贴吧会员和爱奇艺会员:从欧拉的错误谈起

　　　　一、事情的起源

许多人认为，欧拉在1770年出版的名著《代数学的完全引论》（Vollst?ndige Einleitung zur Algebra）一书中曾经认为

（1）

对于任意的（不论正负）均有效.因此产生了严重的困难：令，则有两个说法：一是利用上式以及算术根，会得到

（2）

二是进入复域，而可能得到例如而有

（3）

当然若令，则又会得到（2）式.

欧拉犯“错误”的背景是在18世纪末到19世纪初，人们对于复数还不很了然（到了高斯证明了代数的基本定理以后，人们才普遍地接受了复数），因此算术根与一般的“根号”的区别，不可能讲清楚.我们既不必为欧拉这样的“贤者”讳，更不必以此沾沾自喜，而应考虑，在我们的时代，我们自己的教学中是否仍有那个时代的遗迹.

再举一个例子：似乎毫无问题.但是，于是又有两个说法：一是

， （4）

二是

（5）

为了解决这里的“矛盾”，人们时常习惯于加上一些“规定”，例如“先乘方后开方”之类（在一些很古老的三角教本里，讲棣美弗公式时就有这种情况）.但是数学中是不许可随意添加什么规定的：所有的规定都必须要保证不会产生矛盾；如果不能做到这一点，就要为此规定划定适用范围，保证在此范围内不出问题，而且要解释做出此种规定的理由.例如在很早时代的一些中学代数课程里是这样来讲（1）式的：（1）式只在至少有一个为正时才成立.但是我没有看到任何书面的依据和解释.

我们现在的教材中仍然有类似的问题.例如说当为奇数而时，定义.

这个规定作为“定义”是不行的，它会产生矛盾.看一个例子（它是（4）和(5)的变形）：

（6）

或者

有6个值：平方以后得到3个值：

（7）

其中就是没有.

对此矛盾常有两种“解释”：

1.“先乘方后开方”.那么，写成与是不相同的.这样，置乘法的交换律于何地？

2.“作为指数的分数规定必须化为既约分数”，于是，不准把作为指数的写成那么，分数指数就不能做加减法了，因为分数的加减难免需要通分，就是不能用既约分数.

越解释越出毛病，这是常见的事.怎么办呢？认真地想一想算术根是怎么回事，复数又是怎么回事.

二、算术根是怎么回事

在中学数学教学中讲根式与分数指数时，第一步应该限于算术根.那么，什么是算术根？

定义：若则所谓算术根就是方程的唯一正根.

注：1.这里规定，是为了避免时产生困难.其实当时，人们也常说是0的算术根.这样做并无大碍，不过当时，方程的根0与其他的根，性质很不相同.例如等大于1的正整数时，它是重根，这与单重根很不相同（非整数十情况更复杂，远远超过了中学教学的可能性）.

2.这里还应限于的情况.因为当时，已经定义了但是现在是无意义的.微积分中有时讨论这种类型的未定式是另一个问题.

3.通常教材里只讨论的情况.对于中学生当然这就够了，但是实际上，甚至是无理数时，这个定义仍然有效.这里定义宽一点，一是为了方便，二是不会出现矛盾.

以上所述，除了三个注解可能有的老师会感到生疏外，一般不会引起困难.但是有一个关键之处可能许多人未曾注意到.那就是，这个正根是否存在？如果这里出了问题，这个定义就成了一个“空定义”.由此而来的一切推论就从根本上失去了依据.再就是，这个根必须是唯一的，否则，设有两个正根，则在讲到算术根时，指的是哪一个，可能会有歧义.这里的存在和唯一性证明如下：

暂时设令则它是定义在上的连续函数，而且所以在此区间内必存在唯一的正的使得这个是唯一的正根，即算术根.时证明类似.

我们的中学教材中讲的根号与分数指数都是指的算术根.曾经有人认为不妨规定一定表示算术根，而“一般的根”（连专门的称呼都没有）则用√来表示，但是现在似乎没有人接受，这确实引起了一些记号与名词的混淆.

