南安中学排名:植树问题解法探究

一、剪窗花的联想

曾与小朋友一起剪窗花，发给他们40厘米长10厘米宽的彩纸，叫他们每隔10厘米剪出1棵大树。根据上缴的作业看，主要剪出二类：一类是依次相连的4棵完整的大树；另一类看似5棵大树依次相连，然而，实际上头尾是2个半棵大树，它们分别在两个端点向中间3棵完整的大树依次相连，而且头尾2个半棵大树非常对称，合起来刚好是1棵完整的大树，它们与中间的3棵大树完全相同，如果把第二类窗花树全部合起来的话，恰恰也是4棵完整的大树。我们发现两种剪纸类型剪出的大树棵数完全相同。我们再把两种窗花都围成圆形，发现它们的结构也完全一样，如果把它们剪成形状大小相同的窗花，那么，两种窗花所围成的圆形可以完全重合。

二、对现行直线植树问题解法的怀疑

面对眼前的窗花，拉紧了可成为直线（线段），封闭了可以围成圆形等，树的棵树完全相同。因此，我对直线（线段）植树“加1”（“减1”）的计算方法产生了怀疑。一些点拉紧了可成为线段等，封闭了可围成圆形等，为什么同样长度的植树段，圆形的和直线的植树棵数不相同呢？为什么一定要“加1”或“减1”呢？“加1”或“减1”的理由的确充分吗？

三、在实践中求证

（一）、“加1”法在实际应用中显不足

请看下列例题分析：

例1：A楼与B楼之间有条100米的通道，计划在该通道一侧每4米种植一棵梧桐树，可种多少棵梧桐树？

解：100÷4+1=26（棵）

答：可种26棵梧桐树。

分析：每4米一个间隔，共25个间隔，实际只能种25棵树。如果按照“加1”法计算要种上26棵，则两端点必须各种上1棵，那么，植树人务必拆去A楼与B楼的墙体了，这显然是脱离实际的。

为了解决类似问题，如人教版小学数学四年级下册教材（118页题2）采用间隔数“减1”的方法弥补，即，解：100÷4-1=24（棵）

然而，用“减1”法解本题，虽然树栽下了，但少栽了1棵树。从某种意义上讲是对绿化面积的浪费，而且，这样忽而“加1”（两端都栽），忽而“减1”（两端都不栽），难免会使小学生产生难以捉摸之嫌。甚至连命题者自己也会觉得麻烦，须在题后注上“两端都栽”或“两端都不栽”的说明。另一方面，这些少不了的题后注释也不利于对小学生的逻辑思维能力和分析判断能力的培养。

例2：有条长3000米的村道，计划在靠小溪一侧每隔10米种植1棵银杏树，该植树项目平均承包给三户农户完成，平均每户农户种多少棵?

解法一：（按两端都栽计算）3000÷3=1000（米）1000÷10+1=101（棵）

解法二：（按两端都栽计算）3000÷10+1=301（棵） 301÷3=100 （棵）

解法三：（按两端都不栽计算）3000÷10－1=299（棵）299÷3=99 （棵）

分析：村道全长3000米，按每10米一个间隔，共300个间隔，也就是说总共能种300棵，则平均每户种植100棵。而现在计算平均每户要种101棵等，谁能？很显然，这是不符实际的。且以上三种解法完全是按现行教材的解法思路进行解答的，却出现三种不同的结果，这是什么原因？再说，植树棵数还出现小数现象，这又如何解释？

 （二）、“加1”法把树植在端点上不科学

综上所述，“加1”法把树植在端点上了，这是不科学的。树木是有生命的物体，需要有一定的生长空间，植树不仅仅是找一个点，或者说是一个僵化不变的点，如上述例1要把树栽在墙体上，这违背了植物的生长规律，是不可能的。普通农民都知道，水稻要种在大田里，不能种在田埂上；蔬菜要种在菜畦上，而不是种在畦沟里。即使仅仅种植一棵菜苗，也应把它种在穴中，而不是种在穴边上。那些“田埂上、畦沟里、穴边上”与线段的端点上不是很类似吗?“减1”法因难而生，为“加1”法排忧解难。然而，“减1”法看起来没把树栽种在两端点上了，而实际上是把树栽种在端点与间距长度的倍数关系上，甚属端点的轨迹。“减1”法是“加1”法的翻版，由“加1减2”的思路得来的（假设两端都栽而加1，而实际两端都不载而减2），无非少栽了一棵树。树，有生命，会长大，且需占有一定的生长空间。栽种在界址（端点）上的树，肯定有半棵的生长空间不属于规定栽种的地界内。而且，前面已经阐述，采用“减1”法却少种了一棵树，甚属莫须有的“浪费”。

