偶看新闻东大吉姆工厂好不好:2012年高考数学难点突破专题
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2012年高考数学难点突破专题辅导一
难点1 集合思想及应用
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠ ,求实数m的取值范围.
●案例探究
［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为A∩C= 且B∩C= ，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C= ，∴A∩C= 且B∩C=
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C= ,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= .
［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,则有A= 或A≠ 两种可能，此时应分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)集合M={x|x= ,k∈Z},N={x|x= ,k∈Z},则( )
A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=
2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1
3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________.
4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C= 同时成立.
6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠ .
7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w= zi+b,b∈R},当A∩B=B时，求b的值.
8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求证：A B;
(2)如果A={－1，3}，求B.
参考答案
难点磁场
解：由 得x2+(m－1)x+1=0 ①
∵A∩B≠
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.
当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
故所求m的取值范围是m≤－1.
歼灭难点训练
一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=
nπ+ ,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}.
答案：C
2.解析：∵A∪B=A，∴B A,又B≠ ,
∴ 即2＜m≤4.
答案：D
二、3.a=0或a≥
4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线 =1相切，则1= ,即ab= .
答案：ab=
三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C= ，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠ ,
∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C= 不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C= ，A∩B ，∴a=－2.
6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, ）的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B= ；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B至多有一个元素.
(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠ ,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0= ＜0,y0= ＜0,这样的(x0,y0） A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B= ，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的.
7.解：由w= zi+b得z= ,
∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得| －2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.
∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.
又A∩B=B，即B A，∴两圆内含.
因此 ≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.
8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A B.
(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得
∴f(x)=x2－x－3.
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.
将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0
解得x=1,3, ,－ .故B={－ ，－1， ，3}.
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系. 参考答案 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 参考答案 参考答案 参考答案 产值(千元) 4 3 2 参考答案 参考答案 5.(★★★★)如图，函数y= |x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m> )是△ABC的BC边的中点. 参考答案 难点12 等差数列、等比数列的性质运用 参考答案 难点磁场 难点磁场 参考答案
●难点磁场
(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.
●案例探究
［例1］已知p：|1－ |≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若?p是?q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.
知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.
错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.
技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.
解：由题意知：
命题：若?p是?q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.
p:|1－ |≤2 －2≤ －1≤2 －1≤ ≤3 －2≤x≤10
q:x2－2x+1－m2≤0 ［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式|1－ |≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集.
又∵m>0
∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m
∴ ，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是［9，+∞ .
［例2］已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.
命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.
知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.
错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.
技巧与方法：由an= 关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明.
解：a1=S1=p+q.
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴ =p
若{an}为等比数列，则 =p
∴ =p,
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1
这是{an}为等比数列的必要条件.
下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件.
当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1)
=p为常数
∴q=－1时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.
(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“ ”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.
(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.
(4)从集合观点看，若A B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件.
(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )
A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0
2.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件
二、填空题
3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.
4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.
三、解答题
5.(★★★★★)设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？
6.(★★★★★)已知数列{an}、{bn}满足：bn= ,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.
7.(★★★★★)已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.
8.(★★★★★)p:－2
难点磁场
证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α?β|=|α|?|β|＜2×2=4.
设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.
即有 4+b>2a>－(4+b)
又|b|＜4 4+b>0 2|a|＜4+b
(2)必要性：
由2|a|＜4+b f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.
∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.
∵α，β是方程f(x)=0的实根，
∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.
歼灭难点训练
一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x?|x|=－(x|x+0|+b)
=－(x|x+a|+b)=－f(x).
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=
(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.
∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.
答案：D
2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.
答案：A
二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.
答案：充要条件
4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.
答案：充分不必要
三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p: 结论是q: (注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)
(1)由 ，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴q p
(2)为证明p q,可以举出反例：取α=4,β= ,它满足a=α+β=4+ >2,b=αβ=4× =2>1,但q不成立.
综上讨论可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分条件.
6.证明：①必要性：
设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列.
从而bn+1－bn=a1+n? d－a1－(n－1) d= d为常数.
故{bn}是等差数列，公差为 d.
②充分性:
设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=(n－1)d′
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ②
①－②得：nan= bn－1
∴an= ,从而得an+1－an= d′为常数，故{an}是等差数列.
综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.
7.解：①必要性：
由已知得，线段AB的方程为y=－x+3(0≤x≤3)
由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，
所以方程组 *有两个不同的实数解.
消元得：x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)
设f(x)=x2－(m+1)x+4,则有
②充分性：
当3＜x≤ 时，
x1= >0
∴方程x2－(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程组*有两组不同的实数解.
因此，抛物线y=－x2+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件3＜m≤ .
8.解：若关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，设为x1,x2.
则0＜x1＜1,0＜x2＜1,有0＜x1+x2＜2且0＜x1x2＜1,
根据韦达定理：
有－2＜m＜0;0＜n＜1即有q p.
反之，取m=－ ＜0
方程x2+mx+n=0无实根，所以p q
综上所述，p是q的必要不充分条件.
平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.
●难点磁场
(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线
AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.
●案例探究
［例1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
(1)求证：C1C⊥BD.
(2)当 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.
知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.
错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.
技巧与方法：利用a⊥b a?b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.
(1)证明：设 =a, =b, =c,依题意，|a|=|b|， 、 、 中两两所成夹角为θ，于是 =a－b， =c(a－b)=c?a－c?b=|c|?|a|cosθ－|c|?|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.
(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，
由
=(a+b+c)?(a－c)=|a|2+a?b－b?c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|?|a|cosθ－|b|?|c|?cosθ=0,得
当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD，
∴ =1时，A1C⊥平面C1BD.
［例2］如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求 的长；
(2)求cos< >的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属
★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O－xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.
错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.
技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.
(1)解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)
∴| |= .
(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).
∴ = =(0，1，2)
=1×0+(－1)×1+2×2=3
| |=
(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M( )
∴
∴A1B⊥C1M.
●锦囊妙计
1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.
2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.
3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：
(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
2.(★★★★)已知△ABC中， =a， =b，a?b<0，S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )
A.30° B.－150° C.150° D.30°或150°
二、填空题
3.(★★★★★)将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.
4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_________.
三、解答题
5.(★★★★★)如图，在△ABC中，设 =a， =b， =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),试用向量a，b表示c.
6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a.
(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；
(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
7.(★★★★★)已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使 成公差小于零的等差数列.
(1)点P的轨迹是什么曲线？
(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为 与 的夹角，求tanθ.
8.(★★★★★)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.
(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；
(2)用向量法证明：BD∥平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 .
难点磁场
解：(1)点M的坐标为xM=
D点分 的比为2.
∴xD=
(3)∠ABC是 与 的夹角，而 =(6，8）， =(2，－5）.
歼灭难点训练
一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴ = ，∴ ∥ ，又线段AB与线段DC无公共点，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四边形，又| |= ， =(5，3），| |= ，∴| |≠| },∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又 =(4，1），
∴1?4+2?1=6≠0,∴ 不垂直于 ，∴ABCD也不是矩形，故选D.
答案：D
2.解析：∵ ?3?5sinα得sinα= ,则α=30°或α=150°.
又∵a?b＜0,∴α=150°.
答案：C
二、3.(2,0) 4.13 cm
三、5.解：∵ 与 共线，∴ =m =m( － )=m(μb－a),
∴ = + =a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb ①
又 与 共线，∴ =n =n( － )=n(λa－b),
∴ = + =b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b ②
由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.
∵a与b不共线，∴ ③
解方程组③得：m= 代入①式得c=(1－m)a+mμb= ［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］.
6.解：(1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.
由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0, a),C1(－ a).
(2)取A1B1的中点M，于是有M(0， a），连AM，MC1，有 =(－ a,0,0）,
且 =(0，a,0）, =(0,0 a)
由于 ? =0， ? =0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵ =
所以 所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
7.解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－ =(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－ =(2,0),∴ ? =2(1+x), ? =x2+y2－1, =2(1－x).于是， 是公差小于零的等差数列，等价于
所以，点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆.
(2)点P的坐标为(x0,y0)
8.证明：(1）连结BG，则
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中 = ）
(2）因为 .
所以EH∥BD，又EH 面EFGH，BD 面EFGH
所以BD∥平面EFGH.
(3）连OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由(2）知 ，同理 ，所以 ，EH FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分，所以
.
难点4 三个“二次”及关系
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
●难点磁场
已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程 =|a－1|+2的根的取值范围.
●案例探究
［例1］已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.
错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.
技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.
(1)证明：由 消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+ c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴ c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ ,x1x2= .
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得 ∈(－2,－ )
∵ 的对称轴方程是 .
∈(－2,－ )时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( ).
