偶看新闻针灸推拿专业自我介绍:行政职业能力测试数学运算分类精讲
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/05/04 19:19:35
一、数学运算【经典真题详解】1．互补数法如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千时，就可以认为这两个加数互为补数，其中一个加数叫做另一个加数的补数。【例题11(2007年浙江)5764－1532－2468＝( )。A．764 B．1467 C．1674 D．1764【解析】**为D。此题可先将两个减数相加，1532＋2468＝4000，然后再用被减数减去这两个减数之和，即5764－4000＝1764。【例题21(2004年国家)8742÷8÷125＝( )。A．7．092 B．8．742 C．87．42 D．874．2【解析】**为B。此题可以转化为8742÷(8×125)＝( )。先运算括号，得1000，然后再除8742，得8．742。2．凑整法凑整法是简便运算中最常用的方法，即根据交换律、结合律把可以凑成10、20、30、50、100、1000…的数字放在一起先凑成整数，再进行运算，从而提高运算速度。【例题1】(2002年国家)999×5＋99×6＋9×8＝( )。A．5660 B．5661 C．5662 D．5663【解析】**为B。这是一道乘法凑整的题。如果直接将两数相乘则较为复杂、费时间，如果用凑整法，则大大简化了计算的繁琐程度。本题可以转化为∶(1000－1)×5＋(100－1)×6＋(10－1)×8＝5000－5＋600－6＋80－8＝5661。【例题2】(2006年广东)8．721＋3．618＋6．382＋5．279＋4．763＝( )。A．23．472 B．25．921 C．28．763 D．32．478【解析】**为C。本题为小数凑整法。认真观察题目，可以发现8．721＋5．279＝14，3．618＋6．382＝10，即本题可以转化为14＋10＋4．763＝28．763。【例题3】(2006年江苏)1996＋1997＋1998＋2004＋2003＝( )A．11996 B．11997 C．11998 D．11999
【解析】**为C。此题可以转化为(1996＋2004)＋(1997＋2003)＋1998＋2000＝( )。即4000＋4000＋1998＋2000＝1998。3．尾数估算法尾数估算法是简便运算中常用的一种排除备选项的方法。在四则运算中，如果几个数的数值较大，运算复杂，又没有发现运算规律时，可以先利用个位或小数部分进行运算得到尾数，再与选项中的尾数部分进行对比，如果有唯一的对应项，就可立即找到**。考生如果遇到备选**的尾数都不相同的题目时，可以首先考虑此种方法，快速找出**。考生应该掌握的尾数变化的基本常识有∶2n是以“4”为周期变化的，即尾数分别是2，4，8，6…3n是以“4”为周期变化的，即尾数分别是3，9，7，1…4n是以“2”为周期变化的，即4，6…5n、6”尾数不变。7n是以“4”为周期变化的，即7，9，3，1…8n是以“4”为周期变化的，即8，4，2，6…9n是以“2”为周期变化的，即9，1…【例题1】(2004年国家)19991999的末尾数字是( )。A．1 B．4 C．7 D．9【解析】**为D。该题目不需要考生逐次进行计算。考生只要运用尾数估算法就能不费吹灰之力得到**。因为9的奇数次幂的尾数是9，偶数次幂的尾数是1，1999为奇数次幂，故19991999的末尾数字是9。【例题2】(2002年国家)(1．1)2＋(1．2)2＋(1．3)2＋(1．4)2的值是( )。A．5．04 B．5．49 C．6．06 D．6．30
【解析】**为D。各项的最后一位小数相加∶8＋0＋1＋3＋0＝12，即尾数之和的尾数为2，所以84．78＋59．50＋121．61＋12．43＋66．50的尾数应该为2，故选D。4．基准数法当有两个以上的数相加且这些数相互接近时，可以取一个中间数作为基准数，然后用基准数乘以项数，再加上每个加数与基准数的差，从而求得它们的和。【例题1】(2007年国家)78＋81＋76＋85＋80＋83＝( )。A．481 B．482 C．483 D．484【解析】**为C。仔细观察，可知算式中的各个加数都接近80，所以把80作为基准数，即原题目变为∶80×6－2＋1－4＋5＋3＝483。【例题IJ题2】(2008年山东)1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002的值是( )。A．11995 B．11996 C．11997 D．11998【解析】**为C。观察该题，发现算式中的数字都接近2000，则可以选取2000作为基准数，即原题目变为∶2000×6－3－2－1＋1＋2＝11997。5．数学公式法数学公式法是运用数学公式进行运算的一种简便运算方法。灵活运用一些数学公式可以大大提高运算效率，节约答题时间，因此，考生需要掌握因式分解、前n项和公式等基本公式(见“知识要点清单”)。【例题1】(2007年北京)32×73＋32×16的值是( )。A．2838 B．2848 C．2148 D．2158【解析】**为B。此题中含有相同因数32，可用公式a×6＋a×C＝a×(6＋c)来计算，即32×(73＋16)＝32X89＝2848。【例题2】(2006年福建)462－828－162的值是( )。A．932 B．936 C．1032 D．1036【解析】**为C。这种类型的题目可以运用平方差公式，即a2－62＝(a＋6)(a－6)计算。462－162＝(46＋16)(46－16)＝1860，则1860－828＝1032。【例题3】(2004年广东)2＋4＋6＋…＋22＋24的值是( )。A．153 B．154 C．155 D．156【解析】**为D。在该题中，项数＝(24－2)÷2＋1＝12，数列之和＝(2＋24)×12÷2＝156。6．替换法【例题】(2004年国家)2002×20032003－2003×20022002的值是( )。A．－60 B．0 C．60 D．80【解析】**为B。原式一2002×2003×10001－2003×2002×10001＝2002×2003×(10001－10001)＝0。故选B。7．排除法【例题】(2005年北京)117580÷15的值是( )。A．7375 B．7545 C．7457 D．未给出【解析】**为D。这道除法题的被除数尾数是0，除数的尾数是5，因此，其商数的尾数必然是双数，但是四个选项中的A、B、C三项尾数皆为单数，所以都应排除，本题选项中实际上没有给出正确**。二、大小判断这种类型的题目一般不需要进行具体的数字计算，只要能找到某个判断标准就可以进行判断了。比较数大小的方法很多，在解题时，要根据所给试越的特点，选择合适的比较方法。一般来说，有下列几种判断方法∶(1)对于任意两个数，如果a－6>0，则a>6；如果a－6<0，则a<6；如果a－b＝0，则a＝b。(2)对于任意两个数，如果不是很方便比较大小时，常选取中间值C，然后口、b分别与c比较，进而比较口、b的大小。(3)当a、6为任意两个正数时，如果a/b>1，则a>6；如果b/2<1，则a<6；如果a/b＝1，则a＝6。当a、6为任意两个负数时，如果a/b>1，则a<6；如果a/b<1，则a>6；如果a/b＝1，则a＝b。(4)当a、b为任意两个正数时，如果a2－b2>0，则a>b。(5)当a、b为任意两个正数时，如果1/a>1/b，则ab B．a2345676908，所以a>b。【例题3】(2005年国家)π，3．14，√10，10/3四个数的大小顺序是( )。A．10/3>π>√10>3．14B．10/3>π>3．14>√10C．10/3>√10>π>3．14 D．10/3>3．14>π>√10【解析】答案为C。本题中的三个数的大小关系显然为10/3>π>3．14。因此本题的关键是判断√10的大小。我们可以方便地计算出3．152为9．9225<10，由此可知本题的答案为C。三、工程问题工程问题指的大都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到向水池注水等。解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，用单位“1”除以工作时间作为工作效率，也就是说，工作效率就是工作时间的倒数。一般情况下，工程问题是公务员考试的必考题型之一。一般常用的数量关系式是∶工作总量＝工作效率×工作时间；工作时间＝工作总量÷工作效率；工作时间＝工作总量÷工作效率；工作总量＝各分工作量之和。【经典真题详解】【例题1】(2009年国家)一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再有甲接替乙挖1天……，两人如此交替工作，那么，挖完这条隧道共用多少天?( ) A．14 B．16 C．15 D．13【解析】答案为A。根据题意，甲用20天的时间可以挖完，说明甲每天完成工程总量的1／20，乙用10天的时间可以挖完，那么乙每天完成工程总量的1／10。甲、乙两人各挖1天，共完成∶1／20＋1／10＝3／20。所以，6次交替工作后，可以完成工程总量的18／20，则还剩余2／20。甲再挖一天完成1／20，还剩余1／20，乙再挖半天才能完成。因此共需要6×2＋1＋1＝14天。因此，正确答案为A。【例题2】(2008年国家)编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个1和1个5，共3个数字)，问这本书一共有多少页?( ) A．117 B．126 C．127 D．189【解析】答案为B。本书的页码使用数字应该有三种情况∶1～9页，每页用1个数字，共使用数字9个；10～99页，共90页，每页使用2个数字，共使用数字90×2＝180(个)；这本书的页码一共使用了270个数字，270－9－180＝81，则这剩余的81个数字都是由页码是三位数的页码组成的，三位数的页码有∶81÷3＝27(页)。这本书的总页码为∶9＋90＋27＝126(页)。【例题3】(2007年国家)一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要( )小时完成。A．15 B．18 C．20 D．25【解析】答案为A。设甲、乙、丙单独完成这篇文章的翻译各自需要的时间为x、y、z，则可得出∶1/x＋1/y＝1/10、1/y＋1/z＝1/12，4/x＋12/y＋4/z＝1，可求得y＝15(小时)。故本题的正确答案为A。四、路程问题路程问题是数量关系题中常见的典型问题，涉及距离、速度和时间三者之间的关系。其中，距离＝速度×时间。这种问题主要有三种基本类型∶相遇问题、追及问题和流水问题。【经典真题详解】1．相遇问题“相遇问题”(或相背问题)是两个物体以不同的速度从两地同时出发(或从一地同时相背而行)，经过若干小时相遇(或相离)。若把两物体速度之和称之为“速度和”，从同时出发到相遇(或相距)时止，这段时间叫“相遇时间”；两物体同时走的这段路程叫“相遇路程”，那么，它们的关系式是∶相遇路程＝速度和×相遇时间；相遇时间＝相遇路程÷速度和；速度和一相遇路程÷相遇时间。【例题1】(2007年国家)A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比是15∶16，那么，甲火车在( )从A站出发开往B站。A．8时12分 B．