偶看新闻狗与主人的前世关系:为什么学因式分解
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/05/07 13:36:26
中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算，求值，化简，论证．解代数式问题的关键是通过代数运算，把代数作恒等变形．代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解．它贯穿、渗透在各种代数式问题之中．
因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的．它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础．所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容．它具有广泛的基础知识的功能．
由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体．正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点．
本章的因式分解的内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本的方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别和联系，因式分解的四种基本方法，即提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．教材最后归纳给出因式分解的一般步骤．
多项式因式分解是代数式中一部分重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切，因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形．这部分内容在将分式通分和约分时有着直接的应用．因式分解在解方程以及将三角函数式进行恒等变形等方面也经常用到．因此，在教学中对这部分内容应给予足够的重视．
因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式．教材在引言中是结合本章前面的插图阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明．在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的四种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的．
提公因式法是因式分解的最基本的也是最常用的方法．它的理论依据就是乘法的分配律．运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式．
关于运用公式法，教材讲了最常用的五个公式．运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点．对于初学者来说，如何根据要分解的多项式的形式和特点，来选择应该运用什么公式，往往不很容易．这也是运用公式法的难点．教材注意分析实例，指明思路，交代方法，以便克服难点．
分组分解法是前两种方法的综合运用．教材中分两类．一类是分组后能直接提公因式的，一类是分组后能运用公式的．由于多项式的形式各异，分组的方法也有所不同，要具体问题具体分析；并且要预见到分组后分解整个多项式的可能性．因此，相对来说，分组分解法较前面两种方法难些．教学时，要根据教材的层次，先易后难，最后再讲略带综合性的因式分解的题目．
十字相乘法是适用于分解某些二次三项式的一种方法．教材分两个层次安排这部分内容．第一部分是二次三项式的二次项系数为1的情况，第二部分是二次三项式的二次项系数不为1的情况．这样层次分明、条理清楚，十字相乘法灵活性强，难度较大，教学上要严格控制教学要求，不要随意增加内容和提高要求．
综合运用以上四种方法进行多项式因式分解的内容安排在本章的最后．对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地综合运用各种方法来分解因式．这部分内容是教学的难点．要从教学要求和学生的学习水平实际出发安排，不宜要求过高．
因式分解的一般步骤是总结各种分解方法后讲述的．教学时要强调结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法．四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式．教学时要让学生学会具体问题具体分析的方法．
新知识点
(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．
(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的．
(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式．
(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．
(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．
(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)
(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式
①系数能平方，(指的系数是完全平方数)
②字母指数要成双，(指的指数是偶数)
③两项符号相反．(指的两项一正号一负号)
(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么．
(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2
(13)完全平方公式的特点：
①它是一个三项式．
②其中有两项是某两数的平方和．
③第三项是这两数积的正二倍或负二倍．
④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方．
(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
(15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式．
(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提．
(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式．
(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键．
(20)对于一个一般形式的二次项系数为1的二次三项式x2+px+q，如果将常数项q分解成两个因数a，b，而a+b等于一次项系数P，那么它就可以分解因式．
即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab
=(x+a)(x+b)
这里的关键：掌握a，b与原多项式的常数项，一次项系数之间的关系，这个关系主要是：ab=q，a+b=p
(21)十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法．
(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解．
(23)对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2＋bx＋c，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2＋a2c1=b．
这四个因数的找出，要经过反复尝试，为了减少尝试的次数，使符号问题简单化，当二次项的系数为负数时，应先把负号提出，使二次项的系数为正数，将二次项系数分解因数时，只考虑分解为两个正数的积．
即ax2＋bx＋c=a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2
＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
(24)二次三项式ax2＋bx＋c在有理数范围内分解因式的充分必要条件是b2-4ac为一个有理数的平方．
(25)因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解．
(26)从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．
①如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．
②如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．
③如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．
(27)因式分解要注意的几个问题：
①每个因式分解到不能再分为止．
②相同因式写成乘方的形式．
③因式分解的结果不要中括号．
