编织人生恋恋云汀:初三总复习第五单元 三角形

第五单元   三角形

第1课时  几何初步及平行线、相交线

【考点整合】

考点1  立体图形的展开与平面图形的折叠

1．几何图形是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素，点动成线，线动成面，面动成体．

2．常见几何体的侧面展开图：圆柱→矩形，图锥→扇形，直棱柱→矩形．

b

A．a=1，b=5               B．a=5，b=1

C．a=11，b=5              D．a=5，b=11

考点2  角的有关概念及性质

1．概念 角是由一条射线绕着它的端点       而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．

2．角的单位与换算：1°=60′，1′=60″，1周角=2平角=4直角=360°．

3．余角与补角：如果两个角的和等于     ，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于       ，就说这两个角互为补角．同角（或等角）的余角      ；同角（或等角）的补角       ．

4．对顶角和邻补角：在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角为对顶角．如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角，5、对顶角和邻补角的性质：对顶角           ，邻补角         ．

例2  如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°

∠ABD的度数是（   ）．

A．20°  B．30°    C．35°    D．40°

考点3  距离的有关概念及求法

1．直线、线段的性质：经过       有一条直线，并且只有一条直线，两点之间的所有连线中，         最短．

2．距离的概念：两点之间线段的        ，叫这两点之间的距离；直线外一点到这条直线的         的长度，叫做点到直线的距离；如果一条直线和两条平行线同时垂直，那么这条直线夹在两平行线之间的线段的         叫两平行线间的距离．

3．距离的求法，（1）求平行线间的距离：过一条直线上的任意一点作另一直线的垂线，把问题化归为点到垂足的距离，（2）空间两点间距离的最短问题，要利用其展开图化归为平面上两点间的距离．

考点4  垂线的性质与判定

1．概念：如果两条直线相交所构成的四个角中，有一个角为       ，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，交点叫垂足．

2．性质：（1）经过直线外一点有且只有          与已知 直线垂直；（2）直线外一点与直线上各点的所有连线中，         最短；（3）两直线垂直，所成角为90°．

3．判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．

D

O

B

A

C．145°    D．155°

C

1．概念：在同一平面内，        的两条直线，叫平行线．

2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线             ．

3．性质：如果两条直线平行，那么        相等，       相等，           互补．

4．判定：（1）同位角       ，两直线平行；（2）内错角      ，两直线平行；（3）同旁内角         ，两直线平行；（4）在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，（5）平行于同一直线的两直线平行．

例4（（2010安徽省中中考）如图，直线 ∥ ，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（      ）

（A）50°    （B）55°    （C）60°     （D）65°

考点6  数几何图形个数的方法

1．数直线的条数：过任意三个点不在同一直线上的n个点，共可以画 条直线．

2．数线段的条数：线段上共有n个点（包括两个端点）时，共有线段 条．

3．数角的个数：从一点出发的n条射线可组成       个角．

4．数交点的个数：n条直线最多有          个交点．

5．数直线分平面的部分：平面内有n条直线，最多可以把平面分成       个部分．

例5：（2010安徽蚌埠）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。

【基础训练】

一．选择题

1．下面各个图形是由6个大小相同的正方形组成的，其中能沿正方形的边折叠成一个正方体的是（   ）

A            B          C             D

    2．（2009福建宁德中考）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（   ）

2题图

3题图

3．如图，已知AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则∠3等于（   ）

A．60°    B．50°    C．40°    D．30°

4．（2009年湖北孝感中考）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在MB′的延长线上，那么∠EMF的度数是（   ）

A．85°           B．90°   

C．95°         D．100°

二．填空题

5．（2009湖南株洲中考）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°，则∠CAB的度数是         ．

7题图

（1）    6题图   （2）

7．如图所示，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为          ．

8．如图，将两副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB的度数         度．

8题图

9．如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D，若∠1=20°，∠2=65°，则∠3         ．

10．下午2点15分至5点30分，时钟的时针转过了      度．

三．解答题

11．如图，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点M、N，NG平分∠MND且交AB于G点，若∠1=70°，求∠2的度数．

