《动物生理学》 杨秀平:关于正比例函数教学的反思

本文所谈的正比例函数是人教版八年级上册第十一章第二节的起始内容，是函数概念及其表达形式后首个具体函数，在中学阶段函数学习中具有重要地位和作用。本文以课题研讨期间所上的研讨课为评析对象，谈谈自己的拙见，敬请同仁斧正。

反思一：没有比较就没有鉴别---关于正比函数概念教学中的反例作用

在学生自主探究的教学方式下，正比例函数概念的形成要经历以下心理过程：

观察，即观察相关的具体事物；分析，即分析每一个具体事物的特征；比较，即对不同事物的特征进行横向比较，也会与头脑中已有的类似事物的特征进行比较，发现它们的异同点；归纳，即抽象概括不同事物共有特征，从而发现一类事物的本质属性；表述，即运用数学语言对这一类事物进行描述或刻画。

观察是概念形成的起点，所观察事物的数量和典型性对概念的形成至关重要，不仅要提供正面的事物，有时候，还需要提供反面的事物。比如，在本节课的概念引入环节，教师呈现教科书中观察栏目的问题，依据已有的知识，学生顺利列出了相应关系式：

生₁：L=2πr。

生₂：m=7.8V。

生₃：T=－3t。

生₄：y=2x。

生₅：y=－2x。

接下来，教师又问道：“观察以上函数解析式中的变量L（m，T，y）与自变量r（V，t,x）与有什么关系？”。

很快，学生给出了解释：“y是x的2倍、L是r的2π倍、……。”

看到这样的解释，教师放慢语速，进一步追问：“那么以上函数关系式又有什么共同的地方呢？”

此时，只有少数学生有想法，更多学生眼神中流露出的是疑惑。于是，教师进一步补充：“大家没想明白。我再来举两个例子：比如函数y=2/x ,它们同上面的函数关系式有什么不同的地方呢？”稍过片刻，就有学生说：“都是乘法。”但其他学生仍旧在思考。

教师进一步询问：“能否再具体一点。”

学生回答：“常量和自变量都是乘积的关系。”

从上述师生对话的过程不难看出，尽管学生对每一个关系式中x与y的关系都很清楚了，但是，当他们对不同的解析表达式所具有的共同特征进行归纳概括时，还是存在困难。为此，教师及时地进行了干预，即向学生提供了反例：y=2/x,。不难看出，这种干预是有效的，在反例的映衬下，学生迅速找到了正例之间在结构上的共同特征。

事实上，如果单纯观察某一类具有相同属性的事物，往往很难观察到他们的相同属性，除非观察着于自己已有的经验相比较。在本节课上，一开始教师只呈现正面的例子，这不足以让学生看到它们的共同特征，除非这些例子唤醒了小学阶段所学习的有关正比例的知识，或想起了非正比例函数的例子，并能与之比较。这说明，没有比较就没有鉴别，认识是在比较鉴别的过程发展的。

反思二：独立解决问题----能力发展的有效途径

1.关于发展观察、分析、归纳、概括等数学思维能力的反思。

从课堂教学的现场情况看，本节课有四个环节蕴含着观察、分析、比较、归纳、概括等数学思维的活动。下面分别加以分析：

第一个环节是正比例函数概念的形成过程。通过对不同的函数解析式的观察、分析，再加上反例的映衬（对比），学生发现了正比例函数解析表达式的基本结构：一个常量与自变量的积（y=kx）。因此，在这一环节，教师给学生提供了自己发现和解决问题的机会，较好地发展了学生的思维能力。

第二个环节是发现正比例函数图像的特点。首先看一看这一环节的师生互动过程：

在明晰了正比例函数概念后，教学进入到学习函数图象环节。教师说道：“函数的图象可以清晰、直观描述函数的关系。正比例函数从形式上具有共同的特性，那么它们的函数图象是否也有共同的地方呢？想研究这个问题应该怎么办呀？”

学生答道：“画函数图象。”

于是，教师进一步给出指令：“以y=2x和 y=－2x为例，在坐标纸上画函数图象。”同时，说明画图的具体要求，并邀请两名同学在黑板上画出图象。此间，老师巡视指导，帮助学生解决画图中遇到的问题。

看到绝大多数学生都完成了任务。于是，教师提出问题：“观察你所画的图象，他们是什么图形？”

学生异口同声地说：“过原点的直线。”

教师接着问道：“是不是所有的正比例函数图象都是过原点的直线呢？”学生沉默了片刻,有人打破了僵局，说道:“应该都是过原点的直线。”看到有些学生还有些半信半疑，于是老师用多媒体在大屏幕演示几个正比例函数图象。观察后，学生进一步明确了上述结论。

从上述过程可以看出，教师只是向学生提供了观察的素材---函数图象，正比例函数图像的特点完全是由学生自己观察、分析、归纳概括得到的，因此，这些思维能力在上述过程中得到了发展。

第三个环节是，通过观察所画图像，归纳概括图形在直角坐标系中的位置关系：k﹥0时，直线y=kx的图象在一、三象限；k﹤0时，y=kx的图象在二、四象限。

在学生发现了正比例函数图像是一条过原点的直线这一结论后，教师继续引导：“大家再看黑板上两位同学画的图象有什么不同？”

有学生回答：“y=2x的图象经过一、三象限，y=－2x的图象经过二、四象限。”

