低通滤波器 传递函数:什么是面积3

任景业：我们今天选择测量入手，一方面我们觉得教师在教学中存在着一些困惑，一方面是测量这部分内容的在数学和在教育中的价值，还有一个方面是对测量的处理我们可以更好的理解课程改革的精神。测量是用一个数值来表示物体的每一个属性。这么多的属性我们首先会想到几何属性，而测量的结果呢而会用数值表示出来。这样对于测量构成了空间与图形、数与代数两个主要的领域，这两个领域间的联系。我认为测量最重要的还不仅仅是这些。测量还在发展，我们测量的思想来研究情景和随机现象，又发展了，象 最近几年诺贝尔奖的获得者有很多是数学家，他们的贡献就是得到了一个数学模型，作为一个测量的工具，去表述、届时经济当中的一些规律。可以说测量的思想在社会发展中重要的体现。因此测量在数学当中，在社会当中，在经济当中都占有相当重要的地位。我们做一些了解，会更好的帮助我们理解教材，教学相关内容的时候，我们也可以更好的定位我们自己的教学，我认为教师认识了测量有如此重要的地位和价值，才会加强测量的教学，我国也是这部分的要求上产生了较大的变化，这些变化给我们一线的教学带来了一些不适应和困惑，我们很高兴的从上传的一些案例当中，看到我们的老师在积极的探索，课程改革的精神在落实。今天晚上我们就以这个为话题，展开讨论。

默然：我先来谈谈自己的困惑：我曾经备过《什么是面积》这节课，用圆形的硬币画出它的轮廓，给小蚂蚁建一个运动场，然后再让学生涂涂圆形图形的面，为小蚂蚁的运动场添上绿色的草坪这样一个环节，在备课当中，有的老师给我提出这样的问题，在一节课中，把周长和面积同时呈现，干扰学生对面积的学习，我在设计这节课中有这样一个想法，就是因为学生对周长和面积的理解上会混淆，所以我用这样的方式处理教学，我再次备课当中，加强了实物面积概念的体会，先让学生给语文书（小开）和数学书（大开）包书皮，让学生感受生活中实物的面积是有大有小的，接着还是让学生画一个长方形作为小蚂蚁的运动场，然后还是涂颜色铺草坪，虽然略有改动，仍然坚持了原来的设计。那么；利用周长和面积的对比，去加深对面积的理解是否恰当，请各位网友和专家帮我解答这个困惑。

玉蛟龙：请教张丹老师，我们经常说“周长不能指，面积不能摸”，请问张丹老师是怎样看的，我们一线老师在讲周长和面积的时候，在不能指也不能摸的情况下，让孩子去体现和感受周长和面积？

张丹：刚才玉蛟龙提到的问题，也确实是老师们经常遇到的问题，从严格的意义上说，周长和面积是不能用手指和摸的。因为，周长和面积是数量，从数学严格的定义，它是把一个物体定义为数，从严格意义上说指和摸是不对的，指和摸是对形的感受。但是我想对于小学生学习，无论是借助于量也好，借助于摸也好，我觉得方式是好的。主要的目的是让学生体会到周长是一维的东西，而面积是一个面，是一个二维的东西，所以对于小学生来说这样的活动是没有太大的问题的。当然我们老师说说，我们摸摸他的边，摸摸它的面，比摸它的面积和周长更准确些。对于小学生来说更重要是对面积和周长的意义的理解。不希望对老师和学生在细枝末节上给老师们更多的限制。

陶老师：我也谈谈“周长不能指，面积不能摸”，刚才张老师说了，周长和面积是数，因为是数所以用指和摸是无法感知的。就这个问题，我想谈谈自己的看法，对于周长和面积是一个数学概念，教材里面积指的是物体表面的大小或者封闭图形的大小，就这个概念本身来说，它有两个含义，指明概念本身指的是什么，一个是指物体表面这个形的大小，另一个是指封闭图形这个形的大小。就面积这个概念本身来讲是包括是形和数的，在教学当中，我们看到有的老师用摸一摸，我想老师是想让学生通过摸感知面积，有些东西是可以感知的，面积是物体表面的大小，面积的表面它有可能是平面，有可能是曲面，摸平面和摸曲面的感觉是不一样的，面积比较大的话，摸的时候范围大一点，如果小的话，比如比手掌小的图形，范围小，很快就把大小把握住了。摸可能起这样一个作用，感知这个图形和表面是平面还是曲面，从这个角度来讲，摸是有价值的。但是这个摸不能代替学生对这个概念本质的把握。我觉得对待概念本质的把握，我们还要从概念本身去考虑。概念的把握就涉及到形的把握和量的把握（量就是数），上海教育出版社编的《小学数学教师》（2006年9期），有个老师写了一篇文章，谈到了让学生去摸这样一个做法，我们在新概念引入和导入的时候，我们让学生所做的活动，需要紧紧围绕概念的本质特征去考虑。如果我们对于概念的本质特征没有很好的考虑的话，这个操作的效果就不会很好。我认为指和摸是有一定的作用，但是它不会代替对概念本质的理解。我们设计的教学活动要围绕概念的本质特征去展开，就会有好的效果。

