偶看新闻子民我的世界恐怖解说:美国专家拉尔夫.文斯谈赌博
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/30 01:07:45
向空中抛一枚硬币。这一瞬间，你便体验到自然界最令人着迷的悖论之一----随机过程。当硬币在空中的时候，我们不能确定它落地后是正面还是反面朝上。然而，经过多次抛掷，我们就能合理地预测结果。
尽管足够奇怪，但是，关于随机过程存在着大量的误解和误导。我们的祖先试
因此，我们就从这里开始讨论。
在讨论随机过程时，我们会给出一些公理。这些公理中的第一条就是：随机过程中一个独立事件的结果无法被预测。然而，我们可以将可能的结果简化为概率陈述。
皮埃尔.西蒙.拉普拉斯（Pierre Simone Laplace，1749-1827）将一个事件的概率定义为事件可能的发生方式的数目与事件总的可能数目的比率。因此，当我们掷一枚硬币时，得到反面的概率为1（一枚硬币反面的数目）除以2（可能事件的数目），概率为0.5。在我们掷硬币的例子中，我们不知道结果是正面还是反面，但是，我们确切地知道结果为正面的概率为0.5，结果为反面的概率为0.5。因此，概率陈述就是一个位于0（所考虑的事件问题根本没有机会发生）和1（事件确定会发生）之间的数字。
通常，你要将概率陈述转换为机率，反之亦然。这两个概念是可以互换的，因为机率表示概率，而概率也表示机率。现在，我们给出这些转换。当机率已知时，机率转换为概率的公式为：
概率=（正机率/（正机率+逆机率））
例如，如果一匹赛马的机率为4比1（4：1），则，这匹马获胜的概率（如机率所暗含的）即为：
概率=（1/（1+4））
=（1/5）
=0.2
因此，一匹4：1的赛马也可以被说成有0.2的获胜概率。如果机率为5比2（5：2）结果又如何？在这种情况下，概率为：
概率=（2/（2+5））
=（2/7）
=0.2857142857
从概率转换为机率的公式为：
机率（逆，比一）=（1/概率）-1
因此，对于我们掷硬币的例子，当出现正面的概率为0.5时，出现正面的机率如下式给出：
机率=（1/0.5）-1
=2-1
=1
这个公式给你的总是机率“比一（to one）”。在这个例子中，我们可以说成出现正面的机率为1比1
我们前面的例子又是怎样的情况？在那个例子中，我们将5：2的机率转换为0.2857142857的概率。我们来将概率陈述转换回机率，看看能否做到。
机率=（1/0.2857142857）-1
=3.5-1
=2.5
这里，我们可以说成这种情况下的机率为2.5比1，与说成机率为5比2是一样
大多数人不会处理概率陈述的不确定性；这只是因为他们没有很好地理解概率陈述。我们生活在一个精密科学的世界中，而人类的天性是相信自己无法理解那些只能简化为概率陈述的事件。在量子物理学问世之前，物理学的王国似乎是稳固的。我们有方程式用来说明我们观察到的大多数过程。这些方程式是真实的，可以证明的。它们反复出现，在事件发生之前结果就能够精确地计算出来。随着量子物理学的问世，一切突然到此为止，精密科学仅仅能够将物理现象简化为概率陈述。可以理解，这使许多人感到不安。
我并非是在支持价格运动的随机漫步观念，也不是在要求你们接受市场是随机的观念。无论如何，这不是我的目的。象量子物理学一样，市场中是否存在随机性是一种情感化的观念。到这一阶段，让我们把注意力只集中于随机过程，因为这与某种我们确信是随机的事物有关，比如掷硬币或赌场的赌博。如此，我们首先可以理解随机过程，然后可以研究其应用。随机过程是否适用于其他领域（比如市场），是一个可以稍后提出的问题。
从逻辑上来讲，有个问题必然会出现：“随机序列何时开始何时终结？”随机序列实际上没有终结。即使你离开牌桌，二十一点牌戏仍在继续。当你在赌场中从一桌换到另一桌时，我们可以说随机过程一直跟随着你。如果某天你离开了牌桌，随机过程可能会中断，但是，你一回来它就继续下去。因此，当我们谈到事件X的随机过程的长度时，我们是为了研究随机过程而主观地挑选某些有限的长度。
