一路上有你女声版铃声:蔡天新：数学与人类文明(二)

古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复兴时期意大利的作家和艺术家一样。
    ——作者
    
    一、数学家的诞生
    
    1、希腊的登场
    
    大约在公元前7世纪，在今天的意大利南部、希腊和小亚细亚一带兴起了希腊文明，在许多方面不同于上篇讲述的埃及和巴比伦文明。按照英国作家韦尔斯的说法，巴比伦和埃及经过了长期的发展，从原始农业社会开始，围绕着庙宇和祭司缓慢地成长起来，而希腊牧民是个外来的民族，他们侵占的土地上本来就有农业、航运、城邦甚至文字。因此，希腊人并没有产生自己的文明，而是破坏了一个文明，并在它的废墟上重新集合成另一个文明。也正因为这个原因，当后来被马其顿人攻占，希腊人也能坦然接受，并把入侵者同化了。
    
    正如罗素在谈及埃及人和巴比伦人时所言，宗教的因素约束了智力的大胆发挥。埃及人的宗教主要是关心死后的日子，金字塔就是一群陵墓建筑；而巴比伦人对宗教的兴趣主要在于现世的福利，记录星辰的运动以及进行有关的法术和占卜，也都是为了这个目的。可是在希腊，既没有相当于先知或祭司那样的人，也没有一个君临一切的耶和华的概念。游牧出身的希腊人有着勇于开拓的精神，他们不愿意因袭传统，更喜欢接触并学习新鲜的事物。例如，希腊人把他们使用过的象形文字悄悄地改换成腓尼基人的拼音字母。
    
    另一方向，每一个到过希腊的游客都会发现，这个国家的土地崎岖不平，贫瘠的山脉把国土分隔，陆路交通极为不便。没有通畅的河流和水网，仅有少量肥沃的平原。当无法容纳所有的居民时，有些人便渡海去建设新的殖民地。从西西里岛、南意大利到黑海之滨，希腊人的城镇星罗棋布。既然有如此多的移民，返乡探亲和贸易往来便不可缺少，于是定期航线把东地中海和黑海的各个港口相连。加上早先由于地震移居到小亚细亚的克里特人，希腊人与东方的接触越来越多。
    
    本来，希腊离开两大河谷文明不远，易于吸取那里的文化。现在，当大批游历埃及和巴比伦的希腊商人、学者返回故乡，他们带回了那里的数学和科学知识。在城邦社会特有的唯理主义氛围中，这些经验的算术和几何法则被上升到具有逻辑结构的论证数学体系中。人们常常这样发问，“为什么等腰三角形的两底角相等？”“为什么圆的直径能将圆两等分？”美国数学史家伊夫斯指出，古代东方以经验为依据的方法，在回答“如何”这个问题时，是自信满满的，但当答复更为科学的追问“为什么”时，就不那么胸有成竹了。
    
    最后，我们来谈谈希腊的城邦和政治特色，如同前面提到的，希腊早就有了城邦，但与东方文明古国不同，这些城邦始终处于割据状态，这当然与它的地理因素有关，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上。再来看希腊的社会结构，它主要由贵族和平民两个阶级构成（有些地区有原住民充当农民、技工或奴隶），他们并不彼此截然分开，在战争中同属一个国王领导，而这个国王不过是某个贵族家庭中的首领。这样一来，这个社会便容易产生民主和唯理主义氛围。这一切，都为希腊人在世界文明的舞台上准备好了一个重要的角色。
    
    2、论证的开端
    
    在人类文明史上不乏接踵而至那样的巧合，古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复兴时期的意大利作家和艺术家一样。在大诗人但丁降生佛罗伦萨的第二年，这座城市又诞生了那个世纪最杰出的艺术家乔托, 意大利人一般认为, 艺术史上最伟大的时代, 就是从他开始的。而按照贡布里奇爵士的说法，在乔托以前, 人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠和裁缝一样，他们甚至经常不在自己的作品上署名, 而在乔托以后, 艺术史就成了艺术家的历史。
    
    相比之下，数学家却要幸运得多，第一个扬名后世的数学家是希腊的泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前625-前547），他生活的年代比乔托早了18个世纪。泰勒斯出生在小亚细亚的米利都城（今天土耳其亚洲部分西海岸一条叫门德雷斯的河口），其时它是希腊在东方最大的城市，周围的居民大多是爱奥尼亚移民，那个地区也被称作爱奥尼亚。这座城市里商人统治代替了氏族贵族政治，因而思想较为自由和开放，产生了多位文学界和科学哲学界的著名人物，相传诗人荷马也来自爱奥尼亚，但不知是否来自米利都。
    
    对于泰勒斯的生平，我们主要依赖于后世哲学家的著作。他早年经商，曾游历巴比伦和埃及，很快便学会并掌握了那里的数学和天文学知识，他本人的研究除了这两个领域以外，还涉及物理学、工程和哲学。亚里士多德讲到一则故事，有一年，泰勒斯预见到橄榄必然获得特大丰收，于是提前低价垄断了该地区的所有榨油机，后来果然如他所料，便高价出租，结果获得巨额财富。他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果你真的聪明的话，为什么不发财呢？
    
