雍齿搞吕雉:中国古代数学概述

数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一，通常称为算术，即「算数之术」。陈子说：「算数之术，是用智矣。」（《周髀（小老师）) 算经》卷上）汉唐数学著作大多名之曰「某某算术」。唐初后，为了表示尊崇数学，才改称「某某算经」。因此，古代的术语「算术」相当于英文的mathematics，而不是arithmetic。它包含今天数学教科书中算术、代数、几何、三角等方面的内容。后来，算术又称为算学、算法。宋元开始使用「数学」，不过，其含义除了现今的数学外，有时还含有「象数学」的内容。此后，算学、数学并用。1939年6月，中国数学名词审查委员会确定使用「数学」而废止「算学」。
中国传统数学可以分成远古至春秋的萌芽，战国秦汉框架的确立，三国至唐初理论的奠基，唐中叶至元中叶的高潮，元中叶至明代的衰落，明末至清末中西数学的会通几个阶段。中国传统数学密切联系社会实际，长于计算，其算法具有程序化、机械化的特点，有的可以直接用于电子电脑，并对现今的数学教育、数学研究有启迪作用。




数学中心的转移：
人类进入文明时代以来，数学中心经过了几次大转移。公元前19世纪至公元前6世纪的古巴比伦 （小知识） 最先进入文明社会，他们的数学知识自然超前其他民族。巴比伦数学以计算为主。公元前6世纪，数学中心转移到了古希腊，以研究空间形式为主，形成了严密的公理化体系，十分发达。公元前2世纪前后，古希腊数学走向衰替，以探讨数量关系为主的中国数学后来居上，在文艺复兴（15、16世纪）之前，中国数学（到14世纪初），以及后来发展起来的印度、阿拉伯数学占据了世界数学舞台的中心。文艺复兴之后，世界数学中心转移到了欧美。从公元前2、3世纪至公元14世纪初，长达一千六、七百年，中国传统数学虽有高潮、低潮，却一直走在世界的前列。


我们的先民在与自然界的接触中积累了许多数和形的知识，逐步认识了数和形的概念。新石器时代出土的陶器上有圆形和其他规则的几何图形，还有若干数字符号。相传黄帝的臣子隶首作数，是这个时代晚期的写照。当时，人们还创造了画圆的工具规，画方及测望的工具矩 （小知识）。甲骨文数字已是十进位，并有位置值制萌芽。殷末周初，人们便用矩测望高深广远，具备了简单的勾股 （小知识） 知识。周初，周公制礼，数学成为贵族子弟教育中的「六艺 （小知识）」之一。最晚在春秋时代，人们已能熟练使用算筹这种当时世界上最优越的计算工具，应用十进位置值制这种最先进的记数法，谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。然而，这一时代没有一部数学著作流传到后世。







战国时期，生产关系发生极大变革，生产力得到长足进步，思想界互相辩诘 （小老师），百家争鸣，人们的数学知识也取得更大的进步。经过长期积累，最晚到战国时期，形成了「九数」即数学的9个分支：方田、粟米、差 （小老师） 分（后称衰 （小老师） 分）、少广、商功、均输、盈不足、方程、旁要（后扩充为勾股），它们形成了中国传统数学的基本框架。人们编纂了《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》等著作，包括分数四则运算法则、比例（今有术）与比例分配（衰分术与均输术）算法、盈不足术、勾股定理与解勾股形方法和测望问题、若干面积与体积公式、开平方法与开立方法、线性方程组解法（方程术）、正负数加减法则等内容，在若干领域超前其他文化传统几百年甚至上千年。《九章算术》等著作以抽象的算法（术）为中心，术文统率例题，密切联系实际，决定了此后二千余年中国和东方数学的特点与风格。《九章算术》的编定，标志着世界数学中心从古希腊转移到了中国，也标志着数学研究从以定性研究为主转变为以定量研究为主。然而这些著作都没有推理和证明，是其严重缺点。
《九章算术》中的分类今解表
方田
面积问题与分数四则运算法则
粟米比例问题算法
衰分比例分配算法
少广面积、体积问题的逆运算，特别是开平方与开立方法
商功土方工程的分配与体积问题
均输赋税的公平负担问题及各种算术难题
盈不足今盈亏类问题解法
方程线性方程组解法
勾股解勾股形与一次测望问题
田忌赛马
这是一个对策论问题。齐将田忌与齐王与诸公子赛马，各有上、中、下三等马。孙膑 （小老师） 发现各等中的马相差无几，如果同一场用同等的马比赛，没有取胜的把握，便谓田忌：请重下赌注，我「能令君胜」。田忌遂与齐王及诸公子赌千金。临赛前，孙膑谓田忌曰：「今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷。」三场赛毕，田忌二胜一负，最终得到齐王的千金。
引葭赴岸
国内外许多中学数学参考书中有所谓印度莲花问题，实际上是《九章算术》勾股章「引葭 （小老师） 赴岸」问的改写，却晚出1000多年。数典不能忘祖，这个问题是：「今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？」《九章算术》的解法是：「术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。」即：，葭长 = 水深 + 出水
刘徽认为，在这里，池方是勾，水深为股，葭长为弦，这是一个已知勾 a 与股弦差 c - b，求股b、弦 c 的问题，应用了公式，。刘徽用出入相补原理证明了公式的正确。