独立试验过程VS条件试验过程（INDEPENDENT VERSUS DEPENDENT TRIALS PROCESSES）
我们可将随机过程分为两种类型。第一种是那些一个事件到下一个事件的概率陈述固定不变的事件。我们将这些称为独立试验过程或放回抽样。掷硬币就是这种随机过程的一个例子。不管前一次抛掷的结果如何，每次抛掷的概率都是50/50。即使前5次抛硬币都出现正面，再抛一次硬币出现正面的概率并不受影响，仍然是0.5。
在另一种随机过程中，事件的概率陈述必然受到前一事件结果的影响，自然，一个事件到下一个事件的概率陈述不是固定不变的。这种类型的事件被称为条件试验过程或不放回抽样（sampling without replacement）。二十一点牌戏就是这种随机过程的一个例子。一旦出过一张牌，这副牌的组成在抽下一张牌时就与抽
上一张牌时不同。假定一副新牌已经洗过并拿走一张牌，比方说，拿走的是方块A。在拿走这张牌之前，抽出一张A的概率是4/52或0.07692307692。既然已经从这副牌中抽出一张A而且不放回，那么，下一次抽出一张A的概率就是3/51或0.5882352941。有些人认为，上面这样的条件试验过程实际上并非随机事件。尽管如此，为了我们讨论问题，我们假定它们是随机事件----因为事件的结果仍然无法预先知道。最好的做法就是把结果简化为概率陈述。设法将独立试验过程和条件试验过程之间的区别考虑为仅仅在于，根据前面的结果，一个事件到下一个事件的概率陈述是固定的（独立试验）还是可变的（条件试验）。实际上，这是它们之间唯一的区别。
任何事件都可以简化为概率陈述。从数学的观点来看，结果可以在事实之前知道的事件与随机事件的区别仅仅在于其概率陈述等于1。例如，假定从一副52张的牌中拿走51张牌，而且你知道拿走的是哪些牌。因此，你知道剩下的那张牌是什么的概率为1（确定性）。现在，我们要讨论独立试验过程，尤其是简单的抛掷硬币。
数学期望（MATHEMATICAL EXPECTATION）
在这个问题上，我们需要理解数学期望的概念。数学期望有时也称为游戏者胜出（对游戏者来说期望为正）或庄家占优（对游戏者来说期望为负）。
数学期望=（1+A）*P-1
其中，P=赢的概率
A=可能赢得的金额/可能输掉的金额
因此，如果你正要抛掷一枚硬币，出现正面你会赢得2美元，但出现反面你会输掉1美元，每抛一次的数学期望为：
数学期望=（1+2）*0.5-1
=3*0.5-1
=1.5-1
=0.5
换句话说，每抛一次硬币你预期平均赢得50美分。
这个刚刚描述的公式给出了有两种可能结果的事件的数学期望。有两种以上可能结果的条件下又当如何？下面的公式将给出结果为无限可能情况下的数学期望。它也能给出只有两种可能结果的事件（比如刚才描述的2对1抛硬币）的数学期望。因此，这个公式是优先的。
数学期望=
A=赢或输的金额
N=可能结果的数目
数学期望的计算是将每种可能的赢或输的金额分别与赢或输的概率相乘，然后对乘积求和。
现在，我们来看在更复杂的新公式中2对1掷硬币的数学期望：
数学期望=（0.5*2）+（0.5*（-1））
=1+（-0.5）
=0.5
当然，在这个例子中，你的数学期望是每抛一次平均赢得50美分。
假定你在玩一种游戏，你必须猜中三个不同数字中的一个。每个数字出现的概率相同（0.33），但是，如果你猜中其中一个数字，你会输掉1美元，如果你猜中另一个数字，你会输掉2美元，如果你猜中正确的数字，你会赢得3美元。这种给定情况的数学期望（ME）为：
ME=（0.33*（-1））+（0.33*（-2））+（0.33*3）
=-0.33-0.66+0.99
=0
考虑对轮盘赌中的一个数字下注，你的数学期望为：
ME=（（1/38）*35）+（（37/38）*（-1））
=（0.02631578947*35）+（0.9736842105*（-1））