    柏拉图记述了另一桩轶事，有一次泰勒斯仰观天象，不小心跌进沟渠中，一位美丽的女子嘲笑他说，近在足前都看不见，怎么会知道天上的事情呢？对此泰勒斯并未回应，倒是雅典执政官的发问刺痛了他。据传记作家普鲁塔克记载，有一天梭伦来米利都探望泰勒斯，问他为何不结婚。泰勒斯当时未予回答，几天以后，梭伦得到消息，他的儿子不幸死于雅典，这令他悲痛欲绝。这时候泰勒斯笑着出现了，在告之消息是虚构的以后，说明这就是自己不愿娶妻生子的原因，他害怕面对失去亲人的痛苦。
    
    科学史上的第一个数学史家欧德莫斯曾经写道，“……（泰勒斯）将几何学研究（从埃及）引入希腊，他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理。”传说泰勒斯根据人的身高和影子的关系测量出埃及金字塔的高度，而柏拉图的一位门徒在书里写到，泰勒斯证明了平面几何中的四条命题：即圆的直径将圆分成两个相等的部分；等腰三角形的两底角相等；两条相交直线形成的对顶角相等；如果两个三角形有两角、一边对应相等，那么这两个三角形全等。
    
    当然，泰勒斯最有意味的工作是如今被称作“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。更为重要的是，他引入了命题证明的思想，即借助一些公理和真实性已经得到确认的命题论证，这是数学史上的一次不同寻常的飞跃。虽然没有原始文献可以证实泰勒斯取得了所有这些成就，但以上记载流传至今，使得他获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名，而“泰勒斯定理”自然也就成了数学史上第一个以数学家名字命名的定理。
    
    在数学以外，泰勒斯也成就非凡。他认为，阳光蒸发水分，雾气从水面上升而形成云，云又转化为雨，因此断言水是万物的本质。虽然此观点后来被证明是错误的，但他敢于揭露大自然的本来面目，并建立起自己的思想体系（例如认定地球是个圆盘，漂浮在水面上），因此被公认为是希腊哲学的鼻祖。在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于泰勒斯。从希罗多德那里，我们知道他准确地预测过一次日食。欧德莫斯则相信，他已经知道按春分、夏至、秋分和冬至来划分的四季是不等长的。
    
    3、毕达哥拉斯
    
    在泰勒斯的引导下，米利都接连又产生了两位哲人，阿那克西曼德和阿那克西米尼，还有一位作家赫卡泰奥斯（他不仅用简洁优美的文笔写出了最早的游记，同时也是地理学和人种学的先驱）。阿那克西曼德认为世界不是由水组成的，而是由特殊的不为我们熟知的某种基本形式组成的，他认为地球是一个自由浮动的圆柱体。不仅如此，他还创造出一种归谬法，并由此推断出人是由海鱼演化而来的。阿那克西米尼的观点又有所不同，他认为世界是由空气组成的，空气的凝聚和疏散产生了各种不同的物质形式。
    
    在离开米利都城只有一箭之遥的爱琴海上，有一座叫萨摩斯的小岛。岛上的居民比陆地上保守一些，盛行一种没有严格教条的奥尔菲主义，经常把有共同信仰的人召集在一起。这或许是让哲学成为一种生活方式的开端。这种新哲学的先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前580-前500），他成年后离开萨摩斯岛，到米利都求学，可是泰勒斯却以年事已高为由拒绝了他，但建议他去找阿那克西曼德。毕达哥拉斯不久发现，在米利都人眼里，哲学是一种高度实际的东西，这与他本人超然于世界的冥想习惯相反。
    
    按照毕达哥拉斯的观点，人可以分三类，最低层是做买卖交易的，其次是参加（奥林匹克）竞赛的，最高一层是旁观者，即所谓的学者或哲学家。之后，毕达哥拉斯离开了米利都，独自一人一路游历来到埃及，在那里居住了十年，学习了埃及人的数学。后来，他在埃及作了波斯人的俘虏，又并被掳到了巴比伦，在那里又住了五年，掌握了更为先进的数学。加上旅途的停顿，当毕达哥拉斯乘船返回自己的故乡，时间已经过去了19年，比后来中国的法显和玄奘法师到印度取经所花时间还久。
    
    没想到的是，保守的萨摩斯人仍无法容纳毕达哥拉斯的思想，他只好再度漂洋过海，到意大利南部的克罗内托，在那里安顿下来，娶妻生子并广收弟子，形成了所谓的毕达哥拉斯学派。尽管这个社团是个秘密组织，有着严格的纪律，但他们的研究成果并没有被宗教思想所左右，反而形成了一个传递两千多年的科学（主要是数学）传统。“哲学”和“数学”两个词本身便是毕达哥拉斯本人所创造的，前者的意思是“智力爱好”，后者的意思是“可以学到的知识”。
    
    毕达哥拉斯学派的数学成就主要包括：毕达哥拉斯定理，特殊的数和数组的发现如完美数、友好数、三角形数、毕氏三数，正多面体作图，根号2的无理性，黄金分割，等等。这些问题中有的保留至今（完美数、友好数），有的被应用日常生活的方方面面，有的如毕氏定理则提炼出了费尔马大定理这样深刻而现代的定律。与此同时，毕达哥拉斯学派注重和谐与秩序，并重视限度，认为这即是善，同时强调形式、比例和数的表达方式的重要性。
    