8时15分 C．8时24分 D．8时30分【解析】答案为B。由题意可知，甲、乙两列火车的速度比为5∶4，两列火车相遇时，各自走过的距离比为15∶16，那么这两列火车所用时间比很容易算出，为3∶4，进而得出甲所用的时间为3/4×60＝45(分钟)。由此可知，甲火车应该是在8时15分从A站出发的。【例题2】(2006年国家)A、B两地以一条公路相连。甲车从A地，乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向开出。两车相遇后分别掉头，并以对方的速率行进。甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。最后甲、乙两车同时到达B地。如果最开始时甲车的速率为x米／秒，则最开始时乙车的速率为( )。A．4x米／秒B．2x米／秒C．0．5x米／秒D．无法判断【解析】答案为B。甲车从A点到B点时，乙车已经从B点到A点再返回B点，即两车相同时间内以乙车速率走过以甲车速率的两倍路程。已知甲车的速率为x米／秒，则乙车的速率为2x米／秒。故答案为B。2．追及问题追及问题是两物体以不同速度向同一方向运动，核心是“速度差”的问题。两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程可以称之为“追及的路程”，那么，在后的追上在前的时间叫“追及时间”。公式为∶追及时间一追及的路程÷速度差。【例题1】(2006年国家)从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有( )。A．1次 B．2次 C．3次 D．4次【解析】答案为B。一个小时内，分针转一圈，与时针构成直角的机会有2次。【例题2】(2003年国家)两点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合?( ) A．2点10分 B．2点30分 C．2点40分 D．2点50分【解析】答案为A。时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的1／12。此题中，两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后(5×2)小格。而分针每分钟可追及1－1/12＝11/12(小格)，要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为(10÷11/12)≈10(分钟)，因此，2点10分时两针重合。 3．流水问题船速是船在静水中航行的速度；水速是水流动的速度；顺水速度，即船顺水航行的实际速度，等于船速加水速；同理，逆水速度等于船速减水速。流水问题具有行程问题的一般性质，即速度、时间、路程，可参照行程问题解法。【例题】(2005年国家)一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2．5小时到达。已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地问的距离是多少千米?( )A．200 B．250 C．300 D．350【解析】答案为C。逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度为∶24＋3×2＝30(千米)；比逆水提前2．5小时，若行逆水那么多时间，就可多行30×2．5＝75(千米)，因每小时多行3×2＝6(千米)，几小时才多行75千米，这就是逆水时间。24＋3×2＝30(千米)，24×[30×2．5÷(3×2)]＝24×[30×2．5÷6]＝24×12．5＝300(千米)，因此，甲、乙两地间的距离是300千米。五、比例分配问题比例分配问题是公务员考试的必考题型，最基本的比例问题是求比或求比值，即从已知一些比或者其他数量关系求出新的比。其关键和核心是弄清楚相互变化的关系。【经典真题详解】【例题1】(2009年国家)某公司甲、乙两个营业部共有50人，其中32人为男性。已知甲营业部的男女比例为5∶3，乙营业部的男女比例为2∶1，问甲营业部有多少名女职员?( ) A．18 B．16 C．12 D．9【解析】答案为C。该题要用整除法。甲营业部的人数可以整除8，乙营业部的人数可以整除3，所以可以有两种情况∶一，甲营业部的人数为8人，乙营业部的人数为42人，则男性共有5＋28＝33人，不符合题目给出的情况；二，甲营业部有32人，乙营业部的人数为18人，则男性共有20＋12＝32人，符合题目的情况。所以，甲营业部有女性32×(3／8)＝12(人)。故选C。【例题2】(2007年国家)某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2％，其中本科毕业生比上年度减少2％，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有( )。A．3920人 B．4410人 C．4900人 D．5490人【解析】答案为C。相对去年，该校今年增加的毕业生的人数为∶7650×2%/(1＋2%)＝150(人)，上年度的毕业生人数为∶7650－150＝7500(人)。设2006年度本科毕业生人数为x人，根据题意，可列方程式∶(7650－x)×10%/(1＋10%)－2%/(1－2%)x＝150，解得x＝4900。【例题3】(2007年国家)甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再街两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是( )。A．20厘米 B．25厘米 C．30厘米 D．35厘米
【解析】答案为B。由于倒入两容器的水量相同，设倒入水后，两容器的水深为h，则可得(h－9)/(h－5)＝4/5，求得h＝25(厘米)。六、植树和方阵问题【经典真题详解】1．植树问题一般的出题模式是给一段路，在路的一旁或两边种树(或其他一些事物)，原理其实和小学数学中在线段中标点一样，在做题时也可以画一个线段，然后数一下自己所标的点的数量就可以了。关于植树问题，主要的关系有∶(1)如果题目中要求在植树的路线两端都植树，则棵数比段数多1，等于全长除以株距再加上1。(2)如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数与段数相等，等于全长除以株距。(3)如果植树路线的两端都不植树，则棵数＝段数－1。【例题1】(2009年国家)甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1／4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩的1／3，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩?( ) A．9000 B．3600 C．6000 D．4500【解析】答案为B。根据题意，把植树的总亩数看做单位1，则甲、乙、丙植树亩数分别占总亩数的1／5，1／4，1／3，那么丁的植树的亩数占总亩数的1－(1／5＋1／4＋1／3)＝13／60，所以植树总亩数为3900／(13／60)＝18000亩，甲的植树亩数为18000×(1／5)＝3600亩。故选B。【例题2】(2006年国家)为了把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米。若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗( )。A．8500棵 B．12500棵 C．12596棵 D．13000棵【解析】答案为D。设两条路共长z米，共有树苗Y棵，则有方程组为∶x÷4＋4＝y＋2754，x÷5＋4＝y－396，解出y＝13000。2．方阵问题士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
(4)空心方阵的总人(或物)数＝[最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数]×空心方阵的层数×4。【例题1】(1006年国家)三年级一班参加运动会人场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?( )A．6，36 B．6，48 C．7，49 D．7，56【解析】答案为A。根据四周人数与每边人数的关系，可以求出这个方阵最外层每边的人数，即方阵最外层每边的人数∶20÷4＋1＝5＋1＝6(人)；整个方阵共有学生人数∶6×6＝36(人)。【例题21(2006年北京)康杰小学五年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演?( ) A．185 B．190 C．196 D．198【解析】答案为C。根据正方形队列的特点可知∶原每行人数＝(去掉一行一列的人数＋1)÷2，即，原来每行人数是14人，则原来准备参加表演的人数是196人。七、日历和年龄问题【经典真题详解】1．日历问题计算月日要记住以下三条法则∶(1)每年的1、3、5、7、8、10、12这七个月是31天；(2)每年的4、6、9、11这四个月是30天；(3)每年的2月，如果年份能被4整除，则该年的2月是29天(如2008年)，如果该年的年份不能被4整除，则是28天(如2007年)。【例题1】(2009年国家)用6位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少天?( ) A．12 B．29 C．0 D．1【解析】答案为C。根据题意可知，表示2009年的日期，前两个数字表示年份，必然为09；中间的两个数字表示月份，表示前10个月都必须用到0，与表示年份的数字相重复，排除，表示u月必须用到两个1，自身重复，排除，所以，中间的两个数字只能为12；最后的两个数字表示天数，要表示一个月中31天的每一天，其数字中必然含有0、1、2中的一个，从而必然－9表示年份、月份的数字重复。由此可知，全年中六个数字都不同的日期一个也没有。故选C。【例题21(2005年国家)假如今天是2004年的11月28日，那么再过105天是2005年的几月几日?( ) A．2005年2月28日B．2005年3月11日C．2005年3月12日D．2005年3月13日【解析】答案为D。11月是小月，有30天，题目中是11月28日，还剩2天；12月、1月都是大月，有31天；2004年不是闰年，2月有28天，那么可得出2＋31＋31＋28＝92(天)，105－92＝13(天)，即再过105天是2005年的3月13日。2．年龄问题解答年龄问题，一般要抓住以下三条规律∶(1)在任何情况下，两个人的年龄差总是确定不变的；(2)随着时间向前(过去)或向后(将来)推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；(3)随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。【例题1】(2008年国家)5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用Y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄?( ) A．