法国能源转型:matlab 实验03 求代数方程的近似根（解）

三　求代数方程的近似根（解）
一、问题背景和实验目的
二、 相关函数（命令）及简介
三、 实验内容
四、自己动手
求代数方程的根是最常见的数学问题之一（这里称为代数方程，主要是想和后面的微分方程区别开．为简明起见，在本实验的以下叙述中，把代数方程简称为方程），当是一次多项式时，称为线性方程，否则称之为非线性方程．
当是非线性方程时，由于的多样性，尚无一般的解析解法可使用，但如果对任意的精度要求，能求出方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能满足实际要求．
本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，要求在使用这些方法前先确定求根区间，或给出某根的近似值．在实际问题抽象出的数学模型中，可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确定，还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况．
通过本实验希望你能：
1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程；
2. 求代数方程（组）的解．
1．abs( )：求绝对值函数．
2．diff(f)：对独立变量求微分，f 为符号表达式．
diff(f, 'a')：对变量a求微分，f 为符号表达式．
diff(f, 'a', n)：对变量 a 求 n 次微分，f 为符号表达式．
例如：
syms x t
diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)
ans=
720*sin(x^2)
3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多项式的所有根．例如：
求解：．
p = [1  -6  -72  -27];
r = roots(p)
r =
12.1229
-5.7345
-0.3884
4．solve('表达式')：求表达式的解．
solve('2*sin(x)=1')
ans =
1/6*pi
5．linsolve(A, b)：求线性方程组 A*x=b 的解．
例如：
A= [9  0;  -1  8];  b=[1;  2];
linsolve(A, b)
ans=
[  1/9]
[19/72]
6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun为一个定义的函数，用“@函数名”方式进行调用．
例如：
fzero(@sin, 3)
ans=
3.1416
7．subs(f, 'x ', a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x，并计算出值．
例如：
subs('x^2 ', 'x ', 2)
ans = 4
首先，我们介绍几种与求根有关的方法：
1．对分法
对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止．对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根．
设在上连续，，即，或，．则根据连续函数的介值定理，在内至少存在一点，使．
下面的方法可以求出该根：
(1)    令，计算；
(2)    若，则是的根，停止计算，输出结果．
若，则令，，若，则令，；．
……，有、以及相应的．
(3) 若(为预先给定的精度要求)，退出计算，输出结果；
反之，返回(1)，重复(1)，(2)，(3)．
以上方法可得到每次缩小一半的区间序列，在中含有方程的根．
当区间长很小时，取其中点为根的近似值，显然有

以上公式可用于估计对分次数．
分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同．由于，可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数．对分法的收敛速度较慢，它常用来试探实根的分布区间，或求根的近似值．
2. 迭代法
1)      迭代法的基本思想：
由方程构造一个等价方程

从某个近似根出发，令
，
可得序列，这种方法称为迭代法．
若 收敛，即
，
只要连续，有

即

可知，的极限是的根，也就是的根．
当然，若发散，迭代法就失败．
以下给出迭代过程收敛的一些判别方法：
定义：如果根的某个邻域中，使对任意的，迭代过程，收敛，则称迭代过程在附近局部收敛．
定理1： 设，在的某个邻域内连续，并且，，则对任何，由迭代决定的序列收敛于．
定理2：条件同定理 1，则


定理3：已知方程，且
(1) 对任意的，有．
(2) 对任意的，有，则对任意的，迭代生成的序列收敛于的根，且．
以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难，实用时常用以下不严格的标准：
当根区间较小，且对某一，明显小于1时，则迭代收敛 (参见附录3)．
2) 迭代法的加速：
a) 松弛法：
若与同是的近似值，则是两个近似值的加权平均，其中称为权重，现通过确定看能否得到加速．
迭代方程是：

其中，令，试确定：
当时，有，即当，时，
可望获得较好的加速效果，于是有松弛法：，
松弛法的加速效果是明显的 (见附录4)，甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛．
b) Altken方法：
松弛法要先计算，在使用中有时不方便，为此发展出以下的 Altken 公式：
，是它的根，是其近似根．
设，，因为
，
用差商近似代替，有
 ，
解出，得

由此得出公式
 ；
；
，
这就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5)．
3. 牛顿(Newton)法（牛顿切线法）
1) 牛顿法的基本思想：
是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．

记：
是一次多项式，用作为的近似方程．
的解为
  
记为，一般地，记
  
即为牛顿法公式.
2) 牛顿法的收敛速度：
对牛顿法，迭代形式为：


注意分子上的，所以当时，，牛顿法至少是二阶收敛的，而在重根附近，牛顿法是线性收敛的．
牛顿法的缺点是：(1)对重根收敛很慢；(2)对初值要求较严，要求相当接近真值．
因此，常用其他方法确定初值，再用牛顿法提高精度．
4. 求方程根(解)的其它方法
(1) solve('x^3-3*x+1=0')
(2) roots([1 0 -3 1])
(3) fzero('x^3-3*x+1', -2)
(4) fzero('x^3-3*x+1', 0.5)
(5) fzero('x^3-3*x+1', 1.4)
(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')
体会一下，(2)(5) 用了上述 13 中的哪一种方法？
以下是本实验中的几个具体的实验，详细的程序清单参见附录．
具体实验1：对分法
先作图观察方程：的实根的分布区间，再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值．
输入以下命令，可得的图象：
f='x^3-3*x+1';
g='0';
ezplot(f,  [-4,  4]);
hold on;
ezplot(g,  [-4,  4]);       %目的是画出直线 y=0，即 x 轴
grid on;
axis([-4 4 -5 5]);
hold off
请填写下表：
实根的分布区间
该区间上根的近似值
在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1．
具体实验2：普通迭代法
采用迭代过程：求方程在 0.5 附近的根，精确到第 4 位小数．
构造等价方程：
用迭代公式：，
用 Matlab 编写的程序参见附录2．
请利用上述程序填写下表：



分析：将附录2第4行中的分别改为以及，问运行的结果是什么？你能分析得到其中的原因吗？看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思．
用 Matlab 编写的程序参见附录3．
具体实验3：收敛/发散判断
设方程的三个根近似地取，和，
这些近似值可以用上面的对分法求得．
迭代形式一：

收敛 (很可能收敛，下同)
不收敛 (很可能不收敛，下同)
  不收敛
迭代形式二：

    收敛
   不收敛
  不收敛
迭代形式三：

不收敛
收敛
收敛
具体实验4：迭代法的加速1——松弛迭代法
，，
迭代公式为

程序参见附录4．
具体实验5：迭代法的加速2——Altken迭代法
迭代公式为：
，
，
程序参见附录5．
具体实验6：牛顿法
用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根．
提示：，迭代公式：

程序参见附录6 （牛顿法程序）．
具体实验7：其他方法
求下列代数方程（组）的解：
（1）
命令：solve('x^5-x+1=0')
（2）
命令：[x, y]=solve('2*x+3*y=0', '4*x^2+3*y=1')
(3)  求线性方程组的解，已知，
命令：
for i=1:5
for j=1:5
m(i, j)=i+j-1;
end
end
m(5, 5)=0;
b=[1:5]'
linsolve(m, b)
思考：若，或是类似的但阶数更大的稀疏方阵，则应如何得到？
1．对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗? 为什么?
2．对照具体实验2、4、5，你可以得出什么结论?
3．选择适当的迭代过程，分别使用：（1）普通迭代法；（2）与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法．求解方程在 1.4 附近的根，精确到4位小数，请注意迭代次数的变化．
4．分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程 的正的近似根，．(建议取．时间许可的话，可进一步考虑的情况．)