偶看新闻童亚辉履历:被扭曲的凯利指数
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/28 14:43:45
被扭曲的凯利指数
(2007-08-09 17:07:10)
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被扭曲的凯利指数
随着凯利指数的受关注程度的提高,因为Dr. Kelly 在"A New Interpretation of Information
Rate"(1956.3)里面,通篇举的例子是赌徒如何处理资金的分配,胜峦赔率之间的协调,以达到
最优的成功率(收益率?通过率?)的问题，在我们国家,赌?堵之！所以一般也很难找到这篇论文
的翻译及相关资料,所以不少的人在深受其苦啊。不过,今天,如果有幸看到了蛇眼的这篇贴子,
那么,保证你以后不会为此痛苦了.你的痛苦少一点,就是蛇眼的快乐多一点哈(虚伪吧?)
其实,Dr. Kelly举赌徒的例子,只是因为这样的例子比较适于去说明他的意思,他是AT&T(贝尔实
验室)的工程师,可不像Mr. Roxy一样的赌界大佬.
凯利指数的来龙
背景:
在数据交换领域,Dr.Shanon发现了这样一个情况:在受噪声影响的数据传输路径,传输的速率有
一个最优值。就是你追求速度有一个极限,超过了这个极限,数据接收的正确性将得不到保证(你
给朋友发了一张小猫的图片,快是快,可那边收到的成了一只小狗,那这样的快就没什么意义了)
于是,Dr. Kelly认为,这其实是一个酒瓶子,可以装二锅头,也可以装五粮液,你有兴趣装XO,当然
也没有关系.因为赌博(gamble)的胜率是一个随机值,你可以说你的正确率是80%,但你不能说这
一次你的正确率是100%,如果你每次将所有的资金投入以追求复利,那么十次以后你还没有输光
的概率就只有10.7%了.所以,你会将手头的资金分散,那么,如何根据你的胜峦赔孪适的分配
资金,以保证有一个最佳的收益率呢(在赔率固定为2的项目中,那么你必须要保证你的正确率在
50%以上,因为50%的胜率,你可以用来玩的资金最理性的情况是占到你全部可以玩的资金的0%,也
就是说,还是别玩了，澳盘抽水的学问也在这里)这个收益麦来被命名为凯利值(G)了.
好,喝点二锅头:比如公司要你在三天内赶100头牛到客户那里,同时你要保证一头都不能少.那这
里就存在着一个最优的凯利值问题了.你可以选择一头一头赶,牛不会丢,但时间来不及;你也可
以选择一下子赶一百头牛,时间是来得及,可是你一下子照看不了那么多牛啊.所以,在时间,牛的
数量和你照看牛的能力这三者之间会有一个最佳的数量关系,这个数量关系可以保证最大的凯利
值G,也就是PASS的机会最大.
我们注意,Dr.Kelly以G来命名凯利值,我不知道为什么,但估计是gamble的第一个字母了.风险就
像数据交换中的噪声一样，可以去估计它但你没办法完全去消除它，收益也像数据交换中的传
输量，一秒钟你可以选择10k，也可以选择10M，你选得越多，总是越容易完蛋。最糟糕的情况
是你连噪声估计都不会就去选择10M，100M了。买料的都是这种情况，你知道每次料的大概胜率
吗？按照凯利值，最好的情况也就是你的料钱=赔率*你最佳的投注额，白忙活。
扭曲的凯利指数：
足彩分析当中，凯利指数很红火，但我告诉你，这种分析方法是被扭曲了，照流行的理论分析
，那是在做白日梦，你千万别生气，也千万别感到被浇了一头冷水不想看下去了。因为，在你
不知道怎么回事之前，就想着去用它，是很危险的，而当你知道怎么回事了，再去发挥它，或
许会有无穷的乐趣等着你哈！
凯利指数的计算方法：
G3=odd3*avgp3,G1=odd1*avgp1,G0=odd0*avgp0;(odd3:胜赔，odd1:平赔，odd0:负赔,avgp3欧
平均胜率，avgp1欧平均平率，avgp0欧平均负率)
什么？对于一家特定的公司，它的主胜的凯利指数G3=odd3*avgp3！你选择的公司样本不同，G
值就不同，样本大小不同，G值也不同（一般的欧均值都取99家公司，从统计学的意义上来讲，
还称不上样本！）这个G带有随意性，大个0.05小个0.08之类的，也只能算做误差，现在要我比
较G与0.89哪个大？我大你个0.05怎么了？我小你个0.08又有什么干系？？
一不留神又扯远了（脸红了一下），继续刚才的公式。
既然涉及到平均胜率，那么看一下胜率是怎么求出来的：平均主胜率avgp3=(p31+p32+…
.p3n)/n，p31是第一家公司的主胜率，p32是第二家公司的主胜率，以此类推。主胜率