    更为难得的是，毕达哥拉斯的思想持续影响了后世的文明。在中世纪时，他被认为是“四艺”（算术、几何、音乐、天文）的鼻祖。文艺复兴以来，他的观点如黄金分割、和谐比例均被应用于美学。16世纪初期，哥白尼自认为他的“日心说”是属于毕达哥拉斯的哲学体系，稍后，自由落体定律的发明者伽利略也被称之为毕达哥拉斯主义者，而17世纪创建微积分学的莱布尼兹则自认为是继承毕达哥拉斯传统的最后一位哲学家和科学家。
    
    谈到音乐，这在毕达哥拉斯看来，是最能对生活方式起到净化作用的。他发现了音程之间的数的关系。一根调好的琴弦如果长度减半，将会奏出一个高八度音。同样地，如果缩短到三分之二，就奏出一个第四音，如此等等。调好的琴弦和和谐的概念在希腊哲学中占据重要地位。和谐意味着平衡，对立面的调整和联合，就像音程适当调高调低。罗素认为，伦理学（又称道德哲学）里中庸之道等概念，可以溯源到毕达哥拉斯的发现。
    
    音乐上的这类发现也直接导出了“万物皆数”的理念，这可能是毕达哥拉斯哲学最本质的东西，它区别开了米利都的三位先哲。在毕达哥拉斯看来，一旦掌握了数的结构，就控制了世界。在此以前，人们对数学的兴趣主要源于实际的需要，例如埃及人是为了测量土地和建造金字塔，而到了毕达哥拉斯那里，却是（按希罗多德的说法）“为了探求”。这一点从毕达哥拉斯对“数学”和“哲学”的命名也可以看出，又如，“计算”一词的原意是“摆布石子”。
    
    二、柏拉图学园
    
    1、芝诺的乌龟
    
    毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，因而在希腊民主力量高涨时受到冲击并逐渐瓦解，毕达哥拉斯本人也逃离了克罗托内，不久被杀。在持续不断的波（斯）希（腊）战争之后，雅典成为获胜的希腊的政治、经济和文化中心，希腊数学和哲学也随之走向繁荣，并产生了许多学派。第一个著名的学派叫伊利亚学派，创建人是毕达哥拉斯学派成员巴门尼德，他居住在意大利南部伊利亚，代表人物是他的学生芝诺（Zeno, 约公元前490-430），师徒俩堪称前苏格拉底时期最有智慧的希腊人。
    
    巴门尼德是少数几个用诗歌的形式表达哲学观点的希腊哲学家之一，他留下的诗集《论自然》残片第一部分叫《真理之路》，包含了后来的哲学家们十分感兴趣的逻辑学说。巴门尼德认为，存在物的多样性及其变化形式和运动，不过是惟一永恒的存在之现象而已，于是产生了“一切皆一”的巴门尼德原理。巴门尼德认为无法想到的东西不能存在，因此能存在的是可以被想到的，这就与前辈哲学家赫拉克利特的“它存在又不存在”相对抗。他还引入理性证明的方法，作为论断的基础，因而被看作形而上学的创立者。
    
    柏拉图在对话《巴门尼德》篇里，记叙了巴门尼德和他的弟子芝诺去雅典的一次访问，其中写到：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发灰白，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的人了。”虽然后世的希腊学者推测这次访问是柏拉图虚构的，但却认为书中对芝诺观点的描写是准确可靠的。据信芝诺为巴门尼德的“存在论”作了辩护，但是不像他的老师那样从正面去证明存在是“一”而不是“多”，他用归谬法去反证：“如果事物是多数的，将要比“一”的假设得出更可笑的结果。”
    
    这一方法就成了所谓“芝诺悖论”的出发点，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个不同的悖论。可惜由于著作失传，至今只留下来8个，其中以4个关于运动的悖论最为著名，这依赖于亚里士多德的《物理学》等著作的记载。即便是这几个悖论，后人的领会也是不得要领，他们认同亚里士多德的引述，认为它们只不过是些有趣的谬见而加以批判。直到19世纪下半叶，学者们重新研究芝诺的悖论，才发现它们与数学中连续性、无限性等概念紧密相关。
    
    下面我们来依次介绍芝诺的4个运动悖论，括号内的是文字是亚里士多德《物理学》中的原话。
    
    一、二分说。“运动不存在。原因在于，移动事物在到达目的地之前必须先抵达一半处。”
    
    二、阿基里斯追龟。阿基里斯（荷马史诗《伊利亚特》中善跑的猛将）永远追不上一只乌龟，因为阿基里斯每次必须首先跑到乌龟的出发点。
    
    三、飞箭静止说。“如果移动的事物总是在‘现在’占有一个空间，那么飞驰的箭也是不动的。”
    
    四、运动场。空间和时间不是由不可分割的单元组成。例如，运动场跑道上有三排队列A、B、C，令A往右移动，C往左移动，其速度相对于B而言均是每瞬间移动一个点。这样一来，A就在每个瞬间离开C两个点的距离，因而必存在一更小的时间单元。
    
    前两个悖论针对的是事物无限可分的观点，而后两个则蕴涵着不可分无限小量的思想。要澄清这些悖论需要高等数学的知识，尤其是极限、连续和无穷集合等概念，这在当时的希腊人看来是无法理解的，因此包括亚里士多德在内的智者也不能给出解释。可是，亚里士多德分明注意到了，芝诺是从对方的论点出发，再用反证法将其论点驳倒，因此，他称芝诺是雄辩术的发明者。当然，这一切首先是由于希腊的言论自由和学派林立的氛围给了学者们探求真理的机会。
    