y/6＋5 B．5y／3＋10C．(y－10)／3D．3y－5【解析】答案为A。根据丙的当前年龄是Y岁，可知甲10年前的年龄是(y－10)／2；则甲5年前的年龄是[(y－10)／2＋53；则乙5年前的年龄就是[(y－10)／2＋5]÷3；那么，乙当前的年龄就是∶[(y－10)／2＋5]÷3＋5＝(y－10)／6＋5／3＋5＝y／6－10／6＋10／6＋5＝y／6＋5。【例题2】(2005年国家)甲对乙说∶当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说∶当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲、乙现在各有( )。A．45岁，26岁B．46岁，25岁C．47岁，24岁D．48岁，23岁【解析】答案为B。第一种方法∶设甲为x岁，乙为y岁，则有方程组为∶y－(x－y)＝4，x＋(x－y)＝67，解得x＝46，y＝25。第二种方法∶可以用代入法，即将四个答案分别代入题中进行计算。八、牛顿问题牛顿问题，俗称“牛吃草问题”。牛每天吃草，草每天在不断均匀地生长。这种类型题目的解题环节主要有四步∶(1)求出每天长草量；(2)求出牧场原有草量；(3)求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量一生长的草量一消耗原有草量)；(4)最后求出可吃天数。【经典真题详解】【例题1】(2009年国家)一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量，在该市新迁入3万人之后，该水库只够维持15年的用水量，市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?( ) A．2／5 B．2／7 C．1／3 D．1／4【解析】答案为A。本题属于“牛吃草问题”。设水库水量增长的速度为X，居民平均需要节约用水量的比例是y，则可列方程∶12×20－20x＝(12＋3)×15－15x(12＋3)(1－y)－30×3＝12×20－20×3解得x＝3，y＝2／5。故选A。【例题2】(2007年浙江)牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100只羊吃，可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛、100只羊同时吃这片草，可以吃几天?( ) A．3 B．4 C．5 D．6【解析】答案为B。1头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛一天的吃草量就相当于4×20＝80只羊一天的吃草量。每天长草量∶(80×20－100×12)÷(20－12)＝400÷8＝50(单位量)原有草量∶(80－50)×20＝30×20＝600(单位量)20头牛和100只羊同时吃的天数∶600÷(80＋100－50)＝600÷130＝4(天)。【例题3】(2006年北京)由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天?( ) A．3 B．4 C．5 D．6【解析】答案为C。20头牛5天吃草∶20X 5＝100(单位量)，15头牛6天吃草∶15×6＝90(单位量)；青草每天减少∶(100－90)÷(6－5)＝10(单位量)；牛吃草前牧场有草∶100＋10×5＝150(单位量)；150单位量草吃10天本可供∶150÷10＝15(头)；但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛∶15－10＝5(头)。九、鸡兔问题鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差2(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以(4－2)，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡的只数。【经典真题详解】【例题1】(2005年国家)小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是( )。A．1元 B．2元 C．3元 D．4元【解析】答案为C。设三角形每条边的硬币数为x，正方形每条边的硬币数为y，得方程组如下∶y＝x－5，3x＝4y；解得x＝20，则硬币共有3×20＝60个，硬币为5分硬币，那么总价值是5×60＝300(分)。【例题2】(2002年国家)一笼中的鸡和兔共250条腿，已知鸡的只数是兔的只数的3倍，笼中共有多少只鸡?( )A．50 B．75 C．100 D．125【解析】答案为B。设鸡的只数为x，按腿计算，鸡的腿数为2x，鸡的只数是兔的只数的3倍，即兔是鸡的1／3，兔子是4条腿，兔子的腿数为x／3×4，根据题意可列出的方程式是∶2x＋x／3×4＝250，解得x＝75。十、和、差问题和倍数问题【经典真题详解】1．和、差问题和、差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。解答这一类问题一般用假设的方法。和、差应用题的解题要点是∶(和＋差)÷2＝较大数，较大数－差＝较小数；或(和－差)÷2＝较小数，较小数＋差＝较大数。【例题】(2007年国家)549是甲、乙、丙、丁四个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则这四个数相等。那么，甲数是多少?( ) A．61 B．120 C．124 D．244【解析】答案为B。由题意可知，丙数最小，甲数加上2后是丙数的2倍，乙数减去2是丙数的2倍，丁数是丙数的4倍。设丙数为x，根据这些倍数关系，可得方程式∶2x－2＋2x＋2＋x＋4x＝549，解得x＝61，进而可算出甲数为120。2．倍数问题倍数应用题的解题要点是∶和÷(倍数＋1)＝小数(较小的数，即1倍数)；小数×倍数＝大数(较大的数，即几倍数)；或和－小数＝大数。【例题】(2006年北京)三年级一班和二班少先队员共做好事360件，二班做好事的件数是一班的2倍，三年级一班和二班少先队员各做多少件好事?( ) A．100，260 B．110，250C．120，240 D．130，230【解析】答案为C。如果我们把一班做好事的件数作为1倍，“二班做好事的件数是一班的2倍”，那么一班和二班做好事件数的和，相当于一班做好事件数的3倍，则一班做好事的件数∶360÷(2＋1)＝120(件)；二班做好事的件数∶360－120＝240(件)。十一、盈亏问题数字盈亏问题是指在一定范围内的多组数字间存在一定的数量关系，其中一组数字如发生变化，就必然会引起另一组数字的变化。这种题型的解题关键是∶找出这几组数字间的关系，然后假设其中一组达到最大值，最后根据它们之间的关系和所得的结果，来推算出其他组的数字。
【例题2】(2004年广东)顺昌面粉加工广要生产一批面粉，如果第一车间单独完成需要20天，第二车间单独完成需要30天，两个车间一起生产15天，超过任务定额150吨，这批生产任务是多少吨?( ) A．420 B．560 C．600 D．720【解析】答案为C。第一、第二车间一起生产这批面粉需要∶1÷(1/20＋1/30)＝12(天)，如果两个车间一起完成15天，可以多生产150吨，由此可知，两个车间平均每天生产∶150÷3＝50(吨)。那么原计划的生产任务是∶50×12＝600(吨)。十二、几何问题【经典真题详解】1．周长问题周长问题关键是要学会“转化”。转化也就是把题中的某个图形转变成我们平时标准的长方形、正方形、圆形或其他规则图形，以方便计算它们的周长。【例题】(2005年国家)甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑l圈时，乙比甲多跑1／7圈。丙比甲少跑1／7圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面( )。A．85米 B．90米 C．100米 D．105米【解析】答案为C。设单位为圈，即S＝2，那么v甲＝1＝7/7，v乙＝1＋1/7＝8/7，v丙＝1－1/7＝6/7，当乙到终点时，s乙＝2，那么所需的时间t＝S乙／V乙＝2÷8/7＝7/4，那么S甲＝1×7/4，s丙＝6/7×7/4＝6/4，则s甲－S丙＝1/4圈，而一圈有400米，所以相差的距离是100米。2．面积问题要解决面积问题，关键是要会正确地“割、补”。通常使用的方法就是添加辅助线，即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全成我们熟悉的规则图形，从而快速求得面积。【例题1】(2009年国家)如右图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( )
A．15 B．16 C．14 D．18【解析】答案为B。设阴影部分的面积为S，根据图形的重叠情况，减去重叠部分的面积，可知∶x＋Y＋Z－24－70－36＋S＝290，即64＋180＋160－24－70－36＋S＝290，解得S＝16。故选B。【例题2】(2007年国家)现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0．6米浸入水中，如果将其分割成边长为O．25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为( )。A．3．4平方米 B．9．6平方米C．13．6平方米 D．16平方米【解析】答案为C。根据题意可知，该正方体可以分割成64个边长为0．25米的小立方体，每个立方体入水后，有0．15米浸入水中，因此所有的小正方体都放入水中后，直接和水接触的表面积应该是∶(0．25×0．25＋0．25×0．15×4)×64＝13．6(m2)。3．体积问题求解体积问题，除了使用体积公式外，有时还可利用补形、分割、转化等特殊方法。【例题】(2008年浙江)一个容器中已注满水，有大、中、小三个球，第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把大球和小球一起沉入水中。现在知道每次从容器中溢出水量的情况是∶第一次是第二次的1／3，第三次是第一次的2．5倍，求这三个球的体积之比?( ) A．1∶2∶3 B．2∶8∶11 C．3∶5∶9 D．5∶9∶11【解析】答案为B。根据题意，可知溢出的水的体积和球的体积是一样的。假设小球的体积是1；第二次溢出水的体积是∶1×3＝3，所以中球的体积是∶3＋1＝4；第二次溢出水的体积是∶1×2．5＝2．5，所以大球的体积是∶2．5＋4－1＝5．5；所以三个球的体积比∶1∶4∶5．5＝2∶8∶11。十三、排列、组台问题【经典真题详解】1．初等排列、组合初等排列、组合指的是加法原理和乘法原理。(1)加法原理∶完成一件事有n类方式∶A1，A2，…，An，每一类方式A中有Mi种方法，任何两类方式都互不相同，方法中任何一种都能单独完成任务，则总的方法数为∶N＝Mi＋M2＋…＋Mn。(2)乘法原理∶完成一件事分n个步骤∶B1，B2，…，Bn，每一步骤Bi有Mi种方法，则总的方法数为∶N＝Mi×M2×…×Mn。【例题1】(2009年国家)小王忘记了朋友手机号码的最后两位数字，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才能保证拨对朋友的手机号码?