P3=r/odd3(r:赔付率)。赔付率（返还率）又是这样求的：r=1/(1/odd3+1/odd1+1/odd0)，什么
？？又做梦了！！返还率是庄家也要到裁判终场哨响才知道的，这样也行？？AC米兰踢亚特兰
大，哨响了，投注比固定了，但踢出3，这场返还率可能是150%，踢出1可能是20%，踢出0，可
能是5%，结果不同，返还率也不同啊！这里也可以看到，博彩公司不喜欢操控比赛，因为他想
操控的只能是这种强弱分明的比赛，但强队踢假球的成本更高，它想操控也操控不了，最好的
选择就是烧烧香：天哪，爆个冷吧！
做下算术了：
(1)SSP：
(2)立博：
(3)威廉：
(4)易胜博：2.25
我们假设就取这四家公司为某场比赛开出的赔率来计算凯利值
odd31=2.22
odd32=2.10
odd33=2.20
odd34=2.25
1/r1=1/odd31+1/odd11+1/odd01=1/2.22+1/3.15+1/3.01
1/r2=1/odd32+1/odd12+1/odd02=1/2.10+1/3.25+1/3.00
1/r3=1/odd33+1/odd13+1/odd03=1/2.20+1/3.10+1/2.87
1/r4=1/odd34+1/odd14+1/odd04=1/2.25+1/3.10+1/2.95
p31=1/(odd31*r1)=1/(2.22*0.91)=41
类似的计算后，于是：
p31=41
p32=43
p33=40
p34=40
(注意：3,4两家公司，赔率不同，但它们的胜，平，负率相同了)
好：avgp3=(p31+p32+p33+p34)/4=(41+43+40+40)/4=41
avgp1=(p11+p12+p13+p14)/4=(29+28+29+29)/4=28.75
avgp0=(p01+p02+p03+p04)/4=(30+30+31+31)/4=30.5
于是：
G31=odd31*avgp3=2.22*41=91.02
G11=odd11*avgp1=3.15*28.75=90.56
G01=odd01*avgp0=3.01*30.5=91.8
当然其它几家公司的凯利值也可以通过同样的方法求得，当然，事实上你不用去求（每场比赛
这样求，不累死也气死了），赔率比较网站上都是这样算的。
好，到这里你应该可以知道了，凯利指数是怎么样被扭曲的了，因为除了赔率是真的，其它的
都是做梦的时候梦到的（并非是攻击凯利指数，这个，前文和接下来的一比较就可以发现了）
。
真实的凯利指数
假如，我坐庄了，好，要开赔率了，怎么开？
当然，最好我知道到封盘时投注额X，投注比是：30%
而且我也不贪，只要10%的抽水（返还率90%）
那简单：odd3*30%=90%,odd1*30%=90%,odd0*40%=90%
于是，我的赔率就是：3.00
比赛，踢成3：我的收益：-0.3X*3X+X=0.1X;踢成1,收益：-0.3X*3+X=0.1X;踢成0,收益：
-0.4X*2.25+X=0.1X
也就是说，如果我知道实际的投注比，不管踢成什么结果，我总可以开出一个固定收益率的赔
率，除非比赛取消了，那水钱没了。
但实际上，我只是可以估计大致的投注比，但，我不能穿过时空提前知道最终的投注额和投注
比。于是，我开始害怕了。如果，我估计的投注比是：30%
而实际的投注比是：80%
-0.8X*3+X=-1.4X(这时我希望投注额越小越好，因为，稍微大一点点，我就破产了，哦，要去
卖血了！)这里可以看到，选择投注额大的大公司长期跟踪，是有道理的。
于是，大家看到了，投注是一个随机值，或者说是个估算值的话，赛果对收益的影响体现出来
了！
那么，真实的凯利指数是怎么一回事呢？G=K(i)*f(odd3,odd1,odd0)
事情就变成确定odd3,odd1,odd0三个常数（开出赔率）,使得K(i)这个函数的取值最大，这时，
G就会得到一个最大值，也就是说通过率最高！
直接影响K(i)的参数：赛果，投注情况。
于是，博彩公司的主要工作也很明确了：预测赛果，预测投注情况；把握赛果，影响投注。
赔率一半取决于赛果，一半取决于大资金的流向，就是说这个意思吧！这里凯利指数这个酒瓶
装的是XO，但跟赶牛那个装二锅头的酒瓶，实际上也没有多少区别。
凯利指数无处不在，我们买彩也悄然使用。大单提高了胜率，但降低了赔率，可以承受失败的
次数减少；小单降低了胜率，但提高了赔率，可以承受失败的次数也增多。如何在特定的期次
里确定单的大小？其实你就是在寻找一个最大凯利值的影响参数之间的关系。
凯利指数的去脉
好了，大家明白了，在足彩分析中的凯利指数，跟博彩公司在玩的凯利指数实际上没有多少关