    芝诺自幼在乡村长大，运动是他所热爱的，也许他提出这些悖论纯粹出于好奇和好胜，并非要给城里的大人物们制造恐慌。可是，正如E·T·贝尔所言，芝诺曾“以非数学的语言，记录下最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”在2400年以后的今天，人们已经明白，芝诺的名字将永远不会从数学史或哲学史中消除。黑格尔指出，芝诺主要是客观而辨证地考察了运动，因此他称芝诺是“辨证法的创始人。”
    
    2、柏拉图学园
    
    现在我们要谈论古希腊三大哲学家之一的柏拉图（Plato，公元前427-347），还有两位分别是他的老师苏格拉底和学生亚里士多德。这三位都与雅典有关，苏格拉底和柏拉图出生在雅典，亚里士多德则在那里学习之后又执教。苏格拉底既无著作流传后世，也没有建立什么学派，有关他的生平和哲学思想我们主要通过柏拉图和另一位弟子色诺芬来了解。后者是一位将军，同时也是历史学家和散文家。苏格拉底在数学方面并无太大的建树，但正如两位弟子所评价的，他在逻辑学上有两大贡献，即归纳法和一般定义法。
    
    苏格拉底对柏拉图的影响是无法估量的，尽管后者出生于显赫家庭，而前者的双亲分别是雕刻匠和助产士。苏格拉底貌不惊人，且不修边幅，却对肉体有着惊人的克制力，有时说话时突然停下来陷入沉思。尽管很少饮酒，但每饮必有酒友滚倒在桌子底下而他自己毫无醉意。苏格拉底之死（因受指控腐蚀雅典青年的灵魂而被判服毒），以及临死前表现出来的大无畏精神，给了柏拉图以深深的刺激，使他放弃了从政的念头，终其一生投入哲学的研究，他称他的导师是“我所见到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。
    
    苏格拉底死后，柏拉图离开了雅典，开始了长达10年（或许是12年）的漫游，先后游历了小亚细亚、埃及、昔兰尼（今利比亚）、南意大利和西西里等地。途中柏拉图接触了多位数学家，并亲自钻研了数学。返回雅典之后，柏拉图创办了一所颇似现代私立大学的学园（Academy）。学园里有教室、饭厅、礼堂、花园和宿舍，柏拉图自任校长，他和他的助手们讲授各门课程。除了几次应邀赴西西里讲学以外，他在学园里度过了生命的后四十年，而学园本身则奇迹般地存在了9百年。
    
    作为哲学家，柏拉图对欧洲的哲学乃至整个文化、社会的发展，有着深远的影响。他一生共撰写了36本著作，大部分用对话的形式写成。内容主要关于政治和道德问题，也有的涉及形而上学和神学。例如，在《国家篇》里他提出，所有的人，不论男女，都应该有机会展示才能，进入管理机构。在《会饮篇》里这位终生未娶的智者也谈到了爱欲，“爱欲是从灵魂出发，达到渴求的善，对象是永恒的美。”用最通俗的话讲就是，爱一个美人，实际上是通过美人的身体和后嗣，求得生命的不朽。
    
    虽然柏拉图本人并没有在数学研究方面作出特别突出的贡献（有人将分析法和归谬法归功于他），却是那个时代希腊数学活动的中心，大多数重要的数学成就均由他的弟子取得。例如，一般整数的平方根或高次方根的无理性研究（包括由无理数的发现导致的第一次数学危机的解脱），正8面体和正20面体的构造，圆锥曲线和穷竭法的发明（前者的发明是为了解决倍立方体问题*），等等，甚至连大数学家欧几里德早年也来阿卡德米攻读几何学，这一切使得柏拉图及其学园赢得了“数学家的缔造者”的美名。
    
    对数学哲学的探究，也起始于柏拉图。在他看来，数学研究的对象应该是理念世界中永恒不变的关系，而不是感觉的物质世界的变化无常。他不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，也把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格区分。举例来说，三角形的理念是惟一的，但存在许多三角形，也存在相应于这些三角形的各种不完善的摹本，即具有各种三角形形状的现实物体。这样一来，就把起始于毕达哥拉斯的对数学概念的抽象化定义又向前推进了一步。
    
    在柏拉图的所有著作中，最有影响的无疑要数《理想国》了。这部书由10篇对话组成，核心部分勾勒出形而上学和科学的哲学。其中第6篇谈及数学假设和证明。他写到，“研究几何、算术这类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及诸如此类的东西是已知的。……从已知的假设出发，以前后一致的方式向下推，直至得到所要的结论。”由此可见，演绎推理在学园里已经盛行。柏拉图还严格把数学作图工具限制为直尺和圆规，这对于后来欧几里德几何公理体系的形成有着重要的促进作用。
    
    谈到几何学，我们都知道那是柏拉图极力推崇的学问，是他构想的要花费10年学习的精密科学的重要组成部分。柏拉图认为创造世界的上帝是一个“伟大的几何学家”，他本人对五种正多面体的特征和作图有过系统的阐述，以至于它们被后人称为“柏拉图体”。从公元6世纪以来广为流传的一则故事说，在柏拉图学园门口刻着，“不懂几何学的人请勿入内”。无论如何，柏拉图充分意识到了数学对探求人类理想的重要性，在他晚年的一部著作中，他甚至把那些无视这种重要性的人形容为“猪一般”。
    
