偶看新闻淘宝上配眼镜:主振型的正交性
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/29 05:50:52
主振型的正交性
● 在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于质量矩阵[M]或是刚度矩阵[K]都具有正交性质。
● 利用这一特性，一是可以将n个自由度体系计算简化为n个单自由度体系的计算（主要应用于在任意干扰力作用下的强迫振动），二是可以检查主振型计算正确与否（判断主振型的形状特点）。
（一）主振型的第一正交性
图4-77
图4-77（a）和（b）分别表示两个自由度体系的第一主振型曲线和第二主振型曲线，及所对应的惯性力幅值。应用虚功互等定理，可得
移项后，可得
如果
，则有
（4-83）
上式就是两个主振型对质量正交的性质。
例如，在图4-77（a）、（b）中，如果质量分布和刚度均对称，则
，
，
，代入上式，得
(-1)=0
上述正交关系的一般情形可表述如下：
设体系具有n个自由度。
和
为两个不同的频率，相应的两个主振型向量分别为：
体系的质量矩阵为：
则第一正交关系为：
（4-84a）
即
（4-84b）
上式表明，具有n个自由度体系的第
主振型和第k主振型对质量正交的性质，称为第一正交性。
（二）主振型的第二正交性
将
和
代入式（4-76）得
上式两边左乘
，得
由于
（第一正交性），于是得到
（4-85）
上式表明，具有n个自由度体系的第
主振型和第k主振型，对于刚度矩阵正交的性质，称为第二正交性。
（三）振型正交的物理意义
因为
（第一正交性），所以虚功
由此，振型的正交性可理解为：体系按某一振型振动时，它的惯性力不会在其它振型上作功，也就是说，它的能量不会转移到其它振型上去，因此各主振性可单独存在。
【例4-25】试验算例4-23所求得的各个主振型之间的正交性。
解：
由例4-23已知
, 
, 
由式(4-84a)得
上述计算验证了各主振型之间满足正交性，说明频率和振型计算是正确的。