【能力训练】

12．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1，∠2的度数．

【作业】

一．选择题

1．如图，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（   ）

A．30°     B．40°      C．50°  D．60°

2．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（   ）

3．已知∠1=30°，则∠1的余角度数是（    ）

A．160°     B．150°    C．70°    D．60°

4．如图，已知点C是∠AOB的平分线上一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为（  ）

①∠OCP= ∠OCP′   ②∠OPC= ∠OP′C 

③PC=P′C         ④PP′⊥OC

5．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、 y°，下列方程组中符合题意的是 （   ）

 A．           B．

 C．            D．

6．（2010四川凉山）将一副三角板按图中的方式叠放，则角 等于

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D．

二．填空题

7．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=            度．

7题图

8．如图，直线a⊥b，∠1=50°，则∠2=        度．

9．（2010年泸州市中考）在⊿ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=4，则BC=      

【解答题】

10．如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，

求∠BEC的度数．

第2课时   尺规作图

考点1  尺规作图

1．定义：只用没有       的直尺和圆规作图叫做尺规作图．

2．步骤：

（1）根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；

（2）分析作图的方法和过程；

（3）用直尺和圆规进行作图；

（4）写出作图的步骤，即作法．

考点2  基本作图

1．作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；

2．作一个角等于已知角，以及角的和、差；

3．作角平分线；

4．作线段的垂直平分线；

5．过直线上一点作已知直线的垂线．

考点3  基本作图的应用

1．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；

（3）已知两角及其夹边作三角形；

（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；

（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）

（2）作三角形的内切圆．

【典型例题】

例1  如图，已知直线l及l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留作图痕迹．

（1）在图①中，只用圆规在直线l上画出两点B，C，使得点A，B，C是一个等腰三角形的三个顶点；

（2）在图②中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A，P所在直线与直线l平行．

          ·A                       ·A

                      l                                          l

             ①                        ②

例2  如图，已知∠α、∠β，用直尺和圆规求作一个∠γ，使得∠γ=∠α－ ∠β．（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）

α

【基础训练】

一．选择题

1．（1）下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是（   ）

    A．两个角和其中一角的对边        B．三个角

    C．两边和其中一边的对角 

 D．任意给出三条线段作三角形的三边

二．简答题

2．（2010年重庆市潼南县）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）.

已知：

 求作：

3．如图，现要在A、B、C三居民小区之间建立一个治安亭P，使它到三个居民小区的距离相等，请你标出治安亭的位置，并说明理由．

4．如图，已知∠AOB，点M、N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM=PN．（保留作图痕迹不写作法）

5．某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．

6．（2009贵州黔东南州中考）如图，某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它分出来．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）

【能力训练】

7．（2009浙江杭州中考）如图，已知线段a．

（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个直角三角形ABC，以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a，BC= a（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）若在（1）作出的Rt△ABC中，AB=4 cm，求AC边上的高．

【作业】

1．已知：△ABC（如图）求作：△ABC的外接圆（要求，用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．

2．如图所示的5×6方格中（每个方格的边长为1）画一圆，要求所画的圆经过四个格点并求出你画的圆的半径．

3．如图，在直角坐标系xOy中，A（-1,5），B（-3,0）C（-4,3）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；

（2）写出点C关于y轴的对称点C′的坐标（     ，      ）．

4．如图，是由一个圆、一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴对称图形．（用尺规作图，不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹）．

5．如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切，请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写做法）．

6．(2010年北京门头沟区）如图（1），凸四边形 ，如果点 满足

，且 ，

则称点 为四边形 的一个半等角点．

（1）在图（2）正方形 内画一个半等角点 ，且满足 ；

（2）在图（3）四边形 中画出一个半等角点 ，要求：保留画图痕迹（不需写出画法）．

第3课时   三角形有关概念

考点１  三角形的概念及性质

1．概念：

（1）由            首尾顺次相接组成的图形，叫作三角形．

（2）三角形按边可分为：         三角形和      三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．

2．性质：

（1）三角形的内角和是          ；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个            ；三角形的一个外角         和它不相邻的任何一个内角．

（2）三角形的任意两边之和        第三边，任意两边之      差       第三边．

例1  若三角形三边长分别为3，4，x－1，则x的取值范围是（   ）

A．0＜x＜8         B．2＜x＜8  

C．0＜x＜6         D．2＜x＜6

考点２  三角形中的重要线段

1．角平分线：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点，这个交点叫做三角形的       。三角形的角平分线是一条       ，而角的平分线是一条       。

2．高线：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高。锐角三角形的三条高在其        ，相交于一点；直角三角形有      条高与直角边重合，另     条高在三角形的内部，它们的交点在三角形的             ；钝角三条有两条高在三角形的          ，一条高在三角形的      ，三条高不相交，但三条高所在的直线相交于三角形外一点．

3．中线：一个三角形有三条中线并且都在三角形的内部，相交于一点，三角形的中线是一条       。任意一条中线都可把三角形分成两个          相等的三角形。

4、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫三角形的        ，三角形的中位线         第三边，并且等于它的         ．

例2：（2010四川 巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现

要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离

相等，凉亭的位置应选在（   )

