四级答案:生活，“发现”的载体——从数学课程的情景问题谈起

生活，“发现”的载体——从数学课程的情景问题谈起
作者:孙晓天   录入时间:2006-3-16  阅读次数:538
实施新课程以来，每个教师都会遇到数学与生活之间的关系问题。不联系生活、没有活动，也就没了新课程的味道；添了生活的内容、加了活动的分量，有时又看着不像数学课了。这种情形的反复出现，多少会影响人们对数学新课程的信心。数学课程为什么要与生活联系？该怎样和生活联系？这些问题需要搞清楚。在这里就以情景问题为主题谈谈我的看法。
数学新课程与原来课程的重大区别，在于更广泛地发展学生创造生活的智慧与能力，强调“从学生已有的生活经验出发，让他们亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。数学一定要和生活联系。但生活的内容不能都直接地搬到数学课程中来，数学课程中的生活问题要有目的和缘由。如何处理好生活与数学课程之间的关系，情景问题是个关键。
一
情景问题是指那些乍一看比较吸引人，但数学味道并不明显，并具备以下几个特征的问题：（1）贴近学生的生活，与学生已经具备的那些常识性的、不那么严格的数学见解有关；（2）有可能使学生已有的知识派上用场；（3）与数学有关的信息和内容丰富的背景融会在一起；（4）不那么直白、一目了然，可能引起一段思考、发现和活动的过程；（5）简洁、易懂。
情景问题对数学学习有什么意义？大家可以注意到，情景问题的两端都与学生熟悉的现实生活相连接。也就是说，学生通过情景发现数学问题，并利用生活中积累的常识和已学得的知识与方法，去探索发现新的概念和方法，在解决问题的过程中学习数学。现实生活与数学学习之间，具体问题与抽象概念之间的联系经由情景问题沟通。使学生不断积累这样的体验：数学的概念和方法是从哪里来的？它们有什么样的用法，可以怎么用？一步步地体验抽象和形式化。
特别是，一些在情景问题中潜藏着的、学生尚未在学校中学到的数学，可以经由学生自己非正规的解题方法，最终实现从非正规数学到正规数学的转化。在对情景问题中蕴含的数学成分进行分析和描述的过程中，能不断发展出一些属于学生自己的、不那么正规的数学语言。同时简化和形式化使这样的语言又不断地向比较严格和正规的语言靠拢。当情景问题不是孤立地而是以滚动式的集束出现时，学生未曾接触过的新概念、新思想、新方法会不断涌现。一些类似的事情反复出现，某些思路和方法会多次重复，循着这样的途径，一些学生先前并不知晓的概念和方法不断成型。这个过程不是一蹴而就的，需要花费一些工夫，但最终一个严格的数学系统被重新发现和建构起来。这个从情景问题开始的过程，使学生在获得一些基本的数学能力和方法的同时，还能积淀一些重要的“创新意识和实践能力”。这些正是数学课程的基本目标。因此，研究生活与数学的关系，对数学教育的意义重大。
二
选择供数学课程使用的情景问题，首先要着眼于学生生活中的实践知识和直观的经验积累。注重这部分知识的存在和运用，常常有利于选择到一些“真正”好的情景问题，可使学生解决情景问题的能力有可能超前于他们已经获得的那些能力。
情景问题一般可以通过三个渠道选择：学生现实生活中熟悉的真情实景、学生熟知和喜爱的超现实情景（如科学幻想、神话传说等）、学生已有的学科知识积累（如“加法”就是发现“乘法”的情景问题）。
在实际操作中，这三个方面可以单独出现，也可以相互交织在一起出现。义务教育阶段数学课程中的每个概念（不仅仅指那些“重要的”概念）都可经情景问题引出讨论，由学生自主做出发现。在教学实践中具体依托何种情景问题，教材编写者和教师可根据学生的年龄特征、学习水平以及具体学段、时段、时间的要求等做出不同选择。但无论如何要注意把数学内容隐含在情景的背后，尽可能把不同的学科内容和盘托出，否则情景问题就没有意义了。
要真正运用好情景问题，以便处理好数学与生活的关系，需要了解情景对于构建数学思想和方法的作用过程。我们用实际例子来说明。
“3个小朋友分36块糖果，每人能分到几块？”
这个情景问题适用于只学过10以内数的乘法而尚未学除法的学生，目的是使他们通过自己熟悉的情景问题独立发现除法的概念和算法。它从一个侧面反映了情景问题是怎样在生活与严格的数学知识之间建立联系，以及如何通过这种联系由学生自己得出结论的。
