标准nano sim卡图片:专题一：新课程理念下运算教研的研讨 第一讲：案例研讨

第一讲：案例研讨
一、关于估算教学的思考
估算在数学课程中得到了强调，《全日制义务教育课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）中在第一、二学段的“数与代数”中共有45条具体目标，其中有关估算的目标就有6条。实验教材也大大增强了估算的份量，教师们更是在估算教学中进行着积极探索。但由于理论研究的缺乏、课程设计及实践的经验不足，教师们在估算教学和评价中遇到了许多困惑，本专题我们就一起对估算的价值和估算能力的培养进行讨论，希望能引起老师们一些思考。
在我们的生活经验当中，估计是非常普遍的。有学者将估计的形式分为了三种：数量估计（大约有多少，有人称之为估数）、测量估计（即我们所说的估测）计算估计(即我们所说的估算)。这里讨论的是估算，先从具体案例入手。需要说明的是，通过案例的讨论，并不一定非要取得一个共识，只是希望通过案例引发老师们的进一步思考。
【案例1】 “尴尬”的估算
案例描述：
学生已经有了一定的估算基础，在具体情境中让学生用估算解决问题时，出现了以下三种情境。
情境一：
教师出示以下题目，请学生进行估算。
东方书报亭10月上旬的营业额（单元：元），你能估计出这个月上旬的营业额吗？
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
营业额
206
201
206
204
205
198
196
198
195
203
生1：我把这些数都估成200，200×10=2000（元）
生2：我把206、205看作210，其他的数都看作200，210×3+200×7=2030（元）
其他学生也表示同意，这时一个学生站起来：老师，我也算出来，比他们算得更准确，得2012元。
教师应该如何处理呢？
情境二：
某校期末考试卷上一道估算题：
每个足球78元，要买2个足球，请你估计150元够吗？
阅卷时发现，学生几乎全是用精算算出结果的，即78×2=156（元）156﹥150，所以不够。
学生这样解答算不算对？给不给分？
情境三：
（1）课上通过一个实际问题，引入了估算。
（2）抽象地谈在一个算式中，每个数可以怎么进行估计。
——“388”可以怎么估？（380，390，400，300）
——在388+120，388+110中，你打算分别怎样估“388”，才能不仅快，而且与实际结果相差最小？
生1：388+110，388估成390，因为10+90是100，结果凑成整百。
师：这个方法的结果是不是最接近实际结果呢？
生1：是，因为390离388最近。
生2：用四舍五入法。
（师再次强调题目要求：又快又与实际结果相差最少）
生3：388+120，388估成380最方便，因为相加为整百数。
师：不是离实际结果最近，可以估成390。
（3）最后解决一个实际问题：一班学生238人，二班学生158个学生，399个座位够吗？
学生分6个小组进行讨论后，有5个小组用了前面所强调的“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小”的思路，将238估计为240，158估计为160，240+160=400，所以399个座位不够；有1个小组进行了精确计算，发现399个座位够。面对学生不同的答案，教师说道：“确实，有些问题是不能用估算解决的，必须进行精确计算”。
学生在上完课与教师的交流中这样说道：“好象只有您的课堂中才用到估算。”教师陷入了尴尬中。
讨论问题：
（1）在实际教学中，学生常常习惯于精确计算，而不愿意进行估算，对于学生缺乏估算意识你有什么想法？
（2）估算的价值体现在哪些方面？举例说明。在培养学生的估算意识中，你有哪些好的经验和做法？
（3）在情境三中，教师一直强调“好”的估算的标准是“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小”，对于这个标准也赞同吗？估算是否有“统一”标准？
【案例2】TIMSS测试给我们的启示
案例描述：
