硬度与屈服强度的关系:资金管理的数学解决方法

 

    资金管理的数学解决方法 

    投注策略和风险控制     博彩俺刚刚入门，觉得首先是要学会保证自己的胜率，保证不输，有一个稳定的胜率，在这个前提下研究投资策略和运用投资策略才有作用，小弟现在的水平还未到运用策略的时候；尽管在投注操作中未曾系统化的运用，但是研究是有必要的，起码能够调整自己的投注心态，嘿嘿，何况，最为重要的是，投资策略的知识不仅仅是只运用在博彩方面，事实上，相信很多朋友都明白，如果想在这个领域里面获益并长期坚持下去，当作一个投资渠道，那么，仅仅靠这样的一个渠道是远远不够的，这里就涉及到我们的另外一个话题，风险控制，如果你的所有的投资渠道仅仅是玩球这么一项，我建议你还是不要研究什么投资策略什么风险控制了，因为你还未曾意识到这些研究的本质所在。
    而这里实际上是一个浩大的系统工程，各种观点和理论都存在并且可能是冲突的，我现在的认知也是皮毛的，整理一下和大家一起来讨论这个问题，讨论是否我们能够从中收获点什么，首先声明，这里的多数文字都是整体转贴的，非本人所作，这里先对那些原贴原文的朋友们说声对不起，同时也说声谢谢，谢谢你们的辛苦劳动，在下面的描述中可能没有每一句或者每一段都非常清晰的标明是转贴或者引用，小弟我只是做了整理的一点工作和发表了一点的个人的意见（呵呵，恳请如果引用转贴的人也尊重一下小弟的工作成果）。同时，这里面可能存在观点冲突，存在各样的问题，也说明一下，本贴引用的内容不完全代表个人意见。
    在本贴中我想一起和朋友们讨论下面的一些问题： 
    1. 常见的kelly方程 
    2. kelly方程的一些数学推导和个人理解 
    3. kelly方程和投注的结合，kelly方程不等于赢钱 
    4. kelly方程和kelly值，两个不同的概念 
    5. 一片风险控制的文章 
    6. 资金和策略，一些极端措施和大家的观点 
    7. 如何系统化的应用
    kelly方程是什么样的？或许其真貌很少得到正确的描述，我们见到的多数是其衍生的或者简化的，个性化的，这些其实也是对投资控制很好的指导了。常见的有：
    a.  精明的凯莉方程式：
          b*(e*o-1)
    opt=----------- -----------------------------(精明方程)
          3*(o-1)
    由于图片不能贴，只能用简单拼凑了，roycaich注 
    上式具体含义如下：
    opt = 最佳投注额（Optimized Stake Size）
    b = 可支配的总投注额（Current bankroll）
    o = 小数形式的赔率（Odds available in decimal format）
    e = 取胜预期或者说预计胜率（Estimated probability）
    b.  最为常见的，最多被引用的

          p*o-1
    b= ————－－ -----------------------------(基础方程)
          o-1
    p = 胜率（the probability of collecting the bet. (0 o = 含本金的赔率（the gross payoff (a multiple of stake) in case you win. (o>1)）
    b = 最佳投注额比例（gives the fraction of your current bankroll that should be wagered on that specific bet.）
    上述公式其实也是kelly方程比较实质的一个公式，至于怎么得出来的，后面我们再来提及，roycaich注
    c.  另一种解释（引用Ed Seykota 的风险管理文章中的描述）
    The Kelly Formula 
    K = W - (1-W)/R ---------------------------------(个人因素方程)
    K = 下一笔交易占资本比例 
    W = 历史胜率
    R = 报酬 
    例如铜板例子
    K = .5 - (1 - .5)/2 = .5 - .25 = .25.
    凯利方程式指出，最佳化的比例是 25%.
    注意，W和R都是长期的平均数字，随着时间，K会小小的改变。
    --W是指你自己的历史胜率，R是庄家开出的赔率（小数点方式的），roycaich注
    d.  一些变化的方程:
    1/2 ,1/4kelly方程，即在应用中将投注值运用kelly方程计算得到后再乘以一个系数，即：

             p*o-1
    b=K × ———— -----------------------------(系数变形方程)
             o-1
    其中，p，o的解释参看基础方程所描述的含义，k为一个系数，一般而言选择1/2,1/4这样的系数，0这个公式在具体应用中和个人的喜好中自己选择，后面的文章我们会来提及相关的应用和一个简单的实例
    很明显，上面的四个方程是不同的，那么，这四个方程有什么不同？实际上我们可以认为基础方程是核心，也是真正的kelly方程，这个方程告诉我们，投注的额度其实跟你自己有多少钱是没有关系的，kelly方程只是告诉你一个比例而不是货币单位，眐elly方程也是跟你个人的胜率无关的－－你这个人很红场场胜利，对于一场比赛kelly方程是这样的，你这个人很黑，十投九黑对于同样一场比赛kelly方程还是那样的。 系数变形方程呢，只是基础方程的一个基本的变形，在后面我们会来讨论如何应用变形方程，这个会跟庄家的期望利润有关系。 但是在这两个方程里面，我想总是有人对于公式中的p，o有些不了解，实际上，这里的o比较简单，就是庄家开出的小数点形式的赔率（也称之为包含本金的赔率），p呢？p是什么？是你个人的胜率？博彩公式赔率转换而来的概率？mso上面看到的转换的概率？实际上p最佳的解释是客观事实所可能导致的概率，你可以用泊松公式求得，你可以用elo求得，你可以个人认为（个人期望胜率），你也可以从博彩公司的赔率转换而来（如果你能够有正确的公式的话，当然你也可以估算）。在后面我们再来讨论怎样理解这个东西以及如何获得这个东西以及我个人的一点心得。
    那么，所谓的聪明方程是什么呢？实际上很简单，就是和你的资金做一个简单的关联，简单到只是取了你个人资金的一个固定系数1/3，所以我个人并不认为是一个聪明的方程  。个人因素方程呢，则是如何结合你个人的胜率的，这个跟个人成绩有较大的关系，又更加超脱，但是如果你不是一个具备稳定胜率的高手，那好像对你的参考意义就不大了，后面讨论。
    四个方程，从基本，到结合个人资金，到结合个人胜率，如果系统化的应用，肯定就很强啦，希望大家一起来探讨如何系统性的利用这些方程，小弟我先抛砖了，大家可不要拿这砖来砸我阿   

    kelly方程的来由和kelly的文章
    kelly方程就是kelly写的一篇论文里面的一个观点，实际上其方程和方程的推导如下（本人的数学和英文水平有限，翻译不对之处还请各位见谅，同时请高手们指点）：
    博球者的资金变化取决于投资的次数和投注的选择对象，在n次投注之后其资金的变化2^n次（2的n次方），实际上这样的增长变化在经济中比较常见，其资金的增长率G，G可以用公式:

