油品化验员资格证:2012高考复习专题限时集训：数列求和及数列应用

2012高考二轮复习专题限时集训：数列求和及数列应用
文/网络     编辑制作/荷花小女子

专题限时集训(十)
[第10讲　数列求和及数列应用]
(时间：10分钟＋35分钟)


1．等比数列{an}首项与公比分别是复数i＋2(i是虚数单位)的实部与虚部，则数列{an}的前10项的和为(　　)
A．20  B．210－1
C．－20  D．－2i
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A．15  B．12
C．－12  D．－15
3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为(　　)
A．①和?  B．⑨和⑩
C．⑨和?  D．⑩和?
4．已知数列{an}满足a1＝t，an＋1－an＋2＝0(t∈N*，n∈N*)，记数列{an}的前n项和的最大值为f(t)，则f(t)＝________.

1．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1(n∈N*)，则Tn＝a1a2(1)＋a2a3(1)＋…＋anan＋1(1)的结果可化为(　　)
A．1－4n(1)
B．1－2n(1)
C.3(2)4n(1)
D.3(2)2n(1)
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则{an}的公比q等于(　　)
A．1  B.2(1)
C．－2(1)  D．2
3．“神七升空，举国欢庆”，据科学计算，运载“神七”的“长征二号”F火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是(　　)
A．10秒钟  B．13秒钟
C．15秒钟  D．20秒钟
4．过圆x2－5x＋y2＝0内点P2(3)有n条弦，这n条弦的长度依次成等差数列{an}，其中最短弦长为a1，最长的弦长为an，且公差d∈2(1)，那么n的取值集合为(　　)
A．{5,6}  B．{4,5}
C．{3,4,5}  D．{3,4,5,6}
5．{an}为等差数列，若a10(a11)<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时，n的值为(　　)
A．11  B．17  C．19  D．21
6．在直角坐标平面内，已知点列P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，….如果k为正偶数，则向量→(P1P2)＋→(P3P4)＋→(P5P6)＋…＋Pk－1Pk的纵坐标(用k表示)为__________．
7．在数列{an}中，有an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则此数列{an}的前100项的和S100＝________.
8.已知以1为首项的数列{an}满足：an＋1＝(n为偶数)(an)(n∈N*)．
(1)写出a2，a3，a4，并求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和Sn，求数列{Sn}的前n项和Tn.
9．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12且2a1，a2，a3＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n(an)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
专题限时集训(十)
【基础演练】
1．A　【解析】 根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算．该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20.
2．A　【解析】 a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.
3．D　【解析】 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.
4.(t为奇数)((t＋1)2)　【解析】 由题可知{an}是等差数列，所以an＝－2n＋2＋t，所以Sn＝n(1＋t－n)＝－n2＋(1＋t)n.当t为奇数时，f(t)＝－2(1＋t)2＋(1＋t)×2(1＋t)＝4((t＋1)2)；当t为偶数时，知n＝2(t)时，f(t)＝－2(t)2＋(1＋t)×2(t)＝4(t2＋2t)，故f(t)＝(t为奇数).((t＋1)2)
【提升训练】
1．C　【解析】 根据已知容易求得an＝2n－1，设bn＝anan＋1(1)＝2(1)2n－1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3(2)4n(1).
2．C　【解析】 依题意，由2S3＝S1＋S2得2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，解得q＝－2(1)，选择C.
3．C　【解析】 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋2(n(n－1)d)＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.故选C.
4．B　【解析】 已知圆的圆心为Q，0(5)，半径r＝2(5).又|PQ|＝2(3)，∴a1＝2＝4，an＝2r＝5，
∴d＝n－1(an－a1)＝n－1(1)∈2(1)，∴n∈(3,6)，∴n＝4或n＝5.5.C　【解析】 等差数列的前n项和有最大值，则其公差为负值，数列单调递减，根据a10(a11)<－1可知一定是a10>0，a11<0，由此得a11<－a10，即a11＋a10<0，S19＝2(a1＋a19)×19＝19a10>0，S20＝2(a1＋a20)×20<0，由于Sn在取得最大值后单调递减，根据已知Sn在[11，＋∞)上单调递减，所以使得Sn取得最小正值的n值为19.
6.3(2)(2k－1)　【解析】 根据向量的坐标运算法则，向量→(P1P2)＋→(P3P4)＋→(P5P6)＋…＋Pk－1Pk的纵坐标为－2＋22－23＋24－…－2k－1＋2k，这是一个公比为－2的等比数列的前k项和，其和是1－(－2)(－2[1－(－2)k])，由于k为正偶数，上式化简即为3(2)(2k－1)．
7．299　【解析】 设定值为M，则an＋an＋1＋an＋2＝M，进而an＋1＋an＋2＋an＋3＝M，后式减去前式得an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的数列．由a7＝2，可知a1＝a4＝a7＝…＝a100＝2，共34项，其和为68；由a9＝3，可得a3＝a6＝…＝a99＝3，共33项，其和为99；由a98＝4，可得a2＝a5＝…＝a98＝4，共33项，其和为132.故数列{an}的前100项的和S100＝68＋99＋132＝299.
8．【解答】 (1)a2＝2，a3＝1，a4＝2，an＝2(3＋(－1)n).
(2)Sn＝2(3n)＋2(1)·2((－1)[1－(－1)n])＝2(3n)－4(1)＋4(1)(－1)n，
∴Tn＝2(3)·2(n(n＋1))－4(1)n＋4(1)·1＋1(－[1－(－1)n])
＝4(3)n2＋2(1)n＋8(1)·(－1)n－8(1)(也可分奇数和偶数讨论解决)．
9．【解答】 (1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，
∴3a2＝12，所以a2＝4，
又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，
∴a2(2)＝2a1·(a3＋1)，即a2(2)＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，
解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，
故an＝3n－2.
(2)解法1：bn＝3n(an)＝3n(3n－2)＝(3n－2)·3n(1)，
∴Tn＝1×3(1)＋4×32(1)＋7×33(1)＋…＋(3n－2)×3n(1)，①
①×3(1)得，3(1)Tn＝1×32(1)＋4×33(1)＋7×34(1)＋…＋(3n－5)×3n(1)＋(3n－2)×3n＋1(1)，②
①－②，得3(2)Tn＝3(1)＋3×32(1)＋3×33(1)＋3×34(1)＋…＋3×3n(1)－(3n－2)×3n＋1(1)
＝3(1)＋3×3(1)－(3n－2)·3n＋1(1)＝6(5)－2(1)×3n－1(1)－(3n－2)×3n＋1(1)，
Tn＝4(5)－4(1)×3n－2(1)－2(3n－2)×3n(1)＝4(5)－4(6n＋5)·3n(1).
解法2：bn＝3n(an)＝3n(3n－2)＝n·3n－1(1)－2×3n(1)，
设An＝1＋2×3(1)＋3×32(1)＋4×33(1)＋…＋n×3n－1(1)，①
则3(1)An＝3(1)＋2×32(1)＋3×33(1)＋4×34(1)＋…＋n×3n(1)，②
①－②得，3(2)An＝1＋3(1)＋32(1)＋33(1)＋…＋3n－1(1)－n×3n(1)
＝3(1)－n×3n(1)＝2(3)－＋n(3)×3n(1)，
∴An＝4(9)－n(3)×3n(1)，
∴Tn＝An－2×3(1)＝4(9)－n(3)×3n(1)－3n(1)＝4(5)－4(6n＋5)×3n(1).
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