    3、亚里士多德
    
    公元前347年，柏拉图在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世，享年80岁。虽然没有记载，但参加他葬礼的人中间，应该有他亲自教诲过的学生亚里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）。自从17岁那年被监护人送入柏拉图学园，他已经跟随老师整整20年了。亚里士多德无疑是学园培养的最出色的学生，他后来成为世界古代史上最伟大的哲学家和科学家，对西方文化的取向和内容有着深远的影响，是其他任何思想家无法相比的。
    
    亚里士多德出生在希腊北部哈尔基季基半岛上，当时是马其顿的领土（如今是希腊北部的旅游中心），其父曾担任马其顿国王的御医。或许是受父亲的影响，他对生物学和实证科学饶有兴趣，而在柏拉图的影响下，他后来又迷恋上哲学推理。在柏拉图死后，亚里士多德开始了漫游（正像苏格拉底去世后柏拉图开始漫游一样）。他和他的同学兼好友先到小亚细亚的阿苏斯停留了三年，接着到附近莱斯沃斯岛上的米蒂利亚创办了一个研究中心（这两处地方的地理位置恰如南面的米利都和萨摩斯岛），开始了生物学的研究。
    
    42岁那年，亚里士多德应马其顿国王菲力二世的邀请，来到首都培拉担任13岁的王子亚历山大的家庭教师。他试图依照荷马史诗《伊利亚特》中的英雄塑造王子，使其体现希腊文明的最高成就。三年之后，亚里士多德返回了故乡。直到公元前335年亚历山大继承了王位，他又来到了雅典，并创办了自己的学园（吕园）。此后的12年间，除了研究和写作，他把自己的精力投入到吕园的教学和管理事务上。据说亚里士多德授课时喜欢在庭园里边走边讲，以至于今日英文里演讲或论述一词（discourse）的原意就是“走来走去”。
    
    吕园和学园均坐落在雅典的郊外，只不过柏拉图的兴趣偏向数学方面，而亚里士多德的兴趣却在生物学和历史方面。但亚里士多德毕竟在学园里熏陶了20年，因而继承了柏拉图的部分数学思想。他对定义作了更为细致的讨论，同时深入研究了数学推理的基本原理，并将它们区分为公理和公设。在他看来，公理是一切科学共同的真理，而公设则是为某一门科学所特有的最初原理。
    
    亚里士多德在数学领域里最重要的贡献是将数学推理规范化和系统化，其中最基本的原理是矛盾律——一个命题不能既是真的又是假的，和排它律——一个命题要么是真的，要么是假的，两者必居其一，这两条早已成为数学证明的核心。在哲学领域，亚里士多德最大的贡献在于创立了形式逻辑学，尤其是俗称三段论的逻辑体系，这是他百科全书式的众多建树中的一个支柱。形式逻辑被后人奉为推理演绎的圭臬，在当时，则为欧几里德几何学奠定了方法论的基础，后者是希腊数学黄金时代的标志性成就。
    
    三、亚历山大学派
    
    1、《几何原本》
    
    比起我们前面讲到的人物来，欧几里得出生得都要晚，但却没有留下任何生活细节或线索。我们甚至不知道他到底出生在哪个洲，欧洲、非洲还是亚洲？至于他的生卒年我们更是无从知晓。我们只知道，他曾在雅典的柏拉图学园学习，后来（大约在公元前300年前后）受聘来到埃及的亚历山大大学数学系任教，并留下一部《几何原本》的数学著作。由于这部书作为教科书被广泛地使用了两千多年，加上几何学和数学对人类智慧的重要性，他被认为是所有数学家中对世界历史的进程最有影响力的一位。
    
    现在我必须要介绍一下亚历山大里亚这座城市。在伯罗奔尼撒战争以后，希腊处于政治上的分裂时期，北方的马其顿人乘虚而入，不久便攻陷了雅典。等到年轻的亚历山大继承了王位，在为希腊的文明所折服的同时，他开始实施征服世界的野心，在他的军队取得节节胜利的同时，也选择良好的位置建造一座座新的城市。当亚历山大占领埃及之后，便在地中海边的一个地方建起一座以他自己名字命名的城池，那是在公元前332年。他不仅请来最好的建筑师，还亲自监督规划、施工和移民。
    
    9年以后，亚历山大远征印度回来，在巴比伦暴病身亡，年仅32岁。之后，他的庞大帝国一分为三，但仍然联合在希腊文化的旗帜下。等到托勒玫统治埃及，他便把亚历山大里亚定为首都。为了吸引有学问的人到这座城市来，他下令建立了著名的亚力山大大学，其规模和建制堪与现代大学相比。该大学的中心是大图书馆，据说藏有60多万卷纸草书。那以后，亚历山大便成为希腊民族精神和文化的首都，持续了将近一千年。直到19和20世纪，希腊最负盛名的现代诗人卡瓦菲仍选择在亚历山大里亚度过大半生。
    
    欧几里得正是在上述背景下来到亚历山大里亚的，他的《几何原本》应是在此期间写成的。书中提出的几乎所有定理在他之前就已经为人知晓，使用的证明也大体如此。但他却将这些已知的材料做了整理和系统的阐述，包括对各种公理和公设作了适当的选取。后一项工作并不容易，需要超乎寻常的判断力和洞察力。之后，他非常仔细地将这些定理做了安排，使得每一个定理与以前的定理在逻辑上保持一致。欧几里得因此被公认为是古希腊几何学的集大成者，《几何原本》该书问世以后，很快取代了以前的几何教科书。
    