                1 V(N)
    G =lim - log______ ------------(资金增长公式，其中N趋无穷大，V(0)表示本金，V(N)表示N次之后的金额)
                N V(0) 
    其中 是n次投注之后的资金值， 是首次资金，假设每次投资用了 比例的资金，赢了W次，输了N次，那么，上述方程可以转化为：
    G＝P*log(1+L)+(1-p)log(1-L)
    注，有更多的方程公式，由于无法贴上来，小弟只好放弃，代以更加简化的东西了，roy注
    这个实际上就是 的期望方程，p就是赢的概率，1－p自然是输的概率，要想盈利，自然就是求上述公式的最大值的一向必要条件了，可以推算（俺就不详细说了，求导就是了）出来 ，这里说明了一个关键点，想盈利，必须要有50%以上的胜率，否则一切白忙活，这个是不是非常好理解呢―――这个其实也就是kelly方程里面所隐含的告诉我们的一个道理，这里就顺便提了出来。
    回到kelly方程本身，那么，怎么从资金增长方程变化到kelly方程呢？实际上如何使得G最大化了，或者我们问，在那些条件下G能够获得较好的期望值，到了这里就头大了，kelly先生的论文不是很长，推导呢俺勉强也能看懂一点，但是就是公式太多了，公式太过于难于描述了，不过还好，kelly先生还是很大方的，有兴趣的朋友可以在网上找到他的论文，google一下就是了。
    这样的一些公式推导或许对很多人来讲都是比较困难的，索性我们不关注这个，我把我自己的留意点说说，公式推导当中我们必须假定：庄家给出的赔率是根据事实的可能概率来制定的，即 p*o=1 但是很显然，庄家从来不会给出一个p是可以通过o简单的计算得到的。Kelly在文中提到，如果把o当作是庄家给出的"公平赔率"，那么，我们倒是可以得到一个结果，那就是是的最大化资金方程得到最小值，即归0。嘿嘿，这里面就比较搞了，文中要求的是需要有一个公平的p，但是不希望有一个公平的o；这两者矛盾嘛？不矛盾，庄家给出的总归不是公平的o的，因为庄家知道公平的p是什么但是庄家不会show给我们看，这里就告诉我们，如果仅仅是依靠庄家给出的o来猜测那个p或者计算那个p，多半我们会比较惨；kelly还提示我们另外一个好玩的东东：在公式推导的过程中我们接受一种事实，这个事实就是每个投注的人总是忽略那些所谓的信息灵通或者内幕消息的投注的――模型可不能最大化假球之类的出现的时候的资金。这也告诉我们，如果你知道假球，恭喜你先生，你不用考虑什么资金控制了，倾尽全部就是了，保证利益最大化。我不知道多少人看过kelly先生的这个论文和这里面的一些提醒，但是我还未曾在其原文之外的地方看见有人给出这些信息，我想，这里面非常关键的一个就是，公式只是死的，不能仅仅关注公式本身，你还应该知道公式的缺陷和公式的条件。说道条件，天，还有一个重要要素，那就是假设所有的投注金额都从输家转移到赢家，那庄家吃什么？ 翻译一段kelly先生的结论来和大家共享（错误之处请谅，最好是能够指出帮忙纠正，先谢过了）
    在这里介绍的赌徒（原文如此）是和一般的赌徒有着本质的明显区别的(呵呵，看来是聪明博球者，roycaich自己的见解，下面在翻译时将根据个人的理解将涉及相关的人物代称更改为博球者和赌徒，博球者就是指合理利用kelly方程管理自己的人，赌徒就是指那些普通的) ，在每次投注的时候他期望获得logV（V为返回资金）的最大值，其原因跟用来管理资金的方程无关，而仅仅是和log函数相关，能够将大数定理应用于上面的该函数能够被运用于重复投注中。假设条件不同，例如，他老婆只允许他每周投注1元并且不允许他的回报用于再投资，那每个投注时他都期望赌资获得最大值，在资金最大化的情况下每次都把他所有的钱投入到投注中。一种可能的情况是，如果博球者与众不同的分配他的资金，他能够领先于其它赌徒。――这段话我想描述了一个事实，要有条件，然后还要理解并遵守那些条件，这样才能够体现kelly方程的意义。Roycaich注
    需要注意的是，这里我们展示了某种可能，那些（采用我们的策略）管理资金的博球者的获益将会高于那些和我们（的策略）不同、依旧对于每个接受到的符号采用固定比例来管理资金的赌徒们的获益。如果需要，我们的投资策略可以被证明将是最为出色的，不过（文中）并没有给出展示。
    尽管这里采用的模型是从实际的博彩活动中总结出来的，模型当然同样适用于生活中的其它经济领域。定律的必要条件在于获利资金的可再投资性和投资资金（下注的注额）在不同投资类别下的可灵活变更性，定理的应用渠道应该和投资者实际的投资资金等现实渠道相适应。
让我们概要的总结一下本论文的成果：如果投注者通过通讯渠道能够投注并且每次都将通过某一实体将其一定比例的资金投入，他的资金将指数增长或者下降。如果（博彩公司的，roycaich注）赔率是和交易实体发生的可能性概率相一致的（例如，等同于可能概率的倒数），（资金增值的）指数增长率的最大值就等同于交易的频率；如果赔率并不公平，例如，和这个实体事件发生的概率不一致而是和其它的某些可能性概率相一致，指数增长率的最大值就会比那些的比没有总量等于信息交易频率的渠道先进的要大；万一存在什么"内幕消息"之类的事情发生，方程就棘手无策，只剩下理论上的空架子了。（这一段翻译得不好，还要向朋友请教一下进行校对，暂时先上来，后面改，朋友们也可以指正校对）
    再一次提醒各位，本人水平有限，可能翻译得不好，只是提供参考。这里顺便借用一下几位名家的话来帮助我们理解kelly方程：
    1）（kelly方程）将资金的增长律渐进线最大化
    2）渐进线式的，（kelly方程）将达到一个目标的时间最小话
    3）几乎可以肯定的，（kelly方程）相对于那些有本质不同的策略而言在长期的运行中做得更好
    上面三句话是Hausch, Lo, and Ziemba (1994)提到的，这个应该是从学术化的角度来理解的。
    完kelly的结论了，现在我们来讨论一下这里面的一些问题，如何应用不同的方程，如何结合投注，我想，这里个人的观点主要是抛砖。