网友：我在教学面积的时候有一个疑问，面积周长和立体图形，我发现学生对于面积和周长老是混淆，这里面的根源到底是什么？我在假期里面，我看到一个广告里面，妈妈手里拿了很多的东西，有长方体、正方体，圆柱体等等，孩子把长方体说成长方形，把正方体说成正方形，广告里面妈妈夸孩子说的对，这个广告要面向全国的。孩子看了之后，印象非常深刻，大家又是认可的，对于孩子上学以后，老师教学的时候，会造成负面的影响。造成平面图形，立体图形分不清楚。孩子在摸的书的周长的边线的时候，还能够看到书的面，学生看到面的时候，孩子的眼里看到个长方体。我们在教学周长和面积的时候，教师很为难。造成这种混淆的原因是不是还有一个社会的根源。希望听听这方面有深入思考的老师的建议。

张丹：刚才这个老师提的问题非常好，在我们平常的教学中学生经常把周长和面积相混淆，我想谈两个方面的想法，第一方面，我们要思考，我们的学生为什么会把面积和周长混淆，我曾经和一些搞几何的人讨论过，是不是三方面，第一方面是不是因为我们在日常生活中看到的是周长和面积（可能不太严格）边和面是一起看到的，在课堂教学中，虽然我们是拿了一个实物，告诉学生实物的边框是周长，但是学生看的时候，往往是既看到了一圈的长度，又看到了里头的面，我觉得这个方法可以改进。包括我们在看正方体的时候，你是连正方体、面，顶点是一起看到的，是不能分开的。第二个原因我和一些学生讨论过，往往在我们的题目中出现的都是一些比较好的图形，为什么说是比较好的图形呢，周长大面积也大，周长小，面积也小。比如说圆，圆的周长大，圆的面积也大，同时对一些一般的长方形（不是那种“很胖”也不是那种“很瘦的”），常见的长方形往往都是周长大面积也大，这样一来，孩子就认为我不需要把周长和面积区分。我听过一节课的时候，教师提出圆大是什么意思？学生说既是周长大也是面积大。老师出这样题目，学生认为不需要把周长和面积区分。我想说第三个可能的原因，就是我们在教学当中过于强调了计算与计算的公式。老师在教学的时候往往非常强调面积的公式，因为周长它其实没有什么计算公式，无非就是几个边加在一起，而面积呢则特别强调长乘宽，底乘高等等。学生往往记住了面积的公式，而平行四边形、三角形、梯形我们往往也只讨论他们的面积，而周长也没有什么公式，只是几个边加在一起，所以学生对公式记忆的非常清楚，由此，学生看到这个图形就想到面积的计算，而不是要判断我到底是要用面积计算，还是要用周长来计算。这是我想到三个为什么周长和面积相混淆的原因，不一定正确，请大家讨论。针对这三个原因，我想有几个教学的建议，第一，我想要让学生切切实实的看到周长，看到一维的东西，我们的老师非常好，做课件，把一个长方形既有面又有边，把它的边抽象出来，把它的面隐去，还有的老师，把一个绳子围绕着边饶一圈，然后再打开，这样学生认识到这个边是个一维的东西，这种方式都是非常好的，这就解决了面积和周长一起看到的问题。第二个建议，在教学中适当的出现出现一些很怪的图形，比如说狭长的图形，周长可能很长，但是它的面积呢却 不一定大，让学生体会周长和面积是两个东西，不一定周长大，面积就大。第三个就是适当的延缓对于公式的引入过程。在引入之前，给学生一些丰富的情境，丰富的活动，让他体会面积和周长之间的关系，对于概念的理解，要允许学生有一个反复的过程，只有在不断的对比，不断的活动，不断的解决问题中学生对面积和周长慢慢的分开。我们度量的教学绝对不能以计算为主。

