三国群英传7甄姬:2.2.1对数的运算性质

课题：§2.2.1对数的运算性质

教学目的：（1）理解对数的运算性质；

（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；

（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．

教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数

教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．

教学过程：

一、 引入课题

1． 对数的定义：；

2． 对数恒等式：；

二、 新课教学

1．对数的运算性质

提出问题：

根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：

1 设，，求；

2 设，，试利用、表示·．

（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）

运算性质：

　　如果，且，，，那么：

1 ·＋；

2 －；

3   ．

（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）

学生活动：

1 阅读教材Ｐ75例3、4，；

设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．

2 完成教材Ｐ79练习1~3

设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．

2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值

设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．

思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解的值？从而引入换底公式．

3． 换底公式

（，且；，且；）．

学生活动

1 根据对数的定义推导对数的换底公式．

设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．

2 思考完成教材P76问题（即本小节开始提出的问题）；

3 利用换底公式推导下面的结论

（1）；

（2）．

设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．

说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．

4． 课堂练习

1 教材Ｐ79练习4

2 已知

3 试求：的值。（对换5与2，再试一试）

4 

5 设,，试用、表示

三、 归纳小结，强化思想

本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法．

四、 作业布置

1． 基础题：教材P86习题2．2（A组） 第3 ~5、11题；

2． 提高题：

1 设,，试用、表示；

2 设,，试用、表示；

3 设、、为正数，且，求证：．

3． 课外思考题：

设正整数、、（≤≤）和实数、、、满足：

，，

求、、的值．

对数与对数运算学案

一、 复习引入

问题１：ｘ２＝４，ｘ＝_______？

问题2：2ｘ＝４，ｘ＝_______？

问题3：若我国目前人口总数为13亿，按1%的平均增长率，x年后的人口总数y = _____________？经过？年后，人口总数可达到18亿？

二、 对数的定义

1． 加法的逆运算是________，乘法的逆运算是_________，平方运算的逆运算是______，指数运算的逆运算是_________。

2． 一般地，如果，那么：

　　　　数ｘ叫做以ａ为底N的对数，其中ａ叫_________，N叫_________。

3． N是一个怎样的数？为什么？

4． 例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

注：① “”简写为“”叫常用对数 ②“”简写为“”叫自然对数。

5. 强化训练

把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

三、 能力提升

1. 请完成下列填空：

（1）_______________；（2）_______________；

（3）_______________；（4）_______________，

（5）=_______________。

2. 例2，求下列各式中的x的值：

（1）；（2）；（3）；（4）。

3. 强化训练

       求下列各式的值：

四、 小结：今天学了什么？

  答：

五、 作业布置

完成P74页A1，A2。

高考资源网1．log123＋log124等于(　　)

A．7  B．12

C．1  D．log127

【解析】　log123＋log124＝log12(3×4)＝1.故选C.

【答案】　C

2．log52·log25的值为(　　)

A.高考资源网2(1)  B．1

C.2(3)  D．2

【解析】　log52·log25＝log52·log52(log55)＝1.故选B.

【答案】　B

3．已知lg2＝a，lg7＝b，那么log898＝________.

【解析】　log898＝lg8(lg98)＝lg23(72×2)

＝3lg2(lg72＋lg2)＝3lg2(2lg7＋lg2)

＝3a(2b＋a).

【答案】　3a(2b＋a)

4．设3x＝4y＝36，求x(2)＋y(1)的值．

【解析】　(1)∵3x＝36,4y＝36，

∴x＝log336，y＝log436，

∴x(1)＝log336(1)＝log363(log3636)＝log363，

y(1)＝log436(1)＝log364(log3636)＝log364，

∴x(2)＋y(1)＝2log363＋log364

＝log36(9×4)＝1.

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2009年湖南卷)log2的值为(　　)

A．－  B.

C．－2(1)  D.2(1)

【解析】　log2＝2(1)log22＝2(1).故选D.

【答案】　D

2．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12(lg 15)等于(　　)

A.2a＋b(1＋a＋b)  B.a＋2b(1＋a＋b)

C.2a＋b(1－a＋b)  D.a＋2b(1－a＋b)

【答案】　C

3．已知a＝log32，用a表示log38－2log36是(　　)

A．a－2  B．5a－2

C．3a－(1＋a)2  D．3a－a2－1

【解析】　由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.

【答案】　A

4．(log43＋log83)(log32＋log98)等于(　　)

A.6(5)  B.12(25)

C.4(9)  D．以上都不对

【解析】　原式＝log38(log33)·log39(log38)

＝3log32(1)·2(3log32)

＝6log32(5)×2(5)log32＝12(25).故选B.

【答案】　B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．log27＝________.

【解析】　log27＝log()6＝6.

【答案】　6

6．已知2x＝5y＝10，则x(1)＋y(1)＝________.

【解析】　由2x＝5y＝10得x＝log210，y＝log510，

x(1)＋y(1)＝log210(1)＋log510(1)

＝lg2＋lg5＝1.

【答案】　1

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．求下列各式的值：

(1)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；

(2)lg 14－2lg 3(7)＋lg 7－lg 18；

(3)log3(1)27－log3(1)9；

(4)log89×log332.

【解析】　(1)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 5(10)

＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)

＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.

(2)方法一：原式＝lg(2×7)－2lg3(7)＋lg 7－lg(32×2)

＝lg 2＋lg 7－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0

方法二：原式＝lg 14＋lg3(7)2＋lg 7－lg 18

＝lg2×18(7)＝lg 1＝0.

(3)原式＝log3(1)9(27)＝log3(1)3＝－1.

(4)原式＝lg8(lg9)×lg3(lg32)＝3lg2(2lg3)×lg3(5lg2)＝3(10).

8．已知m2＝a，m3＝b，m>0且m≠1，求2logma＋logmb.

【解析】　由m2＝a，m3＝b，m>0且m≠1，得logma＝2，logmb＝3；

∴2logma＋logmb＝2×2＋3＝7.

9．(10分)已知ln a＋ln b＝2ln(a－2b)，求log2b(a)的值．

【解析】　因为ln a＋ln b＝2ln(a－2b)，解得ab＝(a－2b)2.

a2－5ab＋4b2＝0，解得a＝b或a＝4b，

又a－2b>0(b>0，)所以a>2b>0，故a＝4b，log2b(a)＝log24＝2，

即log2b(a)的值是2.

【答案】　2

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