    第一个问题就是那些公式中的P了，这个到底是什么概率呢？来看看基础方程，第一个印象是非常直观的，就是P*O>1,O是菠菜公司开出的赔率，这个简单直观的东西告诉我们，这个p是是跟o有关系的，也提醒我们，实际上p并不容易计算，kelly公式也不是轻轻易易就能够套在我们的投注上的。实际上，我个人还是坚持认为p是一个事件即将发生的可能性概率，无他，是因为在投注活动中，球赛的结果基本上还是符合其长期的统计规律的，这点我想在possion公式衍生出来的模型，ELO模型等等都得到了验证，所以我在上面解释四个公式的时候认为基础方程中的p跟赔率相关，举一个简单的例子，博彩公司对于某队获胜的赔率是1.5，你自己的胜率是65%，那么很明显，无论你怎么管理你的资金，你都无法盈利，这个例子浅显的告诉我们，那些说什么认为达到65％胜率的人就是高手其实是不准确的，胜率是要跟赔率相关的，也就是说如果一个人能够在赔率达到3的情况下保持胜率40％,那他就是了不起的高手了。我想，这个就是一个非常直观的高手定义了：所谓高手，就是能够稳定的从这个市场上赢取利润，并不在乎其胜率是多少，高高低低只是障眼法而已。关于这个，mso上高阳兄的看法应该是相同的，在后面会有引用
    回到公式的源，kelly模型里描述是把p定义为获得胜率的次数和总投注数的除数的，确确实实是跟个人相关的，但是他和其它人在研究的过程中采用了"fair odds"情况下的可能概率来进行的，这个更加是本质，因为如果按照那些赔率模型，都是被验证为最后的结果跟模型的预测基本一致的。那么我们认为用事件发生的本身可能概率来代替P也是可以接受的，但是问题是事件本身发生的可能概率如何获取呢？从那些已经成熟的模型获取吧，个人能力有限，资源有限，都不是什么容易计算的东西，而且根据这个概率获，庄家未必就肯给出符合p*o>1的o出来，操作起来也是难上加难。更为现实的情况还是借助于庄家的赔率，不要忘了，庄家能够给出不是"公平赔率"，但是我们却拥有我们自己的选择权，你可以选择接受或者不接收，这也告诉我们需要学会放弃。另外一个呢，就需要术业有专攻了，你个人的胜率可能是建立在各式各样的赔率基础上的，这里实际上会诱导你采用了不准确的数据，从而导致kelly应用的崩溃，所以一个较好的方式是对于某种赔率体系，某一个比较小范围的赔率进行跟踪和投资，在这个较小的范围内应用kelly方程可能可以获得较好的结果。
    现在我们先来看看大家的看法（转贴），然后从这些观点和讨论中来继续我们的话题
    首先是mso不圆大师的看法，在mso中有其详细的描述，摘录如下：
    凯利规则运用于这样一个多轮次投注系统，它可以使每轮投注的资金增长平均值最大化。
    Zave = ((1－k0) L + k0)^(S/N) * K0^(1－S/N)
    其中
    Zave 投注的平均资金增长系数 
    k0 每轮下注保留的资金占总资金比例；
    1－k0 每轮下注注码占总资金的比例；
    L 下注赔率；
    S 下注赢钱的轮次数；
    N 总的下注轮次数；
    S/N 总体下注成功率；
    1－S/N 总体下注失败率。
    凯利规则隐含了这样一个前提假设，投注的每个轮次都是无限统一的，或者说，要求每个轮次的胜出概率都等于上式中的总体下注成功率。如果赛果的公平赔率(Fair odds)可以计算得绝对精确的话，凯利规则不失为一种最好的策略。
    然而实际上，公平赔率即使从计算过程中也会累积明显的误差。一个现实的多轮次投注过程的整体概率本质上服从于离散分布，这一点背离了上述规则的前提假设。如果做为下注规则，凯利规则会指引玩家投下偏高的注码，并可能导致危险的投注崩溃。
    需要注意的是，我在文中并没有引用不圆先生所用到的kelly方程形式，并不是说这个方程不对，实际上这个才是更加核心的方程，主要是因为不圆先生列出的公式不利于应用且没有获取这个方程的最大期望值，我们所描述的应该是期望值方程；另外，我有一点跟不圆先生不同，我认为kelly的原文中是将资金的增长渐近线最大化，也就是logV期望值最大化。
    xx11的一篇帖子mso： 现在波友的一个共同的困惑是"明明我这段时间里胜率超过了55%，但盈利却是零甚至是负数"，这里面就有一个注码的应用问题，有的波友明白了这一点而采用全部均注的方法，结果也同样错失了本来应有的赚钱机会（场次）。也许凯莉方程式能帮我们解决这个问题。 从凯莉方程式(2)来看，影响b的变量有两个：o、p，其中p是取胜的概率，按照现行的说法是一个附属于o（赔率）的次变量，它随着赔率的变化而变化（有关p的计算在很多网站都有详细的介绍，比如Tip-ex、BetBrain等），那么直接影响b的变量只有一个--赔率--这个让无数人既爱又怕的小东东。 让我们再仔细地看一下公式(2)：分子中的p*o是什么？天哪！p的计算公式是p=1/o，那么p*o铁定等于1，导致整个公式的分子等于零，那我们还投什么注码？！~~什么~~算错了~~还得考虑博彩公司的抽水~~，是啊，还没考虑抽水，重新算过--结果居然是分子成了负数！！
    怎么回事？最初我也这样问自己。
     凯莉方程式经过几十年的锤炼，自然是不会有任何问题的，而且在赛马领域的应用极为广泛。我一点都不了解赛马，除了在电影里见到的十数匹赛马闪电般地奔驰的景象。我想赛马最主要的玩法应该是赌哪匹马能够夺得冠军吧？为此会给所有参赛的马匹开出一个赢得冠军的赔率，而赛马的回报率应该挺高的，那么取胜的概率p应该不会像足球那样等于赔率的倒数那么简单，退一步说，即使赛马的胜率也是和足球博彩一样的算法，那p*o的值永远不会大于1，凯莉方程式也就失去了意义。
    看来问题的关键就是 p 究竟是怎样得到的？
    让我们回过头重新欣赏一下那篇网文译作中opt的由来吧：
    举例: 利物浦主场2.50对曼联，某博彩公司对利物浦可胜出的机会率为45%，亨克(芬兰博彩投资家)有10,000元的投注金，其投注金应为