A .△ABC 的三条中线的交点        B .△ABC 三边的中垂线的交点

C .△ABC 三条角平分线的交点       D .△ABC 三条高所在直线的交点

考点３  等腰三角形

1．等腰三角形的有关概念及分类：有       相等的三角形，

叫等腰三角形，       相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．

2．等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角         ；（2）等腰三角形的         三条线互相重合；

（3）等腰三角形是      对称图形．

3．等腰三角形的判定：（1）有         相等的三角形是     等腰三角形；（2）有         相等的三角形是等腰三角形．

A

A．          B．10

C．        D．12

考点４  等边三角形的性质与判定

    1．等边三角形的性质：等边三角形的内角都         ，且等于           ．

2．等边三角形的判定：（1）有       相等的三角形是等边三角形；（2）有        相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角为      的       三角形是等边三角形．

例4  （2009四川泸州中考）已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数．

考点5  线段的垂直平分线

1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段        的距离相等．

2．判定：到一条线段的两个端点        相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的       集合．

考点6  角平分线

1．性质：角平分线上的点到这个角的        距离相等．

2．判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的        ，角的平分线可以看作是到角          相等的点的集合．

【基础训练】

一．选择题

1．图中能够说明∠1＞∠2的是（   ）

A          B           C             D

2．若等腰三角形的一个角是50°，是它的底角是（   ）

A．65°    B．80°    C．50°或65°    D．50°或80°

3．已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长是（   ）

A．12       B．15      C．16      D．12或15

4、（2010湖北荆州）一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是

A ．150°　　　 B．180°  　　 C．135°    　Ｄ．不能确定 

5．（2009四川遂宁中考）如图，AB=AC，BC=BD，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（   ）            

A．20° 　  B．30°     C．35°　    D．40°

6．（2010台湾）如图，△ABC中，有一点P在 上移动。若

= =5，   =6，则 + + 的最小值为何？

 (A)  8   (B)  8.8   (C)  9.8    (D)  10

A

7．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（   ）

A．①②③   B．①②④   C．①③     D．①②③④

　二．填空题

8、（2010年贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程

的根，则三角形的周长是                   ．

9．如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里运用的几何原理是               ．

10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=           ．

9题图

11．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于             ．

三．简答题

12．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．

（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有的情形）；

（2）选择（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．

【能力训练】

13．（2009年浙江湖州中考）如图，已知△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别人E，F．

（1）求证：△BED≌△CFD；

（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．

【作业】

一．选择题

1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图中以BC为公共边的共边三角形有（   ）

A、1个      B、2个       C、3个       D、4个

2．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（   ）

A．10°      B． 20°      C．30°       D．40°

1题图

3．如图在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（   ）

A．         B．        C．     D．

4．△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（   ）

A．9           B．8        C．7      D．6

5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（   ）

A．60°     B．120°     C．60°或150°    D．60°或120°

6．等腰三角形的顶角为150°，腰长为2cm，则此等腰三角形的面积为（  ）

 A．1cm²      B．1.5cm²    C．2cm²   D．2.5cm²

二．填空题

7．三角形两边长为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是            ．

8．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为           ．

9．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的大小等于         （度）．

10题图

10．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC的长是             ．

三．解答题

11．如图，AE是∠BAC的角平分线，AE的垂直平分线PF交BC的延长线于点F，∠CAF=50°，则∠B等于多少？

12．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过P作PC∥OA，交OB于点C，若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于多少？

第4课时   直角三角形与勾股定理

考点１  直角三角形的性质

角：直角三角形的两锐角       ．

边：1．直角三角形斜边上的        等于斜边的一半．

2．直角三角形          的平方和等于       的平方．（勾股定理）

边与角：直角三角形中，30°所对的边等于       的一半．

考点２  直角三角形的判定

角：1．有一个角等于       的三角形是直角三角形．

2．有两角互余的三角形是直角三角形．

边：1、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是      三角形．

2．如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是       三角形．（勾股定理的逆定理）

考点３   勾股数

a²+b²+=c²的三个正整数称为勾股数，也就是说，在给定的三个正整数中，其中最大的数的平方等于其他两个数的平方和，这组数就是勾股数．

例1  如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则BE等于         cm．

例2  如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12，求四边形ABCD的面积．

考点４ 互逆命题、互逆定理及其关系

互逆命题：两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为        命题，如果一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题．

互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理为另一个定理的逆定理．

【基础训练】

一．选择题

1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（   ）

A．b²=c²-a²         　  B．a：b：c=3：4：5

C．∠C=∠A－∠B     D．∠A：∠B：∠C=12：13：15

2．一个直角三角形两边的长分别为15、20，则第三边的长是（   ）

A．       B．25   C． 或25    D．无法确定

3．下列图形中，面积最小的是（  ）

A．对角线长为6和 8的菱形   

B．边长为6的正三角形

C．半径为 的圆

D．边长分别为6、8、10的三角形．

4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边的条数是（   ）

A．0       B．1      C．2        D．3

4题图

5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）

A．4     B．6     C．16      D．55

6．在一块平地，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（   ）

A．一定不会     B．可能会

C．一定会       D．以上答案都不对

二．填空题

7．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为     ．

8．（2009四川遂宁中考）如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为           cm．