( ) A．90 B．50 C．45 D．20【解析】答案为B。根据题意可知，手机号码的倒数第一位是奇数，则可能的数为1、3、5、7、9，共5个；倒数第二位可以是。至9中的任何一个数字，共l0个。由此可知，手机号码最后两位的组合形式共有5×10＝50种。所以，小王最多要拨打50次才能保证打通朋友的电话。故选B。【例题2】(2004年国家)由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?( ) A．6 B．7 C．8 D．9【解析】答案为A。从A村经B村去C村有两步∶第一步，由A村去B村有两种方法；第二步，由B村去C村有三种方法，所以，从A村经B村去C村共有2×3＝6种不同的走法。2．复杂排列、组合从挖个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示。从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示。【例题1】(2009年国家)要求厨师从12种主料中挑选出2种，从13种配料中挑选出3种烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多以做出多少道不一样的菜肴?( ) A．131204 B．132132 C．130468 D．133456【解析】答案为B。这是排列组合题。该厨师做菜肴需要三个步骤∶第一步，在12种主料中任意选2种，有C212。种挑选方法；第二步，在13种配料中任意选3种，有C313。种挑选方法；第三步在7种烹饪方式中壬意选一种，有C17种挑选方法。根据乘法原理可知，该厨师最多可以做出不一样的菜肴有C212×C313×C17＝32132(种)。故选B。【例题2】(2008年国家)一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安非方法?( )A．20 B．12 C．6 D．4【解析】答案为A。原有三套节目，加上两头共四个空，这时再插入一个节目的个数为C(4，1)＝4，这时成了四个节目，加上两头有五个空，再插入第五个节目的个数为C(5，1)＝5，这是分两步进行的，听以共有方案4×5＝20(个)。【例题3】(2007年国家)把144张卡片平均分成若干盒，每盒在10张到40张之间，则共有( )种不同的分法。A．4 B．5 C．6 D．7【解析】答案为B。144＝2×2×2×2×3×3。第一种分法∶平均每盒16张，分在9个盒子。第二种分法∶平均每盒12张，分在12个盒子。第三种分法∶平均每盒24张，分在6个盒子。第四种分法∶平均每盒18张，分在8个盒子。第五种分法∶平均每盒36张，分在4个盒子。故正确选项为B。十四、其他问题【经典真题详解】1．统筹与优化问题统筹与优化问题是在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益问题。统筹与优化问题具体有以下内容∶(1)完成一件事情，怎样规划安排才能用时最少、用费最省、路线最近等；(2)任务固定，设计如何使用最少的人力、物力去完成；(3)人力、物力固定，设计调配方案，获取最快速度和最佳效果。【例题1】(2006年国家)学校大扫除，四位同学各拿大小不一的桶一同去打水，注满这些水桶，第一人需用5分钟，第二人需用3分钟，第三人需用4分钟，第四人需用2分钟。现只有一个水龙头，应如何安排这四个人的打水次序，使他们花费的等候时间总和最少，这个时间为多少分钟?( )A．15 B．20 C．25 D．30【解析】答案为D。按照“占用时间少的事情先进行”的原则，打水顺序为∶第四人、第二人、第三人、第一人，总共用的时间∶2×4＋3x 3＋4×2＋5×1＝30(分钟)。【例题2】(2005年天津)今有甲、乙、丙、丁四人在晚上都要从桥的左边到右边，此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒(过桥是一定要用手电筒)。四人过桥最快所需时间为∶甲∶2分钟；乙∶3分钟；丙∶8分钟；丁∶10分钟。走得快的人要等走得慢的人，让所有的人都尽快地过桥需要多长时间?( )A．15分钟 B．20分钟 C．21分钟 D．30分钟【解析】答案为C。先是甲和乙一起过桥，然后将乙留在对岸，甲独自返回。甲返回后将手电筒交给丙和丁，让丙和丁一起过桥，丙和丁到达对岸后，将手电筒交给乙，让乙将手电筒带回，最后甲和乙再次一起过桥，则所需时间为∶3＋2＋10＋3＋3＝21(分钟)。2．容斥问题在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是∶先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。这是2004年、2005年中央、国家机关公务员考试的一个难点。这种题型的解题要点是两个公式，即∶(1)如果被计数的事物有A、B两类，那么，A＋B＝A＋A∩B。(2)如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C。【例题1】(2008年国家)共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试?( ) A．30 B．55 C．70 D．74【解析】答案为C。考虑未答对的题目总数为(100－80)＋(100－92)＋(100－86)＋(100－78)＋(100－74)＝90，由于答错3道或3道以上题目不能通过考试，最不理想的情况是刚好每个人错3道，30个人正好错90道。所以，至少有70个人能通过这次考试。【例题2】(2007年江苏)对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。A．22人 B．28人 C．30人 D．36人【解析】答案为A。设A＝喜欢看球赛的人(58)，B＝喜欢看戏剧的人(38)，C＝喜欢看电影的人(52)，则∶A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)A∩B∩C＝三种都喜欢看的人(12)A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)根据公式∶A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C，则C∩A＝A＋B＋C－(A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C)＝148－(100＋18＋16－12)＝26。所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22(人)。3．跳井问题【例题l】(2005年山东)两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少分米?( ) A．100 B．150 C．200 D．250【解析】答案为B。两只蜗牛白天路程差为∶20×5－15×6＝10(分米)。因为最终到达井底，所以蜗牛黑夜下滑的速度为每夜∶10÷(6－5)＝10(分米)。井深为∶(20＋10)×5＝150(分米)。【例题2】(2004年广东)有一只青蛙在井底，每天爬上4米，又滑下3米，这井有9米深，那么，爬上这口井的上面一共需要多少天?( ) A．2 B．6 C．4 D．7【解析】答案为B。青蛙爬到5米之后，后一天再爬上4米的话，就可以到井顶了，所以一共需要6天。4．对分问题对分问题是数学运算中的典型问题。可设原始长度为S的一个东西，每次分a部分，取其中之一，如果分了n次，那么还剩下S．(1/2)n。【例题1】(2005年北京)用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米，绳子长度、井深分别为多少米?( )A．54，22B．50，25C．45，18D．45，22【解析】答案为A。井的深度为∶(5×2＋4×3)÷(3－2)＝22÷1＝22(米)。绳子长度为∶(22＋5)×2＝27×2＝54(米)。【例题2】(2004年山东)有一根一米长的绳子，每次都剪掉绳子的2／3，那么剪掉三次之后还剩多少米?( ) A．8／27 B．1／9 C．1／27 D．8／81【解析】答案为C。题中所提到的把一米长的绳子剪掉2／3之后，还剩下1／3；第二次剪掉2／3后，还剩下1／3的1／3，即(1/3)2＝1/9；第三次剪掉2／3后，还剩下(1/3)3＝1/27。5．计算预支问题对预支问题进行分析，可以发现此类问题与比例问题是相通的。按照比例问题的解法解预支问题同样实用。【例题1】(2004年国家)某部门原计划召开为期10天的重要会议，预算费用为32000元，由于议程安排紧凑，会期比计划缩短了两天，实花费用节省了25％。其中，仅住宿一项就占会议节省费用的60％，问会议住宿费节省了多少元?( )A．3500 B．3800 C．4800 D．4000【解析】答案为C。设节省住宿费为x，则x＝32000×25％×60％＝4800(元)。【例题2】(2006年广东)某协会开年会，需预算一笔钱作经费，其中发给与会者生活补贴占10％，会议资料费用1500元，其他费用占20％，还剩下2000元。问该年会的预算经费是多少元?( ) A．7000 B．6000 C．5000 D．4000【解析】答案为C。可将预算经费设为x，则0．1x＋1500＋0．2x＝x－2000，0．3x＋1500＝x－2000，解得x＝5000。6．利润问题利润问题是近几年来公务员考试的新题型。商店出售商品，目的是要获得利润。这样就涉及进货价(成本)、售出价(定价)、利润以及打折、储运等经济问题，这样的问题都可以称为经济利润问题。其基本公式有∶(1)利润＝销售价－成本；(2)利润率＝利润÷成本＝(销售价一成本)÷成本＝销售价÷成本－1；(3)销售价＝成本×(1＋利润率)或者成本＝销售价÷(1＋利润率)。【例题1】(2005年国家)某店原来将一批苹果按100％的利润定价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按38％的利润重定价，这样售出了其中的40％。此时，因害怕剩余水果腐烂，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30．2％，第二次降价后的价格是原定价的百分之几?( ) A．60．5％ B．62．5％ C．64．5％ D．66．5％【解析】答案为B。假设这批苹果为“1”，即100％；成本为“1”原利润为100％。原定价为∶成本×(1＋利润的百分数)＝2；第一次定价∶售出苹果为40％，剩余60％，利润为∶40％×38％；第二次定价∶售出苹果为60％，利润为∶30．2％－40％×38％＝15％；卖价＝成本×(1＋利润的百分数)＝125％，所以，第二次降价后的价格是原定价的62．5％。【例题2】(2003年国家)一种衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低了，为了促销，商家将衣服八折出售，毛利润却比过去增加了30％，请问现在每件衣服进价是多少元?( ) A．28 B．32 C．40 D．48【解析】答案为A。设现在每件衣服进价x元／件，而原售价为100元／件，因厂家将衣服8折出售，故现售价为80元／件，降价后的毛利润为40×1．