    在这部古代世界（也可以说是所有年代）最著名的教科书里，欧几里得从定义、公设和公理出发，他把点定义为没有部分的一种东西，线（现在称为弧线和曲线）是没有宽度的长度，直线是其上各点无曲折排列的线，等等。全书共分13篇，其中1-6篇讲的是平面几何，7-9篇讲的是数论，第10篇讲的是无理数，11-13篇讲的是立体几何。全书共收入465个命题，用到了5条公设和5条公理。众所周知，对第5公设的证明或替换的尝试导致了19世纪非欧几何学的诞生，我们以后将会详细谈论这一点。
    
    在这里，我想特别介绍一下数论部分，它们中相当一部分仍然出现在今天的初等数论教科书中。例如，第7篇谈到了两个或两个以上正整数的最大公约数的求法（今称为欧几里得算法），并用它来检验两个数是否互素。第九篇中命题14相当于算术基本定理，即任何大于一的数可以分解成若干素数的乘积；命题20讲的是素数无限多个，其证明被普遍认为是
    数学证明的典范，至今每本数论教科书不可或缺；命题36给出了著名的偶数完美数的充要条件，这个源自毕达哥拉斯的问题至今无人能够彻底解决。
    
    现在我要讲述两则有关欧几里得的轶事，它们均来自他的希腊数学同行对《几何原本》的注释读本。据说有一次，国王托勒玫向欧几里得询问学习几何学的捷径时，他脱口回答，“几何学中没有王者之路”。还有一次，当有一个跟欧几里得学习几何学的学生问他，学这门功课会得到什么时，欧几里得没有直接回答，而是命令一个奴仆给他一个便士。然后说，“因为他总想着从学习中捞到什么好处。”
    
    自从谷登堡在15世纪中叶发明活字印刷术以来，《几何原本》在世界各地已经出版了上千个版本，它被认为是现代科学产生的一个主要因素，甚至思想家们也为它完整的演绎推理结构倾倒。值得一提的是，由于亚历山大图书馆相继被罗马军队和偏激的基督徒烧毁，这部著作最完整的拉丁文版本是从阿拉伯文转译的。它被意大利传教士利玛窦和徐光启译成中文已是17世纪的事情了，且仅译出前6篇；整整两个半世纪以后，才由英国传教士伟烈亚力和李善兰译出较为完整的译本。
    
    2、阿基米德
    
    欧几里得来到亚历山大大学以后，使得该校数学系名声大震（他可能是系主任），引来各方青年才俊，其中最著名的当数阿基米德（Archimedes，公元前287-前212）。由于有多位罗马历史学家描述记载，阿基米德的生卒年较其他数学家更为可靠。他出生在西西里岛东南的叙拉古（又译锡拉库萨），与国王、王子或亲戚或朋友，其父是天文学家。早年阿基米德在埃及跟随欧几里得的弟子学习，回到故乡以后仍然和那里的人们保持密切的通信联系（他的学术成果多半通过这些信件得以发表和保存），因此可以算是亚历山大学派的成员。
    
    阿基米德的著述甚丰，且多为论文手稿而非大部头著作的形式，这也可谓是数学史上的第一人。这些论著的内容涉及数学、力学及天文学，流传至今的几何学方面的有《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论球和圆柱》、《论劈锥曲面和旋转椭球》、《论平面图形的平衡或重心》，力学方面的有《论浮体》、《处理力学问题的方法》，还有一部给小王子写的科普著作《沙粒的计算》（后来他善待了阿基米德）。此外，他还有一部仅存拉丁文的著《引理集》和一部用诗歌语言写的《牛群问题》，标题是给亚历山大的数学家厄拉托塞尼的信。
    
    在几何学方面，阿基米德最善长探求面积和体积及其相关的问题，这方面他胜过欧几里德一筹。例如，他把穷竭法用于计算出圆的周长，他从圆内接正多边形着手，随着边数的逐渐增加，计算到96边时得到了圆周率的近似值22/7，这个值准确到小数点后两位，即3.14，那是公元前人类所获得的圆周率最好的结果。用类似的方法他还证明了，球的表面积等于大圆的四倍，这样一来，球面积的面积计算公式也有了。
    
    可是，穷竭法只能严格证明已知的命题，但却不能用来发现新的结果，为此阿基米德发明了一种平衡法，其中蕴涵着极限的思想并借助了力学上的杠杆原理，同时它是近代积分学里微元法的雏形，例如，球的体积公式（r为圆半径）
    
    V =（4/3）лr^3
    
    就是阿基米德用这个方法首先推算出来的，接着他用穷竭法给出了证明。这种发现和求证的双重方法无疑是阿基米德的独创，用这个方法他还得到，抛物线上的弓形面积与其相应的三角形面积之比为4/3，等等。
    
    与欧几里得相比，阿基米得可以说是应用数学家，这方面有许多故事。古罗马的建筑学家维特鲁威有一部10卷本的《建筑学》，其主要理想是在神庙和公共建筑中保存古典的传统。这部书的第9卷记述了一则传诵千古的轶事，随着叙拉古国王的政治威望日益高涨，他为自己定做了一顶金皇冠。完工之后，却有人揭发说里面掺入了银子。国王只得邀请阿基米德来鉴定，一日他正苦闷着，在浴盆地泡澡，忽然觉得身体轻盈起来，原来是水溢出了盆面。阿基米德恍然大悟，发现固体的体积可放入水中得以测量，由此可以判断其比重和质地。
    
