回来吧大叔胜才洪兰:中考模拟数学试题汇编:压轴题
来源:百度文库 编辑:偶看新闻 时间:2024/05/05 14:44:26
中考模拟数学试题汇编:压轴题
一、解答题
1如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
A B C N P M O x y x=1 第1题图
答案:(1)∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=900,
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=
∵
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM,
∴OM=PN,
∵∠OPC=900,
∴∠OPM+CPN=900,
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM,
∴△OPM≌△PCN.
(2)∵AM=PM=APsin450=
∴NC=PM=
∴BC=BN-NC=1-
(3)△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1)
②当点C在第四象限,且PB=CB时,
有BN=PN=1-
∴BC=PB=
∴NC=BN+BC=1-
由⑵知:NC=PM=
∴1-
∴PM=
∴P(
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0,1)或(
2. 关于x的二次函数y=-x2+(k2-4)x+2k-2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方.
(1)求此抛物线的解析式,并在直角坐标系中画出函数的草图;
(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为l,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式;
(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.
答案:(1)根据题意得:k2-4=0,
∴k=±2 .
第2题图 A1 A2 B1 B2 C1 D1 C2 D2 x y
当k=-2时,2k-2=-6<0.
又抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴k=2 .
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2.
函数的草图如图所示:
(2)令-x2+2=0,得x=±
当0<x<
∴l=2(A1B1+A1D1)=-2x2+4x+4.
当x>
∴l=2(A2B2+A2D2)=2x2+4x-4.
∴l关于x的函数关系式是:
(3)解法①:当0<x<
解得x=-1-
将x=-1+
当x>
得x2-2x-2=0,
解得x=1-
将x=1+
得l=8
综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+
解法②:当0<x<
∴正方形的周长l=
当x>
∴正方形的周长l=
综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+
解法③:∵点A在y轴右侧的抛物线上,
∴当x>0时,且点A的坐标为(x,-x2+2).
令AB=AD,则
∴-x2+2=2x, ①
或-x2+2=-2x, ②
由①解得x=-1-
由②解得x=1-
又l=8x,∴当x=-1+
当x=1+
综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+
3.如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为
第3题图
(2)如果点P由点A开始沿AB边以
①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.
答:(1)设抛物线的解析式为
由题意知点A(0,-12),所以
又
∵AB∥CD,且AB=6,
∴抛物线的对称轴是
∴
所以抛物线的解析式为
(2)①
②当
若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况:
(Ⅰ)当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标(3,-18),
将(3,-18)代入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在,
点R的坐标就是(3,-18);
(Ⅱ)当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标(3,-6),
将(3,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.
(Ⅲ)当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标(9,-6),
将(9,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.
综上所述,点R坐标为(3,-18).
4已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)两点.
(1)求这个二次函数的关系式;
(2)若有一半径为r的⊙P,且圆心P在抛物线上运动,当⊙P与两坐标轴都相切时,求半径r的值.
(3)半径为1的⊙P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P与y轴相离、相交?
答案:解:(1)由题意,得
∴二次函数的关系式是y=x2-1.
(2)设点P坐标为(x,y),则当⊙P与两坐标轴都相切时,有y=±x.
由y=x,得x2-1=x,即x2-x-1=0,解得x=
由y=-x,得x2-1=-x,即x2+x-1=0,解得x=
∴⊙P的半径为r=|x|=
∴当y=0
又当x=0时,y=-1,
∴当y>0时, ⊙P与y相离;
当-1≤y<0时, ⊙P与y相交.
第5题图
以M为圆心,以2为半径的圆交x轴于A、B,抛物线
(1)求点C的坐标并画出抛物线的大致图象
(2)已知点Q(8,m),P为抛物线对称轴上一动点,
求出P点坐标使得PQ+PB值最小,并求出最小值.
(3)过C点作⊙M的切线CE,求直线OE的解析式.