    b*(e*o-1)
    10000*(0.45*2.5-1)
    opt = ----------- = ---------------------- = 280 元

    3*(o-1)
    3*(2.5-1)
    即亨克可投注利物浦的金额为280元。 在上述公式中，作者并没有对"某博彩公司对利物浦可胜出的机会率为45%"作出详细解释，按照现行的说法，p的计算公式是p=1/o，也就是赔率2.50的倒数，胜率应该是40%，再考虑博彩公司平均10%的抽水，这个胜率实际上也就是36%左右，何来"某博彩公司对利物浦可胜出的机会率为45%"之说？！
    因而，可以肯定的是，p并不是赔率的倒数这么简单，而是一个主观性很强的取值，既然是一个主观经验值，那么你所选取的p值的准确性和适用性就成为最关键的焦点，举个极端的例子，假设你认定某场比赛客队取胜的概率是99.99%甚至是100%（当然理论上概率不可能是100%，但你通过当守门员的哥哥得到了内幕），按照凯莉方程式，你可以倾囊而出；反过来说，只要出了哪怕一丁点意外（比如说你的哥哥受伤下场），你都将血本无归。
    通常按照式(2)计算出来的b(最佳投注比例)普通情况下的值为8%左右，是一个不起眼的小东东，我大概计算了一下，假设你能够连续投注的话，按照平均赔率为2.00，你只需每个周末净赢2场比赛，一个赛季下来你就可以使你的资金增加100倍！100倍就是100万！！多么惊人的数字！！！