读者可能会问，何以不用代数的基本定理来证明算术根的存在？原因是，这个证明甚至可以适用于为一般实数（包括无理数）的情况.更重要的是，我们时常以为高斯本人的证明尽管很长，却是“初等的”，而现在应用了微积分里才讲的连续函数中间值定理，就算是“高等的”，因此对于中学数学教学是“超标”了.实际上高斯本人的证明正是应用了中间值定理，但他不知道这个定理是有待证明的.首先指出这件事的是波尔察诺，而他为了补起高斯的缺口使用了我们现在证明波尔察诺定理的方法，但是波尔察诺也不知道以他命名的这个定理也是有待证明的.这个缺口一直到19世纪末才完全地被补了起来.我们现在知道的方程的解法中，除了可以用公式写出解来的线性方程组，以及二、三、四次代数方程以外，还有哪一个可以不用这一类的拓扑学定理？看来多数情况下是不行的.代数的基本定理本质上是一个拓扑学定理.在这里讲了这么一大段，当然不是要给中学生去讲，而是为了破除一个迷信，以为“高等的”一定很难，而“初等的”一定容易.如果有哪位老师愿去看一下高斯原来的证明，就会发现，其技巧性很强，其“初等的”部分很难懂，而它的真正实质的部分就是上面介绍的非常直观的拓扑学部分，虽然是“高等的”，却是很容易懂的.但是这个非常直观的拓扑学部分一直到19世纪末，人们才懂得了也是必须证明而且非常难以证明的.现在连大学数学系都不一定会讲它的证明（这样做，对还是不对，也难说清楚），从事中学（和高校非数学专业）数学教学的老师当然不必为此去费工夫.重要的是要知道，这些“高等的”数学就在我们身边，知道它们实际上大大地简化了数学教学，帮助我们少走弯路，稍为学一点，其实是所费甚少，所得甚多的“低成本改革”.

现在回到算术根本身，而我们的结果是：若而为任意实数，则下面出现的算术根如等均存在，均为实数，而且

1. 　　　　　　　 　　　　　　　　　 (8)

2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9)

3. 　　　　　　　　　　　　　　　　 (10)

注：如果及(或) 为整数，则“根式”成为连乘积，这时的条件可以去掉，只是要防止出现零的负幂.

（8），（9），（10）（特别是（8））称为指数定律.不知道为什么，这个很简明的又在国外很通用的名词，人们似乎很不原意使用.它们的证明时常被认为很容易，不值一提.事实是，如果是正整数，而（8），（9），（10）只是连乘积公式，证明确实很容易；而如果中有一个是负整数，证明就不那么简单；如果是分数，我不知道有谁确实试着去证明过.问题在于，上述结果说的是为任意实数，何况从道理上说我们还要讨论为复数的情况.可见我们需要一种新的证明方法.这个问题下面再说.

现在回到前面讲的算术根的定义.负数有没有算术根？为此，我们再来看一下时方程是否有解.很明显这个在上是单调上升的，而且.所以它不会有正根.所以不会有算术根.既然我们已经在教材中规定（有时又没有明说）用根号或分数指数来表示算术根，则当时或这些记号应该说是没有意义的.但是前面讲过的“例子”实在太常见，用起来又方便，所以大家总想“挽救”它.上面我们说了，把它作为一个“定义”问题很大，作为记号又与算术根的存在有矛盾，所以我建议，不如网开一面，仍保留它作为一个特殊情况下的权宜之计，就是作为一个方便的记号.就是说，若为奇数，而则就是的一个方便的记号.所以一旦见到这个记号就把它换成，再来进行其它的运算，这样，既得了方便，又不会出毛病.还请注意，现在指数的分子一定是1，所以不存在约分通分等问题.