答案:(1)将A(2,0)B(6,0)代入
∴
将x=0代入,y=2
∴C(0,2)
(2)将x=8代入式中,y=2
∴ Q(8,2)
过Q作QK⊥x轴
过对称轴直线x=4作B的对称点A
PB+PQ=QA
在Rt△AQK中,AQ=
PM∥KQ 即△APM∽△AQK ∴PA=
(1).用x表示?ADE的面积;
(2).求出
(3).求出
(4).当
答案:解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴
即
(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤
(3)
∵S△A'DE=S△ADE=
由已知求得AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5
由△A'MN∽△A'DE知
∴
(4)在函数
∵0﹤x≤5
∴当x=5时y最大为:
在函数
当
∵
∴当
7.如图,直线
(1) 求A、B、C三点的坐标。
(2) 设点D的横坐标为x,△BED的面积为S,求S关于x的函数关系式。
(3)
答案:解:(1)将x=0代入y=
因C为OA的中点,故点C的坐标为(0,1.5)
将y=0代入y=
所以A、B、C三点坐标为(0,3),(-4,0),(0,1.5)
(2)由(1)得OB=4,OA=3则由勾股定理得AB=5
因P点的横坐标为x,故OD=-x,则BD=4+x
又由已知得∠DEB=∠AOD=900 ,
∴sin∠DBE=sin∠ABO=
cos∠DBE=cos∠ABO=
S=
(3)符合要求的点有三个,x=0,-1.5,-
①当PE=PD时,过P作PQ⊥DE于Q
cos∠PDQ=cos∠ABO=
DE=2DQ=
②当ED=EP时,过E作EH⊥PD于H
cos∠EDH=cos∠ABO=
PD=2DH=2×
③当DP=DE时,即DE=1.5 ,DE=
(1) 当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y与x间函数关系式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
答案:解:(1)如图,设直线BC与⊙O相切于点D,连接OA、OD,则OA=OD=
在Rt⊿ABC中,BC=
⊿AMN∽⊿ABC,∴
∴MN=
过点M作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD=
在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中,∠B是公共角
∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA,
∴
∴当x=
(3)随着点M的运动,当点P 落在BC上时,连接AP,则点O为AP的中点。
∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC
∴⊿AMO∽⊿ABP,∴
故以下分两种情况讨论:
① 当0<x≤2时,y=S⊿PMN=
∴当x=2时,y最大=
② 当2<x<4时,设PM、PN分别交BC于E、F
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x
又∵MN∥BC,∴四边形MBFN是平行四边形
∴FN=BM=4-x,∴PF=x-(4-x)=2x-4,
又⊿PEF∽⊿ACB,∴(
∴S⊿PEF=
当2<x<4时,y=-
∴当x=
综合上述,当x=
9.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒).
(2)设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)探求(2)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,说明理由.
答案:解:(1)、(4,0)、(0,3)
(2)当0<t≤4时,OM=t.
由△OMN∽△OAC,得
∴ ON=
当4<t<8时,
如图,∵ OD=t,∴ AD= t-4.
由△DAM∽△AOC,可得AM=
S=△OND的面积-△OMD的面积
=
=
(3) 有最大值.
方法一:当0<t≤4时,
∵ 抛物线S=
当4<t<8时,
∵ 抛物线S=
∴ S<6.
综上,当t=4时,S有最大值6.
方法二:∵ S=
∴ 当0<t<8时,画出S与t的函数关系图像,如图所示.
显然,当t=4时,S有最大值6.
10.二次函数
(1)试求
的
(3)是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形.
