耿莲凤的丈夫照片:快速复习圆的有关性质

课题:《圆的有关性质》复习课（巴顿先生课堂随记）

教学目标:

知识目标：

（1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系；

（2）掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算；

（3）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。

能力目标：

通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。

情感目标：

    通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。

教学的难点和重点：

重点是垂径定理和圆周角定理；

难点是运用这两个定理进行计算和论证。

教学过程：

一、展现本节课复习的知识目标，指出重点和难点。

二、知识点填空：

将知识点编印成填空题的形式，布置学生预习并完成填空，教师在课堂上点评。

一、知识点填空：

1、圆是                                            点的集合。

2、能够重合的两个圆叫         ，同圆或等圆的半径            。

3、在同圆或等圆中，能够互相           的弧叫等弧。

4、圆既是轴对称图形又是            图形；                   是它的对称轴，       是它的对称中心。

5、设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则

（1）点在圆外 d    r；（2）点在圆上 d    r；（3）点在圆内 d     r

6、                    的三个点确定一个圆。

7、三角形外接圆的圆心叫做三角形的     ，该圆心是三角形各边     的交点。

8、如图，根据垂径定理及推论填空：

1)      若MN⊥AB，MN又是直径，则          、         、          ；

2)      若AC=BC，MN是直径，AB不是直径，则          、           、         ；

3)      若MN⊥AB，AC=BC，则           、          、          ；

4)      若， ，MN是直径，则            、         、         ；

9、如图，在⊙O中，若AB∥CD，则 =          。

10、已知如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距

（1）若AB=CD，那么          、         、          ；

（2）若OE=OF，那么          、          、         ；

（3）若 ，那么          、          、          ；

（4）若∠AOB=∠COD，那么          、          、          。

11、如图，若∠AOB=60°，则 的度数为          ，

 ∠ACB=          。

12、半圆（或直径）所对的圆周角是        ；90°的圆周角

所对的弦是       。

13、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是      

三角形。

14、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=50°，∠B=100°，则

∠D=       ，∠DCE=          。

三、典型题的讲练：

1．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于D，若AB=16cm，CD=4cm，

则⊙O的半径为        。

2．半径为5cm的圆中有两条平行弦，长度分别为6cm和8cm，

则这两条弦的距离为             。

3．如图，D是弧AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是（        ）

A．7个        B。3个          C。2个             D。1个

4．在△ABC中，O为外心，∠A=92°，则∠BOC的度数为：（         ）

A．88°       B。92°          C。184°           D。176°

5．圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比为3：2：7，则∠D的度数为           。

6．若圆的弦长等于这个圆的半径，则此弦所对的圆周角是             度。

四、题图变形与题组训练：

例1．    如图1，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AF是弦，过点O作OC⊥AF于C。求证：OC= BF。

    （提问学生回答证明思路）

使用电脑动画向下移动弦AF的位置，变换问题：

例2．    如图2，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，求证：EC=DF。（初三几何P84 A组12题）

（分析思路后由学生写出证明过程）

证明：过点O作OM⊥CD，垂足为M。

      则由垂径定理知MC=MD

      ∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF

      ∴AE∥OM∥BF

    又∵OA=OB

      ∴ME=MF

      ∴ME—MC=MF—MD

即EC=DF。

（证明完成后可启发学生思考：如何通过证全等三角形的思路来证明此题，适当提示后由学生课后完成）。

同题异图，殊途同归。（使用电脑动画向上移动弦AF的位置）

练习1：如图3，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，求证：EC=DF。

（通过电脑演示使学生直观地发现此题与上题实属同题异图，证明方法同上题）

将例2中的EF向下平移至与⊙O相切，其它条件基本不变，演变成下题：

例3．    如图4，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且BF交⊙O于I。

求证：（1）EC=CF；

     （2）AC平分∠EAB；(初三几何P108页例2，P122页例1)

     （3）AE=IF；

分析：

（1）的证明可由例2，例3类比得到，但要指出学生常犯的一种错误证法：

如：连结OC，∵EF切⊙O于C

             ∴OC⊥EF

             由垂径定理知EC=CF。

（2）的证明可有两种证法：一是连结OC，利用切线的性质加以证明；二是连结BC，利用圆周角定理的推论2及弦切角定理加以证明；并指出同理可证BC平分∠ABF。

（3）的证明也有两种证法：一是连结AI，证明四边形AEFB是矩形；二是往证RT△AEC≌RT△IFC。同时指出有以下结论：AC=IC，∠ACE=∠ICF。

思维迁移练习：

练习2：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，EF与⊙O相切于点A，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=DF，CD的延长线交直线EF于点G。

求证：（1）△AEB≌△AFD；（2001年省中考题第24题）

（2）

五、小结和布置作业：

本节课我们复习了“圆的有关性质”，这一部分的知识是整章《圆》的基础，同学们一定要重视，要注重对课本例题和习题的复习，注意知识的综合应用。

作业：完成“升学指导”P127—P128的练习；

补充：（写在作业本上）

1．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。求证：AE=BF

2． 如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且BF交⊙O于I。

求证：（1）EF² = 4AE·BF

（2）若AE=a，EF=b，BF=c，求证：EC、CF的长是方程 的两个根。