怎么去肚子上的肥肉:数的整除

一、数的整除的特征

　　1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

　　2．末位数字为零的整数必被10整除。这种数总可表为10k（其中k为整数）。

　　3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。

　　4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

　　如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。

　　由于4｜96

　　能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。

　　5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

　　由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

　　如判断765432是否能被8整除。

　　因为765432＝765000＋432

　　显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。

　　能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

　　由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；

　　125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；

　　125×7＝875；125×8＝10000

　　故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。

　　6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

　　如478323是否能被3（9）整除？

　　由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3

　　＝4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3

　　＝（4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）

　　前一括号里的各项都是3（9）的倍数，因此，判断478323是否能被3（9）整除，只要考察第二括号的各数之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。而第二括号内各数之和，恰好是原数478323各个数位上数字之和。

　　∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍数，故知478323是3（9）的倍数。

　　在实际考察4＋7＋8＋3＋2＋3是否被3（9）整除时，总可将3（9）的倍数划掉不予考虑。

　　即考虑被3整除时，划去7、2、3、3，只看4＋8，考虑被9整除时，由于7＋2＝9，故可直接划去7、2，只考虑4＋8＋3＋3即可。

　　如考察9876543被9除时是否整除，可以只考察数字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）是否被9整除，还可划去9、5＋4、6＋3，即只考察8

　　如问3是否整除9876543，则先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字之和。由于3|（8＋7＋5＋4），故有3|9876543。

　　实际上，一个整数各个数位上数字之和被3（9）除所得的余数，就是这个整数被3（9）除所得的余数。

　　7．一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。）

　　如判断42559能否被11整除。

　　42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9

　　＝4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）

　　＋5×（11－1）＋9

　　＝（4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋

　　（4－2＋5－5＋9）

　　＝11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋

　　（4－2＋5－5＋9）

　　前一部分显然是11的倍数。因此判断42559是否11的倍数只要看后一部分4－2＋5－5＋9是否为11的倍数。

　　而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰为奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差。

　　由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11是11的倍数，故42559是11的倍数。

　　现在要判断7295871是否为11的倍数，只须直接计算（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是否为11的倍数即可。由25－14＝11知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是1的倍数，故11|7295871。

　　如867493的奇数位数字和为3＋4＋6，而偶数位数字和为9＋7＋8。显然3＋4＋6小于9＋7＋8，即13小于24。

　　遇到这种情况，可在13－24这种式子后面依次加上11，直至“够减”为止。

　　由于13－24＋11＝0，恰为11的倍数，所以知道867493必是11的倍数。

　　又如738292的奇数位数字和与偶数位数字和的差为

　　（2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24

　　7－24＋11＋11＝5（加了两次11使“够减”）。由于5不能被11整除，故可立即判断738292不能被11整除。

　　实际上，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11除所得的余数（不够减时依次加11直至够减为止）。

　　同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被11整除。

　　如186这个三位数，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数位数字和为6＋1＋8，偶数位数字和为8＋6＋1，它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。

数位数字和为c＋a＋b，偶数位数字和为b＋c＋a，它们的差恰为零，

　　象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被7整除呢？

　　如186186被7试除后商为26598，余数为零，即7｜186186。能否不做186186÷7，而有较简单的判断办法呢？

　　由于186186＝186000＋186

　　＝186×1000＋186

　　＝186×1001

　　而1001＝7×11×13，所以186186一定能被7整除。

　　这就启发我们考虑，由于7×11×13＝1001，故若一个数被1001整除，则这个数必被7整除，也被11和13整除。

　　或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001的倍数，另一部分为7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。

　　如判断2839704是否是7的倍数？

　　由于2839704＝2839000＋704

　　＝2839×1000＋704

　　＝2839×1001－2839＋704

　　＝2839×1001－（2839－704）

　　∵2839－704＝2135是7的倍数，所以2839704也是7的倍数；2135不是11（13）的倍数，所以2839704也不是11（13）的倍数。

　　实际上，对于283904这样一个七位数，要判断它是否为7（11或13）的倍数，只需将它分为2839和704两个数，看它们的差是否被7（11或13）整除即可。

　　又如判断42952是否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看952－42＝910是否被13整除即可。由于910＝13×70，所以13|910，

　　8．一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

　　另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。

　　如3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为725＋3＝728，偶数段为546，二者的差为

　　728－546＝182＝7×26＝7×2×13

二.数的整除性质

  

性质1：如果a.b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

      即：如果c|a,c|b,那么c|(a+b)。

      例：如果3|6,3|9,那么（6+9）；3|（9-6）。

 

性质2：如果b与c的积能整除，那么它们的和与差也能被c整除。

       即：如果bc|a,c|a。

       例：如果2×3|12,那么2|12，3|12。

 

性质3：如果b、c能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

       即：如果c|b，b|a，那么c|a.

       例：如果4¦12，12¦48，那么4|48。

性质4：如果b能整除b，b能整除a，那么c能整除a。这个性质称传递性。

       即：如果c|b，b|a，那么c|a.

       例：如果4|12，12|48,那么4|48。

性质5：如果b能整除a,那么b与m的积能整除a与m的积（m非零整数）。

       即：如果b|a，那么b×m|a×m(m非零整数)

       例：如果5|10，那么5×2|10×2