④如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数．
⑤因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．
因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的．它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础．所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容．它具有广泛的基础知识的功能．
由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体．正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点．
本章的因式分解的内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本的方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别和联系，因式分解的四种基本方法，即提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．教材最后归纳给出因式分解的一般步骤．
多项式因式分解是代数式中一部分重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切，因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形．这部分内容在将分式通分和约分时有着直接的应用．因式分解在解方程以及将三角函数式进行恒等变形等方面也经常用到．因此，在教学中对这部分内容应给予足够的重视．
因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式．教材在引言中是结合本章前面的插图阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明．在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的四种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的．
提公因式法是因式分解的最基本的也是最常用的方法．它的理论依据就是乘法的分配律．运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式．
关于运用公式法，教材讲了最常用的五个公式．运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点．对于初学者来说，如何根据要分解的多项式的形式和特点，来选择应该运用什么公式，往往不很容易．这也是运用公式法的难点．教材注意分析实例，指明思路，交代方法，以便克服难点．
分组分解法是前两种方法的综合运用．教材中分两类．一类是分组后能直接提公因式的，一类是分组后能运用公式的．由于多项式的形式各异，分组的方法也有所不同，要具体问题具体分析；并且要预见到分组后分解整个多项式的可能性．因此，相对来说，分组分解法较前面两种方法难些．教学时，要根据教材的层次，先易后难，最后再讲略带综合性的因式分解的题目．
十字相乘法是适用于分解某些二次三项式的一种方法．教材分两个层次安排这部分内容．第一部分是二次三项式的二次项系数为1的情况，第二部分是二次三项式的二次项系数不为1的情况．这样层次分明、条理清楚，十字相乘法灵活性强，难度较大，教学上要严格控制教学要求，不要随意增加内容和提高要求．
综合运用以上四种方法进行多项式因式分解的内容安排在本章的最后．对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地综合运用各种方法来分解因式．这部分内容是教学的难点．要从教学要求和学生的学习水平实际出发安排，不宜要求过高．
因式分解的一般步骤是总结各种分解方法后讲述的．教学时要强调结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法．四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式．教学时要让学生学会具体问题具体分析的方法．
新知识点
(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．
(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的．
(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式．
(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．
(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式．
(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)
(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式
①系数能平方，(指的系数是完全平方数)
②字母指数要成双，(指的指数是偶数)
③两项符号相反．(指的两项一正号一负号)
(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么．
(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2
(13)完全平方公式的特点：
①它是一个三项式．
②其中有两项是某两数的平方和．
③第三项是这两数积的正二倍或负二倍．
④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方．
(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)．
(15)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式．
(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．
(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提．
(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式．
(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键．
(20)对于一个一般形式的二次项系数为1的二次三项式x2+px+q，如果将常数项q分解成两个因数a，b，而a+b等于一次项系数P，那么它就可以分解因式．
即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab
=(x+a)(x+b)
这里的关键：掌握a，b与原多项式的常数项，一次项系数之间的关系，这个关系主要是：ab=q，a+b=p
(21)十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法．
(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解．
(23)对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2＋bx＋c，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2＋a2c1=b．
这四个因数的找出，要经过反复尝试，为了减少尝试的次数，使符号问题简单化，当二次项的系数为负数时，应先把负号提出，使二次项的系数为正数，将二次项系数分解因数时，只考虑分解为两个正数的积．
即ax2＋bx＋c=a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2
＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)
(24)二次三项式ax2＋bx＋c在有理数范围内分解因式的充分必要条件是b2-4ac为一个有理数的平方．
(25)因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解．
(26)从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式．
①如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式．
②如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．
③如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法．
(27)因式分解要注意的几个问题：
①每个因式分解到不能再分为止．
②相同因式写成乘方的形式．
③因式分解的结果不要中括号．
④如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数．
⑤因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面．