联（是指算术上，如果你根据不同的比赛去修正它，去估算它，另当别论）。
前面的计算大家看到，除了赔峦一些算术转换，其它的什么也没看到。也就是说，不管自我
感觉多么好，实际上你还是在作赔率分析的一部分劳动。这种劳动本质上就是计算一个滤除理
论赔付率影响的平均赔率，并比较其中的分歧以寻找异常。这种现象在股市里非常普遍，你研
究MACD也好，研究KDJ也好，自创了什么张三李四指数也好，说到底还是在研究一定时间内成交
量和成交价格。你跟一个研究MACD的人去说MACD没用，小心被踢死！而你不知道怎样去分析成
交量和成交价格之前，你也总是喜欢研究这样那样的技术指标。怪事就在于当你研究透了成交
量和成交价格之后，你又会去选择这样那样的技术指标来帮助分析！更怪的是你什么都研究透
了你会发现这些东西并不能保证你赢多输少！你可以去估计风险，但你不能去消除它！并且，
你所依据的技术分析参数，都基于你或许发现，或许并未发现的概率。并且最终的结果也会受
到偶然因素的影响。凯利值是一个受概率影响的不定值，你希望你所作的努力使Ｇ无限接近于1
，但是梦里你也可以这样想，穿越时空，把明天的报纸拿过来今天下注，这样你就做到Ｇ＝１
了。
这个被扭曲的凯利值得到了大家的认可，并在足彩分析的运用中取得了成果。大家不要误会，
以为可以借助直观的数据去还原赛果，其实还是需要背后的劳动，需要长期的跟踪，更需要结
合各种情况的综合判断，但如果不明白是怎么回事，那怎么用？赔率分析可以有很多种方法，
但赔率里面的两点信息（赛果，受注情况）如何去还原，这需要赔率分析之内功夫，也需要赔
率分析之外的功夫，并不是绝对的，你可以怀疑，也可以排斥，当然，最好试着玩玩，“a
little art and a little science”！
真实的凯利值也能带给我们一些足彩分析上的启示。比如周未晚上有两场强弱分明的赛事，胜
赔都在1.30以上，所有你能看到的资讯都一片叫好，那么你就可以想象至少有一场会出问题。
因为这样的比赛还将投注往强队取胜上吸引，如果不是可以两场比赛风险和收益对冲，它会亏
得很多，它没有作出使G值最大的努力。
老子说道非常道名非常名，孙子说知己知彼百战百胜，连孔子看到两小儿辩日也要发一会愣。
我们有什么理由不去多想一会呢？
一不小心又是一堆废话，不过我也基本可以肯定不是老生常谈的。（蛇眼）
这个精明的凯莉方程式是这样：
b*(e*o-1)
opt=----------- -----------------------------(1)
3*(o-1)
上式具体含义如下：
opt = 最佳投注额（Optimized Stake Size）
b = 可支配的总投注额（Current bankroll）
o = 小数形式的赔率（Odds available in decimal format）
e = 取胜预期或者说预计胜率（Estimated probability）
前几日卡斯特罗兄推荐一篇关于凯莉准则的文章，文中详细介绍了凯莉方程式的推导和应用，在这篇文章中凯莉方程式被写成这样：
p*o-1
b=---- -----------------------------(2)
o-1
p = 胜率（the probability of collecting the bet. (0
o = 含本金的赔率（the gross payoff (a multiple of stake) in case you win. (o>1)）
b = 最佳投注额比例（gives the fraction of your current bankroll that should be wagered on that specific bet.）
补充一下，b（最佳投注额比例）是针对你所能支配的总投注额来说的，个人觉得第二个公式更简明直观，以下主要对第二个公式做分析。
再说之前，我想大家应该对凯莉准则的来源有个简单了解。
目前所说的“Kelly-formula”的本源是1956年John Kelly在美国著名的贝尔实验室提出的，属于概率学关于预测（期）方面的一个分支，原数学模型极为复杂，因其在对事件的预期和规避风险等理论上的先进性，凯莉准则在博彩方面的应用极为迅速地传播起来，比如赌场的扑克游戏二十一点和欧洲盛行的赛马、赛狗等运动，其地位同“旋转矩阵”在数字乐透领域一样显赫。在足球博彩方面的应用主要以欧洲赔率为基础，可以在给定赔率的情况下计算出最佳的投注额，从而使你的注码稳定地、安全地、快速地（几何级数）增长。
现在波友的一个共同的困惑是“明明我这段时间里胜率超过了55%，但盈利却是零甚至是负数”，这里面就有一个注码的应用问题，有的波友明白了这一点而采用全部均注的方法，结果也同样错失了本来应有的赚钱机会（场次）。也许凯莉方程式能帮我们解决这个问题。