［例2］已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
∴ .
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)
●锦囊妙计
1.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n.
(2)当a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).
若－
2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小 a?f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根 f(p)?f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α )∪［β,+∞ a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时，f(α)
|β+ |;
(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立 或
(4)f(x)>0恒成立
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A.(－∞,2 B. －2,2 C.(－2,2 D.(－∞,－2)
2.(★★★★)设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
二、填空题
3.(★★★★★)已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________.
4.(★★★★★)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)
5.(★★★★★)已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1)
(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；
(2)若x∈(0,2 时，y有最小值8，求a和x的值.
6.(★★★★)如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.
7.(★★★★★)二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足 =0,其中m>0,求证：
(1)pf( )<0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.
8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
难点磁场
解：由条件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－ ≤a≤2
(1)当－ ≤a＜1时，原方程化为：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－ )2+ .
∴a=－ 时，xmin= ,a= 时，xmax= .
∴ ≤x≤ .
(2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+ )2－
∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12.
综上所述, ≤x≤12.
歼灭难点训练
一、1.解析：当a－2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当a－2≠0时，则a满足 ,解得－2＜a＜2,所以a的范围是－2＜a≤2.
答案：C
2.解析：∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x= ,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),
∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.
答案：A
二、3.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p＜ 或－ ＜p＜1.∴p∈(－3, ).
答案：(－3， ）
4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0.
答案：－2＜x＜0
三、5.解：(1）由loga 得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3= ,
∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0).
(2)令u=x2－3x+3=(x－ )2+ (x≠0),则y=au
①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，
则u=(x－ )2+ 在(0，2 上应有最大值，但u在(0，2 上不存在最大值.
②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－ )2+ ,x∈(0,2 应有最小值
∴当x= 时，umin= ,ymin=
由 =8得a=16.∴所求a=16,x= .
6.解：∵f(0)=1>0
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
(2）当m>0时，则 解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.
7.证明：(1)
,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf( )＜0.
(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p＜0时，由(1）知f( )＜0
若r>0,则f(0)>0,又f( )＜0,所以f(x)=0在(0， )内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－ )+r= >0,
又f( )＜0,所以f(x)=0在( ,1)内有解.
②当p＜0时同理可证.
8.解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－ )2+1612.5
∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，
∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn5 求解函数解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.
●难点磁场
(★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).
●案例探究
［例1］(1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.
命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.
知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.
错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.
技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.
解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0
∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0
得
并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1.
［例2］设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.
命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.
错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.
技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.
解：(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b
∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2.
(2)当－1
∴f(x)=－x2+2.
(3)当x≥1时，f(x)=－x+2
综上可知：f(x)= 作图由读者来完成.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2.换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若函数f(x)= (x≠ )在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )
A.3 B. C.－ D.－3
2.(★★★★★)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x>1时f(x)等于( )
A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1
C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1
二、填空题
3.(★★★★★)已知f(x)+2f( )=3x,求f(x)的解析式为_________.
4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.
三、解答题
5.(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为 ，求f(x)的解析式.
6.(★★★★)设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.
7.(★★★★★)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.
8.(★★★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.
(1)证明：f(1)+f(4)=0;
(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；
(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.
难点磁场
解法一：(换元法）
∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1
令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u
∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)
∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二：(配凑法）
f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).
歼灭难点训练
一、1.解析：∵f(x)= .
∴f［f(x)］= =x,整理比较系数得m=3.
答案：A
2.解析：利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1.
答案：B
二、3.解析：由f(x)+2f( )=3x知f( )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去f( )可得f(x)= －x.
答案：f(x)= －x
4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.
故2a+b=b+1且a+b=1,解得a= ,b= ,∴f(x)= x2+ x.
答案： x2+ x
三、5.解：利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)= .
6.解：(1)设x∈［1,2］,则4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4.
(2)设x∈［0，1］，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知x∈［0,2］时，f(x)=－2(x－1)2+4,设A、B坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1 ,则|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，∴ =2t2(2－t2)?(2－t2)≤( )3= ,当且仅当2t2=2－t2,即t= 时取等号.∴S2≤ 即S≤ ,∴Smax= .
7.解：(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD可得PA= ;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA= ;当P点在DA上运动时，PA=4－x,故f(x)的表达式为：
f(x)=
(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.
如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1＜x≤2时，S△ABP= AB?BP= (x－1）；当P在CD上时，即2＜x≤3时，S△ABP= ?1?1= ；当P在DA上时，即3＜x≤4时，S△ABP= (4－x).
故g(x)=
8.(1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.
(2)解：当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
(3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k?1=k,∴k=－3.∴当0≤x≤1时，f(x)=－3x,当－1≤x＜0时，f(x)=－3x,当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=
－3(x－5)=－3x+15,当6＜x≤9时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)= .
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2009年高考数学难点突破专题辅导八
难点8 奇偶性与单调性(二)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.
●难点磁场
(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.
●案例探究
［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.
命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.
错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.
技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.
解：由 且x≠0,故0
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2
［例2］已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.
命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.
知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.
技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.
解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),
即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.
设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－ )2－ +2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.
∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；
当0≤ ≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>0
4－2
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.
(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是( )
A.(2 ，3) B.(3， )
C.(2 ，4) D.(－2，3)
二、填空题
3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.
4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f( ),f( ),f(1)的大小关系_________.
三、解答题
5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.
6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，
(1)求a的值；
(2)求f(x)的反函数f－1(x);
(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg .
7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f( － +cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.
8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .
(1)试求函数f(x)的解析式；
(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
难点磁场
解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).
又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0
∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①
或log2(x2+5x+4)≤－2 ②
由①得x2+5x+4≥4
∴x≤－5或x≥0 ③
由②得0＜x2+5x+4≤ 得 ≤x＜－4或－1＜x≤ ④
由③④得原不等式的解集为
{x|x≤－5或 ≤x≤－4或－1＜x≤ 或x≥0}
歼灭难点训练
一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=
f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.
答案：B
2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.
∴f(a－3)＜f(a2－9).
∴ ∴a∈(2 ,3).
答案：A
二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0
∴x∈(－3,0)∪(0,3)
答案：(－3，0）∪(0，3）
4.解析：∵f(x)为R上的奇函数
∴f( )=－f(－ ),f( )=－f(－ ),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >
－ >－1.
∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).
答案：f( )＜f( )＜f(1)
三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以
f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.
6.解：(1）a=1.
(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1 .
(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .
7.解： ，对x∈R恒成立,
∴m∈［ ,3］∪{ }.
8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ .
(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则
消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1± .
∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－ ,－2 )关于(1，0)对称.
本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn
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2009年高考数学难点突破专题辅导九
难点9 指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)=log2 ,F(x)= +f(x).
(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n)> ;
(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解.
●案例探究
［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.
错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以 ,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1= = 3log8x2,所以OC的斜率：k1= ,
OD的斜率：k2= ，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1= ,则点A的坐标为( ，log8 ).
［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000( )x(0
(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.
命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级
题目.
知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.
错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.
技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.
解：(1)由题意知：an=n+ ,∴bn=2000( ) .
(2)∵函数y=2000( )x(0
本难点所涉及的问题以及解决的方法有：
(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.
(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.
(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( )
A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)
B.g(x)= ［lg(10x+1)+x］,h(x)= ［lg(10x+1)－x］
C.g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)－
D.g(x)=－ ,h(x)=lg(10x+1)+
2.(★★★★)当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )
二、填空题
3.(★★★★★)已知函数f(x)= .则f-－1(x－1)=_________.
4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=
ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有 .
三、解答题
5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式；
(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.
6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断 ［f(x1)+f(x2)］与f( )的大小，并加以证明.
7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.
8.(★★★★)设不等式2(log x)2+9(log x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2 )(log2 )的最大、最小值.
参考答案
难点磁场
解：(1)由 >0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则
F(x2)－F(x1)=( )+( )
,
∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.
因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.
(2)证明：由y=f(x)= 得：2y= ,
∴f－1(x)= ,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R.
当n≥3时，f-1(n)> .
用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明：∵F(0)= ,∴F－1( )=0,∴x= 是F－1(x)=0的一个根.假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠ ),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.
歼灭难点训练
一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ②
由①②得：g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)－ .
答案：C
2.解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数.
答案：B
二、3.解析：容易求得f- －1(x)= ,从而：
f－1(x－1)=
答案：
4.解析：由题意，5分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n= ln2.设再过t分钟桶1中的水只有 ,则y1=ae－n(5+t)= ,解得t=10.
答案：10
三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.
∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga ,∴g(x)=loga .
(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0; = >0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga |=|loga(x2－4ax+3a2)|?|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组 的解.
