永久居留图解:抽象代数的人间烟火

摘    要

抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。

抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。

关键词：抽象代数，精彩案例

某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。我问她哪门课程学得最好。答曰“抽象代数”。不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。让她举一个非交换群。举不出来。举一个有限域，举不出来。我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。

如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。

现有的抽象代数教材，不是没有例子。这些例子本来就很精彩。三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。要讲清楚，课时也不够。只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。考试也不考用知识解决问题，只考背定义。抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。”只要认识字，小学生也可以化功夫死记硬背下来，但是根本不懂它的意思，更不可能照着去练习，难道就因为背熟了这些句子就成了武功高手吗？显然不是。同样，死记硬背抽象代数教材中的定义而根本不懂它的意思，举不出一个例子，不会用来解决任何一个问题，这样学习的抽象代数就是假冒的，通通都应当给零分！

这些年来，我们在抽象代数课程建设中所做的全部努力，就是要破除这种“就是没有例子”的假抽象代数。我们取得的主要成绩，就是积累了一批既能体现数学本质、又为学生喜欢的案例。下面是其中的一部分案例。

1. 幻方一变八----正方形的对称群

我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。

2

9

4

7

5

3

6

1

8

这不是考小学奥数。而是考正方形的对称群：旋转90^o,180^o,270^o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。

为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共2×4=8 个。这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。这些概念和知识都自然而然引入了。

类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S₃。

2．0与1的算术----二元域

许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。我的抽象代数考试每次必考有限域。

小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶×整数=偶，奇×奇=奇。将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0×a=0 (a=0或1),1×1=1。按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z₂就对加、减、乘、除封闭，Z₂就是二元域，最简单的有限域。

我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。貌似概率题，其实是代数题。将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。归结为二元域上的线性代数题。另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。二元域在信息与计算机科学中至关重要。会算1+1=0，就懂了一点真正的抽象代数。

为什么两个整数a,b的和、差、积的奇偶性只与a,b的奇偶性有关而与奇数与偶数的不同取值无关？将a,b分别用它们除以2的余数r,s代表（r,s取值为0或1），写成a=r+偶，b=s+偶的形式，则a±b=(r+偶)±(s+偶)=(r±s)+(偶±偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r×偶+偶×s+偶×偶。不论其中的“偶”取什么偶数值，总有：偶±偶=偶，偶×整数=偶，就好象0±0=0, 0×数=0一样。可以将算式中的“偶”看作0来运算，得到a±b = (r±s)+偶，ab = rs+偶。也就是说：将a,b 替换成与它们奇偶性相同的0或1进行运算，得到的和、差、积的奇偶性不变。这件事可以推广：a,b取值的整数集合Z替换成对合法的加法与乘法封闭的任意集合D，称为环; 偶数集合替换成D中具有类似于0的运算性质O±O=O，D×O=O的子集O，称为理想。D中两个元素a,b的差如果在O中，就将a,b“看成”同一类，得到的同余类组成的集合可以定义加、减、乘运算，这就是商环D/O。特别，当D=Z，O=nZ时，商环D/O 就是整数模n的同余类环Z _n 。另一个重要例子：D是在某点c连续的全体全体实函数f(x)组成的环，记Dx=x－c，O(Dx)与o(Dx)分别是当Dxà0时的无穷小量和高阶无穷小量组成的集合，则O(Dx)与o(Dx)都是D的理想，同余式f(x)≡a (mod O(Dx))表示当 xàc时f(x)的极限是a，而f(x)≡a+bDx (mod o(Dx)) 表示b是f(x)在c的导数。

3．从凯撒密码谈起-----整数的同余类。

密码的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。最早的一种简单密码是凯撒设计的，加密方案是将每个英文字母用它后面第3个字母代替。将26个字母依次用整数模26的各个同余类表示，凯撒密码的加密就可以用最简单的加法函数y = x+3 表示，解密函数为x = y－3。更进一步，可以用Z₂₆上的一次函数y=ax+b加密，其中a可逆，称为仿射密码。例如3×9 =1就说明9=3^-1，加密函数y=3x+5的解密函数就是 x=9(y-5)。Z₂₆中的乘法可逆元组成乘法群Z₂₆*，由与26互素的整数所在的同余类组成。更进一步，可以将若干个字母对应的同余类组成列向量X，用矩阵运算Y=AX+B来加密，其中A的行列式在Z₂₆*中。也可以将信息写成二元域Z₂上的列向量，用Z₂上的矩阵运算Y=AX+B加密。

更一般地，讨论Z_n的乘法群Z_n*。特别，当n为素数p时，Z_p中的p-1个非零元都可逆，组成乘法群Z_p*。Z_p是有限域，Z_p*中的元素都可以写成一个元素的幂，Z_p*是循环群。在另一种情形，n = pq是两个素数p,q的乘积，为了讨论Z_n及其乘法群Z_n*的构造，将每个整数a除以p,q各得到一个余数r,s，将a对应到“坐标”(r,s)，就建立了环同态 ZàZ_p×Z_q ，进而得到环同构 Z_nàZ_p×Z_q，这就引出了中国剩余定理，环同态基本定理，环的直积。进而可以讨论Z_n上的幂函数y=x^m 是可逆变换的条件，得到RSA公钥密码。

4．复数的几何模型--- 同构、同态与单位根群

中学数学强行定义i²=–1，不解释这种定义的合理性。其实，很容易给出i² =–1的一个几何解释：–1乘向量是向后转180度; 用i表示向左转90度, 则i²就是向后转180度，就是–1。这其实是将虚数单位i用“左转90度”的线性变