9．如图①所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图②，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A 下落了        米．             ①         ②       

三．简答题

10．如图，已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．

求证：（1）△ACE≌△BCD；

     （2）AD²+AE²=DE²

【能力训练】

11．如图所示，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于F．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．

D

【作业】

1．如图，背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是   （    ）．

A．这两个四边形面积和周长都不相同

B．这两个四边形面积和周长都相同  

C．这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长

D．这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长

2．（2010年山西省中考）在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°,D是AB的中点，CD=4cm, 则AB=     cm

二．填空题

3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角

∠EPF顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：

①AE=CF，②∠APE＝∠CPF，③△EPF是等腰三角形，④EF＝AP，⑤ ，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的序号有      ．

4．等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数等于           ．

5．如图，正方体的棱长为 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是            cm．

6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB=3，则BC的长为           ．

7．如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

8．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4.1m．

（1）求滑梯AB的长（精确到0.1m）；

（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？

9、（2010广西桂林适应训练）、如图，在正方形ABCD的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形 的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第 个正方形的面积为                  ．

 第5课时    全等三角形

【考点整合】

考点１  全等三角形的性质与判定

1．概念：能够完全       的两个三角形叫做全等三角形．

2．性质：全等三角形的      、对应角分别相等．

3．判定：（1）有      对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；（2）有两边和它们的      对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）；（3）有两角和它们的      对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）；（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为       ．

例1  已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.

 求证：（1） △BFC≌△DFC；

      （2）AD＝DE．

考点２  定义、命题、定理、公理

1．定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．

2．命题：判断一件事情的语句．

（1）命题由      和      两部分组成．

（2）命题的真假；      的命题称为真命题；      的命题称为假命题．      

（3）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．

3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．

4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．

例2  （2009湖南娄底中考）下列命题，正确的是（    ）

A．如果|a|＝|b|，那么a=b

 B．等腰梯形的对角线互相垂直

 C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形

 D．相等的圆周角所对的弧相等

考点３  证明

1．证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．

2．证明的一般步骤：（1）审题，找出命题的题设和结论；（2）由题意画出具有一般性的图形；（3）用数学语言写出已知、求证；（4）分析证明的思路；（5）写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．

例3  已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．

【基础训练】

1．（2009江西中考）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（   ）

A．CB=CD           

B．∠BAC=∠DAC   

C．∠BCA=∠DCA      

D．∠B=∠D=90°

2．下列语句中，不是命题的句子是（   ）

A．过一点作已知直线的垂线     B．两点确定一条直线

C．钝角大于90°                D．凡平角都相等

3.（2009湖南株洲中考）右图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的，测得AB=BC，OA=OC，OA⊥OC，∠ABC=36°，则∠OAB的度数是（   ）

A．116°       B．117°   

 C．118°       D．119°

二．填空题

4．如图，把一副三角板按如图所示方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=          度．

4题图

5．如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，则∠AEB=           ．

6．如图，AC⊥BD于O，BO=OD，则图中共有全等三角形

       对．

7题图

7．如图，已知△ABC为不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形与△ABC全等，则这种的三角形最多可作出        个．

8．如图所示，三角形纸处ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为       ．

三．简答题

9．如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：BC=DE．

A

B

求证：（1）△ABC≌△DEF；

     （2）GF=GC．

【能力训练】

11．如图，O为   ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．

    （1）图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来．

（2）求证：∠MAE=∠NCF．

【作业】

一．选择题

1．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌AED的条件有（   ）

A．4个      B．3个

C．2个      D．1个

二．填空题

3题图

3．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且AB=DC，则△ABC与△DCB               ．（填“全等”或“不全等”）

三．解答题

4．如图，△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD．

（1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）△OBC的形状是    　   ．（直接写出结论，不需证明）．

5．（2010江苏南通）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．

供选择的三个条件（请从其中选择一个）：

①AB=ED；

②BC=EF；

③∠ACB=∠DFE．

A

6．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AF=BF+EF  

7．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．

（1）求证：BF=AC

（2）求证：CE= BF

（3）CE与BG的大小关系如何？

试证明你的结论．

8．如图，将平行四边形ABCD纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D＇处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△A D＇F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

9、（2010广西柳州）如图9，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空:∠ABC=___________，BC=___________；

（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．