三、进入复域

引入复数是数学中的一次大革命.这不仅是说，我们从此有了强有力的武器来解决原来无法解决的问题.发现复数的几何解释，大约是19世纪初年的事情.前后相继有三个人.一是威塞尔，他是一个挪威测量员，认为用实数难以表示有方向的量，而可以用复数.二是阿尔干，他是一个法国小会记，业余喜欢研究数学，他也想研究代数的基本定理，而且提出了可以把看成旋转这样他们互相独立地得到了复数平面的概念.所以复平面在一些书上称为威塞尔平面或阿尔干平面，原因在此.他们二人都不是专业的数学家，所以尽管他们的工作都得到有名的数学家的支持，却未为广大数学界接受.第三个人来头可大了，那就是伟大的高斯.可是数学界接受高斯的复数平面却不是因为数学家们是“追星族”，而是因为高斯正在研究一个重大问题.高斯发现代数的基本定理是当时数学里一个突出的贡献，推动高斯以及数学界接受复数的，正是这个定理.高斯称它为基本定理，满意之情溢于言表；虽然上面我们说了这个定理的一个核心思想是拓扑思想，而这是高斯没有意识到的，但是复数和复平面同样是这个发现的基础，也起了关键作用，这一点高斯是完全理解的.只凭这一点，就有理由称它为基本定理.引入复数更重要的影响是，许多原来人们认为已经理解了的事情，现在才发现并未真懂.欧拉生活在复数正在登堂但还没有入室的年代.他的“错误”恰好反映了这个情况.现在中学的数学教学的改革，面临的也是在引入复数以后，我们原来有哪些地方需要跟上（说来可笑）两百多年前的时代.“根式”无疑是首当其冲的一个焦点.

首先回到最基本的概念.在这个表达式中，如果把当作变量，就会得到“幂函数”，把当作变量，就会得到“指数函数”.如果它们是复数，就会得到“复变量函数”（和二者都是变量则更加复杂，大学课程里也不会讲）.“复变量函数”的理论是数学中的一个范围极大的领域，当然不可能纳入我们讨论的范围.我们只想把作为一个运算来看看它的一些与我们最为相关的性质.我们知道任意复数都有指数形式：称为其“模”，也就是绝对值，称为其“幅角”.但是这里就已经应用了著名的欧拉公式，以及自变量取复数值的指数函数：.怎样定义以及，又怎样证明欧拉公式？这都是数学教学(包括中学和大学)中亟待解决的问题.如果因为不可能严格地讲就完全不讲，而把这个任务推到遥远的将来，真是削足适履，会极大地妨碍学生的进步(这里有一个数学教学里的怪圈：有某个重要的结果，开始时我们告诉学生说将来有一天老师会讲的，可是将来的老师又说.你们原来的老师应该已经给你们讲过了).再者，由复数的指数形式得出，这里又在复域里用到了（10）式（而在复域中此式尚待证明）.这算不算循环论证？可见必须从根本上对以及复域中的幂函数和指数函数下定义，再以此为基础证明（8），（9），（10）诸式.这里最好的方法是用微积分的方法.作者以为，在没有找到好的适合于中学教学所需的讲法以前，形式地给以承认，而且大胆地应用它们，特别是大胆应用欧拉公式，比根本不讲或者推到遥远的未来，要好得多.因为这将极大地拓广我们（包括老师，甚至主要是指老师）的视野.

有不少文献提出，公式（8），（9），（10）在复数情况下不成立，其根据就是上面举出的那些反例.我以为这种说法说的太急了一点，而应该说，它们在复域中需要新的解释.我们现在不来证明它们，理由是这需要对复数有系统的理解.但是在承认我们熟知的复数运算规则的前提下，不妨用这些规则，对复域中这些公式仍然有效，做一个验证.但是我们限于为实数的情况.

1. 先看(8)式.

分析一下这里的运算，易见共有三步：（1）利用了“定义”；（2）利用了实域中的(8)式：注意，此式本来要求，而现在只有.不过时，，这本来是要单独处理的，所以我们实际上做的是的情况；（3）最重要的是是否循环论证？我们暂时不来讨论，但是我们熟知这种形状的复数乘法就是幅角的旋转，所以，复域中的(8)式与复数乘法的几何意义是相通的；与三角里面的和角公式(即加法定理)有异曲同工之妙.这是指数定律中最重要的一个.在整个数学中有意义深远的推广.不过，在指数理论中常称它为“加法定理”.

2.其次来看(9)式.因为，，所以的模是，幅角是，所以.这里的关键仍是对于模这一部分应用了关于算术根的(8)，(9)，(10)式.

3. 关于(10)式：令，则，而

由此可见，在复域中的指数定律，对于复数的模，原来的(8)，(9)，(10)式完全没有变化.可见，关键在于幅角部分.