若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案:解:(1)将A(1,0),B(0,l)代入
(2)由(1)可知:
因为
整理得:
由图象可知:
∴
(3)① 由图可知,A为直角顶点不可能; ② 若C为直角顶点,此时与原点O重合,不合题意;
③ 若设B为直角顶点,则可知
令
得:
解得:
综上所述:不存在
11如图,在平面直角坐标系x0y中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连接DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长;
(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由。
答案:解:(1)
(2)
(3)点P在抛物线上,
设yDC=kx+b,将(0,1),(1,0),带入得k=-1,b=1,
∴直线CD为y=-x+1,
∵过点B作⊙O的切线BP与x轴平行,
∴P点的纵坐标为-1,
把y=-1带入y=-x+1得x=2,
∴P(2,-1),
将x=2带入
∴点P在抛物线
12.甲船从A港出发顺流匀速驶向B港,行至某处,发现船上一救生圈不知何时落入水中,立刻原路返回,找到救生圈后,继续顺流驶向B港.乙船从B港出发逆流匀速驶向A港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同;甲、乙两船在静水中的速度相同.甲、乙两船到A港的距离y1、y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)写出乙船在逆流中行驶的速度.(2分)
(2)求甲船在逆流中行驶的路程.(2分)
(3)求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式.(4分)
(4)求救生圈落入水中时,甲船到A港的距离.(2分)
答案:解:(1)乙
(2)甲船在逆流中行驶的路程为
(3)方法一:
设甲船顺流的速度为
由图象得
解得a
当0≤x≤2时,
当2≤x≤2.5时,设
把
∴
当2.5≤x≤3.5时,设
把
∴
方法二:
设甲船顺流的速度为
由图象得
解得a
当0≤x≤2时,
令
当2≤x≤2.5时,
即
令
当2.5≤x≤3.5时,
(4)水流速度为
设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中.
根据题意,得
解得
即救生
13如图1,把一个边长为2
(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标;
(2)如图2,另一个边长为2
①直接写出点
②如图3,当正方形
求点G的坐标.
图3
图2
图1
答案:解: (1)y=-
①yA'=-
14.如图,在直角梯形
(1)求
(2)求直线
y x A B D M O
解:(1)
(2)由(1)得:
(3)依题意:当
分别过
y x A B D M O N F E
易证得
整理得:
y x A B D M O P E
由此,
当
此时,
易证:
综上所述:
(1)解法2:
易求得:
(3)解法2:分别过
由(1)得,
即:
设经过
则
依题意:当
整理得:
当
整理得:
综上所述:
15.如图,在平面直解坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0)(4,3),动点M,N分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点N作NPBC,交AC于点P,连结MP,当两动点运动了t秒时。
(1)P点的坐标为(4-t,
(2)记△MPA的面积为S,求S与t的函数关系式(0
(3)当t= 秒时,S有最大值,最大值是
(4)若点Q在y轴上,当S有最大值且△QAN为等腰三角形时,求直线AQ的解析式。
(1)4-t,
(2)S=
(3)当t=
(4)设Q(0,m)①AN=AQ AN2=AQ2
22+32=16+M2
M2=-3 ∴此方程无解,故此情况舍去.
②AN=NQ AN2=NQ2
13=22+(3-m)2 3-m=±
∴Q=(0,0) ∴AQ:y=0
③NQ=AQ
4+(3-M)2=16+M2
M=-
16.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;
(3) 在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答:当直线y=
答案:解:(1)由题意得,Δ=16-8(k-1)≥0.∴k≤3.
∵k为正整数,∴k=1,2,3.
(2)当k=1时,方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零;
当k=2时,方程2x2+4x+k-1=0无整数根;
当k=3时,方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根
综上所述,k=1和k=2不合题意,舍去;k=3符合题意.
当k=3时,二次函数为y=2x2+4x+2,把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6.
(3)设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点,则A(-3,0),B(1,0).
依题意翻折后的图象如图所示.
第16题图
当直线
当直线
由图象可知,符合题意的b(b<3)的取值范围为
A B C O x y
(1)求抛物线的解析式及其顶点
(2)设直线
(3)过点
答案:(1)设抛物线解析式为
(2)假设满足条件的点
由
它与
则
又
平方并整理得:
(3)由上求得
①若抛物线向上平移,可设解析式为
A B C O x y D F H P E
当
②若抛物线向下移,可设解析式为
由
有
18如图,经过x轴上A(-1,0)、B(3,0)两点的抛物线
第18题
(2)若
(3)在(2)的条件下,能否在抛物线上找到另外的点Q,使△BDQ为直角三角形?如果能,请直接写出点Q的坐标,如不能,说明理由。
答案:(1)D(1,
(2)
(3)
第19题
D ( 4,6),且AB=
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得
S△ABC = S梯形ABCD ?若存在,请求出该点坐标,若不存在,请说明理由.
