红米note4x 联发科:“导数及其应用”第一课时的教学反思

导数是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用。文[1]中说:“虽然函数的导数可以用极限概念‘纯数量’地去定义，但在中学里我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出导数的描述，因而我们宁愿把这个概念看成是数形结合的产物。”把定性的结果变成定量的结果，把存在的东西具体表示出来——曲线的切线斜率用导数表示等。因此，本章内容课堂教学的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想、以直代曲思想、数形结合思想等，将切线的斜率和导数相联系，发现导数的几何意义，并具体应用。其中，第一课时“变化率问题”的教学也不例外。

１.反思“导数及其应用”整章教材的编写意图

文[2]第一章“导数及其应用”，整章内容设计精妙，始终以导数概念这条主线贯穿着。有主线、有中心的文章是好文章。有主线、有中心的数学教科书更是一本好书。因为教科书在编写时要做到这一点，似乎比写文章更难。因此，我们的课堂教学必须是在理解课程标准的要求（通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义），把握教材编写的意图（以导数概念为主线编写教材），创造性地使用教材的过程中实施（每节课都要把握住本章教材的中心和主线——导数的概念）。因此，在本章内容教学的第一节课里，我们也需要强调对导数概念的初步认识，把它作为一种重要的思想、方法来学习。因为对一种思想、方法的学习，不是几节课就能完成的，这需要一个过程，可能过程还很长。对导数概念的理解，也需要一个过程，一个螺旋上升的过程。作为一线教师，我们必须在理解课程标准的要求，把握教材“主线”的基础上，再去创造性地使用教材。这样的课堂教学才能收到事半功倍的效果。

研读两位教师关于“变化率问题”的教学设计，其中舒老师确定的教学重点是函数平均变化率的概念；而吴老师确定的教学重点是平均变化率、瞬时变化率的理解。结合课堂教学实际，我们发现吴老师能更好地把握教材编写的意图——以导数概念为主线串联着整章内容，因而其课堂教学效果明显。

２.反思“变化率问题”课堂教学的整体思路

教学过程设计以“问题串”方式呈现为主。所提出的问题应当注意适切性，对学生理解数学概念和领悟数学思想方法有真正的启发作用，达到“跳一跳摘果子”的效果。根据“对一种生活现象的数学解释”是教科书介绍数学知识的切入角度，不仅可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的思想，设计如下课堂教学的整体思路。

首先，以文[2]第一章的章头图“高台跳水”为背景资料，结合文[2]的问题2：“高台跳水”及其探究的学习，使学生认识到高度关于时间的导数就是运动员的瞬时速度，给出函数图像，同时给出在某一点处的切线，并说明在这点处的切线斜率的几何意义，从而了解导数的概念。

其次，结合文[2]的问题1：“气球膨胀率”，让两个学生（男女生各一名）吹气球，在吹气球的过程中体验“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”。感受气球膨胀率大小的变化，从而体会到平均膨胀率可以刻画气球半径变化的快慢，体会气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率。

再次，为了从具体情境的变化率问题抽象出导数概念，提出如下问题：如果将上面两个变化率问题中的函数用表示，那么函数在的瞬时变化率怎样表示？目的是引导学生从两个具体问题的实际意义中抽象出一般函数瞬时变化率的表示，抽象出导数概念，这是学习的一个难点，也是思维的又一次上升过程。

两位上课老师中，其中吴老师提出了瞬时速度，而舒老师却没有。这样，吴老师的课堂教学抓住了本章的核心概念——“导数的概念”，符合教材编写的意图。因而，课后反映良好。至于让学生吹气球的问题,课后，有人支持，有人反对。但我认为，让学生在吹气球的过程中体验“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从而感受气球膨胀率大小的变化，这符合新课程的理念。

３.反思“变化率问题”课堂教学的新课引入

导数的几何意义就是切线的斜率，因此贯穿“导数及其应用”的主线是切线的斜率。下面通过比较“变化率问题”的两节课，就新课的引入谈点想法。

舒老师的课以体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系导入新课，以实例“经营问题”引入新课。上课不到两分钟，就使学生明确本节课要揭示的核心问题——平均变化率问题。

舒老师还从学生的生活经验出发，如菜的价格问题（那几天菜价正涨）、经营问题等，激发学生的学习兴趣。这种新颖的课堂设计，简洁有趣的导入，为整个教学环节的展开作了良好的铺垫。

美中不足的是作为引例的“经营问题”的科学性值得商榷。但其具有教学性。学生通过对引例的思考、讨论，获取平均变化率的信息，从而形成平均变化率的数学结论。同时联系有实际背景的当时菜的价格问题等，所有这些符合教材知识结构和学生认知规律的实例，能使学生在短时间内对平均变化率有个大致的了解。