    更有意义的是，经过反复实验和思考以后，阿基米德还发现了流体力学的基本原理（又称浮体定律）：物体在流体中减轻的重量，等于排去的流体的重量。又据希腊最后一位伟大的几何学家帕波斯记载，阿基米德曾宣称，“给我一个支点，我可以移动地球！”据说为了让人相信这点，他曾亲手设计一组滑轮，使得国王亲手移动了一艘献给托勒玫的三桅大帆船。国王佩服得五体投地，当即宣布，“从现在起，阿基米德说的话我们都要相信。”即便在今天，通过巴拿马运河或苏伊士运河的巨轮，依然依靠有轨的滑轮车推动。
    
    其实，阿基米德之所以发出那样的豪言壮语，是因为他发明并掌握了杠杆原理。不仅如此，他还用他的智慧和力学知识保卫故乡，最后为国捐躯。事情是这样的，叙拉古的近邻迦太基*由于商业和殖民利益上的冲突，在公元前3世纪和2世纪与罗马人发生了三次战争，史称布匿战争，布匿（Punic）是由腓尼（Poeni）转化而来。其中第二次战争把与迦太基人结盟的叙拉古人也卷了进来。公元前214年，罗马将军马塞勒斯率领大军围攻叙拉古，有多部历史书记载了这场战争。
    
    叙拉古人先是用阿基米德发明的起重机之类的家伙把靠近岸边或城墙的船只抓起来，再狠狠地摔下去。又用强大的机械把巨石抛出去，形同暴雨，打得敌人仓皇逃窜。还有一种夸张的说法，阿基米德用巨大的火镜反射阳光焚烧敌船，不过另一种说话更加可信，即将燃烧的火球抛向敌船使之着火。最后，罗马人改用长期围困的策略，叙拉古终于因粮尽弹绝而陷落，正在沙盘上画图的阿基米德也被一名莽撞的罗马士兵用长矛刺死。阿基米德之死标志着希腊数学和灿烂文化走向衰败的开始，从此以后，罗马人开始了野蛮和愚昧的统治。
    
    3、其他数学家
    
    在罗马攻陷叙拉古之时，亚历山大学派的另一位代表人物阿波罗尼奥斯也快完成了一生的主要工作。他出生在小亚细亚，约比阿基米德年轻25岁，早年也在亚历山大大学跟随欧几里得的继任者学习数学，后来回到故乡，晚年又复返亚历山大里亚，并卒于该城。阿波罗尼奥斯最主要的贡献是写出了一部《圆锥曲线论》，第一次用直圆锥（或斜圆锥）得到所有的圆锥曲线，今天我们熟知的椭圆（ellipse）、双曲线（hyperbola）和抛物线*（parabola）也首次出现在这部书里的。
    
    阿波罗尼奥斯的圆锥是这样定义的，给定一个圆和该圆所在平面外面的一点，过该点和圆上的任意一点可连成一条直线（母线），让这根直线移动即得到所要的圆锥。然后，用一个平面去截圆锥，如果这个截平面不与底圆相交，所得的交线就是一个椭圆。如果相交但不与任何一条母线平行，所得的交线就是一条双曲线。如果相交且与其中一条母线平行，所得的交线就是一条抛物线。此外，他还研究了圆锥曲线的直径、切线、中心、渐进线、焦点，等等。
    
    阿波罗尼奥斯用纯几何的方法得到了将近两千年以后解析几何的一些主要结果，不禁令人赞叹。可是说，他的《圆锥曲线论》达到了希腊演绎几何的最高成就，因此他和欧几里得、阿基米德被后人合称为亚历山大前期的三大数学家，他们共同造就了希腊数学的“黄金时代”。在这以后，随着罗马帝国的扩张，雅典及其他许多城市的学术研究迅速枯萎了，可是由于希腊文明的惯性影响，尤其是罗马人对稍远的亚历山大里亚自由思想的宽松态度，那里仍产生了一批数学家和了不起的学术成果。
    
    亚历山大后期的数学家在几何学方面贡献不大，最值得一提的是海伦公式（数学家海伦而非美女海伦），即设三角形边长依次为a、b、c，s 是周长的一半，则其面积Δ为，
    
    Δ= 根号 s(s-a)(s-b)(s-c)
    
    后来人们才知道，这个公式是阿基米德发现的，但却没有收入他现存的书里。相比之下，三角学的建立更值得称道，这方面的工作收在一部天文学著作《天文学大成》里，作者是一位与国王托勒玫同名的数学家、地理学家和天文学家，此书因为提出“地心说”而在整个中世纪成为西方天文学的经典。当然，他出世时托勒玫王朝已经落幕，15任马其顿埃及国王均已过世。几何学中所谓的“托勒玫定理”是这样陈述的：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对边长乘积之和。
    
    不过，亚历山大后期希腊数学的一个重要特点是，突破了前期围绕着几何学的传统，而使算术和代数成为独立的学科。希腊人所谓的“算术”（Arithmetic）即今天的数论（number theory），不过这个词仍沿用至今，波兰的《数论学报》即取名Acta Arithmetic。在数论领域，在《几何原本》7-9卷之后，当数丢番图的《算术》，其全译本书通过阿拉伯文转译的。书中以不定方程的求解著称，此类方程又称丢番图方程，是指整系数的代数方程的整数解，一般来说，未知数的个数要多与方程的个数。
    