由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤ ,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤ ,
∴所求a的取值范围是0＜a≤ .
6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( )2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，
当a>1时，有logax1x2≤loga( )2,
∴ logax1x2≤loga( )， (logax1+logax2)≤loga ,
即 f(x1)+f(x2)］≤f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号)
当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga( )2,
∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 ［f(x1)+f(x2)］≥f( )(当且仅当x1=x2时取“=”号）.
7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.
(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+ ≤k≤2(1+ );
(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－ )≤k≤1－ .x综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2 ，最小值为1+ ；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－ ，最小值为2－2 .
8.解：∵2( x)2+9( x)+9≤0
∴(2 x+3)( x+3)≤0.
∴－3≤ x≤－ .
即 ( )－3≤ x≤ ( )
∴( ) ≤x≤( )－3,∴2 ≤x≤8
即M={x|x∈［2 ,8］}
又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.
∵2 ≤x≤8,∴ ≤log2x≤3
∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.
难点6 函数值域及求法
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.
●难点磁场
(★★★★★)设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ ).
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
●案例探究
［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［ ］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.
错解分析：证明S(λ)在区间［ ］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.
解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x= 代入上式得：S=5000+44 (8 + ),当8 = ,即λ= <1)时S取得最小值.此时高：x= =88 cm,宽：λx= ×88=55 cm.
如果λ∈［ ］可设 ≤λ1<λ2≤ ,则由S的表达式得：
又 ≥ ,故8－ >0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［ ］内单调递增.
从而对于λ∈［ ］,当λ= 时，S(λ)取得最小值.
答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［ ］,当λ= 时，所用纸张面积最小.
［例2］已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞
(1)当a= 时，求函数f(x)的最小值.
(2)若对任意x∈［1,+∞ ,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.
错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
(1)解：当a= 时，f(x)=x+ +2
∵f(x)在区间［1，+∞ 上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞ 上的最小值为f(1)= .
(2)解法一：在区间［1，+∞ 上，f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
解法二：f(x)=x+ +2,x∈［1,+∞
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=x2+ (x≤－ )的值域是( )
A.(－∞,－ B.［－ ,+∞
C.［ ,+∞ D.(－∞,－ ］
2.(★★★★)函数y=x+ 的值域是( )
A.(－∞,1 B.(－∞,－1
C.R D.［1,+∞
二、填空题
3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于( )2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).
4.(★★★★★)设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________.
三、解答题
5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－ x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？
6.(★★★★)已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］
(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围.
7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调器 彩电 冰箱
工时
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)
8.(★★★★)在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记 =x.
(1)求函数f(x)= 的解析式并求f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)的最小值.
难点磁场
(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+ ］,
当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+ >0恒成立，故f(x)的定义域为R.
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+ >0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+ )＜0,解得m>1,故m∈M.
(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+ ,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.而u=(x－2m)2+m+ ,显然，当x=m时，u取最小值为m+ ,此时f(2m)=log3(m+ )为最小值.
(3)证明：当m∈M时，m+ =(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立.
∴log3(m+ )≥log33=1.
歼灭难点训练
一、1.解析：∵m1=x2在(－∞,－ ）上是减函数，m2= 在(－∞,－ ）上是减函数，
∴y=x2+ 在x∈(－∞,－ )上为减函数,
∴y=x2+ (x≤－ )的值域为［－ ，+∞ .
答案：B
2.解析：令 =t(t≥0),则x= .
∵y= +t=－ (t－1)2+1≤1
∴值域为(－∞,1 .
答案：A
二、3.解析：t= +16×( )2/V= + ≥2 =8.
答案：8
4.解析：由韦达定理知：x1+x2=m,x1x2= ,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－ =(m－ )2－ ,又x1,x2为实根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－ )2－ 在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞ 上是增函数又抛物线y开口向上且以m= 为对称轴.故m=1时，
ymin= .
答案：－1
三、5.解：(1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以
y=
(2）在0≤x≤5时，y=－ x2+4.75x－0.5,当x=－ =4.75(百台）时，ymax=10.78125(万元），当x>5(百台）时，y＜12－0.25×5=10.75(万元），
所以当生产475台时，利润最大.
(3）要使企业不亏本，即要求
解得5≥x≥4.75－ ≈0.1(百台）或5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.
6.解：(1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是 ，
∴a＜－1或a> .又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤－1或a>为 所求.
(2）依题意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有 ,解得1＜a≤ ,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤ 为所求.
7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得：
x+y+z=360 ①
②x>0,y>0,z≥60. ③
假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x. ④
将④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30. ⑥
再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2?2x,即S=－x+1080.由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.
∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.
8.解：(1）如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h= ,
∴S1=πah+πbh= ,
∴f(x)= ①
又
代入①消c，得f(x)= .
在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜ ,则
x= =sinA+cosA= sin(A+ ).∴1＜x≤ .
(2)f(x)= +6,设t=x－1,则t∈(0, －1),y=2(t+ )+6在(0， －1 上是减函数，∴当x=( －1)+1= 时，f(x)的最小值为6 +8.
难点7 奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
●难点磁场
(★★★★)设a>0,f(x)= 是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.
●案例探究
［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f( )=－1,当且仅当0
命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.
知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.
错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.
技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定 的范围是焦点.
证明：(1)由f(x)+f(y)=f( ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( )=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0< <1,由题意知f( )<0，
即f(x2)
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)
知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.
错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.
解：设0
由f(2a2+a+1)
∴函数y=( ) 的单调减区间是［ ，+∞］
结合0
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.
复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.
(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )
A.f(x)=(x－1) B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
2.(★★★★★)函数f(x)= 的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称
二、填空题
3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.
4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0
5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a>1).
(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
6.(★★★★★)求证函数f(x)= 在区间(1，+∞)上是减函数.
7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)= ；
(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：
(1)f(x)是奇函数.
(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.
8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且
f(－ )=0,当x>－ 时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.
难点磁场
(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即 +aex.整理，得(a－ )
(ex－ )=0.因此，有a－ =0,即a2=1,又a>0,∴a=1
(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=
由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ >0,1－e ＜0,
∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数
证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x?(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x－1>0.
此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.
歼灭难点训练
一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.
答案：C
2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.
答案：C
二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1 上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1 上递减.
答案：(－∞,－1
4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞ 单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案：(－∞,0）
三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且 >0,
∴ >0,又x1+1>0,x2+1>0
∴ >0,
于是f(x2)－f(x1)= + >0
∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.
(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则 且由0＜ ＜1得0＜－ ＜1,即 ＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.
证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则 ＜－2, ＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则 >0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
6.证明：∵x≠0,∴f(x)= ,
设1＜x1＜x2＜+∞,则 .
∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）
7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.
(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］= .
∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］= =f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.
8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－ >－ ,由题意f(x2－x1－ )>0,
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－ )－1=f［(x2－x1)－ ］>0,
∴f(x)是单调递增函数.
(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn
难点10 函数图象与图象变换
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.
●难点磁场
(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围.
●案例探究
［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.
命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.
知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.
错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.
技巧与方法：数形结合、等价转化.
(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=
f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而 =a,∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.
［例2］如图，点A、B、C都在函数y= 的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；
(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.
命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.
知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.
错解分析：图形面积不会拆拼.
技巧与方法：数形结合、等价转化.
解：(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B
= (A′A+C′C)= ( ),
g(a)=S△A′BC′= A′C′?B′B=B′B= .
∴f(a)
1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.
2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是( )
2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )
二、填空题
3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________.
三、解答题
4.(★★★★)如图，在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).
(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);
(2)判断S=f(m)的增减性.
(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);
(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标.
6.(★★★★★)已知函数f(x)是y= －1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－ 的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的解析式及定义域；
(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由.
7.(★★★★★)已知函数f1(x)= ,f2(x)=x+2,
(1)设y=f(x)= ，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；
(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围.
(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1， ］，求b的值.
8.(★★★★★)设函数f(x)=x+ 的图象为C1，C1关于点A(2，1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).
(1)求g(x)的解析表达式；
(2)若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；
(3)解不等式logag(x)
难点磁场
解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1，0)，∴f(x)=a+b+c①,又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0②,①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0)
解法二：如图f(0)=0有三根，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax,∴b=
－3a,∵a>0,∴b＜0.
歼灭难点训练
一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.
答案：A
2.解析：由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C.又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降.
答案：D
二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>－2)
F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2)
=log2
∵x+1>0,∴F(x)≤ =－2
当且仅当x+1= ,即x=0时取等号.
∴F(x)max=F(0)=－2.
答案：－2
三、4.解：(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C.
(2)S=f(m)为减函数.