求逆运算，是复数域C与它的几何版本(由线性变换组成)和矩阵版本(由矩阵组成)之间的环同构、域同构。

在这个同构下，复数cosa + i sina 对应的变换是旋转角a, 其 n次幂就是旋转na, 由此立即得到 (cosa + i sina ) ⁿ = cos na + i sin na (棣美弗公式)及其矩阵版本

。

由旋转角a到复数cosa+isina 的对应关系f具有性质f(a+b) = f(a)f(b)，将实数的加法对应到复数的乘法，这说明加法与乘法本质上是一回事（都满足结合律与交换律，加法的0对应于乘法的1，加法的负元对应于乘法的逆元），对加减法封闭的与对乘除法封闭的集合同样都称为群。以上对应关系f是实数加法群R到表示旋转的(模为1)的复数乘法群P的同态，同态核为2p的全体整倍数2pZ。将相差2p 的整倍数的角a对应于同一个复数f(a)。将相差2p 的整倍数的角a看成相等，组成一个同余类，得到同余类集合R/2pZ到P的1-1对应s 并且保持运算(将加法变到乘法)，s 是群同构R/2pZàP。这就是群同态基本定理。

既然群同态f将2p 的整数倍2kp 对应到1，求1的n次方根也就相当于将2kp 除以n，得到的方根为f(2kp/n) = cos(2kp/n)+isin(2kp/n)= w^k ，让k取遍n个值0,1,2,…,n-1就得到n个不同的方根，称为n次单位根，它们都可以写成其中一个根 w = cos(2p/n)+isin(2p/n) 的整数次幂，其几何意义就是旋转2kp 的n分之一。对应关系 f ：k à w^k 是整数加群到单位根乘法群的同态，同态核由n的全体整数倍组成。让相差n的整倍数的整数组成一个同余类，得到同余类 Z _n的加法群到单位根乘法群的同构，这是群同态基本定理又一个例子。

5. x¹⁵-1在有理数范围内的因式分解

x¹⁵－1在复数范围内分解为一次因子的乘积(x－1)(x－w)…(x－w ^n-1 )，每个一次因子x－w^k对应于一个15次单位根w^k，每个w^k 的在乘法群中的阶d都是15的因子，共有4个不同的值1,3,5,15。将15个根按阶的不同值分成4类，以阶是d的单位根为根的一次因子的乘积记为F_d(x)，称为分圆多项式，分别等于F₁(x) = x－1，F₃(x) =(x³－1)/(x－1)=x²+x+1，F₅(x) = (x⁵－1)/(x－1)= x⁴+x³+x²+x+1，F₁₅(x)=(x¹⁵-1)/ F₁(x) /F₃(x)/ F₅(x) = x⁸-x⁷+x⁵-x⁴+x³-x+1，都是有理整系数多项式。x¹⁵－1分解为这4个有理系数因式的乘积。

6．无限循环小数--- p元域乘法群中的元素的阶

分数化小数，得到的无限小数为什么一定循环？循环节的长度有何规律？这是小学算术中的问题。其中的奥妙却需要抽象代数来解释。

怎样描述小数的循环性质？例如，无限循环小数a=0.090909…以09为循环节，这可以描述为：将a的小数点往右移动两位得到的10²a=9.0909…与a的小数部分相同，差10²a－a=09为整数，并且就是循环节。一般地，要使既约分数m/n 化成的小数a是纯循环小数，只要存在正整数d使10^da-a=(10^d -1)m/n是整数，也就是10^d =1在同余类环Z_n中成立。当n与10互素时10是Z_n中的可逆元，满足条件的最小正整数d就是10在Z_n的乘法群中的阶，必然是f(n)的因子。当n为素数p时f(p)=p－1，m/p的循环节长度是p－1的因子。如果n与10不互素，则有足够大的正整数k使10^km/n约分后得到的最简分数m₁/n₁数的分母与10互素，化成的无限小数10^ka的小数部分是纯循环小数，a=m/n由这个循环小数的小数点往左移动k位之后得到，是混循环小数。

以真分数m/7为例。10的1,2,…,6次幂被7除的余数依次为3,2,6,4,5,1，说明10在乘法群Z₇*中的阶为6，由m/7 展开的小数的循环节为 (10⁶－1)m/7=142857m，是142857的m倍(m=1,2,…,6)。D=142857是1/7的小数展开式a=0.142857…的循环节。对正整数k=1,2,…,5，将D=142857的前k位移到末尾得到的6位数D_k就是10^ka－q_k =10^k/7－q_k = r_k / 7的循环节，等于D=142857的r_k倍，其中q_k,r_k分别是10^k被7除的商和余数。当k=1,2,…,5时r_k依次为3,2,6,4,5，因此将142857的前k位移到末尾依次得到142857的3,2,6,4,5倍。

一般地，当n与10互素时，将1/n的循环节D的前若干位移到末尾得到的整数都是D的整倍数。如果n是素数p，且10是乘法群Z_p*的生成元，阶是p－1，则1/p的循环节D的2,3,…,p－1倍都可以由D的前若干位移到末尾得到。p=7就是如此。试验发现p=17,19时也是如此，1/17与1/19的循环节0588235294117647,052631578947368421也有类似性质。

1/7的循环节142857还有另外的神奇性质：将它平均分成两段的和142+857=999，平均分成3段之和14+28+57=99，全都由9组成！不难证明，这个性质可以推广到别的1/p 。