=（0.9210526315）+（-0.9736842105）
=-0.05263157903
如果你对轮盘赌（American double-zero，美国加倍-零式轮盘赌）中一个数字下注1美元，每转一次你预期平均输掉5.26美分。如果你下注5美元，每转一次你预期平均输掉26.3美分。注意：尽管以数量表示的不同的下注数量具有不同数学期望，但是，以数量的百分数表示的下注数量的数学期望总是相同的。
游戏者对一系列下注的数学期望是单个下注的数学期望之和。因此，如果你在轮盘赌中对一个数字赌1美元，然后，对一个数字赌10美元，然后，对一个数字赌5美元，那么，你的总期望为：
ME=（-0.0526*1）+（-0.0526*10）+（-0.0526*5）
=-0.0526-0.526-0.263
=-0.8416
因此，你预期平均输掉84.16美分。
这个原理解释了为什么在赢或输的金额已知时（假定为独立试验过程），试图改变下注规模的系统是注定要失败的。负期望赌注的总和总是负的期望！
实值序列、可能结果及正态分布（EXACT SEQUENCES，POSSIBLE OUTCOMES，AND THE NORMAL DISTRIBU TION）
我们已经看到，抛一枚硬币给出两种可能结果（正面或反面）的概率陈述。我们的数学期望是这些可能结果的总和。现在，我们抛两枚硬币。可能结果如下表：
硬币一 硬币二 概率
正 正 0.25
正 反 0.25
反 正 0.25
反 反 0.25
这也可以表示为有25%的机会得到两个正面，25%的机会得到两个反面，50%的机会得到一个正面一个反面。以表格形式表示为：
组合 概率
二正零反 0.25 *
一正一反 0.50 **
零正二反 0.25 *
右边的星号说明可以有多少种不同的组合方式。例如，在上面抛两枚硬币时，一正一反有两个星号，因为有两种不同的方式可以得到这种组合。硬币A可以为正面硬币B可以为反面，或者与此相反，硬币A为反面，硬币B为正面。表格中星号的总数就是在抛那么多硬币（两枚）时，你可以得到的不同组合的总数。
如果抛三枚硬币，我们会有：
组合 概率
三正零反 0.125 *
两正一反 0.375 ***
一正两反 0.375 ***
零正三反 0.125 *
对于四枚硬币：
组合 概率
四正零反 0.0625 *
三正一反 0.25 ****
二正二反 0.375 *******
一正三反 0.25 ****
零正四反 0.0625 *
对于六枚硬币：
组合 概率
六正零反 0.0156 *
五正一反 0.0937 ******
四正二反 0.2344 ***************
三正三反 0.3125 ********************
二正四反 0.2344 ***************
一正五反 0.0937 ******
零正六反 0.0156 *
这里要注意：如果我们把星号作为纵轴绘制成曲线，我们就得出大家熟悉的钟形曲线，也称为正态分布或高斯分布（见图1-1）。
图1-1 正态概率函数
最后，对于十枚硬币：
组合 概率
十正零反 0.001 *
九正一反 0.01 **********
八正二反 0.044 *****（45种不同方式）
七正三反 0.117 *****（120种不同方式）
六正四反 0.205 *****（210种不同方式）
五正五反 0.246 *****（252种不同 方式）
四正六反 0.205 *****（210种不同方式）
三正七反 0.117 *****（120种不同方式）
二正八反 0.044 *****（45种不同方式）
一正九反 0.01 **********
零正十反 0.001 *
注意：随着硬币数的增加，全部得到正面或全部得到反面的概率将减小。当我们用两枚硬币时，全部得到正面或全部得到反面的概率为0.25。三枚硬币的概率为0.125，四枚硬币的概率为0.0625；六枚硬币为0.0156，十枚硬币为0.001。