3＝52(元)，现在每件衣服进价是80－52＝28(元)。7．浓度问题溶质与溶液质量的比值叫做溶液的浓度(通常用百分数表示)，这三者的关系如下∶溶液的质量＝溶质的质量＋溶剂的质量；溶液的浓度＝溶质的质量÷溶液的质量；溶液的质量＝溶质的质量÷溶液的浓度；溶质的质量＝溶液的质量×溶液的浓度。【例题1】(2009年国家)一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10％；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12％；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?( ) A．14％ B．17％ C．16％ D．15％【解析】答案为D。因为溶质的量不变，所以设蒸发了x的水，根据题意可得∶10／(100－x)＝12％，得x＝50／3，则第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为∶10／(100－2×50／3)＝15％。故选D。【例题2】(2006年广东)现有浓度为15％的糖水4千克，问要再加入多少千克浓度为30％的糖水，才可以得到浓度为24％的糖水?( ) A．5 B．6 C．7 D．8【解析】答案为B。设加入了x千克浓度为30％的糖水，根据题意可列方程∶15％×4＋30％o×x＝24％(4＋x)，解得x＝6。8．讨论问题讨论问题是数学运算部分的一种新题型，自从2005年出现后，2007年的中央、国家机关公务员考试又出现了这种题型。从命题趋势来看，这种题型可能会成为考试的难点。【例题】(2007年国家)有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，质量分别为8、9、16、20、22、27千克，该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的质量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )千克面包。A．44 B．45 C．50 D．52【解析】答案为D。先假设卖出面包后剩余的面包质量为z，剩余的饼干为2x，卖出的面包质量为n，则根据题意可得∶x＋2x＋a＝8＋9＋16＋20＋224＝27＝102，化简得∶3x＝102－a第一种情况∶当a＝8时，x不是整数，排除；第二种情况∶当a＝9时，x＝31，可求得购进面包质量为40千克，代入题中验证，不符合，排除；第三种情况∶当a＝16时，x不是整数，排除；第四种情况∶当a＝20时，x不是整数，排除；第五种情况∶当a＝22时，x不是整数，排除；第六种情况∶当a＝27时，x＝25，求得购进面包质量为52千克，代入题中验证，符合题意，故选D。特殊题型跟踪1．若x，y，z是三个连续的负整数，并且x>y>z，则下列表达式中为正奇数的是( )。A．yz－xB．(x－y)(y－x)C．x－yzD．x(y＋z)【解析】答案为B。本题只要看清楚“x、y、z是三个连续的负整数，并且x>y>z”这个条件，就很容易发现，B选项的值恰好为1，符合题目要求。
2．已知，
那么x的值是( )。A．－2／3 B．2／3 C．－3／2 D．3／2【解析】答案为B。本题采用解方程或者带入法都可得到正确结果。3．{an}是一个等差数列，a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前13项之和是( )。A．32 B．36 C．156 D．182【解析】答案为C。等差数列有两条最重要的性质∶(1)数列中任意角标差值相等的两个数之差都相等，即an＋1－an＝an＋1－am；(2)数列的平均值等于正中间的那个数(奇数个数)，或者正中间那两个数的平均值(偶数个数)。本题可简便求解∶a10－a3＝a11－a4＝4，根据题意可得∶a3＋a7－a10＝8，a7＝8＋(a10－a3)＝8＋4＝12，a7是这个数列正中间的那个数，是13个数的平均值，因此，这13个数的和为∶12×13＝156。4．如图是一个边长为100米的正三角形，甲自A点，乙自B点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。甲每分钟走120米，乙每分钟走150米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误10秒。乙出发后多长时间能追上甲?( )
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟【解析】答案为B。除去转弯所花时间，甲的实际速度为120×(1－1/6)＝100米／分钟，乙的实际速度为150×5/6＝125米／分钟，100／(125－100)＝4分钟。实战演练 1．1×3/7×(3×1/13－1×9/11)×0．7×28×3/5的值是( )。A．19．5 B．95．5 C．36 D．49【解析】答案为C。1×3/7×(3×1/13－1×9/11)×0．7×28×3/5＝1×3/7×1×37/143×0．7×28×3/5＝36。2．125×16×25×48＝( )。A．240000 B．2400000 C．240008 D．2400008【解析】答案为B。本题不需要直接计算，而是利用乘法凑整法，只需分解一下即可。分解后，原式＝125×4×(4×25)×48＝2400000。3．3208×32073207－3207×32083208的值是( )。A．1000 B．100 C．10 D．0【解析】答案为D。原式＝3208×3207×10001－3207×3208×10001＝3208×3207×(10001－10001)＝0。4．若a>0，bccC．a>b，a>c D．a>b>c【解析】答案为D。由题目可知，(a－c)2＋2ac－2ab＝0，即(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(6－c)≥0。而a>0，显然c≤6。同时，(a－c)2＋2ac－2ab＝a2－2ab＋c2＝0。如假设b>a，则0＝a2－2ab＋c2，a2＋c2＝2ab＞2a2，即a20，则c>a。这样b、c均大于a，与bc6>C。5．a＝19921992/19961996，b＝19961996/19971997，c＝19971997/19981998，则a、b、c的关系为( ) A．a<6
【解析】**为C。此题可以转化为(1996＋2004)＋(1997＋2003)＋1998＋2000＝( )。即4000＋4000＋1998＋2000＝1998。3．尾数估算法尾数估算法是简便运算中常用的一种排除备选项的方法。在四则运算中，如果几个数的数值较大，运算复杂，又没有发现运算规律时，可以先利用个位或小数部分进行运算得到尾数，再与选项中的尾数部分进行对比，如果有唯一的对应项，就可立即找到**。考生如果遇到备选**的尾数都不相同的题目时，可以首先考虑此种方法，快速找出**。考生应该掌握的尾数变化的基本常识有∶2n是以“4”为周期变化的，即尾数分别是2，4，8，6…3n是以“4”为周期变化的，即尾数分别是3，9，7，1…4n是以“2”为周期变化的，即4，6…5n、6”尾数不变。7n是以“4”为周期变化的，即7，9，3，1…8n是以“4”为周期变化的，即8，4，2，6…9n是以“2”为周期变化的，即9，1…【例题1】(2004年国家)19991999的末尾数字是( )。A．1 B．4 C．7 D．9【解析】**为D。该题目不需要考生逐次进行计算。考生只要运用尾数估算法就能不费吹灰之力得到**。因为9的奇数次幂的尾数是9，偶数次幂的尾数是1，1999为奇数次幂，故19991999的末尾数字是9。【例题2】(2002年国家)(1．1)2＋(1．2)2＋(1．3)2＋(1．4)2的值是( )。A．5．04 B．5．49 C．6．06 D．6．30
【解析】**为D。各项的最后一位小数相加∶8＋0＋1＋3＋0＝12，即尾数之和的尾数为2，所以84．78＋59．50＋121．61＋12．43＋66．50的尾数应该为2，故选D。4．基准数法当有两个以上的数相加且这些数相互接近时，可以取一个中间数作为基准数，然后用基准数乘以项数，再加上每个加数与基准数的差，从而求得它们的和。【例题1】(2007年国家)78＋81＋76＋85＋80＋83＝( )。A．481 B．482 C．483 D．484【解析】**为C。仔细观察，可知算式中的各个加数都接近80，所以把80作为基准数，即原题目变为∶80×6－2＋1－4＋5＋3＝483。【例题IJ题2】(2008年山东)1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002的值是( )。A．11995 B．11996 C．11997 D．11998【解析】**为C。观察该题，发现算式中的数字都接近2000，则可以选取2000作为基准数，即原题目变为∶2000×6－3－2－1＋1＋2＝11997。5．数学公式法数学公式法是运用数学公式进行运算的一种简便运算方法。灵活运用一些数学公式可以大大提高运算效率，节约答题时间，因此，考生需要掌握因式分解、前n项和公式等基本公式(见“知识要点清单”)。【例题1】(2007年北京)32×73＋32×16的值是( )。A．2838 B．2848 C．2148 D．2158【解析】**为B。此题中含有相同因数32，可用公式a×6＋a×C＝a×(6＋c)来计算，即32×(73＋16)＝32X89＝2848。【例题2】(2006年福建)462－828－162的值是( )。A．932 B．936 C．1032 D．1036【解析】**为C。这种类型的题目可以运用平方差公式，即a2－62＝(a＋6)(a－6)计算。462－162＝(46＋16)(46－16)＝1860，则1860－828＝1032。【例题3】(2004年广东)2＋4＋6＋…＋22＋24的值是( )。A．153 B．154 C．155 D．156【解析】**为D。在该题中，项数＝(24－2)÷2＋1＝12，数列之和＝(2＋24)×12÷2＝156。6．替换法【例题】(2004年国家)2002×20032003－2003×20022002的值是( )。A．－60 B．0 C．60 D．80【解析】**为B。原式一2002×2003×10001－2003×2002×10001＝2002×2003×(10001－10001)＝0。故选B。7．排除法【例题】(2005年北京)117580÷15的值是( )。A．7375 B．7545 C．7457 D．未给出【解析】**为D。这道除法题的被除数尾数是0，除数的尾数是5，因此，其商数的尾数必然是双数，但是四个选项中的A、B、C三项尾数皆为单数，所以都应排除，本题选项中实际上没有给出正确**。二、大小判断这种类型的题目一般不需要进行具体的数字计算，只要能找到某个判断标准就可以进行判断了。比较数大小的方法很多，在解题时，要根据所给试越的特点，选择合适的比较方法。一般来说，有下列几种判断方法∶(1)对于任意两个数，如果a－6>0，则a>6；如果a－6<0，则a<6；如果a－b＝0，则a＝b。(2)对于任意两个数，如果不是很方便比较大小时，常选取中间值C，然后口、b分别与c比较，进而比较口、b的大小。(3)当a、6为任意两个正数时，如果a/b>1，则a>6；如果b/2<1，则a<6；如果a/b＝1，则a＝6。当a、6为任意两个负数时，如果a/b>1，则a<6；如果a/b<1，则a>6；如果a/b＝1，则a＝b。(4)当a、b为任意两个正数时，如果a2－b2>0，则a>b。(5)当a、b为任意两个正数时，如果1/a>1/b，则a