    需要特别提醒的是：
    1、凯莉方程式并不能保证你会赢球，它可以帮助你在赢球的时候如何稳定地、安全地、快速地增加你的注码，而在你输球时把损失减到最小。
    2、凯莉要求你每次只能投注一场比赛，第二次投注要在第一次投注完成以后才能进行。至于多场次同时投注的凯莉准则不在本文讨论范围之内。 你看到这儿可能会觉得凯莉方程式没什么了不起的，因为你在不知道凯莉方程式的情况下每次的投注也都是总注码的10%左右，请再次细细体会一下，要知道诸如金融、保险等行业的都在深入研究凯莉理论的应用，他们倒不是为了下注，而是为了如何应付你的每一次存款或投保。 我在研究凯莉方程式时的另一个体会就是如何进行p值的推导，这是一个智者见智、仁者见仁的问题了，有机会再探讨吧~~~一周上百场的赛事赔率都静静的待在那儿，期待你的选择，我想开赔率的人是不会把那么宝贵的p放在你的眼皮底下的，也许只有深入但不限（陷）于某场赛事的赔率你才能真正看清楚，正所谓"不识庐山真面目，只缘身在此山中"，最后找一段博彩高手的心得作为本文的结束语--
    "其实注码的运用有很多方式，外国有很多职业赌徒都是用很多的投注技巧去赢取每月的收入，如果于球场上可以找到一些方程式有高命中率的话，再配合注码的运用可谓无往而不利...... 最好的方法就是自己或几个朋友建立一个基金系统，订下利润及每场的注码，每次见方程式的球赛出现时就坚持原则下注！"
    而tieyu朋友则给出了特别提醒：
    1、凯莉方程式并不能保证你会赢球，它可以帮助你在赢球的时候如何稳定地、安全地、快速地增加你的注码，而在你输球时把损失减到最小。
    2、凯莉要求你每次只能投注一场比赛，第二次投注要在第一次投注完成以后才能进行。至于多场次同时投注的凯莉准则不在本文讨论范围之内
    在独赢兄和wbwwbw斑竹的一篇思想大碰撞中，给予我们很多很好的问题思考点mso
    而南方过客先生则给出了其自己鲜明的观点mso
    按照凯莉方程式的精神，最值得注意的是：在该种盘口下，如果预期胜率低于51.2%就不应该下注。（这也说明了庄稼利润的所在）
    胜率p的选择不可能是个`100%真值，我认为需要经验+统计+其它一些因素（欢迎大家提出好的方案）。还有就是p值是动态的，不是定值。还有就是要尽量排除主观的东西。
    这一方法最适用于不懂球的玩家（对球队实力强弱等越不知道越好）或"心中无球"的玩家
对守纪律的玩家也是不错的选择。
    (P)是历史统计可以得出来的，类似于商品检验中的随机抽样原理，参考模型的建立是否合理是胜率的关键所在，最好不要参照主观的指标，参考对象相应客观点
    是否可以假设自己的胜率为55%这个固定值
    这应该是一个保本的胜率,对于亚盘来说.
    首先不能假设，要有统计才可以，而且统计模型是科学的（趋近于实际值的）
     其次55%胜率对应的亚盘只能做到基本保本吧，举个例子来说，对应于A队让B队半球，上盘8水，下盘105水的某场比赛，在55%胜率的情况下，投注8水的A队在此胜率下是要亏钱的，凯莉公式得出的注码比例b=55%*1.8-1/1.8-1=负值，而相反的是投注B队按凯莉公式得出的注码比例b=55%*2.05-1/2.05-1=12.14%！
    下面是钨思道先生在帖子中的回复
    一个极具应用价值的话题.
    报名参与讨论，印象中这好像是第二次和Roy兄会面了。
    对Roy上文列出6个方程中(式中各项含义见上文,不再赘述):
    opt = (b/3)*(e*o-1) / (o-1) ----------------------- (1.精明方程)
    b = (p*o-1) / (o-1) ----------------------- (2.基础方程)
    K = W - (1-W)/R ----------------------- (3.个人因素方程)
    b = K*(p*o-1) / (o-1) ----------------------- (4.系数变形方程)
    G = P*log(1+L)+(1-p)log(1-L) ----------------------- (5.kelly方程)
    Z = [(1－k0)*L + k0]^(S/N) * K0^(1－S/N) ---------- (6.不圆所列方程)
    偶进行了化简,式(3)可以直接变换为(2)的形式;式(1)和式(4)在去掉系数(b/3或者K)后和式(2)完全一样;式(5)和式(6)求导后对其中的投注比例项求解也可以得到式(2)的形式.因此上述6个方程在描述"如何确定投注比例才能够使平均资金收益率最大"这个概念时是完全相同的,只是从不同的角度出发而已,为了日后讨论方便,我们现在推导出更为一般的形式.
    假设在一个博彩游戏中,初始资金是C,每次投注的比例是x,赢的概率是p,相对于x的获利比例为A;输的概率是q,相对于x的亏损比例为B,进行了n次游戏后的剩余资金是:
    F = C * (1+Ax)^np * (1-Bx)^nq ----------------- (7.复利公式)
    则平均资金收益率是:
    f = (1+Ax)^p * (1-Bx)^q ------------------------- (8.平均收益率,与C,n无关)
    为使f最大,令df/dx=0,解得:
    x = (Ap-Bq)/AB ---------------------- (9.描述最佳投注比例的最一般方程)
    在式(9)中,
    令A=o-1 (A是不含本金的赔率)
    B=1 (B在足球博彩中恒等于1)
    q=1-p (q,p就不用废话了)
    式(9)即可化为式(2),式(1),式(3),式(4)同理.
    对式(5)写成:
    G = log(1+L)^p*(1-L)^(1-p),在这里:
    A=1,B=1(即一对一对赌)
    L是欲求的投注比例,
    则令第一个L=AL,第二个L=BL,
    则dG/dL有与df/dx同样的形式,故式(5)也可化为式(2)的形式.
    在式(6)中,令
    S/N=p
    1-S/N=q
    1-k0=x
    L=A+1
    则式(6)可写成:
    Z = [x*(A+1)+(1-x)]^p * (1-x)^q
    = (1+Ax)^p * (1-x)^q
    此处,B=1,故式(6)具有与式(8)相同的形式,即也可化为与式(2)等同的形式.
    罗嗦了这么多,让我们回头看看式(9.最一般方程)所对我们的指导意义.
    把式(9)做一个变换,可得:
    x=p/B-q/A ---------------------- (10.最一般方程的变形)
    其中:
    x: 最佳投注比例
    p: 获胜概率
    q: 失败概率(q=1-p)
    A: 获胜时的获利比例(在足球博彩中,A=Odds-1)
    B: 失败时的亏损比例(在足球博彩中,对于闲家来说B恒等于1)
    1.式(10)影响x的4个变量中,因为B=1,故第一项即为p,而p值介于(0,1),因此无论获利比例(A)有多大,都不允许满仓杀入.很多人玩球最终以输钱甚至血本无归告终,很大程度上便是因为没有真正理解B的含义.
    说句题外话: 在目前现有的条件下,有没有办法让B变小? 别笑,答案是肯定的
    2.在关乎赢的变量中,除了努力地使p提高以外,另一个途径是设法提高获利比例A,这也是此前我多次说明某些类型的亚盘无利于闲家的原因,因为亚盘的A通常在1以下,最高不超过1.05(澳门).在p难以提高的时候,关于A的研究给了我们另一个方向.
    3.关于P是个永恒的话题了,早年偶在研究凯莉方程时,便对p产生了浓厚的兴趣,时至今日,关于p的理解也走过了很多轮回.一个体会是无论通过什么样的途径来得到p,p终究有一个难以逾越的瓶颈.目前我更多关注的是p的稳定性而并非p的绝对值,因为在p稳定的情况下,借助于A和B同样会有一个圆满的结局.
    4.最后,对于凯莉方程式,任何一个学过微积分的人都可以在10分钟之内搞清它的数学含义.应用到博彩领域,更重要的是把其中的各个变量和现实中的博彩思维(行为)联系起来,凯莉方程虽不能直接告诉你怎样去玩,却明白无误地说明了为什么去玩,我觉得,这种指引正确方向的意义远远大于方程本身的意义.
    一点愚见.   

