动漫中的狐妖角色:找规律

　　下面，我们通过一些例题作进一步讲解。

例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问：

　　（1）第100盏灯是什么颜色？

　　（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？

分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。

　　（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。

　　（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。

例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？

分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同。

　　同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。

　　也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是

　　25-（3+6+7）=9。

　　这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。

例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？

　　628088640448…

分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位：

　　当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。

　　从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。

例4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？

　　135761939237134…

分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到

　　奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……

　　可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。

例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？

分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：

　　可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。

　　（100-1）÷4＝24……3，

　　所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5个球。 

 练习7

　　1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？

　　2．将1，2，3，4，…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前100个数的和。

　　3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？

　　4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几？

　　5．小明按1～3报数，小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？

　　6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？

整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a²，即a²＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a³，即a³＝a×a×a。一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作aⁿ，即

　　本讲主要讲aⁿ的个位数的变化规律，以及aⁿ除以某数所得余数的变化规律。

　　因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

　　为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a²，a³，a⁴，…的个位数字各是什么。

　　从表看出，aⁿ的个位数字的变化规律可分为三类：

　　（1）当a的个位数是0，1，5，6时，aⁿ的个位数仍然是0，1，5，6。

　　（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，aⁿ的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。

　　（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，aⁿ的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。

例1 求67⁹⁹⁹的个位数字。

　　分析与解：因为67的个位数是7，所以67ⁿ的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。

　　999÷4＝249……3，

　　所以67⁹⁹⁹的个位数字与7³的个位数字相同，即67⁹⁹⁹的个位数字是3。

例2 求2⁹¹+3²⁹¹的个位数字。

分析与解：因为2ⁿ的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，2⁹¹的个位数字与2³的个位数字相同，等于8。

　　类似地，3ⁿ的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现，

　　291÷4＝72……3，

　　所以3²⁹¹与3³的个位数相同，等于7。

　　最后得到2⁹¹+3²⁹¹的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。

例3 求28¹²⁸-29²⁹的个位数字。

解：由128÷4＝32知，28¹²⁸的个位数与8⁴的个位数相同，等于6。由29÷2＝14……1知，29²⁹的个位数与9¹的个位数相同，等于9。因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。

例4 求下列各除法运算所得的余数：

　　（1）78⁵⁵÷5；

　　（2）5⁵⁵÷3。

分析与解：（1）由55÷4＝13……3知，78⁵⁵的个位数与8³的个位数相同，等于2，所以78⁵⁵可分解为10×a＋2。因为10×a能被5整除，所以78⁵⁵除以5的余数是2。

　　（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求5⁵⁵的个位数的方法求解。为了寻找5ⁿ÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

　　注意：表中除以3的余数并不需要计算出5ⁿ，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。比如，5²除以3的余数是1，5³除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为5²＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而

　　5³=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，

　　（3×8）×5能被3整除，所以5³除以3的余数与1×5除以3的余数相同。

　　由上表看出，5ⁿ除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27……1知，5⁵⁵÷3的余数与5¹÷3的余数相同，等于2。

例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？

分析与解：1时后有1×3=3¹（个）细菌，2时后有3¹×3=3²（个）细菌……20时后，有3²⁰个细菌，所以本题相当于“求3²⁰÷7的余数”。

　　由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：

　　由上表看出，3ⁿ÷7的余数以六个数为周期循环出现。由20÷6＝3……2知，3²⁰÷7的余数与3²÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。

　　最后再说明一点，aⁿ÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现。

 

 练习8

　　1．求下列各数的个位数字：

　　（1）38³⁸； （2）29³⁰；

　　（3）64³¹； （4）17²¹⁵。

　　2．求下列各式运算结果的个位数字：

　　（1）92²²＋57³¹； （2）61⁵+48⁷+34⁹；

　　（3）46⁹-62¹¹； （4）3⁷×4⁸+5⁹×6¹⁰。

　　3．求下列各除法算式所得的余数：

　　（1）5¹⁰⁰÷4； （2）8¹¹¹÷6；

　　（3）4⁸⁸÷7。