5.解：(1)依题意，设B(t, t),A(－t, t)(t>0),C(x0,y0).
∵M是BC的中点.∴ =1, =m.
∴x0=2－t,y0=2m－ t.在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0－ t=2m－3t.
∴S= |AB|?hAB= ?2t?(2m－3t),即f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1).
(2)∵S=－3t2+2mt=－3(t－ )2+ ,t∈(0,1 ,若 ，即 ＜m≤3,当t= 时，Smax= ,相应的C点坐标是(2－ , m),若 >1,即m>3.S=f(t)在区间(0，1］上是增函数，∴Smax=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3).
6.解：(1)y= －1的反函数为f(x)=lg (－1＜x＜1 .
由已知得g(x)= ,∴F(x)=lg + ,定义域为(－1，1).
(2)用定义可证明函数u= =－1+ 是(－1，1）上的减函数，且y=lgu是增函数.∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A、B.
7.解：(1）y=f(x)= .图略.
y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+ )π.
(2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－ ＜a≤1.
(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1， ］，则可解得b= .
8.(1)g(x)=x－2+ .(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0).
(3)不等式的解集为{x|4＜x＜ 或x>6 .
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2009年高考数学难点突破专题辅导十八
难点18 不等式的证明策略
不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.
●难点磁场
(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.
求证：(a+ )(b+ )≥ .
●案例探究
［例1］证明不等式 (n∈N*)
命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属★★★★★级题目.
知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.
错解分析：此题易出现下列放缩错误：
这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.
技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省.
证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；
(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+ ＜2 ，
∴当n=k+1时，不等式成立.
综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+ ＜2 .
另从k到k+1时的证明还有下列证法：
证法二：对任意k∈N*，都有：
证法三：设f(n)=
那么对任意k∈N* 都有：
∴f(k+1)＞f(k)
因此，对任意n∈N* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，
∴
［例2］求使 ≤a (x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.
命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于★★★★★级题目.
知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.
错解分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令 =cosθ， =sinθ(0＜θ＜ )，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的.
技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max；若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.
解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：
x+y+2 ≤a2(x+y)，即2 ≤(a2－1)(x+y)， ①
∴x，y＞0，∴x+y≥2 ， ②
当且仅当x=y时，②中有等号成立.
比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，
∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是 .
解法二：设 .
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，
∴ ≤1， 的最大值是1.
从而可知，u的最大值为 ，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值为 .
解法三：∵y＞0，
∴原不等式可化为 +1≤a ，
设 =tanθ，θ∈(0， ).
∴tanθ+1≤a ；即tanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθ= sin(θ+ )， ③
又∵sin(θ+ )的最大值为1(此时θ= ).
由③式可知a的最小值为 .
●锦囊妙计
1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.
2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.
证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
●歼灭难点训练
一、填空题
1.(★★★★★)已知x、y是正变数，a、b是正常数，且 =1，x+y的最小值为__________.
2.(★★★★)设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.
3.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________.
二、解答题
4.(★★★★★)已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.
求证：(1)a2+b2+c2≥
(2) ≤6
5.(★★★★★)已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= ，证明：x，y，z∈［0， ］
6.(★★★★★)证明下列不等式：
(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则 z2≥2(xy+yz+zx)
(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，
则 ≥2( )
7.(★★★★★)已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
(1)证明：niA ＜miA ；
(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
8.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1.
难点磁场
证法一：(分析综合法）
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤ 或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证.
证法二：(均值代换法)
设a= +t1，b= +t2.
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜ ，|t2|＜
显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立.
证法三：(比较法）
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤
证法四：(综合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ .
证法五：(三角代换法）
∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0， )
2
歼灭难点训练
一、1.解析：令 =cos2θ， =sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2 .
答案：a+b+2
2.解析：由0≤|a－d|＜|b－c| (a－d)2＜(b－c)2 (a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc
∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.
答案：ad＞bc
3.解析：把p、q看成变量，则m＜p＜n，m＜q＜n.
答案：m＜p＜q＜n
二、4.(1)证法一：a2+b2+c2－ = (3a2+3b2+3c2－1)
= ［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］
= ［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］
= ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥
证法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥
证法三：∵ ∴a2+b2+c2≥
∴a2+b2+c2≥
证法四：设a= +α，b= +β，c= +γ.
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a2+b2+c2=( +α)2+( +β)2+( +γ)2
= + (α+β+γ)+α2+β2+γ2
= +α2+β2+γ2≥
∴a2+b2+c2≥
∴原不等式成立.
证法二：
∴ ≤ ＜6
∴原不等式成立.
5.证法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2= ，得x2+y2+(1－x－y)2= ，整理成关于y的一元二次方程得：
2y2－2(1－x)y+2x2－2x+ =0，∵y∈R，故Δ≥0
∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+ )≥0，得0≤x≤ ，∴x∈［0， ］
同理可得y，z∈［0， ］
证法二：设x= +x′，y= +y′，z= +z′，则x′+y′+z′=0，
于是 =( +x′)2+( +y′)2+( +z′)2
= +x′2+y′2+z′2+ (x′+y′+z′)
= +x′2+y′2+z′2≥ +x′2+ = + x′2
故x′2≤ ，x′∈［－ ， ］，x∈［0， ］，同理y，z∈［0， ］
证法三：设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0， =x2+y2+z2≥x2+ ＞ ，矛盾.
x、y、z三数中若有最大者大于 ，不妨设x＞ ，则 =x2+y2+z2≥x2+ =x2+ = x2－x+
= x(x－ )+ ＞ ；矛盾.
故x、y、z∈［0， ］
∵上式显然成立，∴原不等式得证.
7.证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m?…?(m－i+1)，
，
由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有 ，
所以
(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+C m+C m2+…+C mn，
(1+n)m=1+C n+C n2+…+C nm，
由(1)知miA ＞niA (1＜i≤m ，而C =
∴miCin＞niCim(1＜m＜n
∴m0C =n0C =1，mC =nC =m?n，m2C ＞n2C ，…，
mmC ＞nmC ，mm+1C ＞0，…，mnC ＞0，
∴1+C m+C m2+…+C mn＞1+C n+C2mn2+…+C nm，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.
8.证法一：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6
=3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0.
即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因为2 ≤a+b≤2，
所以ab≤1.
证法二：设a、b为方程x2－mx+n=0的两根，则 ，
因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0 ①
因为2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)
所以n= ②
将②代入①得m2－4( )≥0，
即 ≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，
由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，
即n≤1，所以ab≤1.
证法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)
于是有6≥3ab(a+b)，从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=
(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）
证法四：因为
≥0，
所以对任意非负实数a、b，有 ≥
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以1= ≥ ，
∴ ≤1，即a+b≤2，(以下略）
证法五：假设a+b＞2，则
a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，
又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)
因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.
●案例探究
［例1］已知函数f(x)= (x<－2).
(1)求f(x)的反函数f-－1(x);
(2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn< 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.
知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.
错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{ }为桥梁求an,不易突破.
技巧与方法：(2)问由式子 得 =4,构造等差数列{ },从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.
解：(1)设y= ,∵x<－2,∴x=－ ,
即y=f－-1(x)=－ (x>0)
(2)∵ ，
∴{ }是公差为4的等差数列，
∵a1=1, = +4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an= .
(3)bn=Sn+1－Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,
设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数，
∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn< 成立.
［例2］设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)
命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.
错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.
技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值.
解法一：设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
化简得 .
设数列{lgan}前n项和为Sn,则
Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n?q1+2+…+(n－1)
=nlga1+ n(n－1)?lgq=n(2lg2+lg3)－ n(n－1)lg3
=(－ )?n2+(2lg2+ lg3)?n
可见，当n= 时，Sn最大.
而 =5,故{lgan}的前5项和最大.
解法二：接前， ,于是lgan=lg［108( )n－1］=lg108+(n－1)lg ,
∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg 为公差的等差数列，令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤ =5.5.
由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.
●锦囊妙计
1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.
2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.
3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若 ，则 Sn等于( )
C.2 D.－2
二、填空题
2.(★★★★)已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0
4.(★★★★)已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则 =_________.
三、解答题
5.(★★★★★)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.
6.(★★★★★)已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,由{an}中的部分项组成的数列
a ,a ,…,a ,…为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)记Tn=C b1+C b2+C b3+…+C bn,求 .
7.(★★★★)设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2?b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.
8.(★★★★★){an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)
(1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；
(2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列 为等差数列.
参考答案
难点磁场
解法一：将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+ d,得：
解法二：由 知，要求S3m只需求m［a1+ ］,将②－①得ma1+ d=70,∴S3m=210.