    关于P的计算
    那么P到底怎么样来计算？上面的描述已经告诉我们，其实要真的把握并很好的利用kelly方程实际上是非常困难的，我现在也没有实际的试验经验，在接下来会有这样的想法去尝试，现在先从自己接触到的一些理论和他人的经验来和大家分享一下。我个人觉得我们应当回到博彩的本质--博弈；这里面并不是投注者之间的博弈，而是博彩公司和投注者，排除假球的情况下，博彩公司必须使其赔率体系尽可能的贴近比赛结果的长期统计规律，这也是为什么博彩公司花力气养一大帮人研究比赛的重要原因；并且博彩公司利用操盘手来不断的根据实际的投注情况来调整赔率，通过大量的投注者之间对立的选择和降低风险。这样博彩公司在开赔率的时候不仅仅是一个球队间实力的反映，还考虑到投注者的心理因素和投注者的信息获得量，从这一方面来讲，博彩公司开出的赔率实际上并不会有太多的背离实际的情况出现，诱盘并不是很好操作的-个人认为所谓诱盘只是针对特定信息群体的一个手段。由于博彩公司开出赔率在前，投注者下注在后，这样博彩公司肯定不可能开出完全公平的赔率，这里面蕴涵着一些对于未来投注额度的预期判断等信息在内；而投注者尽管信息量方面不够，但确实后面的一个主动者，选择或者放弃的权利都在个人手上；从这两点来看，P首先不会太背离博彩公司的赔率体系，其次，P可以通过个人行为来得到提高。 现在我们先来考虑通过博彩公司的赔率体系进行P的范围测量，事实上我个人一直觉得博彩公司首先是获得了比赛的一个统计预测p，然后结合近况等要素以及心理期望等进行调整，将p放大以便确保降低风险，然后根据放大的p来给出赔率；在1×2的三种可能概率上都放大了，但是肯定不是正比例的放大的，可能某一个多一点某一个小一点，这样我们试图通过其赔率和返回率再推算回去，实际上应该是不准确的。而且根据博彩公司开出的赔率直接推算的p其乘积肯定不不超过1的，没有什么有利可图的；我们只能够通过一个大概的计算公式来获取，这个常见于各个咨询网站，那就是用 
    p1=1/(1/o1+1/o2+1/o3)/o1
    p2和p3的计算也是这样的公司，可能有一些用的是101体系，那就把公式中的一些1该为1.01就是了。很显然，这个公式计算出来的p乘以o的值也是小于1的；但是这个p是不是没有作用？后面我们来看看。
    所以我觉得还是需要有某种方法来计算比较公平的p的，事实上很多数据模型能够提供这样的数据，比如说elo模型，比如说很多基于possion公式的模型，都能够提供一个比较反应静态实力的概率，而许多基础数据，则能够从免费的网站获得，问题是这个获得p是否能够有限的应用在kelly方程呢，不是的，让我们来看看有个老外写的文章里面的研究事实，他自己建立的一个模型来计算p，是基于possion公式的，然后采用不同的投注策略得到：
    Margin Fixed% Kelly% 1/2Kelly%1/4Kelly% # of bets
    1.1 94.23% 15.95% 61.49% 81.93% 712
    1.2 94.44% 34.03% 70.05% 85.26% 346
    1.3 96.84% 106.74% 105.02% 96.75% 174
    1.4 99.63% 213.85% 156.68% 128.27% 87
    1.45 100.53% 248.74% 175.36% 137.88% 72
    1.5 101.09% 235.71% 167.97% 134.01% 51
    1.6 101.67% 175.13% 137.65% 118.85% 28
    1.7 102.07% 170.87% 136.05% 118.15% 23
    上面是欧洲四大联赛和英甲等的统计数据，上面的数据数据里面，margin就是通过1/o1+1/o2+1/o3的计算值，我们可以清楚的看到，采用不同的投资策略下的收益是不一样的，收益低于100％意味着什么呢？意味着亏损，从上面的统计实例我们可以看到，博彩公司开出的赔率里面，如果按照严格的统计规律来进行的话，投注者基本上是亏损的－这也是博彩公司抽水所导致的。而在我们最为常见的1.1庄家利润期望值的赔率体系中，kelly方程式是亏损得最为厉害的。我想这个是大大出乎我们所有人的意料的吧。这个也说明，不要以为只有我们在研究投资策略，其实博彩公司应该是比我们更加精通这个东西，毕竟，我们所看到的，庄家的期望值高于1.3也是很少。
上面的数据表明我们还是需要对比赛进行选择，从而提高这个P的值的，如何选择比赛，kelly方程并不能够告诉我们什么，但是，我想，我们上面的分析已经告诉我们，怎么样去发觉一些比较可靠的比赛，这也是为什么我认为庄家的赔率仍旧对P产生影响的一个重要原因。
    接下来为大家奉上一篇风险管理的文章作为参考，文章是Ed Seykota所写的，我进行了一些节选：
    风险管理总结
    一般来说，好的风险管理者包含下列要素：
    阐明交易系统和风险管理系统，直到可以转化为程序代码为止。
    包含风险分散和投资工具选择，再做好历史测试。 
    历史测试和压力测试决定交易参数敏感性以及最佳化数字。
    所有参与者，对于变动率和获利率，有清楚的共识。 
    投资人和管理者之间，维持具有支持作用的关系。 
    最重要的是，坚守系统。   ]

    风险
    风险的意义是损失的可能性。也就是说，如果我们拥有一些股票，这些股票价格有下跌的可能性，那么我们就具有风险。股票本身不是风险，损失也不是风险，损失的可能性才是风险。只要我们一天还拥有这些股票，我们就具有风险。控制这些风险的唯一方式就是买进或卖出股票。就拥有股票，想赚取利润这件事来说，风险基本上是无可避免的。我们所能做的，就是管理风险。

    风险管理
    管理的意思是引导和控制。风险管理在于指引导及控制损失的可能性。风险管理者的任务即在于测量风险，并买进或卖出股票以增加或减少风险。

    直觉和系统
    直觉（Hunch）是一种决定赌注的方式。也许我们预感要押$100。
    虽然以直觉来决定赌注确实是现实世界里最多人用的方式，它还是有几个问题。它需要一个操作者特续的产生这些预感来决定赌注，把这些预感转为实际的赌注。比较起科学方法来说，这些赌注更仰赖心情和感觉。
    要改善以直觉来下注的方式，我们可以使用一套系统。系统的意思是一套逻辑化的方法，来规定一连串的赌注。比较这两种方法，系统的好处在于(1) 我们不需要操作者　(2)赌注变得有规律，可预期，前后一致，而非常重要的是 (3)我们能够在计算机上执行历史数据的仿真，将下注

    系统最佳化（Optimize）。
    虽然一般来说系统的好处很明显，实际上风险管理者却很少清楚定义他们的系统，足以在计算机上进行回溯测试。
    我们丢铜板的例子满简单的，我们可以帮它准备一个下注系统。此外，我们可以藉此测试这些系统，找出系统的最佳参数，以便执行最佳化的风险管理。