（注）实际上，在纯粹的统计学意义上，抛硬币并不服从正态概率函数，而是属于一种所谓的二项分布（亦称为伯努利分布或抛硬币分布）。然而，随着N的增大，二项分布的极限接近于正态分布（条件是相关概率不趋向于0或1）。这是因为正态分布是自右至左连续的，而二项分布则不是连续的，而且，正态分布总是对称的，而二项分布则不一定是对称的。因为我们处理的是抛有限枚硬币，试图使之对于抛硬币具有普遍的代表性，加之概率总是等于0.5，故此，我们可将抛硬币分布作为正态分布处理。需要进一步指出的是，如果事件发生N次的概率与对立事件发生N次的概率均大于0.5，正态分布可以被用作二项分布的近似。在我们抛硬币的例子中，因为事件的概率为0.5（对于正面或反面），且对立事件的概率为0.5，则，只要我们处理的是N大于等于11的情况，我们就可以用正态分布作为二项分布的近似。
可能结果与标准差（POSSIBLE OUTCOMES AND STANDARD DEVIATIONS）
把一枚硬币抛四次共计有16种可能的实值序列：
1. 正 正 正 正
2. 正 正 正 反
3. 正 正 反 正
4. 正 正 反 反
5. 正 反 正 正
6. 正 反 正 反
7. 正 反 反 正
8. 正 反 反 反
9. 反 正 正 正
10. 反 正 正 反
11. 反 正 反 正
12. 反 正 反 反
13. 反 反 正 正
14. 反 反 正 反
15. 反 反 反 正
16. 反 反 反 反
术语“实值序列”在这里表示一个随机过程的实际结果。给定条件下所有可能的实值序列的集合被称为样本空间。注意：上面所描述的抛四枚硬币可以是一次抛所有四枚硬币，或者是一枚硬币抛四次（即，它可以是一个时间序列）。
审视一下实值序列“反-正-正-反”和序列“正-正-反-反”，我们会发现其结果对于单调下注者（即，对每一种场合下一个单位的赌注）可能一样的。不过，对于非单调下注者，这两个实值序列的最终结果可能会大不相同。对于单调下注者，抛四枚硬币的序列仅有5种可能的结果：
4正
3正1反
2正2反
1正3反
4反
正如我们已看到的，抛四枚硬币有16种可能的实值序列。这一事实可能会涉及到非单调下注者。我们将非单调下注者称为“系统”游戏者，因为那是他们最可能的行为----基于某些他们认为自己已解决的方案进行变量下注。
如果你抛一枚硬币4次，你当然只能看到16种可能的实值序列中的一种。如果你再抛4次，你会看到另一种实值序列（尽管你有1/16=0.0625的概率能够看到同一种实值序列）。如果你前往一个游戏桌观看连续抛4次硬币，你将只看到16种实值序列中的一种。你也会看到5种可能的最终结果中的一种。每个实值序列具有相
等的发生概率，即0.0625。但是，每个最终结果并不具有相等的发生概率：最终结果 概率
4正 0.0625
3正1反 0.25
2正2反 0.375
1正3反 0.25
4反 0.0625
大多数人不理解实值序列与最终结果之间的区别，结果是得出错误的结论，认为实值序列与最终结果是同一回事。这是一种可能会带来大量麻烦的共有的误解。是最终结果（而非实值序列）服从钟形曲线----即正态分布，一种特殊类型的概率分布。所有概率分布一个有趣的特性就是统计学上所称的标准差。
对于简单的二项游戏的正态概率分布（比如我们这里所用的抛硬币的最终结果），标准差（SD）为：
SD=N*(((P*(1-P))/N)"(1/2))
其中，P=事件的概率（例如，出现正面的结果）。
N=试验次数。
对于抛10枚硬币的情况（即，N=10）：
SD=10*(((0.5*(1-0.5))/10)"(1/2))
=10*(((0.5*0.5)/10)"(1/2))
=10*((0.25/10)"(1/2))
=10*(0.025"(1/2))
=10*0.158113883
=1.58113883
