花式棉花糖出糖器:中考数学圆压轴题详解

京翰提示：圆作为初中数学中重要的知识点，在历年高考题中都出现在重要的得分点高的部分，尤其是压轴题中，有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分，其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识，只要正确列出公式就能得到相应的分数。要学好圆的部分，不仅要靠平时的练习，最重要的还是回归课本，把基础知识参透，只有基础牢固了，才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。

1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°.

（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.

（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.

（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.

2   如图（4），正方形的边长为1，以为圆心、为半径作扇形与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，、为半径作扇形，与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为．

（1）求；

（2）写出；

（3）试猜想（用含的代数式表示，为正整数）．

3  (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．

（1）求证：ID=BD；

（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 

4   如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E， AE＝2， EC＝1．

（1）求证：∽；　　          （3分）

（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予

证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．  （4分）

（3）延长AB到H，使BH ＝OB．　

求证：CH是⊙O的切线．               　  （3分）

5  如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点．

（1）问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；

（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；

（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．

6

6  如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．

（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？ 

（2）求四边形CDPF的周长；

（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示． 是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．    

7  如图，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一点，与轴的正半轴交于两点，在的左侧，且的长是方程的两根，是的切线，为切点，在第四象限．

（1）求的直径．

（2）求直线的解析式．

（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形，若存在请在图2中标出点所在位置，并画出（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求的坐标）若不存在，请说明理由．

1  解：（1）连结AD.

∵∠ABO=60°,

∴∠ADO=60°…..1分

由点A的坐标为（3，0）得OA=3.

∵在Rt△ADO中有

cot∠ADO=,…………….2分

∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×=.

∴点D的坐标为（0，）……………3分

（2）DC与△AOB的外接圆相切于点D，理由如下:

由（1）得OD= ,OA=3.

∴.

又∵C点坐标是（-1，0）,

∴OC=1.

∴………………4分

∵AC=OA+OC=3+1=4,

∴CD2+AD2=22+(2)2=42=AC2…………………5分

∴∠ADC=90°,即AD⊥DC.

由∠AOD=90°得AD为圆的直径.

∴DC与△AOB的外接圆相切于点D……………6分

（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.）

（3）由二次函数图象过点O（0，0）和A（3，0）,

可设它的解析式为        y=ax(x-3)（a≠0）.

如图，作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点，交AD于M点，交OA于N点.

由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或F.

∵EF垂直平分OA，

∴EF是圆的直径.

又∵AD是圆的直径,

∴EF与AD的交点M是圆的圆心………….7分

由（1）、（2）得OA=3，AD=2.

∴AN=OA=，AM=FM=EM=AD=.

∴.

∴FN=FM-MN=-=,EN=EM+MN=+=.

∴点E的坐标是( , )，点F的坐标是( , -)……..8分

当点E为抛物线顶点时，

有(-3)a=,

a=.

∴y=x(x-3).

即y=x2+2x…………………………9分

当点F为抛物线顶点时，

有(-3)a=-,

a=.

∴y=x(x-3).

即y=x2x.

故二次函数的解析式为y=x2+2x或y=x2x ….10分

2  （1）； 2分

； 4分

； 6分

（2）； 8分

（3）（为正整数）． 10分

3   (1) 证明： 如图，

∵ 点I是△ABC的内心，

∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI．      ………………2分

∵ ∠CBD=∠CAD，

∴ ∠BAD=∠CBD．         ……………………………3分

∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD．

∴ ID=BD．                                    ………………………5分

(2)解：如图，

∵∠BAD=∠CBD=∠EBD， ∠D=∠D，

∴ △ABD∽△BED．                         …………………………7分

∴ ． ∴ ．     …………………8分

∵ ID=6，AD=x，DE=y，∴ xy=36．                     ………………9分

又∵ x=AD>ID=6， AD不大于圆的直径10，

∴ 6．

∴ 与的函数关系式是．（）       …………………………10分

说明：只要求对xy=36与6<x≤10，不写最后一步，不扣分．

4  （1）证明：∵C是劣弧的中点，　

∴．　 1分

而公共，　　

∴∽．　 3分

（2）证明：连结，由⑴得，

∵，

∴　．

∴　． 4分

由已知，∵是⊙O的直径， 

∴　，　

∴．　 

∴， ∴，　∴四边形OBCD是菱形．

∴，　∴四边形ABCD是梯形． 5分

法一：

过C作CF垂直AB于F，连结OC，则

∴．  6分

∴，，

∴． 7分

法二：（接上证得四边形ABCD是梯形）

又　∴，连结OC，则，和的边长均为的等边三角形 6分

∴，

∴ 7分

（3）证明：连结OC交BD于G由（2）得四边形OBCD是菱形，

∴且．   8分

又已知OB＝BH　，　　∴．   9分

∴　，　∴CH是⊙O的切线． 10分

5  解： （1）添加 AB=BD  2分

∵AB=BD  ∴=   ∴∠BDE =∠BCD 3分

又∵∠DBE =∠DBC       ∴△BDE∽△BCD

∴ 4分

（2）若AB∥DO，点D所在的位置是的中点  5分

∵AB∥DO         ∴∠ADO =∠BAD  6分

∵∠ADO =∠OAD  ∴∠OAD =∠BAD   ∴=   7分

（3）在（1）和（2）的条件下，．

∵==    ∴∠BDA =∠DAC   ∴ BD∥OA 

又∵AB∥DO         ∴四边形AODB是平行四边形      9分

∵OA=OD        　  ∴平行四边形AODB是菱形   10分

6  解：（1）FB＝FE ，PE＝PA    2分

（2）四边形CDPF的周长为

FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF   3分 

＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA    4分 

＝BC＋CD＋DA         5分 

＝×3＝       6分 

（3）存在．          7分

        若,则 

∵ cos∠OFB＝ ，cos∠GFC＝

∴ ∠OFB＝∠GFC 

又 ∵ ∠OFB＝∠OFE

∴ ∠OFE＝∠OFB＝∠GFC=    8分

∴ 在中 FE＝FB＝＝1 

∴ 在中 

CG＝

∴ 

∴   9分

∴       10分

7  解：（1）解方程，得，

在的左侧

，　

的直径为 1分

（2）过作，垂足为，

连结，则

又

在中

的坐标为 3分

（用其它方法求的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分．）

设直线的解析式为

直线的解析式为 4分

（3）如图2，，，，为所求作的点，，，，为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） 8分