偶看新闻蝎子销路:什么是偶函数.奇函数
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/28 15:37:07
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．
如 果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．
说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇
(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：f(x)
(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，
当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数．
(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形．
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证．
例 如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．
解 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0
则有－x1＞－x2＞0，
∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，
∴f(－x1)＞f(－x2)
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立，
∴=－f(x1)＞－f(x2)
∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同．
类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反．
时，f(x)的解析式
解 ∵x＜0，∴－x＞0．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．
偶函數
f(x) = x2，偶函數的一個例子
設f(x)為一實變數實值函數，則f為偶函數若下列的方程對所有實數x都成立：
f(x) = f( ? x)
幾何上，一個偶函數會對y軸對稱，亦即其圖在對y軸為鏡射後不會改變。
偶函數的例子有x、x2、x4、cos(x)和cosh(sec)(x)。
偶函數不可能是個雙射映射。
奇函數
f(x) = x，奇函數的一個例子
再次地，設f(x)為一個實變數實值函數，則f為奇函數若下列的方程對所有實數x都成立：
f(x) = ? f( ? x) 或 f( ? x) = ? f(x)
幾何上，一個奇函數對原點對稱，亦即其圖在繞原點做180度旋轉後不會改變。
奇函數的例子有x、x3、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。