某种分布的中线为这种分布的峰值。在抛硬币的例子中，峰值位于正面和反面的平均数处。因此，对于抛10枚硬币的序列，中线将位于5个正面5个反面处。对于正态概率分布，大约有68.26%的事件位于自中线±1个标准差区域内，有95.45%的事件位于自中线±2个标准差区域内，有99.73%的事件位于自中线±3个标准差区域内（见图1-2）。继续我们的抛10枚硬币的话题，1个标准差大约等于1.58。因此，我们可以说，抛10枚硬币有68%的机会我们可以预期由3.42（5-1.58）至6.58（5+1.58）组成的最终结果为正面（或反面）。因此，如果我们得到7个正面（或反面），我们将位于预期结果的1个标准差之外（预期结果为5个正面或5个反面）。
图1-2 正态概率函数：中心线及其两侧两个标准差
这里还有一个有趣的现象。注意：在我们抛硬币的例子中，随着抛硬币次数的增加，均等得到正面反面的概率在减小。对于两枚硬币，得到正1反1的概率为0.5。对于4枚硬币，得到50%的正面50%的反面的概率降至0.375。对于6枚硬币为0.3125，对于10枚硬币为0.246。因此我们可以说，随着事件数的增加，最终结果实际等于预期值的概率在减小。 数学期望是我们预期平均每次下注所赢得或输掉的结果。然而，它并没有解释两次下注之间的波动。在我们抛硬币的例子中，我们知道抛一枚硬币出现正面或反面的概率为50/50。我们预期经过N次试验，大约有（1/2）*N抛掷将出现正面，（1/2）*N抛掷将出现反面。假定我们输时会输掉赢时所赢得的相同数量，我们可以说
，不管N有多大，我们的数学期望均为0。
我们也知道，大约有68%的机会我们将位于期望值的±1个标准差之内。对于10次试验（N=10），这表示我们的标准差为1.58。对于100次（N=100）试验，这表示我们的标准差的 大小为5。对于1000次（N=1000）试验，标准差大约为15.81。对于10000次（N=10000）试验，标准差为50。
N（试验次数） Std Dev（标准差） Std Dev/N（%）
10 1.58 15.8%
100 5 5.0%
1000 15.81 1.581%
10000 50 0.5%
注意：随着N的增加，标准差也增加。这意味着与通常的信念相反，你赌得越久，你就离自己的期望值（以单位赢利或亏损表示）越远。不过，随着N的增加，标准差与N的百分比在减小。这意味着你赌得越久，你就越接近于你的期望值与全部行为（N）的百分比。这是“平均法则”正确的数学形式。换句话说，如果你进行长期的连续下注N，这里，T等于你的总赢利或总亏损，E等于你的期望赢利或期望亏损，则，随着N的增大，T/N趋近于E/N。另外，E和T之间的差异随着N的增大而增大。
在图1-3中，我们将观察到抛60枚硬币游戏中的随机过程。你也将在这张图中看到±1及±2个标准差的曲线。注意：不论如何弯曲，它们都会继续向外延伸。这服从我们刚刚谈及的平均法则。
图1-3 随机过程：抛60枚硬币的结果，中线两侧各有1个及2个标准差
庄家优势（THE HOUSE ADVANTAGE）
现在，我们来看涉及庄家优势时会发生什么情况。我们仍然要谈到抛硬币的例子。上一次，我们看到抛60枚硬币的对等或“公平”的游戏。现在，我们来看在庄家具有5%优势时会发生什么情况。这样一种游戏的例子是抛一枚硬币，当我们赢时可以赢得1.00美元，输时会输掉1.00美元。
图1-4显示了与我们前面所看到的一样的抛60枚硬币的游戏，唯一区别是这里涉及5%的庄家优势。注意：在这种情况下，输光是难免的----因为上面的标准差开始向下弯曲（最终穿过下面的0轴）。
我们来看一下继续参与数学期望为负的游戏时会发生什么情况。
N（次数） Std Dec（标准差） 期望 ±1个标准差
10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
100 5 -5 0至-10
1,000 15.81 -50 -34.19至-65.81
10,000 50 -500 -450至-550
100,000 158.11 -5000 -4842至-5158