【解析】答案为B。由于倒入两容器的水量相同，设倒入水后，两容器的水深为h，则可得(h－9)/(h－5)＝4/5，求得h＝25(厘米)。六、植树和方阵问题【经典真题详解】1．植树问题一般的出题模式是给一段路，在路的一旁或两边种树(或其他一些事物)，原理其实和小学数学中在线段中标点一样，在做题时也可以画一个线段，然后数一下自己所标的点的数量就可以了。关于植树问题，主要的关系有∶(1)如果题目中要求在植树的路线两端都植树，则棵数比段数多1，等于全长除以株距再加上1。(2)如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数与段数相等，等于全长除以株距。(3)如果植树路线的两端都不植树，则棵数＝段数－1。【例题1】(2009年国家)甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1／4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩的1／3，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩?( ) A．9000 B．3600 C．6000 D．4500【解析】答案为B。根据题意，把植树的总亩数看做单位1，则甲、乙、丙植树亩数分别占总亩数的1／5，1／4，1／3，那么丁的植树的亩数占总亩数的1－(1／5＋1／4＋1／3)＝13／60，所以植树总亩数为3900／(13／60)＝18000亩，甲的植树亩数为18000×(1／5)＝3600亩。故选B。【例题2】(2006年国家)为了把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米。若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗( )。A．8500棵 B．12500棵 C．12596棵 D．13000棵【解析】答案为D。设两条路共长z米，共有树苗Y棵，则有方程组为∶x÷4＋4＝y＋2754，x÷5＋4＝y－396，解出y＝13000。2．方阵问题士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
(4)空心方阵的总人(或物)数＝[最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数]×空心方阵的层数×4。【例题1】(1006年国家)三年级一班参加运动会人场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?( )A．6，36 B．6，48 C．7，49 D．7，56【解析】答案为A。根据四周人数与每边人数的关系，可以求出这个方阵最外层每边的人数，即方阵最外层每边的人数∶20÷4＋1＝5＋1＝6(人)；整个方阵共有学生人数∶6×6＝36(人)。【例题21(2006年北京)康杰小学五年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演?( ) A．185 B．190 C．196 D．198【解析】答案为C。根据正方形队列的特点可知∶原每行人数＝(去掉一行一列的人数＋1)÷2，即，原来每行人数是14人，则原来准备参加表演的人数是196人。七、日历和年龄问题【经典真题详解】1．日历问题计算月日要记住以下三条法则∶(1)每年的1、3、5、7、8、10、12这七个月是31天；(2)每年的4、6、9、11这四个月是30天；(3)每年的2月，如果年份能被4整除，则该年的2月是29天(如2008年)，如果该年的年份不能被4整除，则是28天(如2007年)。【例题1】(2009年国家)用6位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少天?( ) A．12 B．29 C．0 D．1【解析】答案为C。根据题意可知，表示2009年的日期，前两个数字表示年份，必然为09；中间的两个数字表示月份，表示前10个月都必须用到0，与表示年份的数字相重复，排除，表示u月必须用到两个1，自身重复，排除，所以，中间的两个数字只能为12；最后的两个数字表示天数，要表示一个月中31天的每一天，其数字中必然含有0、1、2中的一个，从而必然－9表示年份、月份的数字重复。由此可知，全年中六个数字都不同的日期一个也没有。故选C。【例题21(2005年国家)假如今天是2004年的11月28日，那么再过105天是2005年的几月几日?( ) A．2005年2月28日B．2005年3月11日C．2005年3月12日D．2005年3月13日【解析】答案为D。11月是小月，有30天，题目中是11月28日，还剩2天；12月、1月都是大月，有31天；2004年不是闰年，2月有28天，那么可得出2＋31＋31＋28＝92(天)，105－92＝13(天)，即再过105天是2005年的3月13日。2．年龄问题解答年龄问题，一般要抓住以下三条规律∶(1)在任何情况下，两个人的年龄差总是确定不变的；(2)随着时间向前(过去)或向后(将来)推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；(3)随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。【例题1】(2008年国家)5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用Y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄?( ) A．y/6＋5 B．5y／3＋10C．(y－10)／3D．3y－5【解析】答案为A。根据丙的当前年龄是Y岁，可知甲10年前的年龄是(y－10)／2；则甲5年前的年龄是[(y－10)／2＋53；则乙5年前的年龄就是[(y－10)／2＋5]÷3；那么，乙当前的年龄就是∶[(y－10)／2＋5]÷3＋5＝(y－10)／6＋5／3＋5＝y／6－10／6＋10／6＋5＝y／6＋5。【例题2】(2005年国家)甲对乙说∶当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说∶当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲、乙现在各有( )。A．45岁，26岁B．46岁，25岁C．47岁，24岁D．48岁，23岁【解析】答案为B。第一种方法∶设甲为x岁，乙为y岁，则有方程组为∶y－(x－y)＝4，x＋(x－y)＝67，解得x＝46，y＝25。第二种方法∶可以用代入法，即将四个答案分别代入题中进行计算。八、牛顿问题牛顿问题，俗称“牛吃草问题”。牛每天吃草，草每天在不断均匀地生长。这种类型题目的解题环节主要有四步∶(1)求出每天长草量；(2)求出牧场原有草量；(3)求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量一生长的草量一消耗原有草量)；(4)最后求出可吃天数。【经典真题详解】【例题1】(2009年国家)一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量，在该市新迁入3万人之后，该水库只够维持15年的用水量，市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?( ) A．2／5 B．2／7 C．1／3 D．1／4【解析】答案为A。本题属于“牛吃草问题”。设水库水量增长的速度为X，居民平均需要节约用水量的比例是y，则可列方程∶12×20－20x＝(12＋3)×15－15x(12＋3)(1－y)－30×3＝12×20－20×3解得x＝3，y＝2／5。故选A。【例题2】(2007年浙江)牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100只羊吃，可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛、100只羊同时吃这片草，可以吃几天?( ) A．3 B．4 C．5 D．6【解析】答案为B。1头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛一天的吃草量就相当于4×20＝80只羊一天的吃草量。每天长草量∶(80×20－100×12)÷(20－12)＝400÷8＝50(单位量)原有草量∶(80－50)×20＝30×20＝600(单位量)20头牛和100只羊同时吃的天数∶600÷(80＋100－50)＝600÷130＝4(天)。【例题3】(2006年北京)由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天?( ) A．3 B．4 C．5 D．6【解析】答案为C。20头牛5天吃草∶20X 5＝100(单位量)，15头牛6天吃草∶15×6＝90(单位量)；青草每天减少∶(100－90)÷(6－5)＝10(单位量)；牛吃草前牧场有草∶100＋10×5＝150(单位量)；150单位量草吃10天本可供∶150÷10＝15(头)；但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛∶15－10＝5(头)。九、鸡兔问题鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差2(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以(4－2)，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡的只数。【经典真题详解】【例题1】(2005年国家)小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是( )。A．1元 B．2元 C．3元 D．4元【解析】答案为C。设三角形每条边的硬币数为x，正方形每条边的硬币数为y，得方程组如下∶y＝x－5，3x＝4y；解得x＝20，则硬币共有3×20＝60个，硬币为5分硬币，那么总价值是5×60＝300(分)。【例题2】(2002年国家)一笼中的鸡和兔共250条腿，已知鸡的只数是兔的只数的3倍，笼中共有多少只鸡?( )A．50 B．75 C．100 D．125【解析】答案为B。设鸡的只数为x，按腿计算，鸡的腿数为2x，鸡的只数是兔的只数的3倍，即兔是鸡的1／3，兔子是4条腿，兔子的腿数为x／3×4，根据题意可列出的方程式是∶2x＋x／3×4＝250，解得x＝75。十、和、差问题和倍数问题【经典真题详解】1．和、差问题和、差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。解答这一类问题一般用假设的方法。和、差应用题的解题要点是∶(和＋差)÷2＝较大数，较大数－差＝较小数；或(和－差)÷2＝较小数，较小数＋差＝较大数。【例题】(2007年国家)549是甲、乙、丙、丁四个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则这四个数相等。那么，甲数是多少?( ) A．61 B．120 C．124 D．244【解析】答案为B。由题意可知，丙数最小，甲数加上2后是丙数的2倍，乙数减去2是丙数的2倍，丁数是丙数的4倍。设丙数为x，根据这些倍数关系，可得方程式∶2x－2＋2x＋2＋x＋4x＝549，解得x＝61，进而可算出甲数为120。2．倍数问题倍数应用题的解题要点是∶和÷(倍数＋1)＝小数(较小的数，即1倍数)；小数×倍数＝大数(较大的数，即几倍数)；或和－小数＝大数。【例题】(2006年北京)三年级一班和二班少先队员共做好事360件，二班做好事的件数是一班的2倍，三年级一班和二班少先队员各做多少件好事?( ) A．100，260 B．110，250C．120，240 D．130，230【解析】答案为C。如果我们把一班做好事的件数作为1倍，“二班做好事的件数是一班的2倍”，那么一班和二班做好事件数的和，相当于一班做好事件数的3倍，则一班做好事的件数∶360÷(2＋1)＝120(件)；二班做好事的件数∶360－120＝240(件)。十一、盈亏问题数字盈亏问题是指在一定范围内的多组数字间存在一定的数量关系，其中一组数字如发生变化，就必然会引起另一组数字的变化。这种题型的解题关键是∶找出这几组数字间的关系，然后假设其中一组达到最大值，最后根据它们之间的关系和所得的结果，来推算出其他组的数字。