吴老师的课，以微积分的创立与自然科学中四类问题的处理导入新课，以老师自己吹气球引入新课（这不是新课程提倡的）。

这节课的核心问题就是“变化率问题”，它是学习导数的基础，是理解导数概念的根本。如果这节课能在把握整章教材的核心问题——“导数概念”的基础上，把握这节课的核心问题——“变化率问题”，恰到好处地给出瞬时变化率和切线的斜率，那么，自然水到渠成。

新课导入是整个课堂教学活动中的热身活动，目的是让学生在最短的时间内进入课堂学习的最佳状态。在这种教学环境和师生关系极为特殊，而且缺乏平常教学中的师生默契的情况下，如何以简洁、生动的教学案例来消除师生之间的陌生感，从而创设和谐的课堂气氛？如何以新颖的方法把教学内容自然地呈现在学生的面前？如何在上课伊始的几分钟内吸引学生的注意力，激发学生的求知欲？如何使新旧知识有机地结合起来，并溶入导入活动之中？等等，都是教师应深入思考的问题。

４.反思“变化率问题”课堂教学的课堂语言

舒老师说：“令”。这里的“令”，应该说成“习惯上用表示，即”。

关于气球膨胀率问题，应该补充说明：“我们把气球近似地看成球体”.这一点，两位教师都没有说明。

应该补充例题：“已知两点，在函数的图像上，求经过两点的直线的斜率”。因为它是联系平均变化率和导数概念的枢纽，同时，还有利于学生在亲身体验数学的文字语言、符号语言和图形语言的相互转化中理解平均变化率的概念、切线斜率的概念和导数的概念等。

５.反思“变化率问题”课堂教学中对计算问题的处理

在课堂教学中，对计算问题的处理，要注意避免两种极端：过分强调学生的计算；以计算机代替学生的计算。

既要培养学生的运算能力，又要提高单位时间的教学效率，可选择两个地方让学生计算。其一，计算0～1秒或1～2秒的平均速度问题。因为计算时花费的时间不多，同时，既能促进学生对平均速度的理解，又能为理解瞬时速度做好充分的准备。其二，计算0-平均速度问题。因为学生通过这一问题的计算，既能发现问题：“用平均速度表示这段时间内运动员的运动情况存在问题”，又能促进学生思考问题：“用什么东西才能更好地描述运动员在这个时间段的运动状态？”自然学生会想到物理中学过的瞬时速度。这样的处理省时，能够提高单位时间的效率，同时，不影响主体知识（平均速度、平均变化率、导数的概念）的学习。

６.反思“变化率问题”中气球的膨胀率问题

有些教师在反思的时候认为这个例题太难，教学时可以删去，只讲高台跳水问题。还有些教师建议教材再版时去掉气球膨胀率问题，只留高台跳水问题。笔者不赞成这些观点，基于对以下两个方面的问题的思考。其一，这是一个难得的好案例，学生对它的熟悉程度远远超过高台跳水，几乎每个学生都有过吹气球的体验，而对高台跳水，大多数学生只是从电视画面上看到。好的案例，应该是大家都熟悉的案例，因为它能够有效地集中学生的注意力，学生乐意去思考，去研究，也才能使学生有所收获，有所提高。其二，课堂教学的目的是把学生不懂的教懂，不会的教会，但并不是说，每节课的教学内容都要求学生在这一节课里全部搞懂、全部掌握。这需要给学生更多的思考时间和思考空间。这样，反而能够培养学生的思考、探究的能力。所以膨胀率问题不仅不能从教材中删去，而且还应该在课堂教学中实施。

作为新概念引入的案例，关键应该选择学生熟悉的，简单的，如高台跳水问题，但熟悉的，不简单的也好，如气球的膨胀率问题。因为学生熟悉，最起码学生去想过这一问题，通过教学，不一定学生对这一问题的理解会很清楚，很深刻，但肯定的是在原来的基础上，对其理解会更进一步，它符合思维最近发展区原理。如果课堂教学能够把两个案例结合起来，先讲高台跳水，再讲气球的膨胀率问题，那么效果会更好。因为高台跳水让学生理解平均速度、瞬时速度等，而气球的膨胀率问题，则能够促使学生去思考。这样自然引入导数的概念。

参考文献

[1] 刘绍学主编.普通高中数学课程标准实验教科书(版),教师教学用书.人民教育出版社.2007.

[2] 刘绍学主编.普通高中数学课程标准实验教科书数学(版)选修2-2.人民教育出版社.2007.

[3] 钱佩玲，马波，郭玉峰，张丹编著．高中数学新课程教学法．高等教育出版社．2007年3月．