1,000,000 500 -50000 -49500至-50500
在这里，统计学中的各态历经原理（the principle of ergodicity）在起作用。一个人来到赌场连续100万次下注1美元或者100万人每人同时下注1美元没什么关系。数字是一样的。在赌场开始亏钱之前，100万次下注将偏离数学期望100多个标准差！这里起作用的是平均法则。按照同样的考虑，如果你在庄家优势为5%的游戏中100万次下注1美元，你同样不可能赚钱。许多赌场游戏具有超过5%的庄家优势，象大多数体育赌注一样。交易市场是一个零和游戏。然而，交易市场涉及到佣金、费用以及最低价降低（floor slippage）等形式的少量资金消耗。通常，这些成本可能会超过5%。
下面，我们来看抛100枚游戏具有或不具有5%庄家优势的统计数字：
自中心的标准差 50/50的公平游戏 5%庄家优势的游戏
+3 +15 +10
+2 +10 +5
+1 +5 0
0 0 -5
-1 -5 -10
-2 -10 -15
-3 -15 -20
如我们可以看到的，对于3个标准差的情况，我们有99.73%的机会可以预期在一场公平游戏中赢或输在+15与-15个单位之间。在庄家优势为5%时可以预期，100次试验结束，我们的最后结果在+10与-20个单位之间。对于2个标准差的情况，我们有95%的机会可以预期在一场公平游戏中赢或输在±10之内。在庄家优势为5%的情况下，该数字为+5至-15个单位。对于1个标准差的情况，我们有68%的概率可以预期最后结果，我们在一场公平游戏中赢或输多达5个单位。然而，在庄家具有5%优势的情况下，我们可以预期最后结果在什么都赢不到与输掉10个单位之间！注意：在庄家优势为5%的情况下，在100次试验之后并非不可能赚钱，但是你必须比整整1个标准差做得更好。你会惊讶地获悉，在正态分布中，比整整1个标准差做得更好的概率只有0.1587！
注意：在前面的例子中，自中线0个标准差（即，位于中线上）时，所输的金额就等于庄家优势。对于50/50的公平游戏，所输的金额等于0。你可能会预期不赢不输。在庄家优势为5%的游戏中，在0个标准差时，你预期输掉5%（即每100次试验输掉5个单位）。因此，我们可以认为，在涉及独立过程的单调下注的情况下，你将
以庄家占优势的比率输钱。庄家优势（THE HOUSE ADVANTAGE）
现在，我们来看涉及庄家优势时会发生什么情况。我们仍然要提到抛硬币的例子。上一次，我们看到了抛60枚硬币的对等的或“公平的”游戏。现在，我们来看庄家具有5%的优势时会发生什么情况。这种游戏的一个例子就是抛一枚硬币，我们赢时赢得1.00美元，输时输掉1.00美元。
图1-4 庄家优势为5%时抛60枚硬币的结果
图1-4显示了与我们前面所看到的抛60枚硬币相同的游戏，唯一的区别是这里涉及到5%的庄家优势。随着上面的标准差开始向下弯曲（最后穿越至零轴以下），请注意这种情况下输光是如何难以避免的。
我们来看继续参与数学期望为负的游戏时会发生什么情况。
N（次数） Std Dec（标准差） 期望 ±1个标准差
10 1.580 -0.5 +1.08至-2.08
100 5 -5 0至-10
1000 15.81 -50 -34.19至-65.81
10000 50 -500 -450至-550
100000 158.11 -5000 -4842至-5158
1000000 500 -50000 -49500至-50500
这里，统计学中的各态历经原理（the principle of ergodicity）在起作用。无所谓是一个人到赌场连续100万次下注1美元还是100万人到赌场每人同时下注1美元。数字是相同的。对于100万赌注的情况，在赌场开始输钱之前，你已经偏离期望值100多个标准差！这里是平均法则在起作用。基于同样的理由，如果你打算在庄家优势为5%的游戏中100万次下注1美元，你同样不可能赢钱。许多赌场游戏就象大多数体育赌注一样，具有超过5%的庄家优势。交易市场是一种零和游戏。然而，交易市场涉及到少量的佣金、费用以及最低价降低（floor slippage）等形式的资金消耗。通常，这些成本可能会超过5%。
