美女公寓王大宝txt微盘:1.3.1函数的单调性

1.3.1函数的单调性

教学目标：理解函数的单调性

教学重点：函数单调性的概念和判定

教学过程：

1、过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题.

2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念

3、

例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。

解：函数的单调区间有，

其中在区间，

上是减函数，在区间上是

增函数。

注意：1 单调区间的书写

      2 各单调区间之间的关系

以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？

例2、证明函数在R上是增函数。

证明：设是R上的任意两个实数，且，则

，

所以，在R上是增函数。

例3、证明函数在上是减函数。

证明：设是上的任意两个实数，且，则

由，得，且

于是

所以，在上是减函数。

利用定义证明函数单调性的步骤：

（1） 取值

（2） 计算、

（3） 对比符号

（4） 结论

课堂练习：教材第50页 练习A、B

小结：本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法

课后作业：第57页  习题2-1A第5题

第3课时     函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、

若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为         .

2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：①       ；②       ；③       .

(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若              ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若            ，则f (x)在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x)        函数；

2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为          ；

3．互为反函数的两个函数有         的单调性；

4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为         ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为         .

5．奇函数在其对称区间上的单调性       ，偶函数在其对称区间上的单调性          .

例1. 已知函数f(x)=ax+ (a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

证明  方法一  任取x1,x2∈(-1,+∞),

不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0, ＞1且＞0,

∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,

∴＞0,

于是f(x2)-f(x1)=+＞0,

故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.

方法二  f(x)=ax+1-(a＞1),

求导数得=axlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,＞0,

＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.

方法三  ∵a＞1,∴y=ax为增函数，

又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.

∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.

变式训练1：讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.

解：方法一  显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，

设x1＞x2＞0,则

f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)·（1-）.

∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,

则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，］上是减函数.

当x1＞x2≥时，0＜＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),

故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，

∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；

f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数.

方法二  由=1-=0可得x=±

当x＞或x＜-时，＞0∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.

同理0＜x＜或-＜x＜0时，＜0

即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.

例2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.

解： 函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},

则f(x)= ,

可分解成两个简单函数.

f(x)= =x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.

∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，

∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.

变式训练2：求函数y=（4x-x2）的单调区间.

解： 由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.

∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.

又y=t在（0，+∞）上是减函数，

∴函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).

例3. 求下列函数的最值与值域：

（1）y=4-; (2)y=x+;(3)y=.

解：（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.

∴t∈［0，4］，∈［0，2］，

从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.

 (2)方法一  函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论

x＞0时,即可知x＜0时的最值.

∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,

等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.

方法二   任取x1,x2,且x1＜x2,

因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=

所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.

故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,

所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.

（3）将函数式变形为y=,

可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.

ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=.

显然无最大值.故值域为［，+∞）.

变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.

（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；

（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？

解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）=-20x2+2 500x-4 000

（x∈［1，100］且x∈N,）

MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000）

=2 480-40x （x∈［1，100］且x∈N）.

（2）P（x）=-20(x-2+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 120（元）.

因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）.

因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.

例4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.

（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,

所以f＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2),

所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.

由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，

由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.

变式训练4：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,

则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. 

f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0. 

∴f（x2）＞f(x1).

即f(x)是R上的增函数. 

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，

∴f（2）=3， 

∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),

∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 

解得-1＜m＜,故解集为（-1,）. 

1．证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.

2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.

3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.

函数的单调性与最大(小)值

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)

A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝3x2＋1

C．y＝x(2)   D．y＝|x|

解析：由函数单调性定义知选C.

答案：C

2．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　) 

A．y＝x2＋1

B．y＝|x|＋1

C．y＝x3＋1，x<0(2x＋1，x≥0，)

D．y＝e－x，x<0(ex，x≥0，)

解析：利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝x3＋1，x<0(2x＋1，x≥0，)在(－2,0)上为增函数，y＝e－x，x<0(ex，x≥0，)在(－2,0)上为减函数．故选C.