解法三：由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）.将Sm=30,S2m=100代入，得
,∴S3m=A?(3m)2+B?3m=210
解法四：S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)=S2m+(a1+…+am)+m?2md=S2m+Sm+2m2d.
由解法一知d= ,代入得S3m=210.
解法五：根据等差数列性质知：Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列，从而有：2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)
∴S3m=3(S2m－Sm)=210
解法六：∵Sn=na1+ d,
∴ =a1+ d
∴点(n, )是直线y= +a1上的一串点，由三点(m, ),(2m, ),(3m, )共线，易得S3m=3(S2m－Sm)=210.
解法七：令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70
∴a3=70+(70－30)=110
∴S3=a1+a2+a3=210
答案：210
歼灭难点训练
一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意， ，而a1=－1,故q≠1,
∴ ,根据等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数列，且它的公比为q5,∴q5=－ ,即q=－ .
∴
答案：B
二、2.解析：解出a、b,解对数不等式即可.
答案：(－∞,8)
3.解析：利用S奇/S偶= 得解.
答案：第11项a11=29
4.解法一：赋值法.
解法二：
b=aq,c=aq2,x= (a+b)= a(1+q),y= (b+c)= aq(1+q),
= =2.
答案：2
三、5.(1)解：依题意有：
解之得公差d的取值范围为－ ＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12,∴ ，∵d＜0,∴2－ ＜k≤3－
∵－ ＜d＜－3,∴ ＜－ ＜4,得5.5＜k＜7.
因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，因此，若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13= S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12= S12>0,∴a6≥－a7>0,故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依题意得：
最小时，Sn最大；
∵－ ＜d＜－3,∴6＜ (5－ )＜6.5.从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5－ )］2最小，所以S6最大.
点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk,1≤k≤12,思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0，思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.
6.解：(1)由题意知a52=a1?a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d) a1d=2d2,
∵d≠0,∴a1=2d,数列{ }的公比q= =3,
∴ =a1?3n－1 ①
又 =a1+(bn－1)d= ②
由①②得a1?3n－1= ?a1.∵a1=2d≠0,∴bn=2?3n－1－1.
(2)Tn=C b1+C b2+…+C bn=C (2?30－1)+C ?(2?31－1)+…+C (2?3n－1－1)= (C +C ?32+…+C ?3n)－(C +C +…+C )= ［(1+3)n－1］－(2n－1)= ?4n－2n+ ,
7.解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3,b2?b4=b32,
已知a2+a4=b3,b2?b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,
得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3= ,a3= .
由a1=1,a3= ，知{an}的公差d=－ ,
∴S10=10a1+ d=－ .
由b1=1,b3= ,知{bn}的公比q= 或q=－ ,
8.证明：(1）∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,
∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.
(2）原方程不同的根为xk=
难点19 解不等式
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.
●难点磁场
(★★★★)解关于x的不等式 ＞1(a≠1).
●案例探究
［例1］已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时 ＞0.
(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；
(2)解不等式：f(x+ )＜f( )；
(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围.
命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.
知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.
错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+ ∈［－1，1］， ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.
技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.
(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)= ?(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知 ＞0，又 x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数.
(2)解：∵f(x)在［－1，1］上为增函数，
∴ 解得：{x|－ ≤x＜－1，x∈R}
(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值范围是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.
［例2］设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M ［1，4］，求实数a的取值
范围.
命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.
错解分析：M= 是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错.
技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.
解：M ［1，4］有n种情况：其一是M= ，此时Δ＜0；其二是M≠ ，此时Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M= ［1，4］
(2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2} ［1，4］.
(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M ［1，4］ 1≤x1＜x2≤4
即 ，解得：2＜a＜ ，
∴M ［1，4］时，a的取值范围是(－1， ).
●锦囊妙计
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法.
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.
(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)设函数f(x)= ，已知f(a)＞1，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(－ ，+∞) B.(－ ， )
C.(－∞，－2)∪(－ ，1) D.(－2，－ )∪(1，+∞)
二、填空题
2.(★★★★★)已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是( ， )，则f(x)?g(x)＞0的解集是__________.
3.(★★★★★)已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________.
三、解答题
4.(★★★★★)已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3.
(1)求p的值；
(2)若f(x)= ，解关于x的不等式f-－1(x)＞ (k∈R+)
5.(★★★★★)设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)= ，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切实数x都成立，证明你的结论.
6.(★★★★★)已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2.
(1)求p、q之间的关系式；
(2)求p的取值范围；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sinθ)的最小值.
7.(★★★★)解不等式loga(x－ )＞1
8.(★★★★★)设函数f(x)=ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1 时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围.
难点磁场
解：原不等式可化为： ＞0，
即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
当a＞1时，原不等式与(x－ )(x－2)＞0同解.
若 ≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若 ＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞， )∪(2，+∞).
当a＜1时，若a＜0，解集为( ，2)；若0＜a＜1，解集为(2， )
综上所述：当a＞1时解集为(－∞， )∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2， )；当a=0时，解集为 ；当a＜0时，解集为( ，2）.
歼灭难点训练
一、1.解析：由f(x)及f(a)＞1可得：
① 或 ② 或 ③
解①得a＜－2，解②得－ ＜a＜1，解③得x∈
∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(－ ，1）
答案：C
二、
2.解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－ ).由f(x)?g(x)＞0可得：
∴x∈(a2， )∪(－ ，－a2)
答案：(a2， )∪(－ ，－a2)
3.解析：原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得 解得a∈［－2，2］.
答案：［－2，2］
三、
4.解：(1)∵适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3，
∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x.
若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，其解集不可能为{x|x≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p.
∴原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，令x2－5x+p－2=(x－3)(x－m)，可得m=2，p=8.
(2)f(x)= ，∴f-－1(x)=log8 (－1＜x＜1 ，
∴有log8 ＞log8 ，∴log8(1－x)＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k.
∵－1＜x＜1，k∈R+，∴当0＜k＜2时，原不等式解集为{x|1－k＜x＜1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1 .
5.解：由f(1)= 得a+b+c= ，令x2+ =2x2+2x+ x =－1，由f(x)≤2x2+2x+ 推得
f(－1)≤ .
由f(x)≥x2+ 推得f(－1)≥ ，∴f(－1)= ，∴a－b+c= ，故
2(a+c)=5，a+c= 且b=1，∴f(x)=ax2+x+( －a).
依题意：ax2+x+( －a)≥x2+ 对一切x∈R成立，
∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，
∴f(x)= x2+x+1
易验证： x2+x+1≤2x2+2x+ 对x∈R都成立.
∴存在实数a= ，b=1，c=1，使得不等式：x2+ ≤f(x)≤2x2+2x+ 对一切x∈R都成立.
6.解：(1)∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即当x∈［－1，1］时，f(x)≤0，当x∈［1，3］时，f(x)≥0，∴当x=1时f(x)=0.∴1+p+q=0，∴q=－(1+p)
(2)f(x)=x2+px－(1+p)，
当sinθ=－1时f(－1)≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0
(3)注意到f(x)在［1，3］上递增，∴x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3.
此时，f(x)=x2+3x－4，即求x∈［－1，1］时f(x)的最小值.又f(x)=(x+ )2－ ，显然此函数在［－1，1］上递增.
∴当x=－1时f(x)有最小值f(－1)=1－3－4=－6.
7.解：(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组
由此得1－a＞ .因为1－a＜0，所以x＜0，∴ ＜x＜0.
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：
由 ①得x＞1或x＜0，由②得0 ＜x＜ ，∴1＜x＜ .
综上，当a＞1时，不等式的解集是{x| ＜x＜0 ，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜ }.
8.解：由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)，x∈(0，1 恒成立.
在x∈(0，1 恒成立.
整理，当x∈(0，1)时， 恒成立，即当x∈(0，1 时， 恒成立，且x=1时， 恒成立，
∵ 在x∈(0，1 上为减函数，∴ ＜－1，
∴m＜ 恒成立 m＜0.
又∵ ，在x∈(0，1 上是减函数，
∴ ＜－1.
∴m＞ 恒成立 m＞－1当x∈(0，1)时， 恒成立 m∈(－1，0)①
当x=1时， ，即是 ∴m＜0 ②
∴①、②两式求交集m∈(－1，0）,使x∈(0，1 时，f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，m的取值范围是(－1，0)
难点16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
●难点磁场
(★★★★★)已知 ＜β＜α＜ ,cos(α－β)= ,sin(α+β)=－ ,求sin2α的值_________.
●案例探究
［例1］不查表求sin220°+cos280°+ cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.
知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.
错解分析：公式不熟，计算易出错.
