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2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理 科 数 学

参考公式：

柱体的体积公式： ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高.

圆柱的侧面积公式： ，其中c是圆柱的底面周长， 是圆柱的母线长.

球的体积公式V= , 其中 是球的半径.

球的表面积公式： ,其中 是球的半径.

用最小二乘法求线性回归方程系数公式  .

如果事件 互斥，那么 .

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合 ,则

（A）[1,2)           （B）[1,2]           （C）( 2,3]          （D）[2,3]

（2）复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

（A）第一象限       （B）第二象限        （C）第三象限        （D）第四象限

（3）若点 在函数 的图象上，则 的值为

（A）0              （B）             （C）1               （D）

(4)不等式 的解集是

   （A）[-5,7]     (B)[-4,6]      (C)(-∞,-5]∪[7，+∞)      （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)

（5）对于函数 ，“ 的图像关于 轴对称”是“ 是奇函数”的

（A）充分而不必要条件                         （B）必要而不充分条件

    （C）充要条件                                 （D）既不充分也不必要条件

（6）若函数  ( )在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则

 （A）3           （B）2           （C）                  （D）

（7）某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表

广 告 费 用 （万元）

4

2

3

5

销 售 额 （万元）

49

26

39

54

  根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

（A）63.6万元      （B）65.5万元       （C）67.7万元    （D）72.0万元

（8）已知双曲线 （ ）的两条渐近线均和圆C： 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

（A）     （B）     （C）     （D）

（9）函数 的图象大致是

（A）              （B）               （C）               （D）

（10）已知 是最小正周期为2的周期函数，且当 时， ，则函数 的图像在区间[0,6]上与 轴的交点个数为

正（主）视图

（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，

其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；

③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是

（A）3             （B）2               （C）1              （D）0

（12）设 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若  ( )，

( )，且 ,则称 调和分割  ,已知点  ( )调和分割点 ，则下面说法正确的是

(A)C可能是线段AB的中点           (B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上       (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）执行右图所示的程序框图，输入 ，则输出的 的值是   68      .

 (14)若 展开式的常数项为60，则常数 的值为  4   .

（15）设函数 （x＞0），观察：

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当 且 时，         .  

（16）已知函数 当， 时，函数 的零点     2    .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

（17）（本小题满分12分）

在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 .

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）若 ，求 的面积 .

（Ⅰ）    （Ⅱ）

（18）（本小题满分12分）

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 、 、 进行围棋比赛，甲对 ，乙对 ，丙对 各一盘，已知甲胜 ，乙胜 ，丙胜 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立.

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 .

（Ⅰ）0.55  （Ⅱ）1.6

A

在如图所 示的几何体中，四边形 为平行四边形，

， ⊥平面 ， ∥ ，

∥ ， ∥ , .

（Ⅰ)若 是线段 的中点，求证： ∥平面 ;

（Ⅱ）若 ,求二面角 的大小． 

（20）（本小题满分12分）

等比数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列

第二列

第三列

第一行

3

2

10

第二行

6

4

14

第三行

9

8

18

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的前 项和 .

（Ⅰ） （Ⅱ）

（21）（本小题满分12分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 千元.设该容器的建造费用为 千元.

（Ⅰ）写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的 .

（Ⅰ）

（Ⅱ）

则

（1）

所以， 是极小值点，也是最小值点

（2）当 时，当 ， 函数单调递减，所以， 是函数最小值点。

综上， 时，费用最小时 ； 时，费用最小时 .

（22）（本小题满分14分）

已知直线 与椭圆 : 交于 , 两不同点，且 的面积S= ,其中 为坐标原点。

（Ⅰ）证明 和 均为定值

（Ⅱ）设线段 的中点为 ，求 的最大值；

（Ⅲ）椭圆 上是否存在点 , , ，使得 ？若存在，判断 的形状；若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）直线 斜率不存在时， ；

直线 斜率存在时， ，显然 ，代入椭圆方程整理得

由

，

由 ,得    ∴ ； .

（Ⅱ） , ∴ 的最大值是

（Ⅲ）不存在。