复数的幅角具有多值性.不妨说，这是一切麻烦的根源.如果的幅角有一个值，则所有的 (是整数)都是的幅角，而且的所有幅角尽在其中.所以如果有两个幅角，则.在讨论幅角问题时，不能用通常的算术，而要用同余算术，这就是问题所在.在许多书上常把重点放在上，称它为主值，于是出了问题：主值是在上还是在上，取开区间还是闭区间，还是半开半闭区间，是左开右闭还是什么.其实，主值的选取是为了例如应用三角函数的公式更方便，而不一定有原则的意义.所以我们现在就取任意的定值作为.于是，例如在计算时，我们应该这样作：

(取整数值)

这样我们可以令而得到3个值如下：.那么我们通常的教材中说的“定义”就是只取了第二个值，而没有根据地丢掉了其他具有同样平等权利的两个值.这个所谓“定义”碰巧又与常见的习惯一致，多少有点偶然.我们可以进一步分析一下（6）式犯错误的根源：当时的计算是

先看第一个方括号.诚然，到了第二个方括号有

虽然，但是同余式不许可双方同除以一个数，我们不会得到

.而上面第二个方括号显然是错误地把的双方同除以6，这样就把同余关系与相等关系混为一谈了.读者不妨分析一下上面那些“怪论”，就会看到，在复数运算中，对于幅角必须应用同余算术是多么重要.

现在来看（8），(9)，(10)式对于幅角部分应该做什么说明.我们先把以后要用的符号统一一下：这里是幅角的特定值，但不一定是主值.是任意整数；则是实数（复数指数本文不讨论）.在讨论（8），(9)，(10)式之前，先看一下的多值性.按定义如果是整数，则也就可以当作等于来处理，这里不产生任何多值性.如果是有理数，则把它写成既约分数，而的亲最大公因数（GCD)（为什么前面不许可随意约去公因数，而现在又要约去，后面再解释）.这时恰好都是可能的幅角之值.如果再取其他的值，则必与这个值的某一个相差的整数倍，所以会给出同样的.如果在这个值中任取两个，例如则它们给出的幅角的值相差因为而不可能以为因子，又与没有公因数，所以在中无法将分母约去，而不会是的整数倍，从而我们会得到的不同的个值，而且是的全部不同的值.这样我们知道恰好有而且只有个不同的值.在这里我们看到假设为既约分数是不可少的，否则有可能将将分母约去.我们讲了许多话，是为了说明，在数学中，不要没有充分根据地（甚至是想当然地）规定什么事情，例如见到分数就把分子分母的公因数约去，尽管这样做在许多情况下确实会带来方便.如果一个问题的本质需要用到既约分数，这个需要总会在讨论过程中出现.到那时，不约去公因数反而不行.这不是什么经验之谈，而是：数学就是这么回事.

现在我们对（8），（9），（10）诸式中涉及的幅角问题加以说明.我们主要是讨论（10）式，式右的幅角为，而式左的的幅角是，与的幅角其实是一样的.因为都是任意的整数，把写成（有多种写法）不会有影响.从表面上看，各有个值，它们的乘积似乎会有个值，而正是因为把写成有多种写法，所以式左和式右都代表同样多个值，其个数就是的分母，其区别无非是排列次序不同而已.从这里来解释（2）和（3）的矛盾就很容易了.，一共有4种配对的方法，但是乘法的结果只有两个值（2）和（3）各执一词，两个答案都不完全，原因就是他们都没有下定决心是仅用算术根还是进入复域.

一个值得注意的事情是：在复域中，（8），（9），（10）的双方的式子都不一定代表一个值，而可能是若干个值──组成了一个若干元的集合.说双方相等其实是表示左右两个集合相等，即由相同元素构成，而不是从左右双方各取任意元素，一定会取到相同的元素.前面讲到的矛盾都来源于此.

最后，教训何在？必须注意由于数学科学的发展，我们对于一些基本的概念的理解必须相应地跟上去.不论大学中学都是一个道理，只不过程度不同，做法不同而已.欧拉的“错误”其实并不是我们通常理解的“题目做错了”，而是由于欧拉生活在这些基本概念──特别是复数概念正在征服人心的时代.从欧拉写他的《代数学的完全引论》到现在已经有二百三十多年，在欧拉和我们时代之间，至少还隔着高斯这样的巨人，我们有什么理由不按着后来的发展改变我们的教学习惯？教学内容的现代化并不只是增加许多新内容（必须增加的还要增加），更需要改变一些老的习惯.这样做并不一定有什么特别的困难，本文中有什么很高深的理论或方法吗？