技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
解法一：sin220°+cos280°+ sin220°cos80°
= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°
=1－ cos40°+ cos160°+ sin20°cos(60°+20°)
=1－ cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)
=1－ cos40°－ cos40°－ sin40°+ sin40°－ sin220°
=1－ cos40°－ (1－cos40°)=
解法二：设x=sin220°+cos280°+ sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－ cos20°sin80°，则
x+y=1+1－ sin60°= ，x－y=－cos40°+cos160°+ sin100°
=－2sin100°sin60°+ sin100°=0
∴x=y= ，即x=sin220°+cos280°+ sin20°cos80°= .
［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)= 的a值，并对此时的a值求y的最大值.
命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目
知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.
技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
解：由y=2(cosx－ )2－ 及cosx∈［－1，1］得：
f(a)
∵f(a)= ,∴1－4a= a= ［2,+∞
故－ －2a－1= ，解得：a=－1，此时，
y=2(cosx+ )2+ ，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.
［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+ )－ sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；
(3)若当x∈［ ， ］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.
命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.
错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.
技巧与方法：等价转化，逆向思维.
解：(1)f(x)=2cosxsin(x+ )－ sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos +cosxsin )－ sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+ cos2x=2sin(2x+ )
∴f(x)的最小正周期T=π
(2)当2x+ =2kπ－ ，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
(3)令2sin(2x+ )=1，又x∈［ ］,
∴2x+ ∈［ , ］,∴2x+ = ，则
x= ，故f-－1(1)= .
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.
2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈
(－ )，则tan 的值是( )
A. B.－2 C. D. 或－2
二、填空题
2.(★★★★)已知sinα= ，α∈( ，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_________.
3.(★★★★★)设α∈( )，β∈(0， )，cos(α－ )= ，sin( +β)= ，则sin(α+β)=_________.
三、解答题
4.不查表求值:
5.已知cos( +x)= ，( ＜x＜ )，求 的值.
6.(★★★★★)已知α－β= π，且α≠kπ(k∈Z).求 的最大值及最大值时的条件.
7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.
8.(★★★★★)已知cosα+sinβ= ，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y= 的最小值，并求取得最小值时x
的值.
参考答案
解法一：∵ ＜β＜α＜ ,∴0＜α－β＜ .π＜α+β＜ ,
∴sin(α－β)=
∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)
解法二：∵sin(α－β)= ,cos(α+β)=－ ,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－
∴sin2α=
歼灭难点训练
一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.
tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－ , )∴α、β∈(－ ,θ),则 ∈(－ ,0),又tan(α+β)= ,
整理得2tan2 =0.解得tan =－2.
答案：B
2.解析：∵sinα= ,α∈( ,π),∴cosα=－
则tanα=－ ,又tan(π－β)= 可得tanβ=－ ,
答案：
3.解析：α∈( ),α－ ∈(0, ),又cos(α－ )= .
答案：
三、4.答案：2
（k∈Z）, （k∈Z）
∴当 即 （k∈Z）时, 的最小值为－1.
7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则
｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y= x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q( sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－ sinθ.
于是SPQRS=sinθ(cosθ－ sinθ)= ( sinθcosθ－sin2θ)= ( sin2θ－ )= ( sin2θ+ cos2θ－ )= sin(2θ+ )－ .
∵0＜θ＜ ,∴ ＜2θ+ ＜ π.∴ ＜sin(2θ+ )≤1.
∴sin(2θ+ )=1时，PQRS面积最大，且最大面积是 ，此时，θ= ，点P为 的中点，P( ).
8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+( )2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t= ,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤ .x= .
难点17 三角形中的三角函数式
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●难点磁场
(★★★★★)已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B. ，求cos 的值.
●案例探究
［例1］在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.
知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.
错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.
技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB?cos30°－cosACB?sin30° .
在△ACD中，据正弦定理得 ，
∴
答：此时船距岛A为 千米.
［例2］已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos ，f(x)=cosB( ).
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)判断其单调性，并加以证明；
(3)求这个函数的值域.
命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.
错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.
技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意| |的范围.
解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤| |＜60°，∴x=cos ∈( ，1
又4x2－3≠0，∴x≠ ，∴定义域为( ， )∪( ，1］.
(2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=
= ，若x1，x2∈( )，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈( ，1］，则4x12－3＞0.
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在( , )和( ，1 上都是减函数.
(3)由(2)知，f(x)＜f( )=－ 或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域为(－∞，－ )∪［2，+∞ .
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则 的值为__________.
3.(★★★★)在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－ ，sinB= ，则cos2(B+C)=__________.
三、解答题
4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.
5.(★★★★★)如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k? ，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
6.(★★★★)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， .
(1)求角A的度数；
(2)若a= ，b+c=3，求b和c的值.
7.(★★★★)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C= ，试求∠A、∠B、∠C的值.
8.(★★★★★)在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.
参考答案
难点磁场
解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°.
设α= ，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，
依题设条件有
整理得4 cos2α+2cosα－3 =0(M)
(2cosα－ )(2 cosα+3)=0，∵2 cosα+3≠0，
∴2cosα－ =0.从而得cos .
解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°
①，把①式化为cosA+cosC=－2 cosAcosC ②，
利用和差化积及积化和差公式，②式可化为
③，
将cos =cos60°= ，cos(A+C)=－ 代入③式得：
④
将cos(A－C)=2cos2( )－1代入 ④：4 cos2( )+2cos －3 =0，(*)，
歼灭难点训练
一、1.解析：其中(3）(4）正确.
答案： B
二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，
答案：
3.解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=－ ，∴sin(2A+C)= .
∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB= .故cosB= .
即sin(A+C)= ，cos(A+C)=－ .
∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－ ，
∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= .
答案：
三、4.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：
S=S△ABD+S△CDB= ?AB?ADsinA+ ?BC?CD?sinC
∵A+C=180°，∴sinA=sinC
故S= (AB?AD+BC?CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB?AD?cosA=20－16cosA
在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB?CD?cosC=52－48cosC
∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
∴64cosA=－32，cosA=－ ，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8 .
5.解：R=rcosθ，由此得： ，
7.解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3ac
∴sin2B=3sinC?sinA=3(－ )［cos(A+C)－cos(A－C)］
∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－ ［cos(A+C)－cos ］
即1－cos2(A+C)=－ cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ .
∵0＜A+C＜π，∴A+C= π.又A－C= ∴A= π，B= ，C= .
8.解：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，
由正弦定理知： .∴BP=
在△PBD中， ,
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，
sin(60°+2θ)=1，此时x取得最小值 a，即AD最小，∴AD∶DB=2 －3.
难点13 数列的通项与求和
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.
●难点磁场
(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列{an}的前3项.
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
(3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n).
●案例探究
［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 .
命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.
错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.
技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣.
解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，
∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b?qn－1=4?(－2)n－1
(2)令 =dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),
∴dn=an+1－an=2,
∴ =2,即cn=2?bn=8?(－2)n－1；∴Sn= ［1－(－2)n］.
∴
［例2］设An为数列{an}的前n项和，An= (an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;
(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br－Dn，求 .
命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.
知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.
错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清.
技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解.
解：(1)由An= (an－1)，可知An+1= (an+1－1)，
∴an+1－an= (an+1－an)，即 =3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.
(2)∵32n+1=3?32n=3?(4－1)2n=3?［42n+C ?42n－1(－1)+…+C ?4?(－1)+(－1)2n］=4n+3，
∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4－1)2n=42n+C ?42n－1?(－1)+…+C ?4?(－1)+(－1)2n=(4k+1)，
∴32n {bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.
(3)由32n+1=4?r+3，可知r= ，
∴Br= ，
●锦囊妙计
1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.
2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an=
3.求通项常用方法
①作新数列法.作等差数列与等比数列.
②累差叠加法.最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1.
③归纳、猜想法.
4.数列前n项和常用求法
①重要公式
1+2+…+n= n(n+1)
12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2
②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：
④错项相消法
⑤并项求和法
数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.
●歼灭难点训练
一、填空题
1.(★★★★★)设zn=( )n，(n∈N*)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，则 Sn=_________.
2.(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.
二、解答题
3.(★★★★)数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an?an+1－
nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.
(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由.
4.(★★★★)数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞ 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
5.(★★★★★)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1.
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足：b1= a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).试问当m为何值时， 成立？
6.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项bn；
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论.
7.(★★★★★)设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f( )(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.
参考答案
难点磁场
解析：(1)由题意，当n=1时，有 ，S1=a1，
∴ ，解得a1=2.当n=2时，有 ，S2=a1+a2，将a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6.当n=3时，有 ，S3=a1+a2+a3，将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10.故该数列的前3项为2，6，10.
(2）解法一：由(1）猜想数列{an}.有通项公式an=4n－2.下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是an=4n－2，(n∈N*）.