关于估算的评价问题，也是广大一线教师十分关注的问题。在这里向大家介绍TIMSS国际测试中的几个估算测试题，希望能引起大家的思考。TIMSS测试是由国际教育成就评价协会发起和组织的国际教育评价研究和评测活动。在TIMSS测试中，有考查学生估算能力的题目，下面是其中的一些：
1．史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大约是多少升？
A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000
2．约翰想在磁带上录5首歌，每首歌所用的时间如下表所示：
歌
1
2
3
4
5
时间
2 分 41 秒
3 分 10 秒
2 分 51 秒
3 分
3 分 32 秒
估计一下他录完这5首歌需要多少时间，并解释你的结果。
3．保罗用$5去购买牛奶、面包和鸡蛋。当他到达商店时，发现这三种食品的价格如下图所示：

在下列哪种情况下使用估算比精算有意义？
A.当保罗试图确认$5是否够用时；
B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；
C.当保罗被告知应付多少钱时；
D.当销售员数保罗所付的费用时。
4.对估算的评价。
在估算或估测过程中，由于每个学生都有自己的想法，面对同一问题所采取的策略不尽相同，因而估算结果往往是不唯一的，这就涉及估算的评价问题。那么TIMSS对估算是如何评价的呢？我们不妨看一下上述第2题的评价标准：

讨论问题：
⑴上面的测试题目对你有哪些启发？你有哪些好的测试学生估算能力的题目？你设计这些题目的意图是什么？
⑵上面对估算的评价标准你是否赞同？对你有哪些启发？你的学校中是如何进行估算评价的？
二、如何科学地培养学生的运算技能
课程改革以来，不少老师反应学生的运算技能有所下降，并且学生分化情况提前，分化程度加剧，于是提出了“计算教学的有效性”问题。提到有效性，是不是就是要回到“重复性训练”、“题海战术”，的做法上去。回答当然是“不”！关键是我们需要对基本运算技能的标准以及运算技能培养的科学化进行深入分析。还是从具体案例谈起：
【案例3】：关于“0.3×0.2”的讨论
案例描述：
这是小数乘法单元中的一节课，在此之前学生已经会计算整数乘小数，并了解了小数点移动的规律。这节课在讨论具体小数乘小数如何计算的基础上，归纳出如何进行小数乘小数的运算。
课上通过一个问题情境，首先引出了0.3×0.2=？
首先，学生进行了猜想。一部分学生认为是0.6，一部分学生认为是0.06，产生了分歧。
教师给学生充分思考、计算的空间，交流时学生发言热烈。
学生1：（用画图表示0.3×0.2=0.06，如下图） “我是这样想的,宽是0.2米,不到1米,所以结果不会是0.3(平方米)。我用百格图，这里的0.3米代表花园的长，0.2米表示花园的宽，（表示面积）的这些方格占百格图的百分之六，所以0.3×0.2结果是0.06.”

学生2：“我还有一种方法。把0.2看成是2,把0.3看成是3,2乘3得6, 因为我刚才扩大了100倍，所以我要再缩小百分之一，得0.06。”
学生3：“我没有这么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2扩大10倍，2×0.3得0.6,再把0.6缩小到原来的十分之一，就是0.06. ”
学生4：“我用竖式。02与3相乘得06,任何数和0相乘都得0，所以0.2和0相乘得00,加起来就是0.06.”边说边写出了下面的竖式：
     
学生的方法得到同学们的热烈的掌声。随即有同学问：“为什么不把小数点加在0和6之间呢？”
学生5：“我们学过两位数乘以两位数了，我看成是03乘以02,得数应当是006。小数点‘点’哪儿呢？我认为不会是00.6,如果小数点前有两个0,前边的0就没有意义了, 小数点前只能是一个0,所以是0.06.”
学生6：“0.3乘以0.2就是把0.3平均分成10分，取其中的两份。0.3的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.”