东汉末年到魏晋时期，庄园农奴制和门阀士族占据了经济政治舞台的中心；儒家在思想界的统治地位被削弱，谶纬 （小知识） 迷信与繁琐的经学退出了历史舞台，代之以谈「三玄」（《易经》、《老子》、《庄子》）为主、以「析理」为方法的辩难之风。受此影响，赵爽撰《周髀算经注》，以出入相补原理证明了前此的勾股知识；魏刘徽撰《九章算术注》，总结、发展了《九章算术》编纂 （小老师） 时代就使用的出入相补原理、截面积原理、齐同原理与率的理论，完善了重差术，引入了极限思想和无穷小分割方法，「析理以辞，解体用图」，以演绎逻辑全面证明了《九章算术》的公式、算法，奠定了中国传统数学的理论基础。他还首创了求圆周率 （小知识） 的正确方法及若干新的方法，纠正了《九章算术》的许多失误。南朝祖冲之著《缀术》，是一部水平比刘徽《九章算术注》更高的著作，可惜隋唐算学馆学官（相当于今著名大学数学系教授）「莫能究其深奥，是故废而不理」，遂失传。现在只知道他在计算圆周率及与其子祖暅 （小老师） 之解决球体积方面的贡献。此外，这一时期，还编纂了《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》（已佚）、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等著作，开辟了同余式解法等新的方向。隋唐国子监设算学馆，唐初李淳风等整理《算经十书》，成为算学馆的教材。

鸡兔同笼
鸡兔同笼是中国民间流传久远的趣味题，现存资料中最早见之于《孙子算经》卷下。题目是：「今有雉 （小老师）、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？」《孙子算经》的解法是：「上置头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。」除训减。这是辗转相减：
头35353523 （ 雉数 ）
足94471212 （ 兔数 ）
其思路大约是：雉1头2足，兔1头4足。半其足为47，头仍为35，则雉为1头1足，兔为1头2足。足比头多，是因为每只兔比每只雉多1足，故多之数即兔数。总头数减兔数即雉数。


经过盛唐生产力的大发展，唐中叶之后，生产关系和社会各方面产生了新的变革，到宋元，土地由国有为主变成私有为主，佃农取代了魏唐农奴身份的部曲 （小知识）、徒附。农业、手工业、商业相当繁荣，思想统治也相对宽松，科学技术的发展进入中世纪的黄金时代。特别是造纸业与印刷技术的发达，对数学知识的流传更加方便。1084年北宋秘书省刊刻了汉唐九部算经，是为世界上首次印刷数学著作。数学迎来了筹算数学的高潮。这个高潮体现在两个方面。一是探讨乘除捷算法，赝本《夏侯阳算经》、《杨辉算法》、朱世杰《算学启蒙》等作出重大贡献，为珠算盘的产生准备了算法条件，珠算盘应运而生。一是在高次方程解法（增乘开方法）、同余式解法（大衍总数术）、列方程（天元术）与联立高次方程组解法（四元术）、高阶等差级数求和（垛 （小老师） 积术）与招差法（有限差分法）等方面取得超前其他文化传统几个世纪的重大成就。北宋贾宪撰《黄帝九章算经细草》，进一步抽象《九章算术》的算法，创造贾宪三角和增乘开方法，奠定了这些成就的基础。南宋时秦九韶撰《数书九章》、元代李冶撰《测圆海镜》、朱世杰撰《四元玉鉴》等均是提出这些成就的划时代著作。



朱世杰之后，元朝未出现高深的数学著作。明朝时期，虽然农、工、商业仍在发展，却由于理学统治、八股取士、大兴文字狱，禁锢了人们的思想，扼杀了自由创造。明朝数学水平远低于宋元。大数学家都看不懂增乘开方法、天元术、四元术等宋元重要成就，汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本，反而大都失传。从此，中国失去了数学大国的地位。另一方面，珠算盘的应用得到普及，并逐步取代算筹成为人们的主要计算工具，至今发挥着有益的作用。明朝出现了许多使用珠算的著作。程大位的《算法统宗》对普及珠算起了巨大作用，其影响远被朝鲜、日本和东南亚。


明末，利玛窦等传教士将西方数学传入中国，到1723年为第一阶段，主要传入几何、代数、三角等初等数学知识。利玛窦与徐光启合译了《几何原本》（小知识） （前6卷），从此，开始了中西数学的融会贯通，梅文鼎等作出了重要贡献。这一段集大成的结果是编纂了清康熙帝御定的《数理精蕴》53卷。1723年，雍正帝赶走传教士，从此人们一方面致力于消化传入的西方数学，明安图在幂 （小老师） 级数展开式方面作出了贡献。另一方面，一批失传已久的汉唐宋元算书被发现。戴震等校勘（小老师）《九章算术》等汉唐著作，促进了乾嘉时期研究古算的高潮，汪莱、李锐等在方程论；董佑诚、项名达、徐有壬、李善兰等继续推进幂级数展开式的研究；李善兰创造尖锥术，踏上了微积分的门槛。鸦片战争之后，列强轰开中国的大门，西方数学再一次传入中国。李善兰、华蘅 （小老师）芳等与传教士合译了若干微积分方面的西方数学著作，近代数学开始传入中国。清代从事数学研究的人比以往都多，也很执着，力图复兴中国数学。然而，碍于社会条件，与西方数学的差距却愈来愈大。上世纪初，中国传统数学中断，中国数学逐步融入统一的世界数学。