【例题2】(2004年广东)顺昌面粉加工广要生产一批面粉，如果第一车间单独完成需要20天，第二车间单独完成需要30天，两个车间一起生产15天，超过任务定额150吨，这批生产任务是多少吨?( ) A．420 B．560 C．600 D．720【解析】答案为C。第一、第二车间一起生产这批面粉需要∶1÷(1/20＋1/30)＝12(天)，如果两个车间一起完成15天，可以多生产150吨，由此可知，两个车间平均每天生产∶150÷3＝50(吨)。那么原计划的生产任务是∶50×12＝600(吨)。十二、几何问题【经典真题详解】1．周长问题周长问题关键是要学会“转化”。转化也就是把题中的某个图形转变成我们平时标准的长方形、正方形、圆形或其他规则图形，以方便计算它们的周长。【例题】(2005年国家)甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑l圈时，乙比甲多跑1／7圈。丙比甲少跑1／7圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面( )。A．85米 B．90米 C．100米 D．105米【解析】答案为C。设单位为圈，即S＝2，那么v甲＝1＝7/7，v乙＝1＋1/7＝8/7，v丙＝1－1/7＝6/7，当乙到终点时，s乙＝2，那么所需的时间t＝S乙／V乙＝2÷8/7＝7/4，那么S甲＝1×7/4，s丙＝6/7×7/4＝6/4，则s甲－S丙＝1/4圈，而一圈有400米，所以相差的距离是100米。2．面积问题要解决面积问题，关键是要会正确地“割、补”。通常使用的方法就是添加辅助线，即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全成我们熟悉的规则图形，从而快速求得面积。【例题1】(2009年国家)如右图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( )
A．15 B．16 C．14 D．18【解析】答案为B。设阴影部分的面积为S，根据图形的重叠情况，减去重叠部分的面积，可知∶x＋Y＋Z－24－70－36＋S＝290，即64＋180＋160－24－70－36＋S＝290，解得S＝16。故选B。【例题2】(2007年国家)现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0．6米浸入水中，如果将其分割成边长为O．25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为( )。A．3．4平方米 B．9．6平方米C．13．6平方米 D．16平方米【解析】答案为C。根据题意可知，该正方体可以分割成64个边长为0．25米的小立方体，每个立方体入水后，有0．15米浸入水中，因此所有的小正方体都放入水中后，直接和水接触的表面积应该是∶(0．25×0．25＋0．25×0．15×4)×64＝13．6(m2)。3．体积问题求解体积问题，除了使用体积公式外，有时还可利用补形、分割、转化等特殊方法。【例题】(2008年浙江)一个容器中已注满水，有大、中、小三个球，第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把大球和小球一起沉入水中。现在知道每次从容器中溢出水量的情况是∶第一次是第二次的1／3，第三次是第一次的2．5倍，求这三个球的体积之比?( ) A．1∶2∶3 B．2∶8∶11 C．3∶5∶9 D．5∶9∶11【解析】答案为B。根据题意，可知溢出的水的体积和球的体积是一样的。假设小球的体积是1；第二次溢出水的体积是∶1×3＝3，所以中球的体积是∶3＋1＝4；第二次溢出水的体积是∶1×2．5＝2．5，所以大球的体积是∶2．5＋4－1＝5．5；所以三个球的体积比∶1∶4∶5．5＝2∶8∶11。十三、排列、组台问题【经典真题详解】1．初等排列、组合初等排列、组合指的是加法原理和乘法原理。(1)加法原理∶完成一件事有n类方式∶A1，A2，…，An，每一类方式A中有Mi种方法，任何两类方式都互不相同，方法中任何一种都能单独完成任务，则总的方法数为∶N＝Mi＋M2＋…＋Mn。(2)乘法原理∶完成一件事分n个步骤∶B1，B2，…，Bn，每一步骤Bi有Mi种方法，则总的方法数为∶N＝Mi×M2×…×Mn。【例题1】(2009年国家)小王忘记了朋友手机号码的最后两位数字，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才能保证拨对朋友的手机号码?( ) A．90 B．50 C．45 D．20【解析】答案为B。根据题意可知，手机号码的倒数第一位是奇数，则可能的数为1、3、5、7、9，共5个；倒数第二位可以是。至9中的任何一个数字，共l0个。由此可知，手机号码最后两位的组合形式共有5×10＝50种。所以，小王最多要拨打50次才能保证打通朋友的电话。故选B。【例题2】(2004年国家)由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?( ) A．6 B．7 C．8 D．9【解析】答案为A。从A村经B村去C村有两步∶第一步，由A村去B村有两种方法；第二步，由B村去C村有三种方法，所以，从A村经B村去C村共有2×3＝6种不同的走法。2．复杂排列、组合从挖个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示。从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示。【例题1】(2009年国家)要求厨师从12种主料中挑选出2种，从13种配料中挑选出3种烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多以做出多少道不一样的菜肴?( ) A．131204 B．132132 C．130468 D．133456【解析】答案为B。这是排列组合题。该厨师做菜肴需要三个步骤∶第一步，在12种主料中任意选2种，有C212。种挑选方法；第二步，在13种配料中任意选3种，有C313。种挑选方法；第三步在7种烹饪方式中壬意选一种，有C17种挑选方法。根据乘法原理可知，该厨师最多可以做出不一样的菜肴有C212×C313×C17＝32132(种)。故选B。【例题2】(2008年国家)一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安非方法?( )A．20 B．12 C．6 D．4【解析】答案为A。原有三套节目，加上两头共四个空，这时再插入一个节目的个数为C(4，1)＝4，这时成了四个节目，加上两头有五个空，再插入第五个节目的个数为C(5，1)＝5，这是分两步进行的，听以共有方案4×5＝20(个)。【例题3】(2007年国家)把144张卡片平均分成若干盒，每盒在10张到40张之间，则共有( )种不同的分法。A．4 B．5 C．6 D．7【解析】答案为B。144＝2×2×2×2×3×3。第一种分法∶平均每盒16张，分在9个盒子。第二种分法∶平均每盒12张，分在12个盒子。第三种分法∶平均每盒24张，分在6个盒子。第四种分法∶平均每盒18张，分在8个盒子。第五种分法∶平均每盒36张，分在4个盒子。故正确选项为B。十四、其他问题【经典真题详解】1．统筹与优化问题统筹与优化问题是在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益问题。统筹与优化问题具体有以下内容∶(1)完成一件事情，怎样规划安排才能用时最少、用费最省、路线最近等；(2)任务固定，设计如何使用最少的人力、物力去完成；(3)人力、物力固定，设计调配方案，获取最快速度和最佳效果。【例题1】(2006年国家)学校大扫除，四位同学各拿大小不一的桶一同去打水，注满这些水桶，第一人需用5分钟，第二人需用3分钟，第三人需用4分钟，第四人需用2分钟。现只有一个水龙头，应如何安排这四个人的打水次序，使他们花费的等候时间总和最少，这个时间为多少分钟?( )A．15 B．20 C．25 D．30【解析】答案为D。按照“占用时间少的事情先进行”的原则，打水顺序为∶第四人、第二人、第三人、第一人，总共用的时间∶2×4＋3x 3＋4×2＋5×1＝30(分钟)。【例题2】(2005年天津)今有甲、乙、丙、丁四人在晚上都要从桥的左边到右边，此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒(过桥是一定要用手电筒)。四人过桥最快所需时间为∶甲∶2分钟；乙∶3分钟；丙∶8分钟；丁∶10分钟。走得快的人要等走得慢的人，让所有的人都尽快地过桥需要多长时间?( )A．15分钟 B．20分钟 C．21分钟 D．30分钟【解析】答案为C。先是甲和乙一起过桥，然后将乙留在对岸，甲独自返回。甲返回后将手电筒交给丙和丁，让丙和丁一起过桥，丙和丁到达对岸后，将手电筒交给乙，让乙将手电筒带回，最后甲和乙再次一起过桥，则所需时间为∶3＋2＋10＋3＋3＝21(分钟)。2．容斥问题在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是∶先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。这是2004年、2005年中央、国家机关公务员考试的一个难点。这种题型的解题要点是两个公式，即∶(1)如果被计数的事物有A、B两类，那么，A＋B＝A＋A∩B。(2)如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C。【例题1】(2008年国家)共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试?( ) A．30 B．55 C．70 D．74【解析】答案为C。