①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立.
②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有 ，将ak=4k－2.代入上式，解得2k= ，得Sk=2k2，由题意，有 ，Sk+1=Sk+ak+1，将Sk=2k2代入得( )2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，即当n=k+1时，上述结论成立.根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N*成立.
解法二：由题意知 ，(n∈N*).整理得，Sn= (an+2)2,由此得Sn+1= (an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn= ［(an+1+2)2－(an+2)2］.整理得(an+1+an）(an+1－an－4)=0，由题意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，即数列{an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4.∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为an=4n－2.
解法三：由已知得 ,(n∈N*)①，所以有 ②，由②式得 ，整理得Sn+1－2 ? +2－Sn=0，解得 ，由于数列{an}为正项数列，而 ，因而 ，即{Sn}是以 为首项，以 为公差的等差数列.所以 = +(n－1) = n,Sn=2n2，
故an= 即an=4n－2(n∈N*).
(3)令cn=bn－1，则cn=
歼灭难点训练
一、
答案：1+
2.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an= ，正三角形的内切圆构成等比数列{rn}，可得rn= a,
∴这些圆的周长之和c= 2π(r1+r2+…+rn)= a2，
面积之和S= π(n2+r22+…+rn2)= a2
答案：周长之和 πa，面积之和 a2
二、3.解：(1）可解得 ，从而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
(3)Tn－Sn=2n－n2－1，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2＜S2；n=3时，T3＜S3;n=4时，T4＜S4；n=5时，T5＞S5；n=6时T6＞S6.猜想当n≥5时，Tn＞Sn，即2n＞n2+1
可用数学归纳法证明(略）.
4.解：(1）由an+2=2an+1－an an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，
d= =－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞ 总成立，需 ＜T1= 成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.
5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－man+1，即(m+1)an+1=man对任意正整数n都成立.
∵m为常数，且m＜－1
∴ ，即{ }为等比数列.
(2)当n=1时，a1=m+1－ma1，∴a1=1，从而b1= .
由(1)知q=f(m)= ，∴bn=f(bn－1)= (n∈N*,且n≥2)
∴ ，即 ，∴{ }为等差数列.∴ =3+(n－1)=n+2，
(n∈N*).
6.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得： 解得b1=1,d=3,
∴bn=3n－2.
(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ )
=loga［(1+1)(1+ )…(1+ )］， logabn+1=loga .
因此要比较Sn与 logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+ )…(1+ )与 的大小，
取n=1时，有(1+1)＞
取n=2时，有(1+1)(1+ )＞ …
由此推测(1+1)(1+ )…(1+ )＞ ①
若①式成立，则由对数函数性质可判定：
当a＞1时，Sn＞ logabn+1， ②
当0＜a＜1时，Sn＜ logabn+1， ③
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k时(k≥1），①式成立，即：
.那么当n=k+1时，
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n都成立.
由此证得：
当a＞1时，Sn＞ logabn+1；当0＜a＜1时，Sn＜ logabn+1.
7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.
∴a2= .
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.
∴ ,n=2,3,4…,所以{an}是一个首项为1公比为 的等比数列；
(2)由f(t)= = ,得bn=f( )= +bn－1.
可见{bn}是一个首项为1，公差为 的等差数列.
于是bn=1+ (n－1)= ;
(3)由bn= ,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和 ，公差均为 的等差数列，于是b2n= ,
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
=－ (b2+b4+…+b2n)=－ ? n( + )=－ (2n2+3n)
难点14 数列综合应用问题
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
●难点磁场
(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x= 处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式；
(2)若任意实数x都满足等式f(x)?g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；
(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.
●案例探究
［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.
知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.
错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.
技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.
解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－ )万元，…第n年投入为800×(1－ )n－1万元，所以，n年内的总投入为
an=800+800×(1－ )+…+800×(1－ )n－1= 800×(1－ )k－1
=4000×［1－( )n］
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+ )，…，第n年旅游业收入400×(1+ )n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k－1= 400×( )k－1.
=1600×［( )n－1］
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：
1600×［( )n－1］－4000×［1－( )n］＞0，令x=( )n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜ ，或x＞1(舍去).即( )n＜ ，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
［例2］已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2恒成立.
命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.
错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.
技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2.
解：∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
∴f(n) min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然数n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2恒成立
只要 ＞［logm(m－1)］2－ ［log(m－1)m］2成立即可
由 得m＞1且m≠2
此时设［logm(m－1)］2=t 则t＞0
于是 解得0＜t＜1
由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
解得m＞ 且m≠2.
●锦囊妙计
1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.
2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：
(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.
(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
2.(★★★★★)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.
3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.
4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十?五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十?五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).
(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；
(2)求bn和 ，其中Sn=b1+b2+…+bn；
(3)设r=219.2－1，q= ，求数列{ }的最大项和最小项的值.
6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金 元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；
(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求 Pn(b).
7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：
(1)2001年回收废旧物资多少吨？
(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？
(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？
8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….
(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);
(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；
(3)求 xn.
参考答案
解：(1)设f(x)=a(x－ )2－ ，由f(1)=0得a=1.
∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.
(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：
(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：
且t≠0，解得an= ［(t+1)n+1－1］，bn= ［1－(t+1 n)
(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1= ｜an+1－an｜= (t+1)n+1
设{rn}的公比为q，则
②÷①得q= =t+1，代入①得rn=
∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)= ［(t+1)2n－1］
歼灭难点训练
一、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1
由｜x1－x2｜= ，得dn= ，∴d1+d2+…+dn
答案：A
二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,
∴P1(2,2),P2(3,4).∴ =(3,4)
∴
答案：1
3.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－ )升，第二次有纯酒精a(1－ )－ ，即a(1－ )2升，故第n次有纯酒精a(1－ )n升.
答案：a(1－ )n
4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).
答案：120000
三、
5.解：(1)由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1.由题设r＞0,q＞0,故从上式可得：q2－q－1＜0，解得 ＜q＜ ,因q＞0,故0＜q＜ ;
(2)∵ .b1=1+r≠0，所以{bn}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而bn=(1+r)qn-1.
当q=1时，Sn=n(1+r),
,从上式可知，当n－20.2＞0，即n≥21(n∈N*)时，Cn随n的增大而减小，故
1＜Cn≤C21=1+ =2.25 ①
当n－20.2＜0，即n≤20(n∈N*)时，Cn也随n的增大而减小，故1＞Cn≥C20=1+ =－4 ②
综合①②两式知，对任意的自然数n有C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25，最小项C20=－4.
6.解：(1)第1位职工的奖金a1= ，第2位职工的奖金a2= (1－ )b，第3位职工的奖金a3= (1－ )2b，…，第k位职工的奖金ak= (1－ )k－1b;
(2)ak－ak+1= (1－ )k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.
(3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f1(b)=(1－ )b,f2(b)=(1－ )2b,…,fk(b)=(1－ )kb.得Pn(b)=fn(b)=(1－ )nb,
故 .
7.解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.
(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
(2)S6= =99.2992≈99.3(万吨)
∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)
(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，
∴从1996年到2001年共节约：
≈3 平方公里.
8.解：(1)当n≥3时，xn= ;
由此推测an=(－ )n-1a(n∈N)
证法一：因为a1=a＞0,且
(n≥2)
所以an=(－ )n-1a.
证法二：用数学归纳法证明：
(ⅰ)当n=1时，a1=x2－x1=a=(－ )0a,公式成立；
(ⅱ)假设当n=k时，公式成立，即ak=(－ )k－1a成立.
那么当n=k+1时，
ak+1=xk+2－xk+1=
据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n∈N，公式an=(－ )n-1a成立.
(3)当n≥3时，有xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1
=an－1+an－2+…+a1,
由(2)知{an}是公比为－ 的等比数列，所以 a.
难点15 三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.
●难点磁场
(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－ )＞0,试证不等式f(x)= x＜2对一切非零实数都成立.
●案例探究
［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.
命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.
错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.
技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
解法一：∵z1=2z2，
∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴
∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－ )2－ .
当sinθ= 时λ取最小值－ ，当sinθ=－1时，λ取最大值2.
解法二：∵z1=2z2 ∴
∴ ,
∴ =1.
∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4,
令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则 或f(0)?f(4)≤0
∴
∴－ ≤λ≤0或0≤λ≤2.
∴λ的取值范围是［－ ，2］.
［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？
命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.
错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.
技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.
解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：
由①②整理得：v0cosθ=
∴v02+gLsinα= g2t2+ ≥ =gL
运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh= mv02,
∴v02=2gh,∴L≤ =200(m)
即Lmax=200(m),又 g2t2= .