下面是由学生自行做出的一些尝试：（1）把均匀摆放36块糖所占的正方形面积分成相等的三大块。（2）每人一块重复地进行分配。（3）按每人分到一块的情形为一组进行分组。
学生的尝试可以概括为两种主要方法：分配的方法和比例的方法。分配的方法带有几何的意味，解决问题主要是通过找到3个相等的部分。而比例的方法则是试图回答“3块糖一组一共能分成多少组”的问题。这两种方法之间是紧密相关联的。因为一堆儿一堆儿地分就可以分成3个相等的部分。同时又意味着每分一次，每人多了一块，而糖的总数以3的倍数的形式减少，所以上述问题就转化为按这种分法能重复多少次的问题了。于是，原来的那个情景问题已经来到了严格除法的门口。虽然其中还需要一些提炼和转换工作，但最核心的思想和方法已经由学生自己发现了。
除法的竖式运算是规定性强、技术要求较高的算法。按照传统数学教育的思路很难建立起它与实际问题的联系。上面的例子已经表明，学生在解决应用除法的问题时，倾向于重复做减法的方式。下面的例子记录了如何通过重复的减法来得出除法的竖式算法。情景问题为：“今晚有81位家长要来学校参观，每张桌子可以坐6位家长，我们应该准备多少张桌子？”
下面是学生自己的一些解法：（1）有的学生采取连加的手段：6+6+6+…＋6；有的虽然用到乘法，但仍是加法的思路：1×6、2×6、3×6…；有的也是这样的思路，不过只写下一系列结果：6，12，18…。（2）有的学生从10×6开始，接着再采取连加或相乘的方法。（3）有一个学生从6×6=36开始，得出12×6=72，加上6，再加一个6。
对于学生的多种解决问题的方法，教师鼓励他们开展讨论并做出比较。通过讨论，大多数学生意识到，一步到达10×6是个窍门。教师接着提出了与上述问题相关的新的情景问题，引导学生去认识这个“乘10”窍门的意义：“一把茶壶可泡7杯茶，如果为每位家长准备一杯茶，则共需为81位家长泡多少壶茶？”
这一次只有一位学生采用连加的方法，大多数学生运用了“乘10”的技巧。有一个学生对上述两个问题的解答如下：（1）81位家长，每6人一张桌子，共需14张桌子。（2）每壶泡7杯茶，10×7＝70，再加上7为77，需要12壶。
通过前后两种解法的比较可以看出，在教师并未建议使用“乘10”方法的情况下，学生已经通过比较和探索发现了这种方法的优点并大胆使用了它。（2）中那个粗糙的算式，其原理就是一个除法的竖式运算问题。实际上，这是反复探索的结果：为了得到结论，通过把除数不断累积起来的手段去接近结论。其实，对于成年人或已经熟悉除法运算的人来说，当需要心算一个除法问题时，又何尝不是采取这样的解题步骤呢!情景问题的功能就是这样，正规的、严格的概念和方法要在活动的过程中，通过不那么正规的、经验性的方法一步步发现。这个过程始于情景问题。就上面的例子来看，重复做减法或“乘10”的方法就是在学生熟悉的“情景”中自然引申出来的，生活中的经验知识在这里派上了大用场。
情景问题可以孕育出与以往不同的学习过程。在这个过程中，比起运用已知的数学工具，“发现”这种工具本身成为了目的。解决问题也就有了下面这些新的特征：
——不是把问题表述得适合于某种现成的数学系统，而是以问题本身为中心，以抓住问题的实质为目的，通过确定构成问题的诸因素之间的关系和确定关键元素，在一个不断发展的形式化过程中达到的。
——不是只使用通常的标准数学语言。对问题的表述可以是素描式或轮廓式的。可使用自己创造的符号或标记。虽然这样的表述并不能使问题自然解决，但通过区别关键和非关键的因素，以及使问题诸要素之间的关系形象化，能使问题不断简化，直到显露其解。
——由于采用的表示和符号更富有实际意义，把解代回原来的情景问题验证这一“代回”的过程更容易实现。
我们有理由相信，依据这样的思想方法进行的教学活动，能够为学生创造出通过情景问题重新发现数学、积淀创新意识和实践能力的机会。情景问题是生活在数学课程中的载体，唤起学生那些蕴含在经验中的非正规的数学知识，沿着由现实生活到情景问题，由其中的数学问题到抽象概念的认识转化过程，实现通过生活向抽象数学的有效过渡，最终将来到正规数学系统的门前。
长期以来，我们对情景问题的重视不够，研究底蕴不足，缺少积累，有了也往往是浅尝辄止，问题不少。但这是一块亟待开掘的研究领域，值得广大教师投身其中，通过研究和实验得出满足要求、贴切可行的情景问题来。我们为此所做的努力，将是学生的福音。