请看例3分析，还从另一角度说明这个问题。

例3：要把一块长300米，宽200米的荒地开垦后建成果园，以行距5米，株距4米栽种一批水蜜桃，共栽多少棵水蜜桃？

解法一：按“加1”法计算，行列两端都栽：

（1）：（300÷5+1）×（200÷4+1）=3111（棵）

（2）：（300÷4+1）×（200÷5+1）=3116（棵）

解法二：按“减1”法计算，行列两端都不栽：

（1）：（300÷5-1）×（200÷4-1）=2891（棵  ）

（2）：（300÷4-1）×（200÷5-1）=2886（棵  ）

解法三：按间距中点法计算（即行距中点和列距中点的连线交点栽）：

（1）：（300÷5）×（200 ÷4）=3000（棵）

（2）：（300÷4）×（200 ÷5）=3000（棵）

解法四：按面积比计算栽：

（1）：（300×200）÷（5×4）=3000(棵)

（2）：（300×200）÷（4×5）=3000(棵)

   上述一个问题，却出现五种答案，哪个是正确的呢？解法一，按“加1”法计算，树从行距和列距的端点上栽起，多种了树；解法二，按“减1”法计算，少种了树。按“间距中点”法和按面积比计算，结果相同，是正确的。有人会问，正确的理由是什么？因为他们的栽种点完全重合，行距中点连线和株距中点连线的交点刚好与这个5×4或4×5的长方形两条对角线的交点相重合，因此，植树棵数相同，完全正确。

四、得出结论

 “间距中点”法是直线形植树问题的正确解法

为解决“加1”法和“减1”法的弊端，笔者认为“间距中点”法是植树问题完美的解法。“间距中点”法操作方便，只要从该植树段任意一端的第一个间距中点处植下第一棵树（“加1”法是在该段端点处植下第一棵树的），以下依次按间距种植（与“加1”法类似），这样，距另一端的最后一个间距中点处就刚好植完了计划所植的树。另一方面，从算理上分析，可以先求出该植树段含有多少个这样的间距，然后在每个间距的中点植树。用这种方法植树，植树棵数正好等于间隔数。

应用“间距”中点法解题，则上述例1解答为：100÷4=25（棵）；例2解答为：3000÷3=1000（米） 1000÷10=100（棵）或：3000÷10=300（棵） 300÷3=100（棵）；例3已经得到证明了。

采用“间距中点”法植树，无论直线还是封闭形，植树棵数等于植树段长度除以间距长度（若求植树段长度，就等于间距长度乘以植树棵数；若求植树间距，则等于植树段长度除以植树棵数）。植树颗数与植树段长度成正比，与它的间距长度成反比；与它是否封闭无关。“加1”法（或“减1”法）不复存在了，老师不必为“加1”法（或“减1”法）白费劲了，学生也不必为“加1”法（或“减1”法）苦烦恼了。“间距中点”法恰好印证了直线形（线段）与圆形等封闭图形在植树问题上的计算方法的统一，回归了植树问题本来的面目。

五、理顺关系

笔者认为：“间距中点”法与“加1”（“减1”）法的分歧焦点在于栽种点的位置问题上。“植树问题”是一个生产实践问题，教育是上层建筑，上层建筑依附于生产实践，又能指导生产实践。因此，编写应用题和解答应用题，都要以实践为依据，从生产实践中来又到生产实践中去检验，然后再来指导生产实践。“加1”（“减1”）法，在生产实践中显不足，值得研究。小学数学教材中的“植树问题”属于“间隔问题”。间隔问题种类很多，如：插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等。间隔问题根据具体情况“加1”（“减1”）是实际的，必要的。而 “植树问题”是“间隔问题”的一种特殊类型，植树问题“加1”（“减1”）法不可取。树不该栽种在两端点上，应该栽种在间隔的中点上。更不要把插小旗、敲时钟、登楼梯、锯木头、立线杆等间隔问题归属为植树问题。我们的数学植树应用题取材以及计算，不是为植树而植树，也不是为计算而计算，更不是植些死活不管的树，我们植下的是活生生的会长大的树。植树问题是一个传统的数学问题，已有一整套传统的计算方法，而这种抽象的植树概念根深蒂固，我们要以科学发展观为指导，坚持实事求是的态度，坚持实践第一的原则，深入探究它的真正解法。

参考文献：

1、《教学月刊小学版2009年3期》29页《对植树问题“加1”法的再认识》

2、《中小学数学小学版2009年12期》27页《植树问题“加1”（“减1”）法探讨》