自中心的标准差 50/50公平的游戏 5%庄家优势的游戏
+3 +15 +10
+2 +10 +5
+1 +5 0
0 0 -5
-1 -5 -10
-2 -10 -15
-3 -15 -20
如我们能看到的，对于3个标准差的情况，在公平游戏中，我们可以预期99.73%的机会结果是我们赢输在±15个单位之间。在庄家优势为5%时，我们可以预期100次试验结束，我们的最后结果将在+10与-20个单位之间。对于2个标准差的情况，在公平游戏中，我们可以预期有95%的机会结果是我们赢输在±10个单位之间。在庄家优势为5%时，这一结果在+5与-15个单位之间。对于1个标准差的情况，在公平游戏中，我们有68%的概率可以预期最后结果是我们赢输多达5个单位。然而，在庄家具有5%优势的游戏中，我们可以预期最后结果在什么都赢不到与输掉10个单位之间！注意：在庄家优势为5%时，100次试验之后并非不可能赢钱，但是你必须要比整一个标准差做得更好才行。你会吃惊地得知，在正态分布中，你比整一个标准差做得更好的概率仅为0.1587！
注意：在前面的例子中自中线0个标准差（即，中线本身）处，你输掉的金额就等于庄家优势。对于50/50的公平游戏，这一结果等于0。你预期不赢不输。在庄家具有5%优势的游戏中，在自中线0个标准差处，你预期将输掉5%（即，每100次试验5个单位）。因此，你可以说，在涉及独立过程的单调下注情况下，你将以庄家优
势的比率输钱。小于零的数学期望意味着灾难（MATHEMATICAL EXPECTATION LESS THAN ZERO SPELLS DISASTER）！
这带给我们另一条公理，可以表述如下：在负期望游戏中，任何资金管理方案都不会使你成为赢家。如果你继续下注，不管你用什么方式管理自己的资金，几乎可以肯定你将成为输家，不论你一开始有多少赌注，你都会输光你全部的赌注。
这听上去似乎发人深思。负的数学期望（不管是负多少）已造成家庭破裂、自杀和谋杀，以及所有其他各种出乎赌徒们意料的结果。我希望你能够认识到，对负的期望下注是怎样一种令人难以置信的亏钱买卖，因为，即使是很小的一个负期望最终都会使你输掉每一分钱。从数学的观点来看，所有试图比这种过程更聪明的尝试都是徒劳的。不要将这一观点与是否涉及非独立或独立试验过程相混淆；这毫无关系。如果你的赌注总和是负的期望，你就是在做亏钱的买卖。
举个例子，你参与一个你具有1/10注优势的非独立试验过程，那么，你必须在你具有优势的赌注下足够多的注，才能使所有这10注之和为正的期望。如果你预期在10注中有9注平均输10分钱，但是你期望在你知道自己具有优势的1/10注上赢10分钱，那么你必须在你知道自己具有优势的赌注上下注超过9次之多，仅仅是正好出现一个净期望。如果你下的注比上面所说的少，你就仍处在负期望的情形中，而且，如果你继续赌下去的话，几乎可以肯定你会彻底输光。
许多人错误地认为，参与一个负期望的游戏将输掉本钱相对于负期望的一定百分比。例如，当大多数人得知轮盘赌的数学期望为5.26%时，他们似乎认为这意味着，他们到赌场玩轮盘赌可以预期平均输掉自己赌注的5.26%。这是一种危险的误解。事实是，他们可以预期输掉自己全部活动（total action）的5.26%，而不是自己全部赌注的5.26%。假定他们带500美元去玩轮盘赌。如果他们每次20美元下500注，他们的全部活动就是10000美元，他们可以预期输掉5.26%或者526美元，这超过了他们的全部赌注。
唯一聪明的做法就是当你具有正的期望时才下注。如我们将在后面一章中看到的，并不象负期望就是亏钱买卖一样，正期望就是轻而易举的赚钱买卖。你必须下注明确的数量，这个问题将详尽地讨论。但是，目前我们解决只在正期望市场条件下下注的问题。