答案：C

3．(2010·北京)给定函数①y＝x2(1)；②y＝log2(1)(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　)

A．①②  B．②③

C．③④  D．①④

解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y＝log2(1)x向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y＝x－1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.

答案：B

4．已知函数f(x)＝4x－x2，x<0.(x2＋4x，x≥0，)若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：f(x)＝2＋4，x<0，(x＋22－4，x≥0，)由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.故选C.

答案：C

5．(2010·抚顺六校第二次模拟)f(x)＝

x≤1(a)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，＋∞)   B．[4,8)

C．(4,8)   D．(1,8)

解析：因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得＋2.(a)解得4≤a<8，故选B.

答案：B

6．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．恒小于0  B．恒大于0

C．可能为0  D．可正可负

解析：因为(x1－2)(x2－2)<0，若x12<x2<4－x1，又当x>2时，f(x)单调递增且f(－x)＝－f(x＋4)，所以有f(x2)－x1)＝－f(x1)，f(x1)＋f(x2)<0；若x2＋f(x2)<0，故选A.

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．若函数f(x)＝|logax|(0在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．

解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a<3a－1≤1，解得2(1)3(2)，此即为a的取值范围．

答案：2(1)3(2)

8．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a，则a＝________.

解析：先判断函数的单调性，然后利用单调性可得最值．由于a是底数，要注意分情况讨论．

若a>1，则f(x)为增函数，所以f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝1，依题意得a＋loga2＋1＝a，

即loga2＝－1，解得a＝2(1)(舍去)．

若0<a<1，则f(x)为减函数，所以f(x)min＝a＋loga2，f(x)max＝1，依题意得a＋loga2＋1＝a，于是a＝2(1)，故填2(1).

答案：2(1)

9．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0<x1的任意x1、x2，给出下列结论：

①f(x2)－f(x1)>x2－x1；

②x2f(x1)>x1f(x2)；

③2(x2)2(x1＋x2).

其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)

解析：由f(x2)－f(x1)>x2－x1，可得x2－x1(x1)>1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2f(x1)>x1f(x2)得x1(x1)>x2(x2)，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．

答案：②③

10．已知函数f(x)＝a－1(3－ax)(a≠1)．

(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；

(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤a(3)，即此时函数f(x)的定义域是a(3)；

(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.

当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．

答案：(1)a(3)　(2)(－∞，0)∪(1,3]

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．函数f(x)＝x＋2(ax＋1)在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．

解：f(x)＝x＋2(ax＋1)＝x＋2(x＋2＋1－2a)＝x＋2(1－2a)＋a.

任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1

则f(x1)－f(x2)＝x1＋2(1－2a)－x2＋2(1－2a)

＝x2＋2(x2－x1).

∵函数f(x)＝x＋2(ax＋1)在区间(－2，＋∞)上为增函数，

∴f(x1)－f(x2)<0.

∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，

∴1－2a<0，a>2(1).

即实数a的取值范围是，＋∞(1).

评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x1－x2与f(x1)－f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围．

12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－3(2).

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

解：(1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，

∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，

f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)

＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，

∴f(x1－x2)<0，

即f(x1)．

因此f(x)在R上是减函数．

解法二：设x1>x2，

则f(x1)－f(x2)

＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)

＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)

＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，

∴f(x1－x2)<0，

即f(x1)，

∴f(x)在R上为减函数．

(2)∵f(x)在R上是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．

而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

13．已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的最大值；

(3)若对于任意x∈[0,1)，总有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a的取值范围．

解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0，

又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.

(2)设0≤x1，则x2－x1∈(0,1)，

∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0.

即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.

(3)因f(x)在[0,1]上是增函数，则f(x)∈[0,1]，又4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0?a≤x(x＋5)对x∈[0,1)恒成立，

设y＝x(x＋5)

＝1－f(x)＋](1)≥1，

则a≤1.

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