风景：刚才老师提到面积和周长相混淆的问题，周长、面积教学中遇到的一些问题和困惑，我想以面积为例，我们在上这节课的时候，我们老师要更多关注是面积，而我们没有考虑面积这个概念的背后，还有一个概念，如果你想帮助学生建立好这个面积的概念，就得充分让学生认识面，让学生摸一摸面是可以的。然后再通过对图形的比较，不同物体的面的大小是不一样的。这个面的大小叫做它的面积，我觉得这个教学要有三个层次，先认识具体实物的面，然后抽象出几何的面，然后再去感知面的大小，建立面积的概念。我想周长也是一样，周长是图形一周的长度，如果脱离了对边的认识，肯定对周长的概念是建立不起来，所以我们让学生摸摸边，然后通过围，通过打开，让学生去感知一周的长度，那么周长应该是封闭的，感知到这些周长的特性，从而建立周长的概念。通过我的教学实践（我是教学高段的），有的时候学生表现出来的，周长与概念的混淆，并不象我们想象的那么可怕，在某个应用题当中，让学生先求土地的面积，再去产量等，尤其是正方形，他们会用边厂乘4，然后再去求下面的问题，如果这个时候，你把他叫过来，你问问他，边长乘4对吗？学生会马上醒悟，这样例子有很多，这个学生表现出来的好象是周长与面积的概念的混淆，其实不是，而是思维的连续性上出了问题，因为学生是在做题目的时候，是边做边思考，有的时候做第一步想第二步，他写第一步的时候，还没想好，就写错了，这个时候我们应该重视培养的是学生良好的思维习惯，要想好了，每一步要干什么，完整的思维后，你再去写，当然学生在学习的过程也是一个要经历不完善到完善的一个过程。

 玉蛟龙：在讲周长的时候，我有很多困惑，在我这节周长的设计当中呢，在我的设计当中，周长和面积是容易混淆的，在设计当中呢，我就特意用生活中的一些实体，作为支撑物，让学生来感知和理解周长，那么我想是让学生通过周、线、边和边框，接近周长的的概念，让概念更加丰满和充实，所以我就引入了五角星，彩灯一周的长度的运用，紧接着我引入带面的，比如鞋垫围的一圈，茶杯垫的一圈，一直到花坛，花坛一周的长度是对周长广义的理解，周长在现实生活中，栅栏围成一个圈，他的边线是有区别，然后最后到装饰物的这些，都是从生活当中照的照片，让学生对生活中的周长有一个感观，从而想让学生对后续学习的面积进行一个区分，在我用这些生活中的实体作为例子的时候，对孩子的冲击力很强，所以孩子在回答问题的时候，当我问到：孩子，你知道什么是周长了吗，孩子就会用这样的语言回答我，就是那个边呀，框呀，当时就感觉自己还没有完全把周长从生活化的数学中抽象出来，让孩子用自己的语言去表述周长，到底要表述到什么程度，也是我的一个问题，同时我还在想对三年级的孩子，要让孩子将这样一个周长的概念抽象出来，特别是我们要不要，当然老师心里是明白，周长是指的是量，是不能来摸的，摸的只是边框，对于三年级的孩子来讲到底要抽象到什么程度，在这节课上，我们是建立一种形的概念，让他去感受到周长就是什么形的概念，虽然他还说不出来，但是他能感觉到，还是让学生抽象出那个数的东西，用一句话来表达，很想听听专家的一个想法。

春苗：首先是接着默然老师的话题说，他说她的那节课，面积和周长同时呈现是不是合理，我是这样想的，如果把周长和面积同时出现可能会增加学生的负担，但是不放在一起，默然老师又担心周长和面积的混淆，我们是不是可以这样，把周长和面积用一节课单独对面积和周长进行比较，这样矛盾会避免。
第二个我想说玉蛟龙老师的话题，周长不能指，面积不能摸的这个想法怎么理解的，我想起我以前的一个困惑，我在使用人教版的对高的定义，有很大的区别，有的时候是用型来定义的，有的时候是用量来定义的，旧教材中，长宽高相交于一点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长宽高。这个说的是一个长度，长度本身就是一个量，它来定义高，我觉得不是很合适。再说三角形的高，从三角形的顶点向它的对边画垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高线，这个地方说的就是线段，就是一个形，简称三角形的高。平行四边形的高，表示平行四边形平行线间的距离 叫做平行四边形的高，用量来定义的。等等还有圆锥和圆柱的高，有的是用形，有的是用量来定义的。这个问题，我也咨询过人教社的专家，专家们的回答就是在小学阶段，高的这个定义并不是很严密。形和量上不加以严密的区别。就是学生在逐渐的过程中来区别他们的联系。我想问专家的一个问题，在新教材中，是怎么解决这方面问题的。各个图形的高是不是有严格的定义。在实际的教学中还要加以区别，还是让学生有一个模糊的认识，在逐渐的过程中，不断的理解。