    固定赌注以及固定下注比例
    我们的下注系统必须定义赌注。定义赌注的其中一个方法是使用固定金额，例如每次下注$10，不管我们输还是赢。这种就叫做固定赌注（Fixed Bet）。在这个情况下，我们$1,000的资本可能会减少或增加，一直到$10比例上会变得太大或太小，而变成不是最好的赌注了。
    要解决固定赌注中资本变动的问题，我们可以定义固定下注比例（Fixed-Fraction）。在我们的资本中，1%的赌注等于$10。这次，不管我们的资本上升或下降，固定下注比例都会和资本成比例。
由固定下注比例我们发现一个有趣的事情，既然赌注和资本保持一定的比例，理论上来说完全破产不可能，形式上毕业出场的风险是零。在实务上，崩溃和心理上的 Uncle Point 比较有关系，参照下文
    模拟测试
    我们可以针对历史数据进行仿真测试（Simulate），以便测试我们的下注系统。假设我们丢十次铜板，有五次正面五次反面，我们可以如图二般安排模拟测试。
    请注意，两个系统第一次都赚了$20.00（赌注的两倍），开出来的是正面。第二次，固定赌注的系统输了$10.00，而固定比例系统输了1%，也就是$1,020.00的1%，也就是$10.20，资本剩下 $1,009.80。
    两种系统跑出来的结果几乎没什么不同。然而经过长时间后，固定比例系统会以几何级数成长，超越以线性成长的固定赌注系统。另外，系统的结果取决于正反面的个数，至于正反面的顺序并不会影响结果。读者可以自行以电子表格进行测试
    金字塔型加码（Pyramiding）以及赌注加倍（Martingale）
    如果过程是随机的，像是丢铜板，规律的正反顺序是不可能的，因此会发生一连串的正面或反面的状况。然而，我们无法利用这个现象获利，因为它的本质就是随机的。在非随机的过程中，例如股票价格的趋势，金字塔型加码或是其它趋势追踪技巧都可能有用。
    金字塔型加码，是在获利时加码的一种方式。这个技技有助于交易者加码至最佳化部位。在已最佳化的部位之上加码只会引起过度交易的灾难。一般来说，这种系统的小修小补对系统来说，远远不如坚守系统来得重要。事实上，这样的修修补补使交易者对系统的信号产生诠释的空间，可能导致直觉化的交易，徒然削弱坚守系统的努力罢了。
    赌注加倍（Martingale）的意思是在赌输时加倍下注。如果又输，则再加倍，如此一直下去。这种方式好比赶在压路机前捡硬币，只要一次失手，资本就完蛋。
    最佳化－使用模拟测试
    一旦我们选定了一个下注系统，例如固定比例下注系统，我们就能依系统找出最佳化的参数（Parameters），得到最好的期望值（Expected Value）。在丢铜板的例子中，我们唯一的参数就是那个固定比例。再次重申，我们可以经由模拟测试找到答案。
    请注意，丢铜板的例子的用意在于强调风险的某些元素，以及它们之间的关系，特别是我们的例子是报酬2:1，胜率50%。这个例子没有考虑正反面不均匀的情况，也没有考虑一连串的正面或反面。它的用意并非在建议任何市场交易里风险管理的参数
    %时，资本不会改变。在5%时，赌注是资本$1000.00的5%，也就是$50.00。第一次期望值是$1,100，以灰色部份表示。第二次的赌注一样是资本的5%，$55.00，这次我们会输，剩下$1,045.00。请注意，在赌注为25%时，表现最好，以红色部份表示。再请注意，最佳化参数(25%) 在一次正反面周期后就很明显了。这让我们能够以单一周期求得最佳化参数。
    请注意，系统的期望值在25%下注比例时，从$1000.00提高到最大值$1,800。从这之后，随着提高下注比例，获利减少。这条曲线表示了两个表达了两个风险管理的根本法则，(1) 胆小交易者法则：如果你下的注不够大，你的获利也不会大。 (2)鲁莽交易者法则：如果你下的注太大，破产是必然的。 在具有多个部位，多个赌注的投资组合中，总风险我们称之为投资组合热度（Heat）。
这个图同时说明了在报酬为2:1的情形下，期望值和下注比例的关系。这样的关系在不同报酬的情况。
    最佳化－使用微积分
    因为我们的丢铜板游戏满简单的，我们也可以用微积分求最佳下注比例。因为我们知道，最佳系统在一次正面和反面的周期后就是显而易见的了，我们也可以用一个正面一个反面的周期，来简化问题。
    一正一反的组合后，赌注变成：
    S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0
    S - 一个周期后的赌注
    b - 下注比例
    P - 报酬2:1
    S0 - 一个周期前的赌注
    (1 + b*P) - 赢时的影响
    (1 - b) - 输时的影响
    所以，一个周期后的影响就是：
    R = S / S0
    R = (1 + bP) * (1 - b)
    R = 1 - b + bP - b2P 
    R = 1 + b(P-1) - b2P
    注意，b值很小时，R随着b(P-1)的增加而增加；b值很大时，R随着b2P而减小。这就是胆小交易者、鲁莽交易者法则背后的数学意义。
    我们可以画一张图显示R和b之间的关系，这张图看起来会很像我们从模拟的结果，以目测选择最大值。我们也可以观察到，最大值时斜率为零，所以我们也可以令斜率为零，即可求最大值。
    Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 于是
    b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,
    b = (2 - 1)/(2 * 2) =0 .25
    所以最佳化的下注比例就是资金的25%。
    最佳下注比例随着胜率而增加，趋近报酬。
    这张图显示在不同的胜率和报酬下的最佳下注比例。最佳下注比例随着酬酬的增加而增加。对于很高的报酬率时，最佳下注比例等于胜率。举例来说，一个5:1报酬的公平铜板，最佳化下注比例趋近于50%。
    过程中的期望值和最佳下注比例
    几乎确定会毁灭的策略
    全押，本质上来说是几乎确定会毁灭的策略。因为对一个公平的铜板来说，存活的机率，变成(.5)N，N表示丢铜板的次数。十次铜板之后，存活的机率大约是千分之一。大部份的交易者当然不想破产，所以就不会采用这样的策略。但是，这种策略的期望值真的很诱人。在毁灭只代表资产的损失时，我们会想要找到这样的系统。
例如，一个将军管理着好多可有可无的士兵。他也许会让士兵全部上场，全面攻坚，不考虑士兵会不会死掉。用这样的战术，将军也许会失去很多士兵，但也许会有一两个士兵攻坚成功。整体上来说，任务成功的机率就大增。
    相同的，一个投资组合管理者也许会把资本分散在许多账户中，然后赌上每个账户里100%的资本。他想，他也许会输掉很多账户，但有些账户的胜利势必可以使整体的期望值最大化。这就是风险分散（Diversification）的原则。当个别的报酬率非常高时适用。
    风险分散
    风险分散就是把资金分散到很多不同的投资工具，单一投资工具失败时，损失得以限制。这样的策略必须符合「所有部位平均起来有获利期望值」这样的 条件。比较起单一投资工具，风险分散也提供心理上的好处。短期内投资的变动，可以由不同投资工具间的成果抵消，而获得较为平滑的投资组合变动率 。
    The Uncle Point
    从分散的投资组合的观点，个别投资工具组合成为总合的绩效。就风险管理者或基金投资人来说，基金的表现就成了注意力的焦点。基金的表现，也会受 上述两种人的感觉、态度、还有投资者对个别股票态度上管理者的态度所影响。
    基金管理中最重要的，也许也是最不受注意的观点，就是Uncle Point。它的意思是净值水平降低，引发投资者或管理者信心丧失的那个点。如果投资人或管理者失去信心而进行赎回，那基金就 宣告死亡。正因Uncle Point发生时的环境通常是很灰心气馁的，很少文献对这个现象有详尽的记载。
    尤其是当基金在安全范围里的时候，除了法律文件里必要但却含糊的贴示外，没什么人会注意Uncle Point。在Uncle Point认知上的不协调可以导致其中一方的放弃，说起来也很不幸，明明另一方要的只是再次保证。
    当压力真的很大的时候，投资人和管理者不会去看那个看也看不懂的法律文件，他们会看的是自己够不够胆。在净值常常降低，高表现，高变动率的创业 界尤其重要。
    若双方对Uncle Point没有清楚的共识，风险管理者往往必须假设Uncle Point就在不远处，于是他们寻找降低变动率的方法。如同我们上面所看到的，低变动率系统很少能有最好的获利。然而压力和紧张局势使得对于变动率的 侦查和处罚变成必要。
    测量投资组合的变动率（Sharpe, VaR, Lake Ratio and Stress Testing）
    从分散投资组合的观点，个别投资工具的成败总合成为整体绩效的一部份。投资组合管理者依赖一整套测量基金表现的工具，例如Sharpe Ratio，VaR，Lake Ratio以及Stress Testing。
    威廉夏普先生在1966年提出了他的「报酬－变动率比」。经过长时间，它成为我们所熟知的Sharpe Ratio。Sharpe Ratio利用对变动率调整绩效的方法，提供了比较不同绩效不同变动率投资工具间比较的标准。
    S = mean(d)/standard_deviation(d) ... the Sharpe Ratio, 而
    d = Rf - Rb ... the differential return, 而
    Rf - 基金报酬率
    Rb - 基准报酬率
    夏普指标的变形不断出现。其中一种变形舍弃了基准点，将它设为零。另一个，基本上就只是夏普指数的平方，但它使用获利的变异数，而不是标准差。 在使用夏普指标上，一个重要的考虑是它并未将上方下方变动率加以区分。高杠杆高绩效的系统，必然有很大的上方变动率，在这标准下也变得不太好了 。
    VaR，或称风险承担价值，是另一种衡量投资组合风险的方法。基本上它只测量最大净值下降百分比，这种情况很久才会发生一次，机率约95%。VaR的缺 点是，(1)历史的计算结果只能提供大概值　(2)还是有5%的机率超过预期。净值下降产生的信心问题多半在非预期中发生，VaR也就无法真正预测它真正 想要解决的状况了
    心理面的考虑
    在实际操作上，最重要的心理考虑就是坚守系统的能力。要达到这个目标，必须(1)全然了解系统的规则 (2)了解系统行为 (3)在所有参与者中，找到清楚的共识，能够坚守系统的共识。
    例如，就我们刚所说的，获利和亏损不见得会平稳的交换出现，通常来说都是一串赢的，一串输的。当一组投资人－管理者团队都了解到这是正常的，在 净值降低时坚守系统的可能性就大增，赚大钱的时候也会比较谦虚谨慎。
    除此之外，研讨会，心灵支持团体都有助于保持一贯的态度，让组织里上下都能照计划进行。  