教师又问：“是不是存在偶然性？”此时，教师借助几何画板，拖动直线绕原点转动，动态演示k值从正数到负数所对应的函数图象。

值得关注的是，在演示过程中，教师提醒学生观察k值正负与其对应图象之间的关系，进而发现了其中的规律：k﹥0时，直线y=kx的图象经历一、三象限；k﹤0时，y=kx的图象经过二、四象限。

我们知道，通过大量观察，让学生发现k的正负值与其对应的图象之间的关系，这一过程是发展观察、分析、比较、归纳概括等思维能力的珍贵资源。但遗憾的是，在教师演示过程中，由于教师的提示，使学生的思维活动迅速锁定了方向，从而丧失了上述思维能力发展的机会。

第四个环节是，借助于函数图像，归纳概括出：当k﹥0时y随x的增大而增大；当k﹤0时y随x的增大而减小。

在这一环节，教师提出这样的问题：大家再看看黑板上两位同学画的图象还有什么不同？看到学生陷入思考,有的还在小声研究讨论,但没有结果，于是，老师提示学生回顾函数的概念:“什么叫函数?”

学生道:“在一个变化过程中有两个变量y和x,给定x一个值y有唯一的值与之对应且y随x的变化而变化.”

教师追问:正比例函数中y如何随x的变化而变化的？这样提问再一次指明了观察和思考的方向。

通过研讨，学生得出结论：从图象还可看出k﹥0时y随x的增大而增大，k﹤0时y随x的增大而减小。

接下来，教师又问道：“还有别的方法看出来吗？”

学生：“看表格也可看出：当k﹥0时，y随x的增大而增大；当k﹤0时，y随x的增大而减小。”

从第四个环节师生互动的情况看，通过图像的走势，发现变量之间的变化规律，这一过程对于配需昂学生的观察、分析、归纳概括等数学思维能力是十分有价值的。虽然教师追问时所提问题指明了观察思考的方向，从而压缩了思考空间，但在一定程度上，仍旧促进了上述能力的发展

总之，通过上述描述与分析，我们看到，上述四个环节蕴含了丰富的能力训练资源，只要教师引导恰当，观察、分析、归纳、概括等数学思维能力就会得到充分发展的过程中。

在此需要指出的是，除了上述四个环节外，总结反思本节课研究的节本思路也是一次很有价值的归纳过程，与前面几次不同的是，归纳的内容不是数学的概念，而是数学的思想方法。但遗憾的是，这一过程由教师自己简单地处理了，且处理的过于简单。教师仅仅总结到：“我们今天学习了正比例函数定义和性质；正比例函数图象的简单画法。今后的学习中,我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数,根据它们共同的结构给它们取名,画出它们的图象与研究它们的性质.”

2.关于推理能力的反思。

在探索“正比例函数的图像是一条过原点的直线”这一命题的过程中，教师不仅要发展学生归纳推理能力，即通过观察有限个正比例函数图象，学生归纳概括出正比例函数的图像的特点，还应该适度地要训练逻辑推理能力，即要求学生说明：为什么正比例函数的图像都过原点。通过这个问题，使学生的思维活动，从基于观察的感性认识提升到数学说理的理性认识，不仅提高了数学思维水平，而且培养学生逻辑推理能力。但遗憾的是，在处理这一问题的过程中，教师仅是通过学生动手画图和计算机课件演示的手段，为学生提供了多个具体函数图像的实例，并由此合情推理得出结论。因此，丧失了思维提升和能力发展的机遇。

当然，发展能力必须尊重学生的认知发展水平。比如，不能提出这样问题：为什么正比例函数的图像是一条直线。虽然但就问题解决而言可提升学生的理性思维，但解决这个问题要用到相似三角形的知识，超出了学生现有的认知能力范围。所以，本节课不能依次发展推理能力。

反思三：授人以渔---关于函数研究策略的教学

1.关于函数学习基本策略

本节课是函数学习中遇到的第一个具体函数，不仅要学习正比例函数的概念，更好借助正比例函数的学习了解函数学习的基本程序和策略，即在明确某一具体函数概念之后，接下来就要研究两个变量之间的变化规律：通过单调性、奇偶性、周期性等加以刻画，为此，研究函数图像的特征，以便直观性分析两个变量之间的变化规律。

在本节课上，我们可以看到教师有意识表述函数学习的基本策略，但强调不足。教师在课堂总结时指出了本节课的研究内容，并提出“以后要按这样的思路来研究其它具体函数”，但并没有将研究思路具体化。

“自主探究”是当前课程改革积极倡导的学习方式。但是，在日常教学中，我们发现，面对一个新的问题，学生常常不知道从哪里着手解决问题，特别是新知识的探究过程。追其根源，主要是缺乏探究问题的基本策略。如果能够通过本节内容的学习使学生了解函数学习的基本程序和策略，那么，在今后学习一次函数、反比例函数、二次函数等函数的时候，或许无需教师提醒学生就知道如何探究了。

2.关于数形结合思想的教学

初中阶段所见到的函数都是以解析式定义的，变量之间的关系也随着关系式的复杂而变得复杂起来，因此变量之间的变化规律也越来越难以通过观察掌握了，但是借助于函数图像，使得两个变量之间的变化规律一目了然。这种研究问题的思想体现了数形结合思想。这种思想可以在反思本节课研究流程的过程中得以强化，使学生形成更为深刻的体验。因此，要在课堂教学过程中引入反思环节，基于学生反思的机会。