∴
得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°.
［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这段时间的最大温差.
(2)写出这段曲线的函数解析式.
命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.
知识依托：依据图象正确写出解析式.
错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.
技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.
解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；
(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.
∴ =14－6,解得ω= ,由图示A= (30－10)=10，b= (30+10)=20，这时y=10sin( x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ= π.综上所求的解析式为y=10sin( x+
π)+20,x∈［6,14］.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.
2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.
3.三角函数与实际问题的综合应用.
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=－x?cosx的部分图象是( )
2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin( +x)是( )
A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数
C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数
二、填空题
3.(★★★★)函数f(x)=( )｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.
4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－ ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________.
三、解答题
5.(★★★★)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.
(1)求证：b+c=－1；
(2)求证c≥3；
(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.
6.(★★★★★)用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.
7.(★★★★★)有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.
8.(★★★★)设－ ≤x≤ ，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.
9.(★★★★★)是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a?cosx+ a－ 在闭区间［0， ］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.
难点磁场
证明：若x＞0，则α+β＞ ∵α、β为锐角，∴0＜ －α＜β＜ ;0＜ －β＜ ,∴0＜sin( －α)＜sinβ.0＜sin( －β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜ ＜1,0＜ ＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜ ,∵α、β为锐角，0＜β＜ －α＜ ,0＜α＜ －β＜ ,0＜sinβ＜sin( －α),∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin( －β),∴sinα＜cosβ,∴ ＞1, ＞1,
∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.
歼灭难点训练
一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, )时，
y＜0.
答案：D
2.解析：f(x)=cos2x+sin( +x)=2cos2x－1+cosx
=2［(cosx+ ］－1.
答案：D
二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－ ,0］及［ ,π］.而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－ ,0］及［ ,π］为f(x)的递减区间.
4.解：由－ ≤ωx≤ ，得f(x)的递增区间为［－ , ］，由题设得
三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.
从而知f(1)=0∴b+c+1=0.
(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.
(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－ )2+c－( )2,
当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由 解得b=－4,c=3.
6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).
∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤ (当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V1=( xysinα)b= .同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V2= ab2cos ,
∵a＞b,∴V1＞V2
从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为 a2bcos .
7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则
∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中， ，
∴PQ= Rsin(45°－θ).S矩形MNPQ=QP?NP= R2sinθsin(45°－θ)= R2?［cos(2θ－45°)－ ］≤ R2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为 R2.
工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为 R2.
8.解：∵在［－ ］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函数可化为y=
log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－ ］上恒成立，∴原函数即是y=2log2cosx,在x∈［
－ ］上， ≤cosx≤1.
∴log2 ≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－ ］上，ymax=0,
ymin=－1.
综合上述知，存在 符合题设.
难点11 函数中的综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值.
●案例探究
［例1］设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0, ］,都有f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f( )、f( );
(2)证明f(x)是周期函数；
(3)记an=f(n+ ),求
命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)找到问题的突破口.
错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)进行合理变形.
技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)?f(x2)变形为 是解决问题的关键.
(1) 解：因为对x1,x2∈［0, ］,都有f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),所以f(x)= ≥0,
x∈［0,1］
又因为f(1)=f( + )=f( )?f( )=［f( )］2
f( )=f( + )=f( )?f( )=［f（ ）］2
又f(1)=a>0
∴f( )=a ,f( )=a
(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R
∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个
周期.
(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］
∵f( )=f(n? )=f( +(n－1) )=f( )?f((n－1)? )
=……
=f( )?f( )?……?f( )
=［f( )］n=a
∴f( )=a .
又∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n+ )=f( ),因此an=a
∴
［例2］甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.
解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运输成本为y=a? +bv2? =S( +bv)
∴所求函数及其定义域为y=S( +bv),v∈(0,c .
(2)依题意知，S、a、b、v均为正数
∴S( +bv)≥2S ①
当且仅当 =bv,即v= 时，①式中等号成立.若 ≤c则当v= 时，有ymin；
若 >c,则当v∈(0,c 时，有S( +bv)－S( +bc)
=S［( － )+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0,且c>bc2,∴a－bcv≥a－bc2>0
∴S( +bv)≥S( +bc),当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，有ymin；
综上可知，为使全程运输成本y最小，当 ≤c时，行驶速度应为v= ,当 >c时行驶速度应为v=c.
解法二：(1)同解法一.
(2)∵函数y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),当x∈(0, )时，y单调减小，当x∈( ,+∞)时y单调增加，当x= 时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=Sb(v+ ),v∈(0,c .
∴当 ≤c时，则当v= 时，y最小，若 >c时，则当v=c时，y最小.结论同上.
●锦囊妙计
在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=x+a与y=logax的图象可能是( )
2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
二、填空题
3.(★★★★)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_________.
三、解答题
4.(★★★★)设a为实数，函数f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R.
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的最小值.
5.(★★★★★)设f(x)= .
(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性；
(2)证明：方程f-1(x)=0有惟一解；
(3)解不等式f［x(x－ )］< .
6.(★★★★★)定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f( );②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.
求证： .
7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.
8.(★★★★★)已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin2θ－mcosθ－2m,θ∈［0, ］,设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N.
［学法指导］怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质，强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.
参考答案
难点磁场
(1）证明：令x=y=0,得f(0)=0
令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)
∴f(x)是奇函数
(2）解：1°,任取实数x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,这时，x2－x1>0,f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)
因为x>0时f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0
∴f(x)在［－9，9］上是减函数
故f(x)的最大值为f(－9),最小值为f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.
∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.
歼灭难点训练
一、1.解析：分类讨论当a>1时和当0＜a＜1时.
答案：C
2.解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,
则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.
g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.
又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.
g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).
即①与③成立.
答案：C
二、3.解析：设2x=t>0，则原方程可变为t2+at+a+1=0 ①
方程①有两个正实根，则
解得：a∈(－1,2－2 .
答案：(－1，2－2
三、4.解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶
函数.
(2)①当x≤a时，函数f(x)=x2－x+a+1=(x－ )2+a+ ,若a≤ ,则函数f(x)在(－∞,a 上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a 上的最小值为f(a)=a2+1.
若a> ,则函数f(x)在(－∞,a 上的最小值为f( )= +a,且f( )≤f(a).
②当x≥a时，函数f(x)=x2+x－a+1=(x+ )2－a+ ;当a≤－ 时，则函数f(x)在［a,+∞ 上的最小值为f(－ )= －a,且f(－ )≤f(a).若a>－ ,则函数f(x)在［a,+∞)上单调递增，从而，函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.
综上，当a≤－ 时，函数f(x)的最小值是 －a,当－ ＜a≤ 时，函数f(x)的最小值是a2+1;当a> 时，函数f(x)的最小值是a+ .
5.(1)证明：由 得f(x)的定义域为(－1，1)，易判断f(x)在(－1，1)内是减函数.
(2)证明：∵f(0)= ,∴f-－1( )=0,即x= 是方程f-－1(x)=0的一个解.若方程f-－1(x)=0还有另一个解x0≠ ,则f-－1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0≠ ,与已知矛盾，故方程f-－1(x)=0有惟一解.
(3)解：f［x(x－ )］＜ ,即f［x(x－ )］＜f(0).
6.证明：对f(x)+f(y)=f( )中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x1＜x2＜0,则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f( ),∵－1＜x1＜x2＜0,∴x1－x2＜0,1－x1x2>0.∴ ＜0,于是由②知f( )>0,从而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.
7.解：(1)因污水处理水池的长为x米，则宽为 米，总造价y=400(2x+2× )+248× ×2+80×200=800(x+ )+1600,由题设条件
解得12.5≤x≤16,即函数定义域为［12.5，16］.
(2)先研究函数y=f(x)=800(x+ )+16000在［12.5,16］上的单调性，对于任意的x1,x2∈［12.5,16］,不妨设x1＜x2,则f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324( )］=800(x2－x1)(1－ ),∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0＜x1x2＜162＜324,∴ >1,即1－ ＜0.又x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)＜0,即f(x2)＜f(x1),故函数y=f(x)在［12.5,16］上是减函数.∴当x=16时，y取得最小值，此时，ymin=800(16+ )+16000=45000(元)， =12.5(米）
综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.
8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数.
又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当f(x)＜0时，有x＜－1或0＜x＜1,
则集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝ ={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1 ,
∴M∩N={m|g(θ)＜－1 .由g(θ)＜－1,得cos2θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0, ］,令x=cosθ,x∈［0,1］得：x2>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y1=x2,x∈［0,1］及②y2=m(m－2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x∈［0,1］得y1>y2.∴m>4－2 ,故M∩N={m|m>4－2 }.