    补充：
    假设一个人全胜，P=1，也就是说从kelly方程来讲就是全额投注，这是一个危险的理论值；实际上，我们的操作不可能达到100％的胜率。但是p＝1有还是有一个启发的地方，在博彩领域长期而言相对于博彩公司，彩民们的长期赔率正是0.9附近，即返回率。也就是说，博彩公司拥有全局方面获得0.1佣金的优势。但对于个体，如果自己操作得当，有可能维持在高获胜概率，这个时候个人的一点想法是随着获胜概率的提高，所采用的p应该增大博彩公司所开出赔率的考虑因素，p应该是跟个人操作和赔率所蕴含p有关，前面我们已经提到，p不仅跟个人有关，也更理论上的胜率有关，两者之间需要权衡。假定P＝f(p1,p2),其中p为kelly中要采用的概率，p1为个人胜率，p2为理论胜率，P应该是这两者加权平均，并且其权重存在反比关系为妥，能够使得个人胜率的回归理论胜率一以此来降低个人操作方面的风险这个是由于我们的个人操作中会存在一些隐性假设所引发的，规避这样的风险使得不至于在风险发生时损失过大，值得我们关注；个人正在试验，不知是否还会满足kelly方程的特性，让我们共同关注和测试
    例如，如果我们采用简单权重平均，对于180赔率的比赛，个人的操作得当，使得胜率达到80％，这个时候建议在kelly中要采用两者的平均值，比方说采用个人的80％和理论的50％的平均数，以此来降低风险。