从凯莉方程式(2)来看，影响b的变量有两个：o、p，其中p是取胜的概率，按照现行的说法是一个附属于o（赔率）的次变量，它随着赔率的变化而变化（有关p的计算在很多网站都有详细的介绍，比如Tip-ex、BetBrain等），那么直接影响b的变量只有一个--赔率--这个让无数人既爱又怕的小东东。
让我们再仔细地看一下公式(2)：分子中的p*o是什么？天哪！p的计算公式是p=1/o，那么p*o铁定等于1，导致整个公式的分子等于零，那我们还投什么注码？！~~什么~~算错了~~还得考虑博彩公司的抽水~~，是啊，还没考虑抽水，重新算过--结果居然是分子成了负数！！
怎么回事？最初我也这样问自己。
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凯莉方程式经过几十年的锤炼，自然是不会有任何问题的，而且在赛马领域的应用极为广泛。我一点都不了解赛马，除了在电影里见到的十数匹赛马闪电般地奔驰的景象。我想赛马最主要的玩法应该是赌哪匹马能够夺得冠军吧？为此会给所有参赛的马匹开出一个赢得冠军的赔率，而赛马的回报率应该挺高的，那么取胜的概率p应该不会像足球那样等于赔率的倒数那么简单，退一步说，即使赛马的胜率也是和足球博彩一样的算法，那p*o的值永远不会大于1，凯莉方程式也就失去了意义。
看来问题的关键就是 p 究竟是怎样得到的？
让我们回过头重新欣赏一下那篇网文译作中opt的由来吧：
举例: 利物浦主场2.50对曼联，某博彩公司对利物浦可胜出的机会率为45%，亨克(芬兰博彩投资家)有10,000元的投注金，其投注金应为
b*(e*o-1) 10000*(0.45*2.5-1)
opt = ----------- = ---------------------- = 280 元
3*(o-1) 3*(2.5-1)
即亨克可投注利物浦的金额为280元。
在上述公式中，作者并没有对“某博彩公司对利物浦可胜出的机会率为45%”作出详细解释，按照现行的说法，p的计算公式是p=1/o，也就是赔率2.50的倒数，胜率应该是40%，再考虑博彩公司平均10%的抽水，这个胜率实际上也就是36%左右，何来“某博彩公司对利物浦可胜出的机会率为45%”之说？！
因而，可以肯定的是，p并不是赔率的倒数这么简单，而是一个主观性很强的取值，既然是一个主观经验值，那么你所选取的p值的准确性和适用性就成为最关键的焦点，举个极端的例子，假设你认定某场比赛客队取胜的概率是99.99%甚至是100%（当然理论上概率不可能是100%，但你通过当守门员的哥哥得到了内幕），按照凯莉方程式，你可以倾囊而出；反过来说，只要出了哪怕一丁点意外（比如说你的哥哥受伤下场），你都将血本无归。
通常按照式(2)计算出来的b(最佳投注比例)普通情况下的值为8%左右，是一个不起眼的小东东，我大概计算了一下，假设你能够连续投注的话，按照平均赔率为2.00，你只需每个周末净赢2场比赛，一个赛季下来你就可以使你的资金增加100倍！100倍就是100万！！多么惊人的数字！！！
需要特别提醒的是：
1、凯莉方程式并不能保证你会赢球，它可以帮助你在赢球的时候如何稳定地、安全地、快速地增加你的注码，而在你输球时把损失减到最小。
2、凯莉要求你每次只能投注一场比赛，第二次投注要在第一次投注完成以后才能进行。至于多场次同时投注的凯莉准则不在本文讨论范围之内。
你看到这儿可能会觉得凯莉方程式没什么了不起的，因为你在不知道凯莉方程式的情况下每次的投注也都是总注码的10%左右，请再次细细体会一下，要知道诸如金融、保险等行业的都在深入研究凯莉理论的应用，他们倒不是为了下注，而是为了如何应付你的每一次存款或投保。
我在研究凯莉方程式时的另一个体会就是如何进行p值的推导，这是一个智者见智、仁者见仁的问题了，有机会再探讨吧~~~一周上百场的赛事赔率都静静的待在那儿，期待你的选择，我想开赔率的人是不会把那么宝贵的p放在你的眼皮底下的，也许只有深入但不限（陷）于某场赛事的赔率你才能真正看清楚，正所谓“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，最后找一段博彩高手的心得作为本文的结束语--
“其实注码的运用有很多方式，外国有很多职业赌徒都是用很多的投注技巧去赢取每月的收入，如果于球场上可以找到一些方程式有高命中率的话，再配合注码的运用可谓无往而不利…… 最好的方法就是自己或几个朋友建立一个基金系统，订下利润及每场的注码，每次见方程式的球赛出现时就坚持原则下注！”