至于赌场的赌博，你唯一可以发现正期望的情形是你必须在二十一点牌戏中记住牌，然后，你必须是一位出色的牌手，而且你必须正确地下注。可以找到很多有关二十一点牌戏的好书，因此，对二十一点牌戏我们这里就不再赘述。
巴卡拉牌戏（BACCARAT）
如果你想去赌场赌博，却又不想学会正确地玩二十一点，那么，在所有别的赌场游戏中，巴卡拉牌戏具有最小的负期望。换句话说，你会以较低的比率输钱。下面是巴卡拉牌戏中的概率：
45.842%的时间银行家赢。
44.683%的时间游戏者赢。
9.547%的时间出现平局。
因为，平局被视为巴卡拉牌戏中一个PUSH（没有资金换手，净效果与这把牌没有玩一样），平局去除时概率就变成：
50.68%的时间银行家赢。
49.32%的时间游戏者赢。
现在我们来看数学期望。对于游戏者一方：
ME=(0.4932*1)+((1-0.4932)*(-1))
=(0.4932*1)+(0.5068)*(-1)
=0.4932-0.5068
=-0.0136
换句话说，庄家对游戏者的优势为1.36%。
现在，对于银行家一方，记住只在银行家一方赢钱时才加收5%的佣金，数学期望为：
ME=(0.5068*0.95)+((1-0.5068)*(-1))
=(0.5068*0.95)+(0.4932*(-1))
=0.48146-0.4932
=-0.01174
换句话说，一旦在银行家赢钱时加收5%的佣金，庄家就具有1.174%的优势。
如你所看到的，对游戏者下注毫无意义，因为游戏者的负期望比银行家的负期望还要糟：
游戏者的优势 -0.0136
银行家的优势 -0.01174
银行家相对游戏者的优势 0.00186
换句话说，经过大约538手（1/0.00186），银行家将领先游戏者1个单位。如果再玩更
这并不表示银行家具有正期望----银行家不具有正期望。银行家和游戏者都具有负期望，但是银行家没有游戏者的负值大。如果每一手你都对银行家下注一个单位，你可以预期大约每85手（1/0.01174）输掉一个单位；而如果每一手你都对游戏者下注一个单位，你预期每74手（1/0.0136）输掉一个单位。你会以较缓慢的比率、但不一定是较缓慢的速度输钱。大多数巴卡拉牌桌都有25美元的最低赌注。如果每一手你对银行家下注一个单位，经过85手你可以预期失去25美元。
我们来比较一下巴卡拉牌戏中的下注与轮盘赌中对红球/黑球的下注。在轮盘赌中，你的数学期望为-0.0526，但最低下注规模为2美元。经过85次旋转，你预期失去大约9美元（2*85*0.0526）。正如你可以看到的，数学期望也是全部赌注金额（即，全部操作）的函数。如同我们在巴卡拉牌戏中所做的，每次旋转我们都对红色轮盘（或黑色轮盘）下注25美元，与巴卡拉牌戏中的期望损失25美元相比，经过85次旋转我们预期失去112美元。
数字游戏（NUMBERS）
最后，我们来看一下数字游戏中有关的概率。如果巴卡拉牌戏是富人的游戏，数字游戏就是穷人的游戏。数字游戏中的概率绝对令人感到凄惨。这里有一种游戏，游戏者可以在0-999之间任选一个3位数，并且下注1美元赌这个数字会被选中。被选中作为当天数字的数字通常：（1）无法被操纵；（2）可以广为宣传。举个例子，取股票市场日成交量后5位数字的前3位数字。如果游戏者输了，他下注的1美元就输掉了。如果游戏者碰巧赢了，回报就是700美元，他就得到699美元的净利润。数字游戏的数学期望为：
ME=(699*(1/1000))+((-1)*(1-(1/1000)))
=(699*(0.001))+((-1)*(1-0.001))
=0.699+(-0.999)
=-0.3
换句话说，你的数学期望是所操作的每一美元输掉30美分。这远比包括科诺（Keno）在内的任何赌场游戏都更加不利。与轮盘赌这样的概率不利的游戏相比，数字游戏的数学期望的不利程度几乎为其6倍。以数学期望来表示，唯一比这种情况更加不利的赌博是大部分的足球彩票以及许多种联邦彩票。