学生7：“0.2不到1，如果1乘以0.3,得0.3,而0.2比1小，它是1的五分之一，所以应当是比0.3还小。”
师：这么多种方法计算这个问题，你喜欢哪一种？
……
就上面的教学设计和课上实施，一些老师进行了讨论：
（1）老师的设计给了学生足够的空间，展示了学生的很多种方法，这些方法都是学生个性化的思考，代表了他们的智慧，这样设计能够发展学生创造力，而且这些方法有学生各自的思考，能够跟算理有联系。
（2）在将近20分钟的时间里，学生交流了6种方法，那么这个在课堂上给予学生充分，探索的时间是非常好的，但是，最后应该落点在什么地方，还是应该让孩子去掌握这种计算方法，让他以后做题的时候能一通百通。
（3）关于算法和算理教师头脑一定要清楚，老师应该把重点放在算理上，不应该在具体方法上浪费这么多时间。
（4）在运算教学过程当中，算理与算法都是并重的，很重要，但是40钟的课堂是时间有限的，怎样处理好它们的关系，把重点放在什么位置，这也是我们要思考的问题。
讨论问题：
（1）小数乘小数运算的算理究竟是什么？算理与算法的关系是什么？
（2）教师在使学生理解算理上有哪些好的经验和做法，举例说明。
（3）有的老师认为：“画图的方法很形象，总不能一直画下去吧？”，你如何看待这个问题？学生的想法体现出这个片段活动有哪些价值？
【案例4】学生常见的错例
案例描述：
整数乘法中：    25×3=95；
24×5=100
除数是小数除法中：1.44÷1.8 = 8；
11.2÷0.05=22.4
四则混合运算中：   327-（27+75）=375
87×2÷87×2=1
讨论问题：
（1）学生在计算中出现错误问题的原因是什么？有的老师把学生的错误归结为“注意力不集中，马虎”，您同意他的看法吗？尝试分析这些错误中的合理成分，以及错误的可能原因。
（2）你在课堂中是否愿意“暴露”学生的错误？为什么？在帮助学生改正错误的过程中，你有哪些经验？
【案例5】科学培养学生运算技能的经验
案例描述：
其实，在运算教学中，有不少老师积累了成功的经验。我们先后采访了朝阳区实验小学的陈立华老师、石景山特级教师李祖功和杭州的张天孝老师，看看他们在计算教学当中，是如何科学地培养学生运算技能的。
朝阳区实验小学陈立华老师的经验
她认为学生对基本概念的理解是提高计算正确率的基础；有效的训练是提高学生计算正确率的保障。
⑴基本概念的理解是提高计算正确率的基础。
在计算中，基本概念就是数位、计数单位和进率，尤其是计数单位这个概念，对于计数来讲是非常重要的，我们可以梳理一下整数加减法、小数加减法和分数加减法，应该说它们最核心、最本质的就是相同的计数单位的个数相加减，核心概念如果掌握了，在课堂上对孩子来讲，就创造了一定的前提条件。在这个过程中，不但建立了知识和知识之间的关系，而且更重要的是培养了孩子的迁移能力和数学思维能力。我们在讲计算的时候，不单纯地是讲算理、讲算法，那为什么有时候老师或孩子们都有这样的困惑：觉得计算就是很单调的、很枯燥的，其原因就是我们就题讲题了，就方法讲方法了。
⑵有效的训练是提高计算正确率的保障。
心理学指出，根据计算形成的各阶段的特点，应适当地分配练习的次数和时间，技能的形成和巩固需要有足够的练习次数和时间，但是并非练习的次数越多，时间越长，练习的效果就越好。
根据这个原则，我们提出了交错训练，也就是说把计算的练习量，安排在了平时的每一天，和我们后面要讲的新知识结合在一起，比如说后面要讲应用题了，孩子们前面已经掌握了算理和算法，后面一节课我们就可以这样安排，30分钟的时间讲应用题，后面的10分钟我们就可以做一、两道计算题；一般来讲，在计算教学的一段时间，讲完算理和算法以后，每天早晨我们会做四到六道题的计算，课堂当中可以做一、两道题，这样随着时间的拉长，练习的量会逐渐地减少，比如说在以后就可能是一周练习两到三次，那么一次一两道题，这样基本一个月下来，错题率就能保证在2％左右。
石景山特级教师李祖功的经验
⑴口算练习是这个提高计算能力的非常有效的方法。
⑴ 把基本口算抓好（20以内加减法、表内乘除法）；
⑵练习的针对性：一天一组一组地根据问题练，问题越练越少；
如：小数加法减法学生容易丢数，一般给学生准备三组题，先单练一组，时间很短，也非常有针对性，帮助学生找出错误原因；第二次反复练就达到一种认识掌握，再练第三组是熟练掌握。
一般老师可能都是一练就是练一组20题，练完一纠正就完了，但如果把它分为三组，每组可能就5道题，题目很少，但是针对一个问题，错了之后学生有一个改错、再认识的机会，最后一组再进行熟练，这样每天的这个效果肯定非常突出，非常明显。