答案:
(1)在RtΔABC中, ,
又因为点B在x轴的负半轴上,所以B(-2,0)
(2)设过A,B,D三点的抛物线的解析式为
将A(0,6),B(-2,0),D(4,6)三点的坐标代入得
(3)略
第20题
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,设抛物线的顶点为C,对称轴交x轴于点D,在y轴正半轴上有一点P,且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似,求P点的坐标.
解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3).
∵过E(0,6),∴6=a×3
∴a=2, ∴ y=2x2-8x+6
(2)y=2
∴C(2,-2).对称轴直线x=2,D(2,0).
△ACD为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1.
当△AOP∽△ACD时,
∵ P在y轴正半轴上,∴P(0,2).
当△PAO∽△ACD时,
P在y轴正半轴上,∴P(0,
21.如图10,在平面直角坐标系中,二次函数
与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0)
OB=OC ,tan∠ACO=
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
_ y _ x _ O _ E _ D _ C _ B _ A 图10 _ G _ A _ B _ C _ D _ O _ x _ y 图11
答案:(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
将A、B、C三点的坐标代入得
解得:
所以这个二次函数的表达式为:
方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
设该表达式为:
将C点的坐标代入得:
所以这个二次函数的表达式为:
(注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
(2)方法一:存在,F点的坐标为(2,-3)
理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
∴E点的坐标为(-3,0)
由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F,坐标为(2,-3)
方法二:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
∴E点的坐标为(-3,0)
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―
代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合
∴存在点F,坐标为(2,-3)
(3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R),
②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),
则N(r+1,-r),
代入抛物线的表达式,解得
∴圆的半径为
(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
易得G(2,-3),直线AG为
设P(x,
当
此时P点的坐标为
(2)P为x轴负半轴上一点,以AP、AC为边作
答案:(1)
(2)联立
设P(a,0),则Q(4+a,2)
∴
∴
∴Q(-3,2)或(1,2)
(3)∵△AND~△RON,∴
∵△ONS~△DNO,∴
∴
23.(本小题满分10分)
如图,已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8).
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
答案:
(1)设抛物线解析式为
顶点
(2)假设满足条件的点
由
它与
则
又
平方并整理得:
(3)由上求得
A B C O x y D F H P E
当
当
②若抛物线向下移,可设解析式为
由
有
24.
如图,直线
(1)求
(2)如果点
答案:
解(1)M(3,0) N(0,4);
(2)
第二种情况:当P2在x轴且在M点的左侧时,P2坐标是(0,0)
第三种情况:当P3在x轴且在M点右侧时,P3坐标是(6,0)
第四种情况:当P4在y轴且在点N上方时,P4的坐标是(0,8)
综上,P坐标是(0,0)(6,0)(0,8)
A B O C -1 1 y x 第25题图
(1)求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面积比;
(3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。
若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。
解:(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1,
∴点B的坐标为(3,0),∴可设抛物线的解析式为y= a(x+1)(x-3)
y A B O C -1 1 x 第25题图 P D
∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),
即y=x2-2x-3
(2)依题意,得OA=1,OB=3,
∴S△AOC∶S△BOC=
=1∶3
(4) 在抛物线y=x2-2x-3上,存在符合条件的点P 。
解法1:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。
∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3)
∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。
设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B(3,0)代入得 3k-3=0 ∴k=1。
∴y=x-3 ∴当x=1时,y=-2 .∴点P的坐标为(1,-2)
解法2:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D
∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3)∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。
∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴
∴DP=2
∴点P的坐标为(1,-2)