偶看新闻银川新华联广场品牌:5.3.2 特徵值与特徵向量
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/05/03 07:01:46
5.3.2 特徵值与特徵向量
假设 A为一个 
矩阵，而 X 为一个有n列的栏向量，
为一纯量。考虑以下的数学式
如果X由不为零的元素所组成，其中
要满足上式称为矩阵A的特徵值(eigenvalue)，而X称为矩阵A的特徵向量 (eigenvector)。特徵向量代表一个正规正交(orthonormal) 的向量组，所谓的正规正交向量，是指这向量与自身做 内积的值为一单位向量；在几何关系上是指二量相互垂直且此其内积值再做正规化(normalization)。
上式也可改写为
其中 I 为
单位矩阵。
则eigenvalue可以用特徵方程式计算
上述的二次方程式可求解二个根分别为
，这二个值即为A的特徵值。而A的特徵向量求法如下 ，分别将任一特徵值代入
。例如
另一个特徵值
代入，可以得到另一个特徵向量为
。我们可找到无限多个向量，满足上述的 特徵向量，例如
因此要得到唯一的特徵向量，即是正交(orthonormal)特徵向量组Q，利用其特性
求解上式可得
。所以对应的正交特徵向量组Q为
在上述例子中，矩阵A很简单大小为
，可以用手做演算。一但矩阵大小增加，以MATLAB内建函数做运 算，就很轻松。相关函数的语法为eig(A)，得到一栏向量代表A的特徵值；而[Q,d]=eig(A)，其中Q代表A的特徵 向量，d为一对角矩阵其元素代表A的特徵值。
在此示范上述例子
>> A = [0.5 0.25; 0.25 0.5];
>> [Q,d] = eig(A)
Q =
0.7071 0.7071
-0.7071 0.7071
d = % 注意在对角线上的值才是特徵值
0.2500 0
0 0.7500
>> Q*Q' % Q*Q'=I
ans=
1 0
0 1
>> A*Q(:,1); 0.25* Q(:,1) % 验证
，注意X=Q(:,1) 为第一个特徵向量
ans = % 为A*X的结果
0.1768
-0.1768
ans = % 为
的结果
0.1768
-0.1768