张天孝老师和唐彩斌关于运算技能的对话
唐彩斌：口算训练是一项需要长期坚持的教学任务，在教学中，老师们也有自己的一些个性训练方法，我曾经做过这样的“蠢事”，当初刚学会电脑，为了出口算题的方便，就利用电脑的替换功能，这张口算纸上的6改成7，原来的8改成4，就这样通过替换，就非常“高效”地出了很多的口算训练，结果是“高兴了自己，害苦了学生”。效果也不甚理想。每每想起，感觉很惭愧。您觉得应该怎样进行口算的训练？
张天孝：加强口算，不等于增大机械重复的口算题量，而要做到口算训练的科学化，做到适时、适量、适度。有效地提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期。口算训练的材料，不是平均使用力量，要从错误率及后继学习作用两方面来考虑。比如，100以内两位数加一位数进位加法共369题，对进位加法本身来说，这些题的口算训练价值是等同的。但对后继学习（多位数乘法计算）的作用来说，口算训练价值就不一样。在多位数乘法计算中，涉及两位数加一位数的进位加法的题共60题，占总题量的60％，比如748×7，要用到28＋5，49＋3两道口算题，这60道口算题的训练就应增加题量。
讨论问题：
1.选择一个学生错误的个案，与他进行谈话，了解这位学生思考的过程和错误的原因。
2.总结自己在计算教学当中，培养学生运算技能的经验、做法或困惑。
三、关于算法多样化的思考
谈到科学地培养学生运算技能，我们不得不面对这个话题——算法多样化，算法多样化进入我们的视野已有五年了，大家对算法多样化有很多想法，也有诸多困惑：
⑴  算法多样化与过去提到的“一题多解”有什么不同？
⑵  在算法多样化的教学中，要不要给学生推荐一种最基本的方法，让全体都掌握？
⑶ 在教学中，如何把握算法多样化与“优化”的关系？
我们还是从课例开始。
【案例6】500－175＝?
课上通过一个问题情境，引出了500－175＝
学生一共出现了5种方法：
方法①：500－200=300 ，300＋25=325；
方法②：学生画出下面的图

方法③：500=499+1，
499
－175
324
所以500-175=325。
方法④：500+25          525
175+25        －200
325
方法⑤：用竖式。
讨论问题：
（1）面对本例中学生的那么多算法，你的感想是什么？算法多样化的价值到底有哪些？
（2）这些算法中是否有最优的？衡量的标准是什么？
就案例中几种计算方法的价值，我们采访了北京五中数学特级教师张毅老师。
主持人：以上案例中学生出现了这么多的算法，您有什么感受？
张毅：学生能够用这么多种方法解决一道在咱们眼里司空见惯的一道题，我觉得这些小孩那种没有被束缚的头脑，他们的想象力超出我的想像，我觉得学生能够出现这么多种算法，是一件非常可喜和值得称赞的一件事。
主持人：您怎么看学生这几种不同方法的价值？
张毅：第一种方法把减数175凑整，成为200，减掉了200怎么办呢？等于多减了，后面再给它补回来，所以在小孩的脑子里，他觉得不好减的东西，先要找一个好减的，然后再把这个数最后找回来，所以我觉得这在解决问题当中是非常有用的。实际上为学习估算就奠定基础。
第二种方法用图示去解决。这个孩子的几何直观能力，可能在将来会显现出来，就是用图去解决数的问题，应该说真正到高中才完全系统地在这些几何的教学中去呈现数与形的结合，现在他这么小就能够通过一个图式的方式，去完成一个计算问题，我觉得这是一个非常好的萌芽，或许说孩子他认识世界不仅从数去看待，他同时也从形去看待；如果我们在一开始，在他刚刚接触到的任何东西，都去激发他这种认识，或许我觉得在他的将来，能够突破一些我们原有的认识，很直观地去解决一些我们认为需要呆板计算的问题。
第三种方法，他先找到一个认为最好减的数，就是用500去减不好减，他用499减，接着再把这个1找回来。我觉得这个事学生想得特别巧，这是最好减的一个数了，所以我觉得这个小孩或许在他处理问题的过程当中，可能在减很多不好减的数的时候，都用一个最好减的数去减，然后他只用一个1，同样给调整过来，使差不变。
第四种方法好像跟第一种方法有异曲同工之效，只不过他自己把减数和被减数同时增加一个相同的数，我觉得可能在他眼里这么做会更巧更简单，他在这个过程当中实际上把减数凑整，而在凑整的同时，他让那个被减数随之增加，所以我觉得教师有必要去挖掘学生背后的东西，价值更大，在同学中相互影响的教育意义也更丰富。
我们想张毅老师的想法一定会给大家以启发。