    这本书中最有名的问题要数第2卷问题8，丢番图这样表述：将一个已知的平方数表为两个平方数之和。17世纪的法国数学家费尔马在阅读此书的拉丁文译本时添加了一个注释，引出了后来举世瞩目的“费尔马大定理”。同样有趣的是丢番图的生平，一般认为他生活在公元250年前后。在6世纪元年前后收集的一本《希腊诗选》，其中有一首恰好是丢番图的墓志铭:
    
    坟墓里边安葬着丢番图，
    多么让人惊讶，
    他所经历的道路忠实地记录如下：
    上帝给予的童年占六分之一，
    又过了十二分之一，两郏长须，
    再过七分之一，点燃起婚礼的蜡烛。
    五年之后天赐贵子，
    可怜迟到的宁馨儿，
    享年仅及父亲的一半，便进入冰冷的墓。
    悲伤只有用整数的研究去弥补，
    又过了四年，他也走完了人生的旅途。
    
    这相当于解方程
    
    x/6 + x/12 + x/7 +5 +x/2 +4 = x
    
    x = 84。由此人们便知他活了84岁。
    
    亚历山大最后一位重要的数学家帕波斯生活的年代，中国数学家刘徽也已在世。和丢番图一样，他也有一本传世著作《数学汇编》，此书被视为希腊数学的安魂曲。其中最突出的一点是：在周长相等的平面封闭图形中，圆的面积最大，这个问题已涉及极值问题。书中还给出了解决倍立方体问题的四种尝试，其中第一种尝试是由公元前三世纪的埃拉托色尼给出的，此人是个大学问家，有“柏拉图第二”的美誉，但他无疑更多才多艺，同时还是一位诗人、哲学家、历史学家、天文学家和五项全能运动员。
    
    数论中有所谓埃拉托色尼筛法，提供了制造素数表的最初方法，有关偶数哥德巴赫猜想的研究依赖于这种方法及其变种。他还是第一个较为精确地计算出地球周长的人，而他在亚历山大大学的同事阿基米德所得结果相去甚远。埃拉托色尼最有实用价值的工作是，他率先划分出地球的五个气候带，这种划分沿用至今；他在分析比较了大西洋和印度洋的潮涨潮落之后，断定它们是相通的，也就是说，可以从海上绕过非洲，这为15世纪末葡萄牙人达·伽马从水陆到达印度提供了理论依据。
    
    四、结束语
    
    从以上论述中我们不难发现，希腊数学有两个显著的特点，一是高度的抽象化和演绎精神，二是它与哲学的关系非常密切。如果说埃及人和巴比伦人所积累的数学知识就像空中楼阁，或由沙子砌成的房屋，一触即溃。那么希腊人建造就是一座座坚不可摧的、永远的宫殿。如同音乐爱好者将音乐视为结构、音程和旋律的组合一样，希腊人也将美看作是秩序、一致、完整和明晰。柏拉图说了，“无论我们希腊人接受什么东西，我们都要将其改善并使之完美无缺。”
    
    不错，希腊人是天才的哲学家，他们热爱理性，爱好精神活动，这就使得他们与其他民族有了重要的区别。从公元前6世纪米利都的泰勒斯到公元前337年柏拉图去世，是数学和哲学的第一个蜜月，数学家和哲学家甚至同为一个人。之后的两千年里，无论是亚历山大的黄金时期，还是在中世纪，数学与哲学都渐行渐远。直到16世纪，“意大利人文主义思想尤其强调了毕达哥拉斯和柏拉图的数学传统，世界的数字结构再次受到重视，从而取代了曾使之黯然失色的亚里士多德传统。”（罗素语）
    
    幸亏希腊有许多原住民和被文明吸引过来的外来的奴隶，他们耕种土地、收获庄稼，从事城邦里各项具体的劳动和杂务。但终归，这样的生活在物质并非十分富足的情况下不会持久。讲究实效的罗马最后取代了精神至上的希腊，正如很久以后，热衷于物质进步的美国取代了理想主义的欧洲一样。公元415年，人类第一个有记载的女数学家希帕蒂娅在她的故乡亚历山大里亚被一群暴徒残杀，宣告希腊文明难以避免最后衰败的结局。
    
    希帕蒂娅的父亲是一位数学家兼哲学家，最权威的《几何原本》版本的注释者，她本人也是丢番图的《算术》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》的注释者，同时又是亚历山大城新柏拉图主义哲学家的领袖，以其美貌、善良和非凡的才智吸引了大批崇拜者。可惜，希帕蒂娅的所有注释本均已遗失，我们甚至不知道她是否写过哲学著作，只留下她的学生写给她的信件，信中讨教如何制造星盘和水钟的问题。
    
    随着希腊文明的全身隐退，欧洲将进入漫长的黑暗时代。下一篇我们将会看到，所谓三十年河东，三十年河西，这也为几个东方古国再度登上世界历史的舞台提供了契机。
    
    《数学与人类文明》上课时间：每周二下午1-3节，地点在紫金港校区西一402，多媒体教室，2007年2月27日开课，欢迎全校学生（尤其是文科学生和喜欢文科的理、工科学生）来报名。