考虑未答对的题目总数为(100－80)＋(100－92)＋(100－86)＋(100－78)＋(100－74)＝90，由于答错3道或3道以上题目不能通过考试，最不理想的情况是刚好每个人错3道，30个人正好错90道。所以，至少有70个人能通过这次考试。【例题2】(2007年江苏)对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。A．22人 B．28人 C．30人 D．36人【解析】答案为A。设A＝喜欢看球赛的人(58)，B＝喜欢看戏剧的人(38)，C＝喜欢看电影的人(52)，则∶A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)A∩B∩C＝三种都喜欢看的人(12)A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)根据公式∶A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C，则C∩A＝A＋B＋C－(A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C)＝148－(100＋18＋16－12)＝26。所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22(人)。3．跳井问题【例题l】(2005年山东)两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少分米?( ) A．100 B．150 C．200 D．250【解析】答案为B。两只蜗牛白天路程差为∶20×5－15×6＝10(分米)。因为最终到达井底，所以蜗牛黑夜下滑的速度为每夜∶10÷(6－5)＝10(分米)。井深为∶(20＋10)×5＝150(分米)。【例题2】(2004年广东)有一只青蛙在井底，每天爬上4米，又滑下3米，这井有9米深，那么，爬上这口井的上面一共需要多少天?( ) A．2 B．6 C．4 D．7【解析】答案为B。青蛙爬到5米之后，后一天再爬上4米的话，就可以到井顶了，所以一共需要6天。4．对分问题对分问题是数学运算中的典型问题。可设原始长度为S的一个东西，每次分a部分，取其中之一，如果分了n次，那么还剩下S．(1/2)n。【例题1】(2005年北京)用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米，绳子长度、井深分别为多少米?( )A．54，22B．50，25C．45，18D．45，22【解析】答案为A。井的深度为∶(5×2＋4×3)÷(3－2)＝22÷1＝22(米)。绳子长度为∶(22＋5)×2＝27×2＝54(米)。【例题2】(2004年山东)有一根一米长的绳子，每次都剪掉绳子的2／3，那么剪掉三次之后还剩多少米?( ) A．8／27 B．1／9 C．1／27 D．8／81【解析】答案为C。题中所提到的把一米长的绳子剪掉2／3之后，还剩下1／3；第二次剪掉2／3后，还剩下1／3的1／3，即(1/3)2＝1/9；第三次剪掉2／3后，还剩下(1/3)3＝1/27。5．计算预支问题对预支问题进行分析，可以发现此类问题与比例问题是相通的。按照比例问题的解法解预支问题同样实用。【例题1】(2004年国家)某部门原计划召开为期10天的重要会议，预算费用为32000元，由于议程安排紧凑，会期比计划缩短了两天，实花费用节省了25％。其中，仅住宿一项就占会议节省费用的60％，问会议住宿费节省了多少元?( )A．3500 B．3800 C．4800 D．4000【解析】答案为C。设节省住宿费为x，则x＝32000×25％×60％＝4800(元)。【例题2】(2006年广东)某协会开年会，需预算一笔钱作经费，其中发给与会者生活补贴占10％，会议资料费用1500元，其他费用占20％，还剩下2000元。问该年会的预算经费是多少元?( ) A．7000 B．6000 C．5000 D．4000【解析】答案为C。可将预算经费设为x，则0．1x＋1500＋0．2x＝x－2000，0．3x＋1500＝x－2000，解得x＝5000。6．利润问题利润问题是近几年来公务员考试的新题型。商店出售商品，目的是要获得利润。这样就涉及进货价(成本)、售出价(定价)、利润以及打折、储运等经济问题，这样的问题都可以称为经济利润问题。其基本公式有∶(1)利润＝销售价－成本；(2)利润率＝利润÷成本＝(销售价一成本)÷成本＝销售价÷成本－1；(3)销售价＝成本×(1＋利润率)或者成本＝销售价÷(1＋利润率)。【例题1】(2005年国家)某店原来将一批苹果按100％的利润定价出售，由于定价过高，无人购买，不得不按38％的利润重定价，这样售出了其中的40％。此时，因害怕剩余水果腐烂，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30．2％，第二次降价后的价格是原定价的百分之几?( ) A．60．5％ B．62．5％ C．64．5％ D．66．5％【解析】答案为B。假设这批苹果为“1”，即100％；成本为“1”原利润为100％。原定价为∶成本×(1＋利润的百分数)＝2；第一次定价∶售出苹果为40％，剩余60％，利润为∶40％×38％；第二次定价∶售出苹果为60％，利润为∶30．2％－40％×38％＝15％；卖价＝成本×(1＋利润的百分数)＝125％，所以，第二次降价后的价格是原定价的62．5％。【例题2】(2003年国家)一种衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低了，为了促销，商家将衣服八折出售，毛利润却比过去增加了30％，请问现在每件衣服进价是多少元?( ) A．28 B．32 C．40 D．48【解析】答案为A。设现在每件衣服进价x元／件，而原售价为100元／件，因厂家将衣服8折出售，故现售价为80元／件，降价后的毛利润为40×1．3＝52(元)，现在每件衣服进价是80－52＝28(元)。7．浓度问题溶质与溶液质量的比值叫做溶液的浓度(通常用百分数表示)，这三者的关系如下∶溶液的质量＝溶质的质量＋溶剂的质量；溶液的浓度＝溶质的质量÷溶液的质量；溶液的质量＝溶质的质量÷溶液的浓度；溶质的质量＝溶液的质量×溶液的浓度。【例题1】(2009年国家)一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10％；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12％；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?( ) A．14％ B．17％ C．16％ D．15％【解析】答案为D。因为溶质的量不变，所以设蒸发了x的水，根据题意可得∶10／(100－x)＝12％，得x＝50／3，则第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为∶10／(100－2×50／3)＝15％。故选D。【例题2】(2006年广东)现有浓度为15％的糖水4千克，问要再加入多少千克浓度为30％的糖水，才可以得到浓度为24％的糖水?( ) A．5 B．6 C．7 D．8【解析】答案为B。设加入了x千克浓度为30％的糖水，根据题意可列方程∶15％×4＋30％o×x＝24％(4＋x)，解得x＝6。8．讨论问题讨论问题是数学运算部分的一种新题型，自从2005年出现后，2007年的中央、国家机关公务员考试又出现了这种题型。从命题趋势来看，这种题型可能会成为考试的难点。【例题】(2007年国家)有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，质量分别为8、9、16、20、22、27千克，该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的质量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )千克面包。A．44 B．45 C．50 D．52【解析】答案为D。先假设卖出面包后剩余的面包质量为z，剩余的饼干为2x，卖出的面包质量为n，则根据题意可得∶x＋2x＋a＝8＋9＋16＋20＋224＝27＝102，化简得∶3x＝102－a第一种情况∶当a＝8时，x不是整数，排除；第二种情况∶当a＝9时，x＝31，可求得购进面包质量为40千克，代入题中验证，不符合，排除；第三种情况∶当a＝16时，x不是整数，排除；第四种情况∶当a＝20时，x不是整数，排除；第五种情况∶当a＝22时，x不是整数，排除；第六种情况∶当a＝27时，x＝25，求得购进面包质量为52千克，代入题中验证，符合题意，故选D。特殊题型跟踪1．若x，y，z是三个连续的负整数，并且x>y>z，则下列表达式中为正奇数的是( )。A．yz－xB．(x－y)(y－x)C．x－yzD．x(y＋z)【解析】答案为B。本题只要看清楚“x、y、z是三个连续的负整数，并且x>y>z”这个条件，就很容易发现，B选项的值恰好为1，符合题目要求。
2．已知，
那么x的值是( )。A．－2／3 B．2／3 C．－3／2 D．3／2【解析】答案为B。本题采用解方程或者带入法都可得到正确结果。3．{an}是一个等差数列，a7－a10＝8，a11－a4＝4，则数列前13项之和是( )。A．32 B．36 C．156 D．182【解析】答案为C。等差数列有两条最重要的性质∶(1)数列中任意角标差值相等的两个数之差都相等，即an＋1－an＝an＋1－am；(2)数列的平均值等于正中间的那个数(奇数个数)，或者正中间那两个数的平均值(偶数个数)。本题可简便求解∶a10－a3＝a11－a4＝4，根据题意可得∶a3＋a7－a10＝8，a7＝8＋(a10－a3)＝8＋4＝12，a7是这个数列正中间的那个数，是13个数的平均值，因此，这13个数的和为∶12×13＝156。4．如图是一个边长为100米的正三角形，甲自A点，乙自B点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。甲每分钟走120米，乙每分钟走150米，但过每个顶点时，因转弯都要耽误10秒。乙出发后多长时间能追上甲?( )
A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟【解析】答案为B。除去转弯所花时间，甲的实际速度为120×(1－1/6)＝100米／分钟，乙的实际速度为150×5/6＝125米／分钟，100／(125－100)＝4分钟。实战演练 1．1×3/7×(3×1/13－1×9/11)×0．7×28×3/5的值是( )。A．19．5 B．95．5 C．36 D．49【解析】答案为C。1×3/7×(3×1/13－1×9/11)×0．7×28×3/5＝1×3/7×1×37/143×0．7×28×3/5＝36。2．125×16×25×48＝( )。A．240000 B．2400000 C．240008 D．2400008【解析】答案为B。本题不需要直接计算，而是利用乘法凑整法，只需分解一下即可。分解后，原式＝125×4×(4×25)×48＝2400000。3．3208×32073207－3207×32083208的值是( )。A．1000 B．100 C．10 D．0【解析】答案为D。原式＝3208×3207×10001－3207×3208×10001＝3208×3207×(10001－10001)＝0。4．若a>0，bc