲领性文件。

它是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。它试图借助公理化说明宣言的特性和公理性，使民众深信不疑。《独立宣言》首先提出了下面不言而喻的事实（真理）。

人人是生而平等，上帝赋予他们诸如生存、自由和追求幸福等不可让与的权利。

在这个基础上，显然可以得到下面的结论：

（1）为了保障这些权利，人民才组织成立政府，政府由人民同意后、取得正当的权利。

（2）任何政府一旦损害这些权利，人们就有权改换它或废除它，建立新政府。

（3）新政府所根据的原则及其组织权力的方式，务必使人民认为，唯有这样才最有可能保障他们的安全与幸福。

然后，列举若干具体的不平等事例，如，司法部门包庇武装部门，使犯有死罪的军人销遥在外；切断北美与世界各地的贸易，不得到北美人民的同意就强制征税；任意逮捕和审判北美人民等等。这些在立法、司法、行政、军事、贸易等方面对北美殖民地人民的迫害，是严重侵犯北美人民人权的罪行，从而违背了四项真理。因而人民就有权更换和废除它，成立一个自由的和独立的国家。

最后，郑重宣布独立，并宣誓支持该项宣言。（独立宣言全文可上网搜索）

   （2）计算机证明

计算机证明体现了数学在推动技术进步中的巨大作用以及计算机技术对数学发展的作用，它是数学文化的典型题材。《标准》要求介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。因此，在教学中，可以通过教师介绍或引导学生阅读、查阅资料等方式，了解“四色问题”提出及探索过程，知道这个问题最终是通过计算机证明的；了解著名数学家吴文俊先生在计算机自动推理领域作出的巨大贡献，了解吴方法对数学问题处理的基本思路和方法；了解张景中消点法的基本思想方法。

例1．四色问题简介

1852年，英国业余数学家费朗西斯·格斯里在为英国分郡地图着色时，发现了一个看似简单但他却无法回答的问题：为任何地图着色，并使任何两个有公共边界的区域的颜色都不同，那么，最少需要多少种颜色？

后来，他求教于当时著名的数学家摩根，摩根不能回答这个问题，但是他证明了，任何地图上不会有这样的五个国家存在，其中每一个国家都和其余四个相邻，他同时进行猜想：画在纸上的任何地图只用四种颜色就能使具有相同边界的国家染有不同的颜色，这就是所谓的四色问题。

1878年，英国数学家凯莱正式向伦敦数学会提出了这个问题。

1879年，一位叫肯普的英国律师宣布证明了四色猜想。但11年后，一位叫希伍德的青年人指出了肯普的证明中有严重错误。但他运用肯普的方法证明了五色定理（即对任何地图着色五种颜色总是足够的。）

到1968年，数学家已解决了除平面和球面以外的所有曲面上的地图着色问题。

经过许多数学家的努力，把四色问题归结为近两千种情况下的证明。但是靠人工一个一个地完成判断和证明是不可能的。

终于在1976年，三位美国数学家阿沛、哈肯和摩尔借助于当时先进的计算机，化了1200小时，作了近100亿个逻辑判断，才最终证明了四色问题。

例2．吴法——代数法简介

首先，把几何问题代数化。

在图中建立坐标系，用代数等式表示题设和结论。

其次，整序。

先根据图形确定自由变元及约束变元，把题设中等式被约束变元依次增多顺序排列。

最后，伪除法求余。

把整序后的式子中的约束变元用自由变元表示出来，代入结论，看等式是否成立，若成立，则命题得证。

吴法（代数方法）的一个简单例子。

求证：平行四边形的两条对角线互相平分

分析：第一步，几何问题代数化

画图，并建立直角坐标系设

D

C

B

A

Q

A(0,0) B(P,0)     C(u,v)

D(x,y)           Q(z,w)

用代数等式表示出题设条件有以下四式：

①DC∥AB   y-v=0

②AD∥BC   vx-(u-p)y=0

③点Q在AC上，vz-uw=0

④点Q在BD上   (x-p)w-(z-p)y=0

表示出命题结论有以下两式

⑤AQ=QC     2z-u=0或zw-v=0

⑥BQ=QD    x+p-2z=0 2w-y=0

第二步整序：

原来表示假设条件的方程组化为较简单升列。

（1）y-v=0

（2）vx-(u-p)y=0

（3）2pw-pv=0

（4）vz-uw=0

第二步，伪除法求余

若要证明AQ=QC，即2z-u=0成立，即把第二步中变元“降次”后代入验证即得证。

*注：以上吴方法参考张景中著《计算机怎样解几何题》。